数学假期作业一-椭圆

数学假期作业（一）——椭圆专题

一、选择题

1.已知点M（小,0）,椭圆，+），=1与直线y=k（x+小）交于点A、B,则4ABM的周长为（）

A.4B.8C.12D.16

2.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为

（）

A.1B.小C.2D.2^2

3.设椭圆宏+g=1（"＞40）的离心率为e，右焦点尸（c,0），方程北+法一c=0的两个实数根

分别为XI，X2,则点P（X|,X2）（）

A.必在圆/+产=1外B.必在圆/+产=1上

C.必在圆/+产=1内D.与/+产=1的位置关系与e有关

4.过椭圆C：=l（a＞b＞0）的左顶点A的斜率为％的直线交椭圆C于另一个点B,且点

B在x轴上的射影恰好为右焦点R转则椭圆离心率的取值范围是（）

AQ'I）B.停,1）吗I）D（0,9

5.已知椭圆C：》营=13＞。＞0）的离心率为坐双曲线％2一尸1的渐近线与椭圆C有四个

交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为（）

A$+5=lB篇+看=1C.^+f=lD言+?=1

6.设F”F2是椭圆E：方=1（〃＞人＞0）的左、右焦点，P为直线尸系上一点，△FiPFi

是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率为（）

1234

A，2BqC.4D.§

7.设4、C2分别为具有公共焦点尸卜尸2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点,

eg

且满足|川月,+成,1=1用瓦,|,则的值为（)

y/ei+ei

C.^2

A乎B.2D.1

8.已知B、F2分别为椭圆C：千+f=1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PFE

的重心G的轨迹方程为()

x?v~4x29x24V2

A.石+右=1(疗0B.-^-+y2=l(y#0)€：.丁+3y2=l(y知)D.x2+^=l(y^)

9.已知集合M={(x,y)|x2+2产=3},N={(x,y)|y=/nr+h}，若对所有的meR,均有

N#。,则人的取值范围是

Ar瓜瓜、B(瓜娓、「262百］

A-I一一—B.(-,—-)…半苧DIZ，Z1

222233

22

10.在区间［1,5］和［2,4］分别取一个数，记为a,b,则方程同+方=1表示焦点在x轴上

且离心率小于正的椭圆的概率为

2

1151731

A.-B.—c.—D.

2323232

二、填空题

22

11.椭圆，+方=1(。>心0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是

Fi，尸2.若|AQ|，尸尸2|，尸闰成等比数列，则此椭圆的离心率为.

12.椭圆了+方=1的左焦点为F,直线与椭圆相交于A、B.当AFAB

的周长最大时，△雨8的面积是.

13.已知Q(—1,0),尸2(1,0)为椭圆5+方=1的两个焦点，若椭圆上一点P

­►—>

满足|PFi|+|P&|=4,则椭圆的离心率e=.

14.直线1：x—y=0与椭圆5+y2=l相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积

的最大值为.

15.已知尸2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且NQP尸2=?则椭圆

和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.

三、解答题

16.如图，点人(一c,0),B(c,0)分别是椭圆C：a+救=1(4>6>0)的左、右焦点，经过Fi作

X轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点尸2作直线PF2的垂线交直

〃2

线X=］于点Q.

(1)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程；

(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.

17.设椭圆C：a+方=l(a>Q0)过点(0,4),离心率为1.

(1)求C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为54的直线被C所截线段的中点坐标.

18.设椭圆C：捻+1=1(。>6>0)的右焦点为凡过F的直线/与椭圆C相交于A,8两点,

—>—>

直线/的倾斜角为60。，AF=2FB.

(1)求椭圆C的离心率；(2)如果依8|=中，求椭圆C的方程.

19.已知两圆G：f+/-2x=(),G：(%++V=4的圆心分别为G,G，P为一个动点，且

\PCi\+\PC2\=2^2.

(1)求动点P的轨迹M的方程；

(2)是否存在过点A(2,0)的直线/与轨迹M交于不同的两点C、D,使得|CCHGDI?若

存在,求直线/的方程;若不存在,请说明理由.

22

20.如图.已知椭圆与+与=1(。>8>0)的长轴为AB,过点B的直线/与x轴垂直椭圆的离

CTb~

n

心率e=2^_,F为椭圆的左焦点且A6•耳8=1.

