学案直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式

2.3.1两条直线的交点坐标

【学习目标】

1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。

2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。

【学习重难点】

重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。

【知识梳理】

一、自主导学

两条直线的交点

1.已知两条直线的方程是(Ax+B[y+C=O,/,：Ax+B2y+C1=0,设这两条直线的交点

为P,则点P既在直线(上，也在直线/，上。所以点P的坐标既满足直线乙的方程Ax+B7+£=O,

也满足直线的方程&x+Bj+G=O,即点尸的坐标就是方程组AiX+Biy+,1=?，的解。

2222

[A2X+B2y+C2=0

2.

方程组的解一组无数组无解

直线11和12公共点的个数一个无数个零个

直线h和12的位置关系相交重合平行

点睛：如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点

坐标是两直线方程所组成方程组的解。

二、小试牛刀

1.直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是()

A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1)

【学习过程】

一、问题导学

在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程

表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过

方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平

面内与点直线相关的距离问题等。

二、典例解析

例1.直线/过直线x+y—2=0和直线x-y+4=0的交点，且与直线3x~2y+4=0平行，

求直线/的方程。

求过两直线交点的直线方程的方法

(1)解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平

行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待

定系数求解。

(2)过两条相交直线/i：Aix+Biy+Ci=0,Z2：42%+比丁+。2=0交点的直线方程可设为Aix

+8iy+Ci+2(A2x+&y+C2)=0(不含直线⑵。

跟踪训练1.三条直线以+2y+7=0,4x+y=14和2x—3y=14相交于一点，求〃的值。

例2.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点。

(1)/j2x-y=7和03x+2y-7=0；

(2)4：2x・6y+4=0和4：4x-12y+8=0；

(3)(：4x+2y+4=0和//y=-2x+3.

跟踪训练2已知直线5x+4y=2a+l与直线2元+3广。的交点位于第四象限，则。的取值范

围是。

例3(1)求经过点P(1,0)和两直线々x+2y-2=0,/,：3x-2y+2=0交点的直线方程；

(2)无论实数。取何值，方程(如1)x-y+2a-l=0表示的直线恒过定点，试求该定点。

利用直线系方程求直线的方程

经过两直线(A^+By+C=0,/,：4产约＞+。,=0交点的直线方程可写为Ay+Bp'+Q+a

(勺:+与＞。,)=0(它不能表示直线/,)。反之，当直线的方程写为A]X+%y+q+MA,x+8y+q)

=0时，直线一定过直线4：A]X+B,+C]=0与直线/,：4)》+83+。2=0的交点。

跟踪训练3已知直线/经过原点，且经过另两条直线2x+3y+8=0,

x-y-l=0的交点，则直线/的方程为()

A.2x+y=0B.2x-y=0C.x+2y=QD.x-2y=Q

例4光线通过点A(2,3)在直线/：x+y+l=0上反射，反射光线经过点8(1,1),试求

入射光线和反射光线所在直线的方程。

点关于直线的对称点的求法

仅山+B•也+C=0,

2

点P(x,y)关于直线Ar+冷+C=0的对称点Po(xo,yo),满足关系,小。：B

\X-XQA，

解方程组可得点Po的坐标。

跟踪训练4直线y=2x是△A3C的一个内角平分线所在的直线，若A,8两点的坐标分

别为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标。

金题典例过点尸(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点产

恰好为线段AB的中点，求此直线的方程。

【达标检测】

1.直线2x+y+8=0和直线x+y-l=0的交点坐标是()

A.(-9,-10)B.(-9,10)C.(9,10)D.(9,-10)

2.直线2x+3y-A=0和直线x-由+12=0的交点在x轴上，则攵的值为()

A.-24B.24C.6D.+6

3.已知直线(：ax+y-6=0与4：x+(a-2)y+a-1=0相交于点产，若/J/,,则点尸的坐

标为。

4.求证：不论相为何值，直线(机-1)x+(Im-1)y=〃z-5者B通过一定点。

5.已知两直线/i：x+8y+7=0和，2：2x+y—1=0.

