人教版数学九年级上册第8讲 与圆有关的位置关系及计算满分练习题（含解析）

第8讲与圆有关的位置关系及计算

「点与圆的位置关系

直线和圆的位置关系

与圆有关的位置关系及计算

切线的判定与性质

弧长和扇形面积

知识点1点和圆的位置关系

点与圆的位置关系共有三种：圆内，圆上，圆外。

设点到圆心的距离为d,半径为r,

当d〈r时，点在圆内；

当d=i"时，点在圆上；

当d>i•时，点在圆外。

【典例】

1.在平面直角坐标系xOy中，若点P(3,4)在。0内，则。O的半径r的取值范围是

【答案】r>5

【解析】解：I•点P的坐标为(3,4),

,'•OP=732+42=5,

•.•点P(3,4)在。0内，

；.OP<r,即r>5.

2.如图，王大伯家屋后有一块长12m、宽8m的长方形空地，他在以较长边BC为直径的半

圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最

长不超过

【答案】4m

【解析】解：连接0A,交OO于E点,

在RtZkOAB中，OB=6m,BA=8m,

所以OA={B（）2+AB2=]Om；

又因为OE=OB=6m,

所以AE=OA-OE=4m.

因此拴羊的绳长最长不超过4m.

3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点，且AELBE,则线段

CE的最小值为

【答案】2^/10-2

【解析】解：如图,

VAE1BE,.•.点E在以AB为直径的半。O上，

连接CO交。O于点E',

当点E位于点E位置时，线段CE取得最小值,

AB=4,.*.OA=OB=OE,=2,

•BC=6,.*•BQg2-yjg2g2=2

+Q+VTQ,

贝I」CEr=OC-OE^VlO-2

【方法总结】

在判定点与圆的位置关系时，先要确定两在要素:

1、点与圆心的距离

2、圆的半径

然后，通过两者的大小关系来判定点与圆的位置关系。

【随堂练习】

1.（2018秋•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，C（0,4）,4（3,0）,半径为2,P

为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（）

A.1B.-C.2D.&

2

.CE=EP,CH=AH,

:.EH=~PA=1,

2

・・•点E的运动轨迹是以“为圆心半径为1的圆,

,.•C(0,4),4(3,0)，

”(1.5,2),

:.OH=V22+1.52=2.5,

.•.O£'的最小值一即=2.5=1=1.5,

故选：B.

二.填空题（共1小题）

2.（2019•恩施市二模）如图，在RtAABC中，ZABC=9O°,AB=4,BC=3,点。是半

7

径为2的。A上一动点，点〃是8的中点“则加的最大值是一万

A,I

BC

【解答】解：如图，取AC的中点N,连接MN,BN.

vZABC=90°,AB=4,BC=3,

/.AC=yJi2+42=5,

,;AN=NC,

:.BN=-AC=~,

22

•;AN=NC,DM=MC,

:.MN=-AD=\,

2

:.BM,、BN+NM,

2

7

BM,,-,

7

.•.3例的最大值为

2

三.解答题（共3小题）

3.（2018•韶关一模）如图，N8AC的平分线交AA8C的外接圆于点。，交8C于点/，ZABC

的平分线交AO于点E.

（1）求证：DE=DB:

（2）若44c=90。，BD=4,求AA5c外接圆的半径;

（3）若30=6,DF=4,求4）的长

D

【解答】（1）证明：平分N8AC,BE平分ZABD,

•.Z1=Z2,Z3=Z4,

二ZfiED=N1+N3=N2+N4=Z5+N4=ZDBE,

/.DB=DE；

(2)解：连接CD,如图,

•/ABAC=90°,

・•・3C为直径，

..NBDC=90。,

•・・N1=N2,

:.DB=BCf

.•.AD5C为等腰直角三角形,

.・.BC=y/2BD=4y/2f

MBC外接圆的半径为2&；

⑶解：・・・N5=N2=4ZFDB=ZBDA,

：2BFs^ADB,

些=空，即9d

DADBAD6

4.（2019•武汉模拟）如图，在等腰AA8C中，AB=AC,4）是中线，E1为边AC的中点,

过5,D,E三点的OO交AC于另一点尸，连接班

(1)求证：BF=BC;

(2)若BC=4,AO=4G，求OO的直径.

