(人教A版2019选择性必修第一册)高二数学上册数学同步精讲 3.2.1双曲线及其标准方程（精讲）（原卷版+解析）

3.2.1双曲线及其标准方程（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：双曲线定义的应用重点题型二：求双曲线的标准方程重点题型三：双曲线标准方程的应用重点题型四：双曲线的实际生活应用重点题型五：轨迹方程重点题型六：双曲线中的焦点三角形问题第五部分：高考（模拟）题体验第一部分：思维导图总览全局第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：双曲线的定义1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.3、说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.知识点二：双曲线的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误（1）在双曲线标准方程中，，且．()（2）方程表示焦点在y轴上的双曲线．()（3）方程表示双曲线．()2．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的焦距为()A．

B．

C．

D．3．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的，则该双曲线的标准方程为()A．

B．C．或

D．或4．（2022·全国·高二课时练习）若动点P到点的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是()A．双曲线

B．双曲线的一支

C．两条射线

D．一条射线5．（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线在第一象限内的任意一点，若是双曲线左、右两个焦点，则等于()A．10

B．8

C．5

D．4第四部分：典型例题剖析第四部分：典型例题剖析重点题型一：双曲线定义的应用典型例题例题1．（2022·江苏·高二）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．同类题型归类练1．（2022·浙江·高三专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为（，0），（3，0），为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.重点题型二：求双曲线的标准方程典型例题例题1．（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为___________.例题2．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，，焦点在轴上；(2)，，焦点在轴上；(3)，一个焦点为；(4)，．同类题型归类练1．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，，焦点在x轴上；(2)焦点为，，且；(3)，．2．（2022·全国·高二专题练习）在下列条件下求双曲线标准方程（1）经过两点；（2），经过点，焦点在轴上.重点题型三：双曲线标准方程的理解和应用典型例题例题1．（2022·全国·高一）双曲线过焦点的弦，、两点在同一支上且长为，另一焦点为，则的周长为（

）．A． B． C． D．例题2．（2022·河南南阳·高二期末（文））已知动圆过定点，并且与定圆外切，则动圆的圆心的轨迹是（

）A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线的一支例题3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的左支 D．双曲线的右支例题4．（2022·陕西渭南·高一期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．同类题型归类练1．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（

）A． B．C． D．2．（2022·上海金山·二模）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2022·湖南·高二期末）双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于（

）A．9 B．17C．18 D．344．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______．5．（2022·广东·高三阶段练习）“k<2”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2022·青海·模拟预测（理））已知，则“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件重点题型四：双曲线的实际生活应用典型例题例题1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）相距1400m的，两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线例题2．（2022·辽宁辽阳·二模）如图，已知，两地相距600m，在地听到炮弹爆炸声比在地早1s，且声速为340m/s..以线段的中点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．例题3．（2022·北京·高三专题练习）如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（

）（参考数据：，，）A． B． C． D．同类题型归类练1．（2022·四川·石室中学模拟预测（理））从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（

）A． B． C． D．2．（2022·四川广元·高二期末（理））三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题．如图，在圆D中，为其一条弦，，C，O是弦的两个三等分点，以A为左焦点，B，C为顶点作双曲线T．设双曲线T与弧的交点为E，则．若T的方程为，则圆D的半径为（

）A． B．1 C．2 D．3．（2022·福建省福州第一中学高二期末）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1:+=1和双曲线C2:-=1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为_________.4．（2022·江苏·高二）设声速是a（），在相距10a（）的A､B两哨所，听到一炮弹的爆炸声，爆炸声的时间相差6，已知声强与距离的平方成反比.试建立适当的坐标系.(1)求点P所在曲线的方程；5．（2022·全国·高二课时练习）相距的A，B两个观察站都听到了一声巨响，且在A处听到的时间比在B处听到的时间早．已知当时的声速是，发出巨响的点与A，B都在水平面上，求发出巨响的点所在曲线的方程．重点题型五：轨迹方程典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆过定点，且与圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.例题2．（2022·江苏·高二课时练习）在中，，，直线，的斜率之积为求顶点的轨迹方程．例题3．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程（

