新教材2023版高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线平面的平行学生用书新人教A版选择性必修第一册

第2课时空间中直线、平面的平行[课标解读]1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系．教材要点要点空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔________⇔______________________线面平行设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔__________________面面平行设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔________⇔________________基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量．()(2)直线l的一个方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1，1)，则l∥α.()(3)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．()2．(多选)下列命题中正确的是()A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥βB．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直3．若直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(1，2，3)，v2＝(－12，－1，－32)，则l1，l2的位置关系是(A．垂直B．重合C．平行D．平行或重合4．已知直线l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，则直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．以上选项都不对5．已知两个不同的平面α，β的法向量分别是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，则平面α，β的位置关系是________．题型1利用空间向量证明线线平行例1在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.方法归纳利用向量法证明线线平行的2种方法巩固训练1如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．题型2利用空间向量证明线面平行例2在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.方法归纳利用空间向量证明线面平行的3种方法巩固训练2在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.题型3利用空间向量证明面面平行例3已知正方体ABCD­A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′.方法归纳利用空间向量证明面面平行的方法巩固训练3如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD.易错辨析忽视直线与平面平行的条件致误例4已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，D(1，2，0)，E(0，0，1)，则直线DE与平面ABC()A．直线DE与平面ABC平行B．DE⊂平面ABCC．直线DE与平面ABC相交D．直线DE与平面ABC平行或DE⊂平面ABC解析：因为AB＝(－1，1，1)，BC＝(1，0，－1)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，1)，则n·AB＝0，n·BC＝0，所以-x+y+1=0，x-1=0，解得x=1，y=0.所以又DE＝(－1，－2，1)，所以DE·n＝(－1，－2，1)·(1，0，1)＝0，所以DE⊥n，所以DE∥平面ABC或DE⊂平面ABC.因为BD＝(1，1，－1)，所以BD＝2BC+所以A，B，C，D四点共面，即点D在平面ABC内，所以DE⊂平面ABC，选B.答案：B易错警示易错原因纠错心得本题易得直线DE的方向向量DE与平面ABC的法向量垂直，进而得到直线DE与平面ABC平行的错误解答，实际上，当直线DE在平面ABC内，也有DE与平面ABC的法向量垂直，因此，需进一步判断DE是否在平面ABC内．当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面的位置关系有两种：一是直线与平面平行；二是直线在平面内，具体是哪一种，应进一步考查．第2课时空间中直线、平面的平行新知初探·课前预习要点u1∥u2(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)u·n＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0n1∥n2(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)[基础自测]1．(1)√(2)×(3)√2．解析：B不正确，C、D正确．B中若α∥β，则n1∥n2.答案：ACD3．解析：因为v1＝(1，2，3)，v2＝-1所以v1＝－2v2，即v1∥v2，所以l1∥l2或l1与l2重合．答案：D4．解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，则a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，故直线l与平面α的位置关系是l∥α或l⊂α.答案：D5．解析：∵n1＝1，2，2，n2∴n1＝13n2，∴n1∥n2，∴α∥β答案：α∥β题型探究·课堂解透例1证明：方法一以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.方法二RS＝RC＝12PQ＝PA1＋A1Q＝∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，即RS∥PQ.巩固训练1证明：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，12)，C1(0，1，1)，F∴AE＝-1，0，12，FC1＝-1，0，12，∴AE＝FC1，∴AE∥F又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形．例2证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，a)，E0，方法一设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，又DE＝0，a2则有n·DE即y+z=0令z＝1，则x=1，y=-1，所以n＝(1又PA＝(a，0，－a)，所以n·PA＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥PA.又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为a2，a2，又PA＝(a，0，－a)，所以PA＝2EG，这表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法三假设存在实数λ，μ使得PA＝λDE＋μEB，即(a，0，－a)＝λ0，a2，则有a=解得λ所以PA＝－DE+又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.巩固训练2证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴ED＝(0，2，2)，EG＝(2，2，0)，AB＝(2，0，－2)．设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，则ED·n令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1，1，－1)，∴AB·n＝－2＋0＋2＝0，即AB⊥n.∵AB⊄平面DEG，∴AB∥平面DEG.例3证明：方法一设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)，B′(1，1，1)，D′(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)，于是AB'＝(0，1，1)，D'B'＝(1，设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1⊥令y1＝1，可得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1，1，－1)．设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．易知DB＝(1，1，0)，DC'＝(0，1，1)由n2⊥令y2＝1，可得平面BDC′的一个法向量为n2＝(－1，1，－1)．则n1＝n2，所以n1∥n2，故平面AB′D′∥平面BDC′.方法二同方法一知AD'＝(－1，0，1)，BC'＝(－1，0，1)，AB'＝(0，1，1)，DC'＝(0，所以AD'＝BC'，即AD′∥BC′，AB′∥DC′，又BC′，DC′⊂平面BDC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′.又AD′∩AB'＝A，AD′，AB′⊂平面AB′D′，所以平面AB′D′∥平面巩固训练3解析：如图所示，由条件知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由条件知B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)，Ga2所以BA＝(a，0，0)，BD＝(0，2，2)，B1D＝(0，2，－2)，EG＝EF＝(0，1，1)．方法一因为B1D·BA＝0，B1D·BD＝0＋4－所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.因为BA∩BD＝B