【解答】解：（1）如图1,连接班.

・・•在等腰AABC中，AB=AC,A£＞是中线，

/.AD±BC,

・・・E为边AC的中点，

：.DE=-AC=AE=CE,DE//AB,

2

ZC=ZEDC

・・・/DEC与/FBC所对的弧均为DF,

:.ZDEC=ZFBC，

在ABCF与AECD中,

ZDEC=/FBC,ZBCF=ZECD,

.\ZBFC=ZEDC，

・・・NC=NEDC

:"BFC=NC,

，BF=BC;

（2）如图2,设4）交OO于点M,连接EM.

vZADB=90°,即3M为直径，

.\ZBFM=9O09

/.ZAfM4-ZBFC=90°,

・・・ND4C+NC=90。，NC=BFC,

ZAFM=ZDAC,

:.MA=MF,

T§1MA=MF=X,则。M=46-X，

DM2+BD2=BF1+MF'=BM',

DM2+BD2=BF2+MF2

即（4百-x）2+22=42+x2,

5.(2019•河北模拟)如图是一块含30。(即NC4B=30。)角的三角板和一个量角器拼在一起，

三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始

(即N点的读数为0),现有射线CP绕着点C从C4顺时针以每秒2度的速度旋转到与

AACB外接圆相切为止.在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E.

(1)当射线CP与A48C的外接圆相切时，求射线CP旋转度数是多少？

(2)当射线C尸分别经过AABC的外心、内心时，点E处的读数分别是多少？

(3)当旋转7.5秒时，连接BE,求证：BE=CE.

A(M)

【解答】(1)解：连接OC.

射线C尸与A48C的外接圆相切,

.­.ZOCP=90°,

-.-OA=OC,

:.ZACO=ZA=30°,

射线CP旋转度数是120°；

⑵解：-.-ZBC4=90°,

的外接圆就是量角器所在的圆.

当CP过AABC外心时(即过O点)，ZBCE=60°,

:.ZBOE=120°,即£处的读数为120,

当CP过AABC的内心时，ZBCE=45°,ZEOB=90°,

处的读数为90.

(3)证明：在图2中，

•.•ZPC4=2x7.5°=15°,ZBCE=75°,ZECA=ZEBA=15°,

NEBC=NEBA+ZABC=NBCE=75°,

:.BE=EC.

知识点2直线和圆位置关系

直线和圆的三种位置关系：

(1)相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交.

(2)相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切.这条直线叫做圆的切线，公共

点叫做切点.

(3)相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离.

【典例】

1.已知圆的半径为4,一直线上有一点与此圆的圆心距离为5,则直线与圆的位置关系为

【答案】相离、相切、相交均有可能

【解析】解：直线上有一点与此圆的圆心距离为5,

则圆心到直线的距离可能大于4或等于4或小于4,

所以直线与圆可能相离，可能相切，也可能相交.

2.已知NBAC=45。，一动点O在射线AB上运动(点0与点A不重合)，设OA=x,如果半

径为1的。0与射线AC有公共点，那么x的取值范围是

【答案】0<x<V2

【解析】解：

VZA=45°,ZODA=90°,OD=L

.".AD=OD=1,

由勾股定理得：AO=&,即此时x=JE，

所以当半径为1的。0与射线AC有公共点，x的取值范围是0<x4亚

3.如图，点A,B,C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1,过A,O,C作。D,E是0D上任意

一点，连结CE,BE,则CE2+BE2的最大值是

【答案】6

【解析】解：连接AC,DE,如图,

ZAOC=90°,，AC为。D的直径，

.,.点D在AC上，

VAO=BO=CO=1,

AA(0,1),B(-1,0),C(1,0),AC=近,D(L1)，

22

设E(m,n),

*/EB2+EC2=(m-1)2+n2+(m+1)2+n2

=2(m2+n2)+2,

而irf+M表示E点到原点的距离，

・••当OE为直径时，E点到原点的距离最大，

VOD为平分NAOC,

/.m=n,

•；DE」AC=返，

22_

Z.(m-1)2+(n-l)2=(返)2,

222

即m2+n2=m+n

m=n=l,

・・・此时EB2+EC6(m2+n2)+2=2(1+1)+2=6,

即CE2+BE2的最大值是6.