）A． B．C． D．同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）与圆及圆都外切的圆P的圆心在（

）A．一个椭圆上 B．一个圆上C．一条射线上 D．双曲线的一支上2．（2022·河南洛阳·高二期末（文））在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．（多选）（2022·吉林·长春市实验中学高二期末）若，，动点满足，当和时，点轨迹（

）A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线4．（2022·浙江·温州中学高二期末）在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片上的某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点.(1)证明：为定值，并求出点的轨迹的轨迹方程；重点题型六：双曲线中的焦点三角形问题典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测（文））设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B． C． D．30例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，分别是双曲线的左右焦点，点为的左顶点，动点在上，当时，，且，则的方程为（

）A． B． C． D．例题3．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为__________.例题4．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二阶段练习（理））已知双曲线的离心率，左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，若，则__________.同类题型归类练1．（2022·四川成都·三模（理））设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（

）．A． B． C． D．2．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南洛阳·三模（文））设，，满足，且，则的面积为（

）A．3 B． C．9 D．4．（2022·云南保山·模拟预测（理））已知是离心率等于的双曲线的左右焦点，过焦点的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，若的周长20，则等于（

）A．10 B．8 C．6 D．45．（2022·江苏·高二）已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．6．（2022·全国·高二课时练习）过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________.第五部分：高考（模拟）题体验第五部分：高考（模拟）题体验1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（

）A．2 B．10 C．14 D．2或102．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（）A． B． C． D．3．（2022·陕西榆林·一模（理））江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则（

）A．30° B．45° C．60° D．90°5．（2022·江西九江·三模（理））双曲线的左右焦点分别为，，为圆与该双曲线的一个公共点，则的面积为（

）A． B． C． D．13.2.1双曲线及其标准方程（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：双曲线定义的应用重点题型二：求双曲线的标准方程重点题型三：双曲线标准方程的应用重点题型四：双曲线的实际生活应用重点题型五：轨迹方程重点题型六：双曲线中的焦点三角形问题第五部分：高考（模拟）题体验第一部分：思维导图总览全局第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：双曲线的定义1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.3、说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.知识点二：双曲线的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误（1）在双曲线标准方程中，，且．()（2）方程表示焦点在y轴上的双曲线．()（3）方程表示双曲线．()【答案】

×

×

√（1）a，b可以相等，错误；（2）表示焦点在x轴上的双曲线，错误；（3）该方程为双曲线的一般式，正确.2．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的焦距为()A．

B．

C．

D．【答案】D由题可知，所以焦距为故选：D3．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的，则该双曲线的标准方程为()A．

B．C．或

D．或【答案】C由题可知：，所以双曲线的方程为：或故选：C4．（2022·全国·高二课时练习）若动点P到点的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是()A．双曲线

B．双曲线的一支

C．两条射线

D．一条射线【答案】C由题可知：两定点之间的距离为2，所以可知点P的轨迹是两条射线

故选：C5．（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线在第一象限内的任意一点，若是双曲线左、右两个焦点，则等于()A．10

