四川省达州通川区五校联考2022-2023学年数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.如图，在RtAABC中，CE是斜边A3上的中线，CDLAB,若C0=5,CE=6,则AABC的面积是()

D.36

2.已知。。的半径为4,圆心O到弦AB的距离为2,则弦AB所对的圆周角的度数是()

A.30°B.60°

C.30°或150°D.60°或120°

3.如图，BC1DE,垂足为点C,AC//BD,8=4(),则NACE的度数为()

4.下列函数中，函数值随自变量x的值增大而增大的是()

xx33

A.y=-B.y=—C.y=—D.y——

33xx

5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=2(x-1)2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的

表达式是()

A.y=2(x+1)2+4B.y=2(x-1)2+4

C.y=2(x+2)2+4D.y=2(x-3)2+4

6.如图4,

图4

两个正六边形的边长均为L其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外

轮廓线的周长是

A.7B.8C.9D.10

7.在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

8.如图，在平面直角坐标系刀匕中，直线y=；x+l与x轴、轴分别交于点A、B,点。是轴正半轴上的一点,

当NC4O=2N84O时,则点。的纵坐标是（)

2768

D.

3

2（。—x）2—x—4,

9.如果关于'的分式方程后-3=二有负分数解，且关于X的不等式组I3X+4的解集为x<-2,那么

X+1--------<X+1

I2

符合条件的所有整数a的积是（）

B.0C.3D.9

10.如图，将ZVLBC绕点。仪,加）旋转180。得到AA'8'C,设点A的坐标为（。⑼，则点A的坐标为（)

A.B.6?,—/?—5/2jC.卜D.f—6Z,—h+25/2j

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.已知反比例函数＞="的图象如图所示，则左0,在图象的每一支上，y随X的增大而

12.将抛物线y=-2x2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线；

13.在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和4个红球，若每次将球充分搅

匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值

约为.

14.在平面直角坐标系中，点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是.

15.如图，用长8巾的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是

16.将抛物线y=(x+向右平移2个单位长度，则所得抛物线对应的函数表达式为.

17.如图示，在RtMfiC中，ZACB=90°,AC=3,BC=百，点P在RtAABC内部，且=连接

CP,则CP的最小值等于.

18.如图所示，RAABC中，NC=90°,〃是AB中点，MHA.BC,垂足为点H,CM与AH交于点0,如果

AB=\2,那么CO=.

A

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图1,抛物线y=ax2+/»x+c与x轴交于点A(-1,0)、C(3,0),点3为抛物线顶点，直线30为抛

物线的对称轴，点。在x轴上，连接AB、BC,ZABC=90°,A3与y轴交于点E,连接CE.

(1)求项点8的坐标并求出这条抛物线的解析式；

(2)点尸为第一象限抛物线上一个动点，设的面积为S,点尸的横坐标为机，求S关于机的函数关系武，并

求出s的最大值；

(3)如图2,连接OB,抛物线上是否存在点Q,使直线2c与直线BC所夹锐角等于NOB。，若存在请直接写出点。

的坐标；若不存在，说明理由.

20.(6分)一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球然后放

回，再随机摸取一个.

请用画树状图和列表的方法，求下列事件的概率：

(1)两次取出的小球标号相同；

(2)两次取出的小球标号的和等于1.

21.(6分)解方程

(1)2X2-7x+3=l；

(2)x2-3x=l.

22.(8分)为了了解全校3000名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在

全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目(每人选一项)进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成

了如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整)，请回答下列问题.

r（）.至

n11..n?

（i）在这次问卷调查中，共抽查了名同学；

（2）补全条形统计图；

（3）估计该校3000名同学中喜爱足球活动的人数；

（4）在体操社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加体操大赛.用树

状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

23.（8分）某商场销售一种商品，若将50件该商品按标价打八折销售，比按原标价销售这些商品少获利200元.

（1）求该商品的标价为多少元；

（2）已知该商品的进价为每件12元，根据市场调查：若按（1）中标价销售，该商场每天销售100件；每涨1元，每天

要少卖5件•那么涨价后要使该商品每天的销售利润最大，应将销售价格定为每件多少元？最大利润是多少？

24.（8分）解方程:⑴2f+l=3x

（2）（X-3）2+4X（X-3）=0

25.（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-2ar-3a（a<0）与x轴交于A,B两点（点A在

点B的左侧），经过点A的直线1：丫=区+人与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC

（1）直接写出点A的坐标，并求直线I的函数表达式（其中k,b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线1上方的抛物线上的动点，若AACE的面积的最大值为之，求a的值；

4

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，

求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

26.（10分）如图，已知反比例函数y=A与一次函数y=x+。的图象在第一象限相交于点A（l,一左+4）.

x

（1）试确定这两个函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标,并根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x取值范围.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、C

【分析】根据题意及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AB=2CE=12再根据三角形面积公式，即AABC

面积=LABxCD=30.故选C.

