初中数学-3.第三节 一元二次方程及其应用

第二章方程(组)与不等式(组)第三节一元二次方程及其应用(8年8考，仅2015年2道，2016年未考，3～9分)考点特训营目录玩转广东8年中考真题教材改编题【对接教材】人教：九上第二十一章P1－P26；

北师：九上第二章P30－P58.

考点特训营【课标要求】理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；*了解一元二次方程的根与系数的关系；能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．根的判别式根与系数的关系一元二次方程的实际应用一元二次方程及其解法平均增长率（下降率）问题面积问题及其常见图形握手、单循环赛与送礼物模型概念一般形式基本思路四种解法一元二次方程及其应用考点精讲一元二次方程及其解法概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程一般形式：ax2＋bx＋c＝0（其中a，b，c为常数，a≠0）基本思路：降次四种解法公式法：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式为x＝________________

（b2－4ac＞0）直接开平方法配方法：将ax2＋bx＋c＝0（a≠0）化成的形式，当b2－4ac≥0时，用直接开平方法求解1.当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0（a≠0，ac<0）或ax2＝c（a≠0，ac＞0）2.形如（x＋n）2＝p（p≥0）的方程返回思维导图四种解法一元二次方程及其解法因式分解法1.方程缺少常数项，即方程ax2＋bx＝0（a≠0）2.方程一边为0，另一边可化为两个一次因式的乘积，即方程（x－a）（x－b）＝03.方程两边含有相同的因式【温馨提示】方程两边不能同时除以含有相同未知数的因式，以免漏解根的判别式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式为b2－4acb2－4ac＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根________________⇔一元二次方程有两个相等的实数根________________⇔一元二次方程无实数根b2－4ac＝0b2－4ac＜0返回思维导图*根与系数的关系（选学内容）：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，Δ≥0）的两根，则x1＋x2＝________，

x1·x2＝________一元二次方程的实际应用平均增长率（下降率）问题1.增长率＝×100%2.若起始量为a，平均增长率为x，终止量为b，增长次数为2，则有a（1＋x）2＝b3.若起始量为a，平均下降率为x，终止量为b，下降次数为2，则有

________＝ba(1－x)2返回思维导图一元二次方程的实际应用面积问题及其常见图形1.如图①，设空白部分的宽为x，则S阴影＝_____________2.如图②，③，设阴影道路的宽为x，则S空白＝___________3.如图④，栏杆总长为a，BC的长为b，则S阴影＝________握手、单循环赛与送礼物模型n（n＞1）个人握手，单循环赛总次数：n（n＞1）个人互送礼物总份数：n（n－1）(a－2x)(b－2x)(a－x)(b－x)返回思维导图课堂小测1.下列方程属于一元二次方程的是(

)A.2x－1＝3x

B.x2＝4

C.x2＋3y＋1＝0

D.x3＋1＝x2.一元二次方程(x－5)(x＋2)＝x＋2的解为(

)A.x＝－2B.x＝5C.x1＝－2，x2＝5D.x1＝－2，x2＝63.方程x2－x＋1＝0的根的情况是(

)A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定BDA4.毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，设该班有x名学生，则可列方程(

)A.x(x－1)＝1980B.x(x＋1)＝1980C.x(x－1)＝1980D.x(x＋1)＝19805.解下列方程：(1)x2＋x＝2(配方法)；C5.解：(1)整理方程，得x2＋2x＝4，配方，得x2＋2x＋1＝5，即(x＋1)2＝5，开方，得x＋1＝±，解得x1＝－1＋，x2＝－1－.(2)2x2－7x＋6＝0(公式法)．(2)由方程可知a＝2，b＝－7，c＝6，∵b2－4ac＝49－48＝1，∴x＝解得x1＝2，x2＝重难点突破一、一元二次方程及其解法例1用三种方法解方程：x2－2x－8＝0.因式分解法：解：方程x2－2x－8＝0可化为(x－4)(x＋2)＝0.∴x－4＝0或x＋2＝0.∴x1＝4，x2＝－2.配方法：解：移项，得x2－2x＝8.配方，得x2－2x＋1＝9.整理，得(x－1)2＝9.开方，得x－1＝±3.解得x1＝4，x2＝－2.公式法：解：a＝1，b＝－2，c＝－8，∴x＝∴x1＝4，x2＝－2.练习1一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为(

)A.(x＋2)2＝3B.(x＋2)2＝5C.(x－2)2＝3D.(x－2)2＝5练习2

(2019扬州)一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是_____________．Dx1＝1，x2＝2二、一元二次方程的实际应用例2

(2019德州)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次①，若进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率；(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次②，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．【分层分析】(1)设进馆人次的月平均增长率为x，第一个月进馆128人次，则第二个月进馆__________人次，第三个月进馆_____________人次，由题干①可得方程______________________________，解方程即可；128(1＋x)128(1＋x)2128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608，解得x1＝0.5，x2＝－3.5(舍)．∴进馆人次的月平均增长率为50%；(2)能，理由如下：由(1)知进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为128×(1＋50%)3＝432.∵432<500，∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．(2)由(1)知进馆人次的月平均增长率为_________，则第四个月进馆______________人次，根据题干②，比较第四个月进馆人次与500的大小关系即可判断．【自主作答】50%128(1＋50%)3练习3

(2019东营)为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？解：设降价后的销售单价为x元，根据题意得：(x－100)[300＋5(200－x)]＝32000.整理得：(x－100)(1300－5x)＝32000.即：x2－360x＋32400＝0.解得x1＝x2＝180.x＝180<200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．玩转广东8年中考真题一元二次方程及其解法(8年2考)命题点11.(2017广东4题3分)如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，则常数k的值为(

)A.1B.2C.－1D.－22.(2015广东17题6分)解方程：x2－3x＋2＝0.B解：方程x2－3x＋2＝0可化为(x－1)(x－2)＝0，∴x－1＝0或x－2＝0，解得x1＝1，x2＝2.

一元二次方程根的判别式（8年3考）命题点23.(2018广东8题3分)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为(

)A.m＜B.m≤

C.m＞

D.m≥

4.(2015广东8题3分)若关于x的方程x2＋x－a＋

＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(

)A.a≥2B.a≤2C.a＞2D.a＜2AC拓展训练5.(2019湘潭)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝(

)A.4B.2C.1D.－46.(2019自贡)关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是(

)A.m<1B.m≥1C.m≤1D.m>17.(2019新疆)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是(

)A.k≤B.k＞

C.k＜

且k≠1D.k≤

且k≠1ADD

一元二次方程根与系数的关系（仅2019年考查）命题点38.(2019广东9题3分)已知x1、x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是(

)A.x1≠x2

B.－2x1＝0C.x1＋x2＝2D.x1·x2＝2D

一元二次方程的实际应用（8年2考，且均为增长率问题）命题点49.(2013广东21题8分)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？9.解：(1)设捐款增长率为x，由题意得：10000(1＋x)2＝12100,解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：捐款增长率为10%；(2)12100×(1＋10%)＝13310(元