B．8

C．5

D．4【答案】A根据双曲线的定义且P在第一象限，所以|PF1|−|PF2|=2a=10故选：A第四部分：典型例题剖析第四部分：典型例题剖析重点题型一：双曲线定义的应用典型例题例题1．（2022·江苏·高二）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.故选：C.同类题型归类练1．（2022·浙江·高三专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为（，0），（3，0），为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A解：由双曲线的定义可得，，即，，且焦点在轴上，所以双曲线的方程为：．故选：A．2．（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.【答案】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.故答案为：.重点题型二：求双曲线的标准方程典型例题例题1．（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为___________.【答案】根据双曲线的对称性可知，点，在双曲线图像上，将其代入双曲线方程，所以解得所以双曲线C：，故答案为：.例题2．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，，焦点在轴上；(2)，，焦点在轴上；(3)，一个焦点为；(4)，．【答案】(1)(2)(3)(4)或(1)因为，，焦点在x轴上，故双曲线方程为；(2)因为，，焦点在y轴上，则，故双曲线方程为；(3)因为，一个焦点为；则，得故双曲线方程为；(4)因为，，所以当焦点在x轴上时，双曲线方程为；当焦点在y轴上时，双曲线方程为．同类题型归类练1．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，，焦点在x轴上；(2)焦点为，，且；(3)，．【答案】(1)(2)(3)或(1)，双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为(2)，双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为(3)当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为.2．（2022·全国·高二专题练习）在下列条件下求双曲线标准方程（1）经过两点；（2），经过点，焦点在轴上.【答案】（1）;（2）（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为，代入得，解得，故双曲线的方程为.（2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为.重点题型三：双曲线标准方程的理解和应用典型例题例题1．（2022·全国·高一）双曲线过焦点的弦，、两点在同一支上且长为，另一焦点为，则的周长为（

）．A． B． C． D．【答案】C由双曲线的定义得：①，②，两式相加得：，即，所以，故的周长为.故选：C例题2．（2022·河南南阳·高二期末（文））已知动圆过定点，并且与定圆外切，则动圆的圆心的轨迹是（

）A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线的一支【答案】D圆的圆心为，半径为，依题意可知，结合双曲线的定义可知，的轨迹为双曲线的一支.故选：D例题3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的左支 D．双曲线的右支【答案】D表示：动点到两定点，的距离之差等于2，而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．故选：D例题4．（2022·陕西渭南·高一期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A因为方程表示双曲线，所以，解得，故选：A同类题型归类练1．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（

）A． B．C． D．【答案】C解：由题意，因为，所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，故选：C.2．（2022·上海金山·二模）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，故选：.3．（2022·湖南·高二期末）双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于（

）A．9 B．17C．18 D．34【答案】B由，得，设点P与双曲线另一个焦点的距离为，由定义，得，故选：B.4．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______．【答案】7由双曲线的对称性，可知，又，所以四边形是平行四边形，所以，由，可知点在双曲线的左支，如下图所示：由双曲线定义有，又，所以.故答案为：5．（2022·广东·高三阶段练习）“k<2”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A∵方程为双曲线，∴，∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，故选：A.6．（2022·青海·模拟预测（理））已知，则“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B由方程表示双曲线，可得，解得或，则为或的充分不必要条件，故选：B.重点题型四：双曲线的实际生活应用典型例题例题1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）相距1400m的，两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【答案】D设炮弹爆炸点为P，则，故炮弹爆炸点的轨迹是双曲线.故选：D.例题2．（2022·辽宁辽阳·二模）如图，已知，两地相距600m，在地听到炮弹爆炸声比在地早1s，且声速为340m/s..以线段的中点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B设炮弹爆炸点的坐标为，则，所以的轨迹是以，为焦点，实轴长为340的双曲线的左支.因为，所以，又，所以，，故炮弹爆炸点的轨迹方程为.故选：B.例题3．（2022·北京·高三专题练习）如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（

）（参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】A解：根据题意，设双曲线的标准方程为，因为，，，，所以，设，则点在双曲线上，所以，，因为，，所以，，所以，解得，所以.故双曲线的方程近似为.故选：A同类题型归类练1．（2022·四川·石室中学模拟预测（理））从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（