(1)求人与/2的交点坐标；

(2)求过人与/2交点且与直线尤+>+1=0平行的直线方程。

课堂小结

________1求两条直线的交点|

两条直线的交点坐标-__________________________

1-判断两条直线的位置关系

参考答案：

知识梳理

二、小试牛刀

1.解析：解方程组『+丫=5，得『=4,因此交点坐标为(4,1)。

、x-y=3,ly=1.

答案：B

【学习过程】

x+y-2=0,-1,

例1.［解］法一：联立方程\c解得.即直线/过点(一1,3)0

［x—y+4=0,ly=3,

3

因为直线/的斜率为

3

所以直线/的方程为y—3=］(x+1),即3x—2y+9=0.

法二：因为直线龙十丁一2=0不与3x-2y+4=0平行，

所以可设直线/的方程为x-y+4+A(x+y—2)=0,

整理得(1+2)x+(A-l)y+4—22=0,

因为直线I与直线3x-2y+4=0平行，

1+2A—14—2A1

所以一卢丁，解得见=亍

32

所以直线I的方程为/一$十个=0,即3x—2y+9=0.

跟踪训练1.［解］解方程组

4x+y=14,(x=4,

,得，

2x—3y=14,［y=12,

所以两条直线的交点坐标为(4,-2)。

由题意知点(4,-2)在直线ox+2y+7=0上，将(4,-2)代入，

3

得ax4+2x(—2)+7=0,解得4=一心

例2.思路分析：直接将两直线方程联立方程组，根据方程组解的个数判断两直线是否相

交。

解：⑴方程组2%-y-7=0,的解为“，

+2y-7=0(y=-1.

因此直线/i和/2相交，交点坐标为(3,-1)。

(2)方程组伊-6y+4=0,有无数个解，

[4%-12y+8=0

这表明直线1\和/2重合。

⑶方程组(X/丁。无解，

这表明直线和/2没有公共点，故

2a+3

跟踪训练2解析：由产+4y=2a+l,得X二--------

U

\2x+3y=a,yr，

答案：(-|，2)

例3思路分析：(1)设所求直线方程为x+2y-2+A(3x-2y+2)=0,再将x=l,产0代入求

出九即得所求直线方程。

(2)将直线方程改写为-x-y・l+a(x+2)=0.

解方程组产,-1二°'得直线所过定点。

、%+2=0,

解：⑴设所求直线方程为x+2y-2+2(3x-2y+2)=0.

丁点尸(1,0)在直线上，二1・2+2(3+2)=0.

.：2=巳。,：所求方程为x+2y-2+,(3x-2y+2)=0,

即x+y-l=0.

(2)由(。-1)x-y+2a-l=0,得-x・y・l+。(x+2)=0.

所以，已知直线恒过直线*广1=0与直线x+2=0的交点。

解方程组广="得产2

、%+2=0,(y=1.

所以方程(6Z-1)x-y+2〃-l=0表示的直线恒过定点(21)。

2%+3y+8=0,

跟踪训练3解析：(方法1)解方程组得交点为(-1,-2)。又直线/

.x-y-1=0,

经过原点，由两点式得其方程为阴=黑，即2x-y=0.

-2-0-1-0

(方法2)设直线/的方程为2x+3y+8+2(x-y-1)=0,因其过原点，

所以8+(-A)=0,2=8,直线/的方程为2x-y=0.

答案：B

例4思路分析：求点A关于直线/的对称点4一求反射光线所在直线的方程一求入射光线

与反射光线的交点坐标一求入射光线所在的直线方程

解：设点A(2,3)关于直线/的对称点为4(xo,*),

‘2+工。+3+yo+1=0,

2

则加

3_1,

“0-2

解之，得4(-4,-3)。

由于反射光线经过点4(-4,-3)和8(1,1),

所以反射光线所在直线的方程为广1=哥・(x-1),

即4x-5y+l=0.