2

【详解】解：是斜边A3上的中线，

：.AB=2CE=2x6=12,

:・SAABC=—xCZ）xAB=—x5xl2=30,

22

故选：C.

【点睛】

本题的考点是直角三角形斜边上的中线性质及三角形面积公式.方法是根据题意求出三角形面积公式中的底，再根据面

积公式即可得出答案.

2、D

【分析】根据题意作出图形，利用三角形内角和以及根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行分析求解.

【详解】解：如图，

VOH1AB,OA=OB=4,

/.ZAHO=90",

**aOH21

在RtZ\OAH中，sinZOAH=——=一=一，

0A42

AZOAH=30",

AZAOB=180°-30°-30°=120°,

.,.ZACB=-ZAOB=60°,ZADB=180°-ZACB=120°（圆内接四边形的性质），

2

即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120。.

故选：D.

【点睛】

本题考查圆周角定理，圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.

3,B

【解析】由平行线的性质可得NAC5=NB=40，继而根据垂直的定义即可求得答案.

【详解】vAC//BD,NB=40,

NACB=NB=40，

\-BCA-DE,

:.NBCE=90。，

ZACE=ZBCE-ZACB=90o-40°=50°,

故选B.

【点睛】

本题考查了垂线的定义，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.

4、A

【解析】一次函数当。>0时，函数值》总是随自变量x的增大而增大，反比例函数当k<o时，在每一个象限内，y

随自变量（增大而增大.

【详解】A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，随》增大而增大，故本选项正确；

3、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随N增大而减小，故本选项错误；

c,该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x增大而减小，故本选项错误；

。、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x增大而增大，故本选项错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键.

5,A

【分析】只需确定原抛物线解析式的顶点坐标平移后的对应点坐标即可.

【详解】解：原抛物线y=2（x-l）2+l的顶点为（1,1）,先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，新顶点为（-

1,4）.即所得抛物线的顶点坐标是（-1,4）.

所以，平移后抛物线的表达式是y=2（x+1）2+4,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图像的平移，抛物线的解析式为顶点式时，求出顶点平移后的对应点坐标，可得平移后抛物

线的解析式，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键.

6、B

【解析】解：•••个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，

它的一半是60。，它的邻补角也是60。，

上面的小三角形是等边三角形，

二上面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1,

同理可知下面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1,

故这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是1.

故选B.

7、C

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A.此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

B.此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

C.此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形；

D.此图案仅是轴对称图形；

故选：C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

8、D

【分析】首先过点B作BD_LAC于点D,设BC=a,根据直线解析式得到点A、B坐标，从而求出OA、OB的长，

易证4BCD丝△ACO,再根据相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可解答.

【详解】解：过点B作BDJ_AC于点D,设BC=a,

.--A(-2,0),B(0,1),即OA=2,OB=LAC=百+(l+a『,

VZCAO=2ZBAO,

.'AB平分NCAB,

XVBO1AO,BD±AC,

.\BO=BD=1,

VZBCD=ZACO,ZCDB=ZCOA=90°,

.'.△BCD^AACO,

CBBD厂--------7

77=77：'即nna:J2-+（1+”）-=1:2

C^/i/IC/

解得：ai=—,a2=-l（舍去），

3

<QQ

.•,OC=OB+BC=-+1=-,所以点C的纵坐标是—.

333

故选：D.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质的综合运用，解题关键是恰当作辅助线利用角平分线的性质.

