清华微积分高等数学课件第一讲函数

清华微积分高等数学课件第一讲函数目录函数概念与性质基本初等函数函数的极限与连续性函数的导数与微分函数的积分与定积分函数在实际问题中的应用01函数概念与性质函数定义及表示方法函数定义设$x$和$y$是两个变量，$D$是实数集的某个子集，若对于$D$中的每一个$x$值，按照某种对应法则$f$，总有唯一确定的$y$值与它对应，则称$y$是$x$的函数，记作$y=f(x)$。解析法用含有数学表达式的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析法。列表法用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。图象法在平面直角坐标系中，用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。单调性一般地，设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果对于定义域$D$内的某个区间上的任意两个自变量的值$x_1,x_2$，当$x_1<x_2$时都有$f(x_1)<f(x_2)$，那么就说$f(x)$在此区间上是增函数。增函数减函数一般地，设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果对于定义域$D$内的某个区间上的任意两个自变量的值$x_1,x_2$，当$x_1<x_2$时都有$f(x_1)>f(x_2)$，那么就说$f(x)$在此区间上是减函数。函数的单调性是指函数在某一区间内函数值随自变量增大而增大（或减小）的性质。函数性质：单调性、奇偶性、周期性函数的奇偶性是指函数图象关于原点或y轴对称的性质。奇偶性一般地，如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做奇函数。奇函数一般地，如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做偶函数。偶函数010203函数性质：单调性、奇偶性、周期性函数的周期性是指函数图象呈现周期性的变化。周期性一般地，如果存在一个非零常数$T$，使得对于函数$f(x)$的定义域内的每一个$x$值，都有$f(x+T)=f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做周期函数，非零常数$T$是这个函数的周期。周期函数函数性质：单调性、奇偶性、周期性反函数设函数$y=f(x)$的定义域是$D_f$，值域是$A_f$，如果对于值域$A_f$中的每一个$y$值，在定义域$D_f$中总有唯一确定的$x$值与它对应，且满足对应关系的互换性，即这种对应关系构成了一个从值域到定义域的新函数，则称这个新函数为原函数的反函数。复合函数设函数$y=f(u)$的定义域为$D_u$，值域为$M_u$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_x$，值域为$M_x$，且使得$M_xcapD_uneqvarnothing$，则根据对应关系$u=g(x),y=f(u)$可以得出一个新的对应关系$y=f[g(x)]$，这种由两个或两个以上的基本初等函数复合而成的并且对应法则所表示的数学关系式是一个整体结构的数学表达式叫做复合函数。反函数与复合函数02基本初等函数定义01形如$y=x^a$（$a$为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。性质02幂函数的性质取决于指数$a$的值。当$a>0$时，幂函数在第一象限内单调递增；当$a<0$时，幂函数在第一象限内单调递减。图形03幂函数的图形因指数$a$的不同而不同。例如，$y=x^2$的图形是一个上凸的抛物线，而$y=x^{-1}$的图形是一个双曲线。幂函数定义形如$y=a^x$（$a>0$且$aneq1$）的函数称为指数函数。其中，$a$是底数，$x$是指数。性质指数函数的值域为$(0,+infty)$，且当$a>1$时，函数单调递增；当$0<a<1$时，函数单调递减。图形指数函数的图形是一个上凸或下凸的曲线，具体形状取决于底数$a$的值。例如，当$a=2$时，图形是一个上凸的指数曲线；当$a=0.5$时，图形是一个下凸的指数曲线。指数函数定义如果$a^x=N（a>0，且a≠1）$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$x=log_aN$，读作以$a$为底$N$的对数，其中$a$叫做对数的底数，$N$叫做真数。性质对数函数的定义域为$(0,+infty)$，值域为全体实数。当底数大于1时，函数单调递增；当底数小于1时，函数单调递减。图形对数函数的图形是一个上凸或下凸的曲线，具体形状取决于底数的值。例如，以10为底的对数函数图形是一个上凸的曲线；以2为底的对数函数图形也是一个上凸的曲线，但比前者更为陡峭。对数函数三角函数包括正弦函数$sinx$、余弦函数$cosx$、正切函数$tanx$等。这些函数的自变量是角度（通常用弧度表示），因变量是比值或长度等。