(1)求椭圆的标准方程；

⑵设P是椭圆上异于A、B的任意一点,PH_Lx轴,H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ.

连接AQ并延长交直线/于点M.N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的

位置关系.

Y9

21.已知椭圆C的方程为*+=l(a>b>0),点4B分别为其左、右顶点，点6、鸟分别

a~5

为其左、右焦点，以点A为圆心,AF,为半径作圆A;以点B为圆心为半径作圆8;若直

线/：y=-坐x被圆A和圆8截得的弦长之比为史；

36

(1)求椭圆。的离心率；

(2)己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆8截得的弦长之比

为巳;若存在，请.求出所有的P点坐标;若不存在,请说明理由.

4

数学假期作业（二）.....双曲线专题

一、选择题

1.已知△ABC中，B、C是两个定点，并且sinB—sinC=gsinA,则顶点A的轨迹方程是（）

A.双曲线B.椭圆

C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分

2.双曲线£—y2=l（n>l）的两个焦点为F"F”P在双曲线上，且满足|PFI|+|PF2|=2折二，

则APFF2的面积为（）

A.1B.lC.2D.4

3.设双曲线在一£=1与一不+S=l（a>0,b>0）的离心率分别为ei，e2，则当a,b在变化时，

dDdD

ei2+e22的最小值是（）

A.2B.4啦C.2吸D.4

4.设Fi、F2分别为双曲线系一§=l（a>0,b>0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满

足|PF2|=|BF2l，且F2到直线PB的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.3xi4y=0B.3xi5y=0C.4x±3y=0D.5x±4y=0

5.已知双曲线的渐近线为焦点坐标为（-4,0）,（4,0）,则双曲线方程为（）

x2_j222

A.1B.1上1啮弋=1D.:1

「12824

6.若双曲线过点⑺，〃）（加>〃>0）,且渐近线方程为则双曲线的焦点（）

A.在无轴上B.在y轴上

C.在x轴或y轴上D.无法判断是否在坐标轴上

7.已知根是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线d+\=l的离心率为（）

A坐或坐B.fC.y[5D坐或邓

8.如图，中心均为原点。的双曲线与椭圆有公共焦点，M,N是双曲线的两顶点.若M,0,

N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）

A.3B.2C.小D.A/2

9.已知P是双曲线:一g=l（a>0,心0）上的点，R,巳是其焦点，双曲

、5,•

线的离心率是本且若△尸尸内的面积为9,则〃+人的值为（）

A.5B.6C.7D.8

10.平面内有一固定线段A3,|A3|=4,动点尸满足照|一|尸3|=3,。为A3中点，则|OP|的最

小值为（）

3

A.3B.2C，2D・1

二、填空题：

-2

11.直线x=2与双曲线C：j-/=l的渐近线交于E”员两点，记OE；=e"OE2=e2,任

取双曲线C上的点P,若力户=%+加2,则实数。和匕满足的一个等式是.

12.P为双曲线x2—g=l右支上一点,M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（X—4）2+y2=l上的点，

则|PM|一|PN|的最大值为.

13.Fi，&分别为双曲线:一%>0）的左，右焦点，过点巳作此双曲线一条渐近

线的垂线，垂足为M,满足|应听|=3|"尺|,则此双曲线的渐近线方程为.

o22

14.过双曲线宏一方=l（a>0,Q0）的左焦点尸作圆/+y2=，的切线，切点为E,延长产£

交双曲线右支于点P,若E为尸产的中点，则双曲线的离心率为.

22

15.已知双曲线.一方=1（41,Q0）的焦距为2c,直线/过点（a,0）和（0,b）,点（1,0）到直线

4

/的距离与点（一1,0）到直线I的距离之和.它不，则双曲线的离心率e的取值范围为

o2

16.如图，Fi，尸2分别是双曲线C：乐一g=1（a，Q0）的左、右焦点，B是

虚轴的端点，直线与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段尸。的

垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|FIB|,则C的离心率是_*_____.

17.点P是以Fi，F2为焦点的双曲线E：q—$=l（a>0,b>0）上的一点，已

知I为坐标原点.过点作直线分别与双曲线两渐近线相交于I

PFJPF2,|PF|=2|PF2|,OPP,P2

两点，且0P「0P2=—%2PP,+PP2=0,则双曲线E的方程为一..