9、D

2（。—x）2—1-4（T）

【解析】解：3x+4-，由①得：烬2〃+4,由②得：xV-2,由不等式组的解集为xV-2,得到2«+4>-2,

-----<x+[②

I2

7

即位-3,分式方程去分母得：a-3x-3=l-x,把。=-3代入整式方程得：-3x-6=1-x,即1二-一，符合题意；

2

把〃=-2代入整式方程得：-3x-5=1-x,即x=-3,不合题意；

把a=-1代入整式方程得：-3x-4=l-x,即X=-2,符合题意；

2

把〃=0代入整式方程得：-3x-3=1-x,即x=-2,不合题意；

把。=1代入整式方程得：-3x-2=1-x,即x=—』，符合题意；

2

把〃=2代入整式方程得：-3x-1=1-x9即x=l,不合题意；

把4=3代入整式方程得：-3x=l-x,即x=-g,符合题意；

把a=4代入整式方程得：-3x+l=l-x,即x=0,不合题意，...符合条件的整数“取值为-3；-1；1；3,之积为1.故

选D.

10、D

【分析】点A与点A关于点C对称，。为点A与点A'的中点，根据中点公式可以求得.

【详解】解：设A'点坐标为（x,y）

点A与点A关于点C对称，

C为点A与点A'的中点，

x+a

=0

2

即《

y+b=V2

2

解得x=-a,y=-b+2\/2

故选D

【点睛】

本题考查了坐标与图形变换，得出点A、点A，与点C之间的关系是关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、<,增大.

【解析】根据反比例函数的图象所在的象限可以确定k的符号；根据图象可以直接回答在图象的每一支上，y随x的

增大而增大.

【详解】根据图象知，该函数图象经过第二、四象限，故k<0；

由图象可知，反比例函数y=A在图象的每一支上，y随x的增大而增大.

x

故答案是：V；增大.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象.解题时，采用了“数形结合”的数学思想.

12、y=-2（x+3）2-1

【分析】根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.

【详解】根据题意：平移后的抛物线为y=—2（X+3）2—1.

【点睛】

此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关键.

13、1

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在

20%左右得到比例关系，列出方程求解即可.

,_4

【详解】解：由题意可得，----xlOO%=20%,

4+。

解得，a=l,

经检验a=l是方程的根，

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查的是频率和概率问题，此类问题是中考常考的知识点，所以掌握频率和概率是解题的关键.

14、（-3,5）

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得答案.

【详解】点尸(3,-5)关于原点对称的点的坐标是(-3,5),

故答案为：(-3,5).

【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点的两个点的坐标变化规律，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号

相反，是解题的关键.

15、1

【分析】设窗的高度为X，"，宽为牙根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可.

【详解】解：设窗的高度为宽为［一1一)根.

所以S=*8-2抄,即s=-2(x—2>+§,

333

8,

当x=2m时,S最大值为—".

3

故答案为：!.

【点睛】

本题考查二次函数的应用.能熟练将二次函数化为顶点式，并据此求出函数的最值是解决此题的关键.

16、y=(l)2

【分析】利用顶点式根据平移不改变二次项系数可得新抛物线解析式.

【详解】yXx+以的顶点为

...向右平移2个单位得到的顶点为(1,0),

把抛物线y=(x+1)?向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为y=(x-1)?.

故答案为：y=(x—l)2.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则是解题的关键.

17、77-2

【分析】首先判定直角三角形NCAB=30。，NABC=60。，AB=7AC?+BC?="+(可=26然后根据

NPAB=/PBC,得出NACB+NPAC+NPBC=NAPB=120。，定角定弦，点P的轨迹是以AB为弦，圆周角为120。

的圆弧上，如图所示，当点C、O、P在同一直线上时，CP最小，构建圆，利用勾股定理，即可得解.

【详解】•••ZAC3=90°,AC=3,BC<，

:.AB=^AC2+BC2=J32+=2>/3

.,.ZCAB=30°,ZABC=60°

VNPAB=/PBC,NPAB+NPAC=30。

:.ZACB+ZPAC+ZPBC=ZAPB=120°

•••定角定弦，点P的轨迹是以AB为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C、O、P在同一直线上时，CP

最小

ACO±AB,ZCOB=60°,ZABO=30°

/.OB=2,ZOBC=90°

•••OC=y/OB2+BC2="+（可=V7

：,CP=OC—OP=H—2

故答案为4-2.

【点睛】

此题主要考查直角三角形中的动点综合问题，解题关键是找到点P的位置.

18、4

【分析】根据直角三角形中线性质得CM=；AB=gxl2=6,根据相似三角形判定得△ABCS/\MBH,

△AOC^AHOM,根据相似三角形性质可得.