解方程组=得反射点p(g9

U+y+1=0,33

3+-

所以入射光线所在直线的方程为广3=-4(九-2),即5x-4y+2=0.

跟踪训练4解：把A,B两点坐标代入y=2x知，A、B不在直线y=2x上，因此y=2%为角

。的平分线，设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为“(a,b),则

—=三,线段AA，的中点坐标为（拶，萼），

a+42，

b-2

---2=-1,Q4

则〈a+4解得）一’•:A，（4,-2）,

b+2Q-4

--=L---、b=-2,

I22

:'y=2x是角。平分线所在直线的方程，

.：4在直线BC上，

.：直线3C的方程为空=¥，即3x+y-10=0,由［y=2%‘解得/一（2,

1+23"+y-10=0,ly=4,

4）。

金题典例解：分析一：设出直线的方程，求出交点的坐标，再用中点坐标公式。

解法一：若直线斜率不存在，则方程为x=3.

由f一3，得A(3.4)。

(2x-y-2=0,

Y=2

由・得B(3,-6)。

、久+y+3=0,

由于"言=-屏0,.：P不为线段AB的中点。

若直线斜率存在，设为我,则方程为y“（x-3）。

由［"A（%-3）,得A（鬻，涉

\2x-y-2=0,k-2k-2

y=k(x-3),

由得B署，备。

、％+y+3=0,

:P（3,0）为线段A8的中点,

，3k-2,3k-3,

------1------=6,

k-2k+1・12kl6=0,

4k6k八2

—-----=0.[k-8k=0.

\k-2k+1

•:&二8.

•:所求直线方程为y=8（x・3）,即8x-y-24=0.

分析二：设出A（乙,不），由尸（3,0）为A3的中点，易求出3的坐标，而点3在另一

直线上，从而求出入、的值，再由两点式求直线的方程。

解法二：设A点坐标为(入，3),则由P(3,0)为线段A8的中点，得B点坐标为(6

“)。

:,点A,8分别在已知两直线上,

•:A揩，祟。丁点A,P都在直线AB上,

.：直线A8的方程为泮=舒，

---0--3

即8x-y-24=0.

分析三：由于P(3,0)为线段A8的中点，可对称地将A,8坐标设为(3+a,b),(3-a,

-h),

代入已知方程。

,(2

(2(3+a)-b-2=0,a=->

.：(3

(3-a+(-b)+3=0.•b=—a

13

.：直线AB的斜率即直线AP的斜率，值为*_=2=8.

3+a-3a

.：所求直线的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.

点睛：解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累，以上三种解法各有特点，要善

于总结，学习其简捷解法，以提高解题速度。

解法三：:P(3,0)为线段48的中点，.：可设A(3+a,b),B(3-a,/)。

7点A,8分别在已知直线上，

【达标检测】

1.解析：解方程组产+y+8=0,得，=9即交点坐标是(.9,10)。

lx+y-1=0,ly=10,

答案：B

2.解析：7直线2x+3y/=0和直线x-切+12=0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a,0),

2a-k—0,.CL--12,3

解得故选A.

+12=0,=-24,

答案：A

3.解析：：,直线（：ox+y・6=0与/,：x+（a-2）y+〃-l=O相交于点尸，且/J/）,

・：〃xl+lx(a-2)=0,解得。=1,

联立方程尸六6=°，易得x=3,y=3,

\x-y—0,

,:点P的坐标为（3,3）。

答案：（3,3）

4.证明：将原方程按旭的降幕排列,整理得（x+2y-l）m-（x+y-5）=0,

此式对于机的任意实数值都成立，根据恒等式的要求，加的一次项系

数与常数项均等于零，故有尸2丫-1=0,解得『=9，

.：加为任意实数时，所给直线必通过定点（9,-4）。

[x+8y+7=0,

5.解析：（1）联立两条直线的方程：°J解得尤=1,y=-l.

l2x+>—1=10,n

所以/i与/2的交点坐标是（1,-Do

（2）设与直线x+y+1=0平行的直线I方程为x+y+c=0,

因为直线/过人与/2的交点（1,-1）,所以c=0.