【方法总结】

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化

为直线和点(圆心)的位置关系.下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心

的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径.

一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：

如果。。的半径为r,圆心O到直线/的距离为d,那么，

(1)d<rO直线/与相交；

(2)d=r=直线/与。0相切；

(3)d>rQ直线/与OO相离.

【随堂练习】

1.(2018•湖北)如图，在O。中，为直径，AC为弦.过8c延长线上一点G,作

于点O,交AC于点£,交0O于点尸，M是GE的中点，连接CF,CM.

(1)判断CM与OO的位置关系，并说明理由；

(2)若NECF=2ZA,CM=6,CF=4,求MF的长.

【解答】解：(1)C团与相切.理由如下:

连接OC,如图，

•.•6。_1_49于点。，

.­.ZG+ZGBD=90°,

•••/W为直径，

:.ZACB=9O0,

点为GE的中点,

:.MC=MG=ME,

.-.ZG=Z1,

.OB=OC,

/.ZB=Z2,

.・.N1+N2=9O。，

/.ZOCM=90°,

:.OC±CM，

二.CM为OO的切线；

(2)・.・N1+N3+N4=9O。，Z5+Z3+Z4=90°,

/.Z1=Z5,

而N1=NG,N5=NA,

.\ZG=ZAf

・.・N4=2NA,

.\Z4=2ZG,

而Z£MC=ZG+Z1=2ZG,

.・.N£MC=N4,

而NFEC=NCEM,

:.tsEFCs/SECM，

EFCECFnnEFCE4

CEMECMCE66

Q

.・.CE=4,EF=-,

3

Q1()

:.MF=ME-EF=6——=—.

33

2.(2018•抚顺)如图，RtAABC中，ZABC=90°,以A3为直径作。0,点。为G)O上一

点，且CD=CB,连接£>O并延长交C8的延长线于点E.

(1)判断直线CD与。0的位置关系，并说明理由；

(2)若BE=4,DE=8,求AC的长.

•;CB=CD,CO=CO,OB=OD,

三AOCD,

.・.ZODC=/OBC=90°,

:.OD±DC,

・•.OC是G)o的切线.

(2)解：设OO的半径为r.

在Rt^OBE中，\OE2=EB2+OB2,

(8-r)2=r2+42,

.r=3,

“OBCD

*.*tanNE==,

EBDE

3CD

—=,

48

/.CD=BC=6,

在RtAABC中，AC=JAB2+BC2=，62+62=6五.

3.(2018•天桥区二模)如图，在AABC中，ZC=90°,N84C的平分线交BC于点。，点O

在4?上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点。，分别交AC、AB于点E、F.

(1)试判断直线3。与OO的位置关系，并说明理由;

(2)若BD=26BF=2,求OO的半径.

瓦D

NOAD=NODA,

•.•4）平分NC48,

ZOAD=ZCAD,

:.ZODA=ZCAD,

:.OD//AC,

•.•ZC=90°,

.-.ZODB=90°,即O£>_L8C,

•.•8为半径,

・•.线BC与OO的位置关系是相切;

（2）设的半径为R,

则OE>=OP=R,

在RtABDO中，由勾股定理得：OB2=BD2+OD1,

即（R+2）2=（2Gy+R2,

解得：R=2,

即。。的半径是2.

4.（2017•阿坝州）如图，在A4BC中，NC=90。，点O在AC上，以Q4为半径的O。交4?

于点。，5。的垂直平分线交3c于点E,交BD于点F,连接DE.

(1)判断直线板与OO的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=6,8c=8,04=2,求线段DE的长.

连接8,

-.OD=OA,

:.ZA=Z.ODA,

•.•E/是的垂直平分线，

EB-ED,

.,.ZB=ZEDB,

•/ZC=90°,

/.ZA+ZB=90°,

.・.NODA+NEDB=90。,

ZODE=180°-90°=90°,

.•.直线上与OO相切；

(2)连接OE,

设。E=x,则EB=EO=x,CE=8-x,

-.•ZC=ZODE=90°,

OC2+CE2=OE2=OD2+DE2,

42+(8-x)2=22+x2,

解得：x=4.75,

贝ijDE=4.75.