【详解】因为放AABC中，NC=90°,M是A8中点，

所以CM='A3=LX12=6

22

又因为

所以AC||MH

所以△ABCs^MBH,AAOC^AHOM,

iMHMB1MO

所以----=----=—=----

ACAB2CO

27

所以OC=—MC=—x6=4

33

故答案为：4

【点睛】

考核知识点：相似三角形.理解判定和性质是关键.

三、解答题(共66分)

1333251

19、(1)点B坐标为(1,2),j=x2+x+—；(2)S=m2+2m+—,S最大值—；(3)点Q的坐标为(，

2244123

¥).

【分析】(1)先求出抛物线的对称轴，证△ABC是等腰直角三角形，由三线合一定理及直角三角形的性质可求出80

的长，即可写出点8的坐标，由待定系数法可求出抛物线解析式；

(2)求出直线A8的解析式，点E的坐标，用含，”的代数式表示出点尸的坐标，如图1,连接£P,OP,CP,则由SAEPC

=S^OEP+S^OCP-SMCE即可求出S关于m的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S的最大值；

(3)先证推出NOBO=NEC凡延长CE,交抛物线于点。，则此时直线QC与直线8C所夹锐角

等于N03Z),求出直线CE的解析式，求出其与抛物线交点的坐标，即为点。的坐标.

【详解】解：(1)VA(-1,0)、C(3,0),

；.AC=4,抛物线对称轴为叱=1,

2

•••30是抛物线的对称轴，

：.D(1,0),

•.•由抛物线的对称性可知BD垂直平分AC,

：.BA=BC,

XVZABC=90°,

1

：.BD=-AC=2,

2

二顶点8坐标为(1,2),

设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,

将A(-1,0)代入，

得0=4a+2,

解得，a=-1,

2

113

...抛物线的解析式为：y=-7(X-1)2+2=--x^+x+l；

222

(2)设直线A8的解析式为y=h+8,

将A(-1,0),B(1,2)代入，

(-k+b=Q

得，，C,

k+b=2

解得，k=l,b=l,

.,.yAH=X+l,

当x=0时，y=l,

：.E(0,1),

•.•点尸的横坐标为机，

13

•••点P的纵坐标为--m2+m+

22

如图1,连接EP,OP,CP,

则St^EPC—SiiOEP+S^OCP-S^OCE

1I/1,3、1

=-XIXm-i—X3(—-/n2+/nH—)--X1X3

22222

33

=---m1+2m+—,

44

3/4、，25

=---(机-----)2+—,

4312

3425

•••-1V0,根据二次函数和图象及性质知，当机=§时，S有最大值看；

(3)由(2)知E(0,1),

又(-1,0),

：.OA=OE=1,

.•.△Q4E是等腰直角三角形，

***AE=-^2OA—yp2,

又,；AB=BC=拳AB=2收,

：.BE=AB-AE=&,

.BEgT

••一r——,

BC202

rOD1

又---=一,

BD2

BEOD

•••一_f

BCBD

又,：NODB=NEBC=90°,

二.△ODBSAEBC,

；.NOBD=NECB,

延长CE,交抛物线于点Q,则此时直线QC与直线8c所夹锐角等于N08。,

设直线CE的解析式为y=,〃x+l,

将点C(3,0)代入，

得，3/n+l=0,

3

1

--ycE——x+L

y=-x+l

-3

x—3

解得，\［或

)=0

J"

TV?

图i

【点睛】

本题是一道关于二次函数的综合题目，巧妙利用二次函数的性质是解题的关键，根据已知条件可得出抛物线的解析式

是解题的基础，难点是利用数形结合作出合理的辅助线.

13

20(1)—；(2)—；

416

【分析】(1)先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占1种，然后根据概率的概

念计算即可；

(2)由(1)可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于1的有3种，进而可求出其概率.

【详解】画树状图如图

开蟒

1334

1234123412341234

(1)•・•共有16种等可能的结果，两次取出的小球标号相同的共4种情况,

...两次取出的小球标号相同的概率为V.

(2)两次取出的小球标号的和等于4的情况共有3种，

3

两次取出的小球标号的和等于4的概率为—.

16

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;

树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

21、(1)xi=2,X2--；(2)xi=l或*2=2.

2

【分析】(1)先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可

⑵提取公因式x后，求出方程的解即可；

【详解】解：

(1)2x2-7x+2=l,

(x-2)(2x-1)=1,

.♦.x-2=l或2x-1=1,

.，1

..Xl=2,X2--；

2

(2)x2-2x=l>

x(x-2)=l,

XI=1或，X2=2.