三、解答题

18.平面内与两定点Ai(—a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加

上A1、A?两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.求曲线C的方程，并讨论C的形状与

m值的关系.

19.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(小，0).

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线/：y="+也与双曲线C恒有两个不同的交点4和B,且而•丽>2(其中O

为原点)，求&的取值范围.

20.设A,B分别为双曲线、一b=l(a>0,b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4小，焦

点到渐近线的距离为小.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线>=冬-2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点£>,

使。而+0N=r0。，求[的值及点。的坐标.

21.如图，P是以尸|、巳为焦点的双曲线C：/*=1上的一点，

已知PVrP尸2=0,且|产"i|=2|P尸2|.

(1)求双曲线的离心率e；

(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P2两点，

■"27

若OPOP2=一于2PPt+PP2=0.求双曲线C的方程.

22.已知双曲线去一方=1(6>a>0)，O为坐标原点，离心率e—2,点M郃,

小)在双曲线上.

(1)求双曲线的方程；

,,11

(2)若直线I与双曲线交于P,。两点,且OP-OQ=0・求万叶+]5所

的值.

数学假期作业（三）抛物线专题

1.抛物线y=4/的焦点坐标为

A.(0,—)B.(-------,0)C.(1,0)D.(0,1)

1616

2过抛物线=一”的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A,B在直线x=1上的射影分

别是M,N,则ZMFN=

A.45°B.60°C.90°D.以上都不对

3.已知抛物线C：V=8x的焦点为产，准线与x轴的交点为K,点A在。上且

\AK\^y/2\AF\,则AA收的面积为

（A）4（B）8(C)16(D)32

4.设斜率为2的直线/过抛物线（a*0）的焦点F,且和y轴交于点A,若尸（0为坐

标原点）的面积为4,则抛物线方程为

A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2~4xD.y2=8x

5.已知直线丁=攵（》+2）（女>0）与抛物线C:/=8%相交小B两点，F为C的焦点。若

|E4|=2|E.,则公

1R叵

A.-D.--------u|

33。考

6.已知抛物线C的方程为f>,过点A（0,-1）和点B（t,3）的直线与抛物线C没有公共点,

2

则实数/的取值范围是

A.(-00,-1)U(1,+»)

22

7

C.oo,—2V2jlj(2A/2,4-OOjD.(-oo,—-HX))

7.已知圆的方程J?+y2=4,若抛物线过定点A（0,l）sB（0,-1）且以该圆的切线为

准线，则抛物线焦点的轨迹方程是

2222

A.（+亍=l（y，0）B.1-——=l(y00)

43"

22x2y2

C.---F--=1（XW0）D.—+、=1（尤。。）

344

X2

8.已知双曲线G:~~=1(。>(),/?>0)的左、右焦点分别为£、F,抛物线C2的顶点

ci~'V2

在原点，它的准线与双曲线G的左准线重合，若双曲线G与抛物线c2的交点p满足

则双曲线G的离心率为

PF2IF,F2,

A.而B.小J3D.2m

1,17

9.已知P为抛物线y=上的动点，点p在*轴上的射影为比点A的坐标是（6,三），则

伊^+归囱的最小值是

A.8B.—C.10D.—

22

10.设抛物线y2=2x的焦点为凡过点0)的直线与抛物线相交于48两点，与抛物

线的准线相交于c,尸1=2,则A叱与△力少的面积之比也丝■二

S^CF

A4n2八4n1

A.-B.-C.-D.一

5372

二.填空题：

11.已知直线4:4x—3y+6=0和直线，2：%=一1，抛物线J/=4元上一动点P到直线4和直

线Z,的距离之和的最小值是

11

12.过抛物线V=4x的焦点厂的直线交抛物线于48两点，则司+西

13.过抛物线f=2py(p>0)的焦点?作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点

(A在y轴左侧)，则一:=_______.

FB\

14.已知抛物线y=Qc2-i的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三

角形面积为.

15.设已知抛物线。的顶点在坐标原点，焦点为网1,0),直线/与抛物线C相交于A,8两点。

若4?的中点为(2,2),则直线/的方程为.

16.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点厂作倾斜角为45的直线交抛物线于1、8两点,若线段

48的长为8,则〃=

17.已知抛物线>=一/+3上存在关于直线x+y=o对称的相异两点A、B,贝可A耳等于

三.解答题：

18.(1)抛物线的顶点在原点，焦点在射线x—y+1=0(x20)上求抛物线的标准方程;

(2)求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(5,0)的双曲线标准方程，

并求此双曲线的离心率.