知识点3切线的性质及判定定理

1.切线：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点

叫做切点。

2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直。

3.切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。

注意：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂

直，缺一不可。

4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

5.切线长定理推论：

1、圆的外切四边形的两组对边的和相等;

如图，ABCD为圆O的外切四边形，VAL=AP,BL=BM,CM=CN,DN=DP,故：

AB+CD=AD+BC,即有以上结论。

2、外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

【典例】

1.如图，ZABC=80°,O为射线BC上一点，以点O为圆心，—0B长为半径作。0,要使

2

射线BA与。O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转

①当BA，与。O相切，且BA，位于BC上方时，设切点为P,连接OP,则/OPB=90。；

RSOPB中，OB=2OP,

.,.ZA(BO=30°；

/ABA，=50。；

②当BA，与。O相切，且BA，位于BC下方时；

同①，可求得NA，BO=30。；

此时NABA'=80°+30°=l10。；

故旋转角a的度数为50。或110°,

2.如图，。0］的半径为1,正方形ABCD的边长为4,点为正方形ABCD的中心，0,02

LCD于点P,OQ2=5.现将。OI绕点P按顺时针方向旋转180。，则在旋转过程中，

与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现次？

【解析】解：的半径为1，正方形ABCD的边长为4,点02为正方形ABCD的中心,

OiCh垂直CD于P点，

圆Oi与以P为圆心，以2为半径的圆相外切，

...根据图形得出有3次.

3.如图，(DO的半径0C=5cm,直线1_LOC,垂足为H,且I交。0于A、B两点，AB=8cm,

则1沿0C所在直线平移后与。0相切，则平移的距离是:

【答案】2cm或8cm

【解析】解：如图，连接OB,

在RtABOH中，OB=OC=5,

AOH=VOB2-BH2=3,

又•.•将直线1通过平移使直线1与。0相切，

•••直线1垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点,

.•.当向下平移时，直线1平移的距离=5-3=2(cm)；

当向上平移时，直线1平移的距离=5+3=8(cm).

综上：平移的距离是2cm或8cm。

【方法总结】

1、在遇有圆的切线问题时，经常添加过切点的半径作为辅助线。

2、遇有圆的直径时，通常在圆周上另找一点，从这一点分别向直径的两个端点连结线段，

来构造一个直角三角形。

4.如图，在AABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分NABC交AE于点M,经过B、

M两点的。。交BC于点G,交AB于点F,FB恰为。。的直径.

判断AE与OO的位置关系，并说明理由。

【解析】证：AE与。0相切.

理由如下：

连接0M,则OM=OB,.\ZOMB=ZOBM.

；BM平分NABC,.\ZOBM=ZEBM.

.\ZOMB=ZEBM.，OM〃BC.

，ZAMO=ZAEB.

在AABC中，AB=AC,AE是角平分线，

AAE1BC.AZAEB=90°.

.\ZAMO=90°.AOMIAE.

；.AE与。O相切；

5.如图，在。O中，AB为直径，AC为弦.过BC延长线上一点G,作GDLAO于点D,

交AC于点E,交00于点F,M是GE的中点，连接CF,CM,判断CM与。0的位置关系,

并说明理由.

【解析】解：CM与。0相切.理由如下:

连接OC,如图,

VGDIAO于点D,ZG+ZGBD=90°,

；AB为直径，.*.ZACB=90°.

VM点为GE的中点,

；.MC=MG=ME,AZG=Z1,

VOB=OC,/.ZB=Z2,

二N1+Z2=90°,ZOCM=90°,

AOCICM,，CM为。。的切线；

6.如图所示，AB为。。的直径，AD平分NCAB,AC±CD,垂足为C.

(1)判断CD与。O的位置关系，并说明理由：

(2)求证：ZCDA=ZAED.