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程是解题的关键.

22、(1)50；(2)见解析；(3)1020名；(4)树状图见解析，,

6

【分析】(1)根据两种统计图可知喜欢跑步的有5名同学，占10%,即可求得总人数；

(2)由(1)可求得喜欢足球的人数，继而补全条形统计图；

(3)利用样本估计总体的方法，求得答案；

(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两位同恰好选中甲、乙两位同学的情况,

再利用概率公式即可求出答案.

【详解】解：(1)•.,喜欢跑步的有5名同学，占10%,

二在这次问卷调查中，一共抽查了学生数：5+10%=50(名)；

故答案为:50,

(2)喜欢足球人数：50-5-20-5-3=17.

(3)该校3000名同学中喜爱足球活动的有:

17

3000X—=1020(名).

50

(4)画树状图得：

开始

/N/F\/NZ\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

••,共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种.

,p_2_1

..r----------.

126

【点睛】

扇形图和条形图结合考查时，要注意将表示同一意义的量对应起来思考，条形图表示数量，扇形图表示百分比，通过

两者的对应可以求出总量和各部分的值；可根据情况画树状图或用列表法求解，在利用画树状图或列表法表示所有等

可能的结果时，要做到不重不漏.

23、(1)20；(2)26,980.

【分析】(1)设该商品的标价为x元，根据按标价的八折销售该商品50件比按标价销售该商品50件所获得的利润少200

元，列方程求解；

(2)设该商品每天的销售利润为y元，销售价格定为每件x元，列出y关于x的函数解析式，求出顶点坐标即可得解.

【详解】解：(1)设该商品的标价为a元，

由题意可得：

50a=50x0.8a+200,

解得：a=20；

答：该商品的标价为20元；

(2)设该商品每天的销售利润为y元，销售价格定为每件x元，

由题意可得：

y=[100-5(x-20)](x-12)

=-5X2+260X-2400;

=-5(x-26y+980,

所以销售单价为26元时，商品的销售利润最大，最大利润是980元.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用和运用二次函数解决实际问题.

(13

24、(1)Xj=1,x2=—；(2)%=3,=-

【分析】(1)先移项，再利用配方法求解即可.

(2)合并同类项，再利用配方法求解即可.

【详解】(1)2X2+1=3X

2x2-3x+l=0

(2x-l)(x—1)=0

解得％=1,々=g

(2)(x-3)2+4x(x-3)=0

(x-3+4x)(x-3)=0

(5x-3)(x-3)=0

3

解得％=3,x=-

-25

【点睛】

本题考查了一元二次方程的计算，掌握利用配方法求方程的解是解题的关键.

25、(1)A(-1,0),y=ax+a.(2)a=--；(3)P的坐标为(1,一型Y7)或(1,-4).

57

【分析】(1)在,="2-26一3。中，令y=0,得到斗=一1,々=3,得到A(-L0),B(3,0),由直线1经过

点A,得到匕=攵，^Ly=kx+k,4-ax2-2ax-3a^kx+k>即ar2-(2a+A)x-3a-A=0,由于CD=4AC,故

k

点D的横坐标为4,即有-3--=-1x4,得到％=a,从而得出直线1的函数表达式；

a

⑵过点E作EF〃y轴，交直线1于点F,设E(x,加一2火一3。)，则F(x,办+a),

EF=ax2-2ax-3a-(ax+d)=ax2-3ax-4a,

cc1/2c4、1/3\225

SAACE=SAAFE一SACFE=—{CIX—3tzv—4。)=—6f(x——)**——a,

2228

255

故AACE的面积的最大值为一工4,而4ACE的面积的最大值为一,

84

2552

所以一看。=:，解得。=一一；

845

2

(3)ax—2ax—3a=ax+a>即ax2—3ar—4a=0，解得斗=-1,x2=A,得到D(4,5a),因为抛物线的对

称轴为X=l,设P(Lm),然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线.

2

【详解】解：(1)•：y=ax-2ca-3a=a(x+\Xx-3),令y=o,得到％=7,%2=3,

AA(-1,0),B(3,0),

•••直线1经过点A,

：・0=—k+b,h=k9

：•y—kx+k,

ax2-2ax-3a=kx+k，即cix2-(2a+k)x-3a-k=0,

VCD=4AC,

，点D的横坐标为4,

k

・•・—3—±=-1x4,

a

••k=ci,

・•・直线i的函数表达式为