高一数学必修课件随机事件和样本空间

高一数学必修课件随机事件和样本空间汇报人：XX2024-01-20目录CONTENTS随机事件与概率初步古典概型与几何概型条件概率与独立性全概率公式与贝叶斯公式随机变量及其分布数学期望与方差01随机事件与概率初步随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。随机试验对随机现象进行的观察或实验，满足以下三个条件：可以在相同条件下重复进行；试验的所有可能结果是已知的；每次试验的结果是确定的，但无法预测。随机现象与随机试验样本点随机试验的每一个可能结果。样本空间随机试验中所有可能结果组成的集合。样本点与样本空间样本空间的某个子集，即某些样本点组成的集合。事件包含、相等、互斥（两个事件没有公共的样本点）、对立（两个事件互为补集，即一个事件发生意味着另一个事件不发生）。事件的关系事件及其关系在大量重复进行的随机试验中，一个事件A发生的频率总是稳定地趋近于某个常数p，则称p为事件A的概率。非负性（任何事件的概率都是非负的）；规范性（样本空间的概率为1）；可加性（对于互斥事件，其概率之和等于各事件概率之和）。概率定义及性质概率性质概率定义02古典概型与几何概型古典概型定义及计算方法古典概型定义每个样本点发生的可能性相等的随机试验。计算方法利用古典概型的概率计算公式，即事件A发生的概率等于事件A包含的基本事件个数与样本空间的基本事件个数之比。样本点具有无限多个，且每个样本点发生的可能性相等的随机试验。几何概型定义利用几何概型的概率计算公式，即事件A发生的概率等于事件A对应的区域面积（或体积）与样本空间对应的区域面积（或体积）之比。计算方法几何概型定义及计算方法比较联系两种概型比较与联系两种概型都是描述随机试验的模型，具有概率的基本性质，如非负性、规范性、可加性等。在实际应用中，可以根据问题的特点选择合适的概型进行建模和计算。古典概型和几何概型的区别在于样本点的数量和性质不同。古典概型的样本点是有限个，而几何概型的样本点是无限多个。例题1（古典概型）解析例题2（几何概型）解析典型例题解析首先确定样本空间的基本事件总数为C(8,2)，然后计算事件“取出的2个球中恰有1个红球”包含的基本事件个数为C(5,1)C(3,1)，最后利用古典概型的概率计算公式求出概率。从5个红球和3个白球中任取2个球，求取出的2个球中恰有1个红球的概率。首先确定样本空间对应的区域面积为正方形的面积1，然后计算事件“点落在以正方形的一个顶点为圆心、半径为1/2的圆内”对应的区域面积为1/4圆的面积π/4，最后利用几何概型的概率计算公式求出概率。在边长为1的正方形区域内随机投一点，求该点落在以正方形的一个顶点为圆心、半径为1/2的圆内的概率。03条件概率与独立性条件概率定义在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。计算方法P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。条件概率定义及计算方法VS如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。等价条件事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)。定义法事件独立性判断方法P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)。乘法公式当需要计算两个事件同时发生的概率时，可以使用乘法公式。如果已知其中一个事件的概率和另一个事件在该事件发生条件下的概率，可以直接套用乘法公式进行计算。应用场景乘法公式在条件概率中应用01020304例题1解析例题2解析典型例题解析从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到的牌是红桃或黑桃的概率。设事件A表示“抽到的牌是红桃”，事件B表示“抽到的牌是黑桃”，则P(A)=1/4，P(B)=1/4。由于红桃和黑桃是互斥事件，因此P(A∪B)=P(A)+P(B)=1/2。甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为1/3和1/4，求两人合作译出密码的概率。设事件A表示“甲译出密码”，事件B表示“乙译出密码”，则P(A)=1/3，P(B)=1/4。由于甲、乙两人独立破译密码，因此事件A与事件B相互独立。根据独立事件的概率乘法公式，两人合作译出密码的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=7/12。04全概率公式与贝叶斯公式若事件B能且只能与两两互斥的事件$A_1,A_2,...,A_n$中的一个同时发生，即$B=Bcap(A_1cupA_2cup...cupA_n)=BcapA_1cupBcapA_2cup...cupBcapA_n$，且$P(A_i)>0,i=1,2,...,n$，则称$P(B)=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+...