【解析】证明：(1)CD是。O的切线,

如图，连接OD,

VOA=OD,.\ZODA=ZOAD,

；AD平分/CAB,/.ZOAD=ZCAD,

NODA=NCAD,

：AC_LCD,即NCAD+/CDA=90。，/.ZODA+ZCDA=90°,

A0D1CD,即CD是。。的切线；

(2)连接BD,

：AB为直径，.*.ZADB=90°,

.•.ZB+ZBAD=90°,ZB=ZAED,

.,.ZAED+ZBAD=90°,

ZCDA+ZCAD=90°,ZCAD=ZBAD,

NCDA=NAED.

【方法总结】

在证明圆的切线问题中，主要有两种题型：

1、知半径，证垂直

2、知垂直，证半径

解决切线相关问题的技巧

①注意利用切线长定理进行线段转换。

②注意利用切线长定理的推论进行角度转换。

③见切线连半径是处理切线问题的“通法

【随堂练习】

1.(2019•莆田模拟)如图，。为正方形ABCD对角线上一点，以。为圆心，OA

长为半径的0O与8c相切于点M.

(1)求证：CO与相切.

(2)若正方形ABC。的边长为1,求OO的半径.

D

【解答】证明：(1)连。M,过。作ON_LCD于N；

•.・。。与BC相切，

:.OM±BC,

•.•四边形A8CD是正方形,

AC平分N3CD,

:.OM=ON,

・•.CD与07相切.

解：（2）•.•四边形ABCD为正方形，

.•.AB=C£>=1,NB=90°,ZACD=45°,

:.AC=yf2,ZMOC=NMCO=45。,

..MC^OM^OA,

:.OC=>]OM2+MC2=叵ON=y/2OA；

又•UQ4+0C,

/.OA+V2OA=5/2,

OA=2-5/2.

2.(2018•秦淮区二模)如图，在A4BC中，AB=AC,以AS为直径作O。，分别交AC、

BC于点、D、E,点F在AC的延长线上，且N4=2NCM.

(1)求证：8尸与OO相切.

(2)若BC=CF=4,求质的长度.

【解答】(1)证明：连接AE,如图,

•「AB为直径，

/.ZAEB=90°,

/.AE±BC,

\AB=AC,

:.BE=CE,AE*平分NBA。，

.*.Z1=Z2,

•/ZBAC=2Z4,

.*.Z1=Z4,

VZ14-Z3=90°,

.•.N3+N4=90。，

s.ABLBF,

.•.5尸与。。相切；

(2)解：・.・BC=CF=4,

.\ZF=Z4,

ffi]ZBAC=2Z4,

ZBAC=2ZF,

ZF=30°,ZS4C=60°,

.•.AABC为等边三角形，

.・.AB=AC=4,

...BF=\/AF2-AB2=A/82-42=4y/3.

3.(2017•泉州模拟)如图，已知点。在GX＞的直径A8延长线上，点。为O。上，

过。作与AC的延长线相交于E,且C£)=DE.

(1)求证：CO为G©的切线；

(2)若AB=12,且8C=C£时，求8。的长.

【解答】（1）证明：连结0C,

•.■A3为直径，

:.ZACB^90°,

48+NECO=90°,

在RtAADE和RtAABC中，ZE=90°-ZA,ZABC=9Q°-ZA,

:.NE=ZABC,

•;OB=OC,

ZABC=ZOCB,

：.ZE=ZOCB,

又YCDUDE,

:"E=NECD,

:.ZOCB=ZECD,

..ZOCB+ZBCD=90°,

即OC1CD,

.•.co为GX＞的切线；

(2)解：由(1)知：/BCD=ZA,ZACB=NBCE=90°,

：.ZOBC=ZDCE,

•;OB=OC,CD=DE,

ZOBC=ZOCB=/DCE=NE,

NOBC=ZDCE

在AOBC和ADCE中■3C=CE,

NOCB=NE

.♦.△OBCwADCE(ASX),

/.OC-CD=6，

RtAOCD中，OC=CD=6,ZOCD=9Q°,

OD=65/2,

即80=0。-03=6&-6.

4.(2017•益阳)如图，AB是的直径，C是上一点，。在的延长线上，且

ZBCD=ZA.

(1)求证：8是OO的切线；

(2)若OO的半径为3,8=4,求3。的长.

【解答】(1)证明：如图，连接OC.