所以直线/的方程为x+y=0.

2.3.2两点间的距离公式

【学习目标】

1.掌握平面上两点间的距离公式。

2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题。

【学习重难点】

重点：平面上两点间的距离公式的推导与应用。

难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题。

知识梳理

一、自主导学

问题1.在数轴上已知两点A、B,如何求4、8两点间的距离？

‘3图「练

问题2：在平面直角坐标系中能否利用数轴上两点间的距离求出任意两点间距离？

y

%

o

探究：当干纹，分，时，*p,l=?请简单说明理由。

两点间距离公式的理解

（1）此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|PlP2尸^3一》）2+&2—y1）2。

（2）当直线PP2平行于X轴时，|PlP2|=|X2-Xl|o

当直线P1P2平行于>轴时，|P1P2|=|}'2—Jl|o

两点间的距离公式

（1）公式：点P]（x/）；），P,（&，丫2）间的距离公式|P]PJ=d（X2—Xl）2+&2-yi）2。

（2）文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算

术平方根。

二、小试牛刀

1.已知点P|（4,2）,P,（2,-2）,则|P/,|=。

【学习过程】

一、情境导学

在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方

便居住在两个小区住户的出行。如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？

二、典例解析

例1.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△

ABC的形状。

两点间距离公式的应用

两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一，它主要解决线段的长度问题，体现了数形

结合思想的应用。

跟踪训练1已知点A(-3,4),B(2,V3),在x轴上找一点P,使|网=|PB|,并求|网

的值。

例2如图，在aABC中，|A8|=|AC|,。是边上异于C的任意一点,

22

求证：\AB\=\AD\+\BD\-\DC\o

坐标法及其应用

1.坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系。坐标系建立

的是否合适，会直接影响问题能否方便解决。建系的原则主要有两点:

(1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；

(2)如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称

图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴。

2.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：

(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；

(2)用坐标表示有关的量；

(3)将几何关系转化为坐标运算；

(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系。

222

跟踪训练2已知正三角形A3C的边长为a,在平面ABC上求一点P,使照|+\PB\+\PC\

最小，并求此最小值。

【达标检测】

1.点A(1,-2)关于原点的对称点为4,则|A4，|为()

A.2V5B.5C.5V2D.2百

2.设点A在x轴上，点B在y轴上，线段A3的中点P(2,-1),则|4?|=()

A.2V5B.4V2C.5D.2V10

3.函数y=yW+1+八/一4x+8的最小值是()

A.0B.C.13D.不存在

4.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

5.已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,则点P的坐标为o

6.已知△ABC的顶点坐标为A(—1,5),B(-2,-1),C(2,3),则8C边上的中线

长为O

7•点A在第四象限，A点到x轴的距离为3,到原点的距离为5,求点A的坐标。

8.正方形A8CO的边长为6,若E是8C的中点，F是C。的中点，试建立直角坐标系，

证明：BFLAE.

课堂小结

1.两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题（如根据各边长度判断三角形或四

边形的形状），根据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有

先后之分。

2.应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是：

第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在坐标轴上，并且充分利用图形的对称

性，用坐标表示有关的量。

第二步：进行有关代数运算；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系。

参考答案：

知识梳理

问题1.提示：|A阴=%—%1。

问题2：提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解。

222

探究。答案：如图，在RtAPQP中，|PP|=|PQ\+\QP\,

I21212

梨2坦。(的ji)

y\又

、巳(%2»2)

PX

所以|Pl尸2|="\/(X2—XI)2+。2—丁1>o

即两点Pl(XI,y1),ft(必X)间的距离『iP4(及一Xl)2+(y2—)|)2。

二、小试牛刀

I22

1.解析：|PiP2|=1(4-2)+(2+2)=2后。

答案：2V5

【学习过程】

例L思路分析：可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状。

/22

解：(方法1):,|AB|=1(3+3)+(-3-1)=V52,

/22

|AC|=J(1+3)+(7-1)=V52,

I22

|BC|=J(1-3)+(7+3)=V104,

/.\AB\=\AC\,且H8|2+|AC|2=|3CF

♦△ABC是等腰直角三角形。

(方法2):“AC=———=kAB=31.：AA(?&AB=-1..".ACJLAB.