+P(B|A_n)P(A_n)$为全概率公式。首先确定所有可能的基本事件，然后计算每个基本事件发生的概率，最后根据全概率公式计算所求事件的概率。全概率公式定义计算方法全概率公式定义及计算方法贝叶斯公式定义及计算方法设试验E的样本空间为S，A为E的事件，$B_1,B_2,...,B_n$为S的一个划分，且$P(B_i)>0,i=1,2,...,n$，则对任一事件A（$P(A)>0$），有$P(B_i|A)=frac{P(A|B_i)P(B_i)}{sum_{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)},i=1,2,...,n$，称为贝叶斯公式。贝叶斯公式定义首先根据已知条件计算每个基本事件发生的概率和所求事件在每个基本事件下发生的条件概率，然后根据贝叶斯公式计算所求事件发生的概率。计算方法全概率公式应用当某个事件可以由多个互斥的基本事件引起时，可以使用全概率公式计算该事件发生的概率。例如，在医疗诊断中，某种疾病可能由多种病因引起，可以使用全概率公式计算患者患病的概率。贝叶斯公式应用当需要根据已知信息更新某个事件发生的概率时，可以使用贝叶斯公式。例如，在机器学习中，根据已有的训练数据预测新数据的类别时，可以使用贝叶斯公式计算每个类别的后验概率。两种公式在实际问题中应用例题1解析例题2解析典型例题解析一袋中有5只乒乓球，分别标记为1,2,3,4,5。现随机从袋中取出3只球，求取出的3只球中最大号码为4的概率。首先确定基本事件总数为从5只球中取3只的组合数$C_{5}^{3}$。然后计算最大号码为4的基本事件数，即先取出4号球，再从剩下的1,2,3号球中取2只的组合数$C_{3}^{2}$。最后根据古典概型计算概率$P=frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{3}}$。某地区一种疾病的患病率与年龄有关，年龄越大患病概率越高。现有一种试剂可以检验被检者是否患病，准确率为99%。即在被检验者患病的条件下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；在被检验者未患病的条件下用该试剂检测，有99%的可能呈现阴性。现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性。问该被检验者确实患病的概率是多少？设事件A表示被检验者患病，事件B表示试剂检验结果呈现阳性。根据题目条件可知$P(B|A)=0.99,P(B|overline{A})=0.01$。假设该地区患病率为$P(A)=0.01$（根据实际情况设定），则未患病率为$P(overline{A})=0.99$。根据贝叶斯公式计算被检验者确实患病的概率为$P(A|B)=frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|overline{A})P(overline{A})}$。05随机变量及其分布定义分类随机变量定义及分类随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。根据随机变量取值的特点，可以将其分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。定义性质求解方法离散型随机变量分布列对于离散型随机变量，可以列出其所有可能取值及对应的概率，形成离散型随机变量的分布列。分布列具有非负性和归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。通过列举法或组合数学方法求解离散型随机变量的分布列。对于连续型随机变量，其分布函数是一个连续函数，表示随机变量取值小于等于某个值的概率。定义性质求解方法分布函数具有单调不减性、右连续性和规范性。通过概率密度函数求解连续型随机变量的分布函数，概率密度函数是分布函数的导数。030201连续型随机变量分布函数离散型分布二项分布、泊松分布等。连续型分布正态分布、均匀分布、指数分布等。分布的应用在实际问题中，可以根据问题的背景和数据的特点选择合适的分布进行建模和分析。例如，在质量控制中常常使用正态分布进行建模；在排队论中常常使用泊松分布进行建模等。常见离散型和连续型分布06数学期望与方差数学期望性质常数的数学期望等于该常数本身。随机变量的期望等于其概率加权和。随机变量和的期望等于各随机变量期望的和。数学期望定义：数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，反映随机变量平均取值的大小。数学期望定义及性质0102030405方差定义：方差是衡量源数据和期望值相差的度量值，即随机变量与其均值之差的平方的期望值。方差性质随机变量线性变换的方差等于原方差乘以变换系数的平方。常数的方差为0。独立随机变量和的方差等于各随机变量方差的和。方差定义及性质01离散型分布02二项分布：数学期望为np，方差为np(1-p)。03泊松分布：数学期望和方差均为λ。04连续型分布05正态分布：数学期望为μ，方差为σ²。