43是G)O的直径，C是OO上一点，

.■.ZACB=90°,BPZACO+Z.OCB=9QP.

-.-OA=OC,ZBCD=ZA,

:.ZACO=ZA=ZBCD,

ZBCD+ZOCB=90°,即ZOCD=90°,

.•.CD是OO的切线.

(2)解：在RSOCD中，ZOCD=90°.OC=3,CD=4,

：.OD=y/oc2+CD2=5，

:.BD=OD-OB=5-3=2.

知识点4弧长和扇形面积

1.相关名词

弧长：在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长。

扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇

形）。

圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的

几何体叫做圆锥。

圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；

圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。

圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周

长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长.圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长x母线-2；

没展开时是一个曲面。

圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧

面展开图是扇形。

2.圆中有关计算：

（1）圆的面积公式：S=UR2＞周长C=2兀R.

（2）弧长：圆心角为n。、半径为R,,.

（3）扇形的面积：圆心角为n。，半径为R,弧长为I,

（4）弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

（5）圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R,母线长为1的圆柱的体积为.叁，侧面积

为27TR1,全面积为；-I

（6）圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R,母线长为1,高为h的圆锥的侧面积为TTRI,

全面积为二三盘，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.

【典例】

1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90。的扇形，则此扇形的面积为

【答案】［兀（m2）

2

【解析】解：如图，连接AC,

B

•.,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90。的扇形，即NABC=90。,

，AC为直径，即AC=2m,AB=BC,

VAB2+BC2=22,

AB=BC=A/2m»

阴影部分的面积是9°兀X（、历兀（m2）

【题干】如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半

径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10,则该餐盘的面积是

【答案】50K-5073

【解析】由扇形面积减去三角形面积求出弓形面积，三个弓形与一个等边三角形面积之和即

为餐盘面积.

解：该餐盘的面积为3（60兀XI0，「瓜x]02）+1x102=50兀-50«

36044

2.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为257tm2,

圆柱高为3m,圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是

【答案】（30兀+5物兀）rtf

【解析】解：设底面圆的半径为R，

则很久2571,解得R=5,

圆锥的母线长=疹百=收，

所以圆锥的侧面积=±・2兀

圆柱的侧面积=2兀・5・3=30兀,

所以需要毛毡的面积=（30兀+5&疏）m2

【方法总结】

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

需根据不同的情况作出不同的处理：

①当弓形所含弧为劣弧时，S,j=Sm-S&

②当弓形所含弧为优弧时，S产S国+SA

③当弓形所含弧为半圆时，S/-SM

2

【随堂练习】

1.（2018•南宁）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得

到的封闭图形是莱洛三角形，若43=2,则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（

）

A.兀+6B.兀-小C.2TC—5/3D.2兀-20

【解答】解：过A作AO,8c于。,

------------------------------,

:.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60P,

.AD1.BC,

:.BD=CD=1,AD=y/3BD=y/3,

.♦48。的面积为、8。*4£>=、2乂6=石，

2

60IX222

-------=—7l

莱洛三角形的面积S=3x—^--2XA/3=2n-2A/3

3

故选：D.

2.（2019•沙坪坝区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，以至为直径画弧分别交于点F,

交对角线AC于点E,若4?=4,尸为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（）

A.2^--B.273

【解答】解：如图，取他的中点O,连接OF.

••,A5是直径，

:,ZAFB=90°,

:.AF±BF,・.,CF=BF,

/.AC=AB，

••・四边形A8CD是菱形，

：.AB=BC=AC,

是等边三角形，

/.AE=EC，

易证ACEF三ABOF,

3.（2019•广阳区一模）如图，以AD为直径的半圆O经过RtAABC斜边4?的两个端点，交

直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，3。的长为色，则图中阴影部分的面积

3

为（）

【解答】解：连接班＞,BE,BO,EO,

,.BE是半圆弧的三等分点，

...ZEOA=ZEOS=NBOD=60°，

,\ZBAC=ZEBA=3Q09

:.BE/!AD,

・・•BO的长为士乃，

3

60•乃•/?_4冗

"180

解得：R=4,

ADCOS300=4A/3,

BC=-AB=2y/3,

2

AC=y/3BC=6,

SMBC=；xBCxAC=gx2>/3x6=6G>

-.ABOE和MBE同底等高，

MiOE和MBE面积相等，

•••图中阴影部分的面积为：SMBCF形睁=6/-色答=6/

故选：D.