1-(-3)23-(-3)3

I22/22

又|AC|=1(1+3)+(7-1)=博，|AB|=1(3+3)+(-3-1)二辰,

.：|AC|=|A8|。♦△ABC是等腰直角三角形。

I22

跟踪训练1解：设点P(尤，0),则有|B4|=J(%+3)+(0-4)=V%2+6%+25,

I22

|PB|=J(x-2)+(0-V3)=Vx2-4x+7«

由|以|=|P8|,得X2+6X+25=X2-4X+7,

解得x=-%即所求点P为(3，0)，

且|出匚J(6+3)―2+(0-4)2=亚善。

例2思路分析：建立适当的直角坐标系，设出各顶点的坐标，应用两点间的距离公式证明。

证明：如图，以3c的中点为原点0,所在的直线为x轴，建立直角坐标系。

设A(0,a),B(3，0),CCb,0),D(根，0)C-b<m<b)o

22222

贝U|AB|=(-b-0)+(0-a)-a+b,

22222

\AD\-(m-0)+(0・。)-m+。,

22

\BD\-\DC\=\m+b\-\b-m\=(b+m)Cb-m)=b-m,

222

/.\AD\+\BD\-\DC\=a+b,

22

跟踪训练2解：以8c所在直线为九轴，以线段BC的中点为原点，建立直角坐标系，如

图所示。

:•正三角形A5c的边长为

0),C(f,0),A(0,*)。设P(x,y),由两点间的距离公式，得

|/M|2+|PB|2+|PC|2

=N+(y-/a)2+(x+/)2+y2+(x-：)2+y

=3x2+3y2-V3aj+^-

=3N+3(y~a)2+a2>a2,

当且仅当尤=0,产遗。时，等号成立，

故所求最小值为。2,此时点P的坐标为(0,*)。

【达标检测】

1.解析：因为4(1,-2)关于原点的对称点4(-1,2),所以|441=，1-1)2+(2+2)

44+16=2付故选A.

答案：A

2.解析：依题意设A(a,0),B(0,b),

1(2,-1)为线段PB的中点,.：a=4,b=-2.

：.\(4,0),B(0,-2)。

/22

.：|AB|二J(4-0)+(0+2)=2V5o

答案：A

3.解析：原函数可化为y=N(x—0)2+(0—1A+N(x—2>+(0+2)2,

设P(x,0),A(0,1),B(2,-2)o

y=\PA\+\PB\0

•./是x轴上的动点，A,8是两个定点，••.LB4|十|P8|N|AB|=，T5,

...当P,A,8三点共线时，ymin=，TL

答案：B

4.解析：\AB\=\AC\=y[l7,\BC\=yflS,故△ABC为等腰三角形。

答案：B

5.解析：设点尸的坐标为（x,0）,由d（P,A）=10得":-3）2+（0—6）2=10,

解得x=l1或尤=—5.

点P的坐标为（一5,0）或（11,0）o

答案：（一5,0）或（11,0）

6.解析：8c的中点坐标为（0,1）,则BC的中线长为。（一1—0）2+（5—11=，行。

答案：V17

7.解析：由题意得A点的纵坐标为一3,设A（x,-3）,

则.（x—0）2+（—3—0）2=5,x=±4.