反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数$arcsinx$、反余弦函数$arccosx$、反正切函数$arctanx$等。这些函数的自变量是比值或长度等，因变量是角度（通常用弧度表示）。性质与图形三角函数与反三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等性质，并且它们的图形都是波浪形的曲线。例如，正弦函数的图形是一个周期性的波浪形曲线；反正弦函数的图形则是一个单调递增的曲线。三角函数与反三角函数03函数的极限与连续性当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的值，这个确定的值就是函数的极限。极限的定义唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则等。极限的性质函数在某一点处的左右极限分别表示函数从左侧和右侧趋近于该点时的极限值。左右极限极限概念及性质无穷小量的定义无穷小量的性质无穷大量的定义无穷大量的性质无穷小量与无穷大量当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于0，这个函数就是无穷小量。当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于无穷大，这个函数就是无穷大量。有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量，无穷小量与有界量的乘积是无穷小量。无穷大量与有界量的乘积仍是无穷大量，两个无穷大量的和、差、积不一定仍是无穷大量。ABCD连续函数的定义如果函数在某一点处的极限值等于函数在该点的函数值，则称函数在该点连续。一致连续如果函数在定义域内的任意两个点之间的函数值之差可以小于任意给定的正数，则称函数在定义域内一致连续。连续函数的运算连续函数的四则运算、复合运算等结果仍是连续函数。连续函数的性质连续函数在定义域内具有局部有界性、保号性、最大值最小值定理、零点定理等。连续函数及其性质04函数的导数与微分导数的定义导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。导数的计算方法通过求极限的方式计算导数，包括使用定义法、公式法、链式法则、乘积法则等。导数的几何意义导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率，可以用来研究函数的单调性、极值等问题。导数概念及计算方法高阶导数的定义高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数，反映了函数更高层次的变化特征。高阶导数的计算方法通过对函数进行连续求导得到高阶导数，需要注意求导的顺序和法则。高阶导数的应用高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等问题中有重要应用。高阶导数微分的定义微分是函数在某一点处的局部变化量，可以表示为函数值与自变量增量之间的线性关系。微分的计算方法通过求导数得到微分，即函数的微分等于其导数与自变量增量的乘积。微分的应用微分在近似计算、误差估计、优化问题等领域有广泛应用，如牛顿迭代法、梯度下降法等。微分概念及应用03020105函数的积分与定积分不定积分的定义不定积分概念及计算方法不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，表示为一个带有积分号的表达式。不定积分的性质不定积分具有线性性、可加性和常数倍性等基本性质。通过凑微分、换元法、分部积分等方法求解不定积分。不定积分的计算方法定积分的定义定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表示为一个带有上下限的积分号。定积分的计算方法通过牛顿-莱布尼兹公式、换元法、分部积分等方法求解定积分。定积分的性质定积分具有可加性、保号性、绝对值不等式、估值定理等性质。定积分概念及性质微积分基本定理的应用通过微积分基本定理可以简化复杂函数的积分计算，如求解三角函数、指数函数、对数函数等的积分。微积分在解决实际问题中的应用微积分在物理学、经济学、工程学等领域有着广泛的应用，如求解速度、加速度、边际效应等问题。微积分基本定理微积分基本定理揭示了微分与积分之间的内在联系，包括牛顿-莱布尼兹公式和微积分学基本定理。微积分基本定理及应用06函数在实际问题中的应用供需函数模型描述商品或服务的供给量与需求量之间的关系，通过价格等变量建立函数关系。成本函数模型表示生产某种产品所需的成本与生产数量之间的关系，常用于企业的成本分析和决策。收益函数模型描述产品销售收入与销售数量之间的关系，用于分析企业的盈利状况。经济问题中的函数模型动力学函数模型表示物体受力与运动状态之间的函数关系，如牛顿第二定律描述的力与加速度的关系。热力学函数模型描述热量、温度、内能等热力学量之间的函数关系，如热力学第一定律描述的热量与内能的关系。运动学函数模型描述物体的位置、速度和加速度等运动学量之间的函数关系，如位移与时间的关系、速