DOA

4.（2019•乐清市模拟）如图，半径为3的扇形AOB,ZAOB=120°,以AB为边作矩形ABCD

交弧A3于点E,尸，且点E,『为弧A5的四等分点，矩形A8CD与弧A3形成如图所示

的三个阴影区域，其面积分别为S2,则5+$3-邑为（）（乃取3）

C.储百

【解答】解：连接OE、OF,过O作OH_LEF于”，交于G,

•・•点石，尸为弧AB的四等分点，ZAOB=120°,

:.ZAOF=Z.BOE=30°,NEO尸=60。，

・.・。4=。3,

/.ZBOG=60°,

•・・OB=3,

OG=~,BG=—,

22

48=2BG=3G,

RtAEOH中，NEO"=30°,OE=3,

:.EH=~,

2

：.OH=史,

2

述二

22

S扇形OZ?K

S]+S3-$2=S^OB+S矩形A3S一S陶形°A〃-S^OF

120万x9

=-AB^OG+AB<}H

2360

=-x3^x-+373(---)-9,

2222

99G

=----------，

22

故选：A.

二.填空题（共2小题）

5.（2019•金水区校级模拟）如图所示，扇形AO8中，ZAOB=130。，点C为。4中点，OA=lO,

C£）_LAO交AB于£>,以X为半径画CE交08于E,则图中阴影部分面积为

25石125万

--------1--------.

【解答】解：如图，连接。D.

B

\CD±OA9AC=OC,

:.OAO=2OC,

NCZ)O=30。，

.­.ZCOD=60°,

S阴=S扇形38-S扇形OCE-（$扇形。1。-S20CD

130•乃・1。213O.^.5260.^.102

--------------(-------------x5x5^)

一3603603602

25G125乃

------+------

212

25731257r

故答案为:--------1

2-----12

6.（2019•厦门一模）如图，在矩形ABC£>中，AB>BC,以点区为圆心，的长为半径

的圆分别交CD边于点M,交8C边的延长线于点石.若DM=CE,AE的长为24，贝UCE

的长_4—2近

【解答】解：连接8W,则==设BM=R,

•・•四边形A6CD是矩形,

:.AB=CD=BE,NB=NBCD=90。，

•:DM=7E、

；.CM=BC,

,/AE的长为21，

90%xR

----------=2万，

180

解得：R=4,

B|JBM=BE=CD=AB=4,

在RlABCM中，由勾股定理得：BC-+CM2=BM-,

BC=CM=272,

:.CE=4-2y[2,

故答案为：4—2\/2.

三.解答题(共1小题)

7.(2019•丹阳市一模)如图，已知RtAABD中，44=90°,将斜边8。绕点8顺时针方向

旋转至BC,使3C//AD,过点C作CE_L3r>于点E.

(1)求证：AABD=AECB；

(2)若NAB£>=30。，BE=3,求弧CD的长.

【解答】(1)证明：•.,NA=90。，CE1BD,

:.ZA=ZBEC=90°.

■.■BC//AD,

:.ZADB=AEBC.

■：将斜边BD绕氤B顺时针方向旋转至BC,

BD=BC.

在AABD和AEC8中，

/ADB=/EBC

<4A=4BEC

BD=CB

:.AABD=AECB：

(2).MBD三KECB,

AD=BE=3.

・.・ZA=90。，ZBAZ)=30°,

BD=2AD=6,

­.BC//AD,

/.ZA+ZABC=180°,

.-.ZABC=90°,

/.ZDBC=60°,

弧co的长为史左3=2万.

180

综合运用：与圆有关的位置关系及计算

1.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,点导火索的人员需要跑到离爆破点120m以外

的完全区域，已知这个导火索的长度为18cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？

【解析】解：点导火索的人非常安全.理由如下：

导火索燃烧的时间为出=20(s),此时人跑的路程为20x6.5=130(m),

0.9

因为130>120,所以点导火索的人非常安全；

答：点导火索的人非常安全.

2.如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A