又点A在第四象限，，x=—4（舍），（4,—3）。

8.证明：以A为原点，AB,AO所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如

图。

则A(0,0),B(6,0),E(6,3),F(3,6)。

.6—02,2七=|=/

••k>BF='T

3—6

knF-kAE=-1,：.BF±AEo

2.3.3点到直线的距离公式

【学习目标】

1.会用向量工具推导点到直线的距离公式。

2.掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线距离公式解决有关距离问题。

3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数

学思想方法解决问题的能力

【学习重难点】

重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用。

难点：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析。

【知识梳理】

一、自主导学

L点到直线的距离

(1)定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度。

(2)图示:

（3）公式：人第罗

点睛：（1）运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般

式再用公式。

（2）当点P0在直线/上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用。

二、小试牛刀

1.判断对错：点P（X0,州）到直线>=丘+匕的距离为第整。（）

2.点（1,-1）到直线x-y+l=0的距离是（）

A.iB.三C.运D.史

2222

3.你能说出代数式叵产的几何意义吗？

【学习过程】

一、情境导学

在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路。请同学们帮助设

计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短？

思考1：最容易想到的方法是什么？

反思：这种解法的优缺点是什么？

我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？

如图，点P到直线I的距离，就是向量所的模，设M（K,y）是直线/上的任意一点，n是

与直线/的方向向量垂直的单位向量，则的是由在上九的投影向量，|而|=|丽•讣

思考2：如何利用直线I的方程得到与的方向向量垂直的单位向量n?

图2.3-6

思考3：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通

过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了

运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？

二、典例解析

例1求点P(3,-2)到下列直线的距离:

(1)y=%+(；(2)y=6；(3)x=4.

应用点到直线的距离公式应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式。

(2)点P在直线/上时，点到直线的距离为0,公式仍然适用。

(3)直线方程Ax+3y+C=0中，A=0或8=0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与

坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解。

跟踪训练1已知直线/经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线/的距离

相等,

求直线/的方程。

点睛：用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意。

延伸探究若将本题改为“已知直线/经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在/的

同侧且到该直线I的距离相等“，则所求I的方程为。

易错点——因对斜率的情况考虑不全面而致错

案例求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线/的方程。

点睛：在根据距离确定直线方程时，易忽略直线斜率不存在的情况，避免这种错误的方法

是当用点斜式或斜截式表示直线方程时，应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件，然

后再求解。

【达标检测】

1.点(1,-1)到直线y=l的距离是()

A.企B.亨C.3D.2

2.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线/：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于

()

C.［或［D.-或g

3.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是。

4.已知AABC三个顶点坐标A(-1,3),B(一3,0),C(1,2),求AABC的面积S。

5.已知直线/经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线/的距离相等，求

直线/的方程。

课堂小结

1•点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，

解题时要注意把直线方程化为一般式。

2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清

晰。

参考答案:

知识梳理

二、小试牛刀

1.答案：X

2.答案：C

解析：由点到直线的距离公式可得+”=乎。

V22

3.提示：该代数式可表示平面内点(a,b)到直线VIr+y+l=O的距离。

【学习过程】

思考1：思路①。定义法，其步骤为：①求/的垂线/的方程②解方程组，③得交点Q

PQ

的坐标④求|PQ|的长

思考2：设Pi(%-yj,P2(x2,丫2)直线。/%+By+C=0上的任意两点，则耳耳=

Cx2一久「丫2-丫1)是直线I的方向向量。把+Byx+C=0,AX2+By2+C=0两式相

减，得/(x2-xx)+B(y2-yr)=0,由平面向量的数量积运算可知，向量(4B)与向

量(x2-xlty2-%＞垂直，向量以2：82(/，就是与直线的方向向量垂直的一个单位向

量的单位向量，我们取n=(4，B),

\/A2+B2

从而丽,n=(x-x0,y-y0)(4B)CAx+By-Ax0-By0)

因为点M(x,y)在直线/上所以Ax+By+C=0代入上式，

得丽C-Ax0-By0-C)

因此展|=|两・止

二、典例解析

3I

例1［解］(1)直线产全+；化为一般式为3x—4y+l=0,由点到直线的距离公式可得

|3x3-4x(-2)+l|18

d^/32+(—4)25°

(2因为直线y=6与y轴垂直，所以点尸到它的距离1=|一2—6|=8.