19.若48是抛物线/=4x上的不同两点，弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与

x轴相交于点P,则称弦丝是点。的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P(%0)

存在无穷多条“相关弦”.证明：点一(4,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同;

20.如图，倾斜角为a的直线经过抛物线/=心的焦点F,且与抛物线交于4、6两点。

(I)求抛物线的焦点下的坐标及准线/的方程；

(H)若a为锐角，作线段46的垂直平分线而交x轴于点只证明|FP|

-|FP|cos2a为定值,并求此定值。

21.如图，已知点尸（1,0）,直线上年-1,P为平面上的动点，过一作，的垂线，垂足为点Q,

S.OP•OF=FPFQ

（I）求动点夕的轨迹。的方程；

（II）过点尸的直线交轨迹C于48两点，交直线/于点也

（1）已知应石;而岸=入2诉求％+九2的值；

⑵求|砺|•|布|的最小值.

22.如图，设抛物线方程为42中（p>0）,M为直线尸-2p上任意一点，过Z引抛物线的切线,

切点分别为4B.

（I）求证：A,M,8三点的横坐标成等差数列；

（II）已知当材点的坐标为（2,-2p）时，|AB|=4ji5,求此时抛物线的方程；

数学假期作业四

一、选择题（本题10小题,每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）

1.下列命题是真命题的为（

A.若」=1,则x=y

B.若X?=1,则X=1

x

C.若Xy，则=D.若y,则x2

下列曲线中离心率为手的是（

2.

2

2.V

A.—匕=1B.

2144

7

X-Z=1

C.—■D.—1

46410

3.直线y=X+l与圆V+y2=i的位置关系为（）

A.相切B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心D.相离

4.执行如图1所示的程序框图，如果输入的re[-2,2],则输出的s属于（）

A.[-6,-2]B.[-5,-1]c.[-4,5]D.[-3,6]

5.设斜率为2的直线/过抛物线丁=以伍工0）的焦点F,且和y轴交于点A,若

\OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（）.

A.y2=±4尤B.y2=±8xC.y1-4xD.y2-8x

22,

e.已知椭圆卞■+/■=1（。〉。>0）的左、右焦点为6,鸟，离心率为号，过6的直线/

交C于A8两点，若A4E3的周长为4百，则C的方程为（)

22222

xy1x21y1

A.---1-------=1B.---Fy=1C.---=1D.“一1

323-128124

2„2

7.双曲线L—2-=1的渐近线与圆（x—3）2+y2=72”＞0）相切,则r=()

63

A.V3B.2C.3D.6

8.设耳、工分别为双曲线与=1（。＞0,人＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P

a~b~

使得|P£|+|P居|=3b,|P耳|・|Pg|=9jm，则该双曲线的离心率为（）

459

A.-B.-C.-D.3

334

9.已知直线4:4x—3y+6=0和直线，2：X=T，抛物线丁=4x上一动点尸到直线人和直

线4的距离之和的最小值是（）

1137

A.2B.3C.—D.—

516

10.乙43。的顶点4（一5,0）,8（5,0）,小43。的内切圆圆心在直线兀=3上，则顶点C的轨迹

方程是（）

222222

—Xy~1

B.-------=1C.-2-=l(x>3)D.---二=l(x〉4)

916169916169

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若则a。？W/JC?,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数

是.

22

12.椭圆]+与=1的焦点为耳,耳，点P在椭圆上，若|P耳|=4,则8的大小为一

13.过抛物线y2=2px（p〉0）的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线

段AB的长为8,则p=.

14.在平面直角坐标系中，。为原点，A（-l,0）,8（0,G）,C（3,0）,动点。满足「4=1,则

+OB+OD\的最大值是.

15.如图，在平面直角坐标系my中，4,&,稣约为椭圆o

?+、=1（以〉人〉0）的四个顶点，尸为其右焦点，直线a员与直线

3/相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则代O/F

该椭圆的离心率为.

16.已知点尸是双曲线《一《•=1（。>0/>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点,过F

a~b

且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,3两点，若AABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e

的取值范围是.

cU

17.已知动点P（X'N）在椭圆2516上，E为椭圆0的右焦点，若点M满足用=1

且MP・=0,则IPMI的最小值为.