）A． B． C． D．【答案】D在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，两式相减得，所以的周长为，在图②中，的周长为，因为光速相同，且，所以，即，所以，即的长轴长与的实轴长之比为，故选：D2．（2022·四川广元·高二期末（理））三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题．如图，在圆D中，为其一条弦，，C，O是弦的两个三等分点，以A为左焦点，B，C为顶点作双曲线T．设双曲线T与弧的交点为E，则．若T的方程为，则圆D的半径为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C由题知所以双曲线的方程为又由题设的方程为,所以,即设AB的中点为,则由.所以,即圆的半径为2故选：C3．（2022·福建省福州第一中学高二期末）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1:+=1和双曲线C2:-=1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为_________.【答案】椭圆；双曲线，双曲线和椭圆的焦点重合.根据双曲线的定义有，所以①，②，根据椭圆的定义由，所以路程.故答案为：4．（2022·江苏·高二）设声速是a（），在相距10a（）的A､B两哨所，听到一炮弹的爆炸声，爆炸声的时间相差6，已知声强与距离的平方成反比.试建立适当的坐标系.(1)求点P所在曲线的方程；【答案】(1)；(2).(1)以A､B所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，设､，则点满足，故点在以为焦点的双曲线上，设其方程为，则，解得，故点P所在曲线的方程为；5．（2022·全国·高二课时练习）相距的A，B两个观察站都听到了一声巨响，且在A处听到的时间比在B处听到的时间早．已知当时的声速是，发出巨响的点与A，B都在水平面上，求发出巨响的点所在曲线的方程．【答案】解：依题意设点在点左侧，以的中点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设巨响点为，由题意知，，，所以点在以、为焦点的双曲线的左支上，其中、，所以，又，所以，所以巨响的点所在曲线的方程为重点题型五：轨迹方程典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆过定点，且与圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.【答案】整理可得：圆，圆的圆心，半径；圆与圆相外切，，动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支，，，，，动圆圆心的轨迹方程为：.例题2．（2022·江苏·高二课时练习）在中，，，直线，的斜率之积为求顶点的轨迹方程．【答案】．设A(x，y)，则，根据题意有，化简得∴顶点A的轨迹方程为．例题3．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程（

）A． B．C． D．【答案】A,则根据双曲线定义知的轨迹为的左半支故选：A同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）与圆及圆都外切的圆P的圆心在（

）A．一个椭圆上 B．一个圆上C．一条射线上 D．双曲线的一支上【答案】D设圆的半径为，又圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，根据题意可得：，则，根据双曲线定义可知，其表示焦点为的双曲线的一支.故选：D.2．（2022·河南洛阳·高二期末（文））在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A解：如图设与圆的切点分别为、、，则有，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为．故选：A．3．（多选）（2022·吉林·长春市实验中学高二期末）若，，动点满足，当和时，点轨迹（

）A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线【答案】BC当时，，故轨迹为双曲线的右支；当时，，故轨迹为射线；故选：BC.4．（2022·浙江·温州中学高二期末）在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片上的某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点.(1)证明：为定值，并求出点的轨迹的轨迹方程；【答案】(1)证明见解析，证明：如图，由点与关于对称，则，且由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为6的双曲线，设双曲线方程为：所以双曲线方程为重点题型六：双曲线中的焦点三角形问题典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测（文））设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B． C． D．30【答案】A由，可得又是是双曲线上的一点，则，则，，又则，则则的面积等于故选：A例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，分别是双曲线的左右焦点，点为的左顶点，动点在上，当时，，且，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D解：由题意得：，又又在直角三角形中，由勾股定理得于是，解得：故可知：（舍去）或又由可知：所以C的方程为故选：D例题3．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为__________.【答案】解：如图所示，不妨设点在双曲线的右支上．设，．则，，，即，所以，又，所以．又，，解得，所以．．故答案为：．例题4．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二阶段练习（理））已知双曲线的离心率，左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，若，则__________.【答案】由已知得，且，解得，又双曲线的离心率，所以，即.故答案为：.同类题型归类练1．（2022·四川成都·三模（理））设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（

）．A． B． C． D．【答案】B∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，所以，，即，又，∴面积为.故选：B.2．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C解：不妨令在双曲线右支，依题意可得，，，解得，，又，由余弦定理即，解得，所以，所以的面积．故选：C．3．（2022·河南洛阳·三模（文））设，，满足，