三.解答题：

18.（本题12分）已知命题P:函数y=log〃（l-2幻在定义域上单调递增；命题Q:不等式

[a-2）/+2（。-2）%-4<0对任意实数x恒成立.若PvQ是真命题，求实数a的取值范围.

19.（本题12分）是否存在同时满足下列两条件的直线/：（1）/与抛物线V=8x有两个不

同的交点A和3；（2）线段AB被直线//尤+5y—5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若

存在，求出直线/的方程.

20.（本题13分）已知椭圆。：/+2丁=4.

（1）求椭圆。的离心率；

（2）设。为原点，若点A在直线y=2上，点8在椭圆C上，且04,08,求线段A3长度

的最小值.

XV

21.（本题14分）尸（与，方）*：。0±。）是双曲线后：—T——y=1（。>°，。〉°）上一点，M,

a~b~

N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为

5

⑴求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点,0为坐标原点，C为双

曲线上一点，满足=2（55+51,求X的值.

22.（本题14分）如图7,。为坐标原点，椭圆G：=+与=1（4>>>0）的左右焦点分

矿b-

77

别为耳居，离心率为6；双曲线。2巨-与=1（。>6>0）的左右焦点分别为K，6,离

ab

心率为e2,已知的2=等,且率周=6-1.

（1）求CyG的方程；

（2）过百作G的不垂直于y轴的弦为AB的中点，当直线与G交于RQ

两点时，求四边形APBQ面积的最小值.

数学假期作业五

一、选择题

1.下面几种推理过程是演绎推理的是（）

A.某校高三有8个班，1班有51人,2班有53人,3班有52人，由此推测各班人数都超过50人;

B.由三角形的性质，推测空间四面体的性质；

C.平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

D.在数列5“｝中，4=]4,=1（。,+_L）,由此归纳出｛/｝的通项公式.

2.〃?=—1是直线/nr+(2〃z—l)y+1=0和3x+my+3=0垂直的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要.

3.有关下列命题的说法正确的是()

A.命题“若x2=l,则x=l”的否命题为:若'"2=1则xWl”

B.“x=—1”是“f—5x—6=0”的必要不充分条件

C.命题JxGR,使得x'+x+kO”的否定是：“VxGR,均有x'+x+kO”

D.命题“若x=y,则sinx=siny"的逆否命题为真命题

4.已知A(O,-1),8(0,1)两点，AABC的周长为6,则A48C的顶点C的轨迹方程是()

v-222，2112

A.亍+玄v=l(xx±2)B.^v-+y=l(y*±2)C.亍+\=l(xxO)D.宁+太=l(yrO)

5.己知以F,(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+百y+4=0有且仅有一个交点，则

椭圆的长轴长为()

A.2"B.3&C.4忘D.277

6.“x+y/3"是"xHl或y/2”的()条件.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

7.已知a,beR,S.ab＜0,则()

A.卜+4〉,一耳B.1+C.,一同＜同一网D.—q＜同+同

8.从椭圆W+2^=i(a＞/,＞o)上一点p向x轴作垂线，垂足恰为左焦点片，A是椭圆与x轴

正半轴的交点，3是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//QP(。是坐标原点)，则该桶圆的

离心率是()

V2172V3

A.---B.-C.---D.---

4222

9.如右图，已知A、B、C、D分别为过抛物线V=4x的焦点F的直线/与该抛物线和圆

(x—iy+V=1的交点，若直线/的倾斜角为45°,则IABI+ICQI等于

10.已知p是「的充分条件而不是必要条件，乡是r的充分条件，s是r的必要条件，4是s

的必要条件。现有下列命题：①s是4的充要条件；②〃是q的充分条件而不是必要条件；

③r是q的必要条件而不是充分条件；④可是「s的必要条件而不是充分条件；⑤/•是s的充

分条件而不是必要条件，则正确命题序号是()

A.①©©C.②③⑤D.②④⑤

二、填空题

11.若点M(X,y)满足“2+(y-3)2+J，+(y+3)2=10,则点M的轨迹方程为_.

12.若方程£匕=1表示双曲线，则实数人的取值范围是.

1+k1-k

13.椭圆0+乌=1(。＞方＞0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是.若娟，