(3)因为直线x=4与x轴垂直，所以点P到它的距离d=|3—4|=l.

跟踪训练1解：(方法一)当过点M(-l,2)的直线/的斜率不存在时，直线/的方程为

x=-l,

恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线/的距离相等，

故x=-l满足题意；

当过点M(-L2)的直线/的斜率存在时，

设/的方程为y-2=Z(x+1),BPkx-y+k+2=Q,

由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线/的距离相等，得

即九+3/5=0.

综上所述，直线/的方程为x=-l或x+3y-5=0.

爷”=卓丝，解得人工，

VP+iVH+13

此时/的方程为y-2=f(x+1),

(方法二)由题意得/〃A3或/过A3的中点。

当/〃A3时，设直线A3的斜率为左,

AB

即x+3y-5=O.

当/过A3的中点(-1,4)时，直线/的方程为x=-l.

综上所述，直线I的方程为x=-1或尤+3y-5=0.

直线I的斜率为ki,则kAB=ki=—=--,

-4-23

此时直线/的方程为广2=3(X+1),

延伸探究解析：将本例(2)中的x=-l这一情况舍去即可，也就是要舍去两点在直线/异

侧的情况。

答案：x+3y-5=0

案例所以原点到该直线的距离4=粤=3.

所以15左+8=0.所以k=-\

故直线I的方程为-各-y+3x(-^)+5=0,

错解：设所求直线方程为＞-5=攵(x+3),

整理，得依-y+3A+5=0.

错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密，求直线的方程时直接设为点斜式，没有考

虑斜率不存在的情况。

正解：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为y-5=Z(x+3),整理，得依-y+3A+5=0.

即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时，直线方程为x=-3也满足题意。故满足题意的直

线I的方程为8x+15y-51=0或x=-3.

所以原点到该直线的距离4=粤=3.

Vfc2+1

所以15&+8=0.所以k----o

is

故所求直线方程为广5=福(x+3),

【达标检测】

1.解析："焉=2,故选D.答案：D

2.解析：由点到直线的距离公式可得与篝=安坦，化简得|3。+3|=|64+4|,

yJa2+lva2+l

解得实数a=［或T。故选C.

答案：C

3.解析：由题意知过点尸作直线3x-4y-27=0的垂线，

设垂足为M,则|MP|最小，

直线MP的方程为广1=q(x-2),

3x-4y-27=0,%=5,

解方程组得

y-1=-(Cx-2),y=-3,

所求点的坐标为(5,-3)。

答案：(5,-3)

4.【解析】由直线方程的两点式得直线8C的方程为了仄;段,

2—()1+3

即x—2y+3=0,由两点间距离公式得

|BC|=7(-3-1)2+(0-2)2=275，

点A到8C的距离为4,即为8c边上的高，

1-1-2x3+314

公黄泉与⑹r

所以S——\BC\-d=-x2y/5x—y[5=4,

即△ABC的面积为4.

5.解：(方法一)•.•点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等，.•.直线/的斜率存

在，设为鼠

又直线/在y轴上的截距为2,则直线/的方程为产自+2,即H-y+2=0.

由点A(1,1)与B(-3,1)到直线/的距离相等，

二直线I的方程是y=2或x-y+2=0.

得需=空誓，解得左=0或七1.

Vk2+1Vk2+1

(方法二)当直线/过线段A3的中点时，A,8两点到直线/的距离相等。

•.•AB的中点是(-1,1),又直线/过点P(0,2),

/.直线I的方程是x-y+2=0.

当直线/〃A3时，A,8两点到直线/的距离相等。

•.•直线43的斜率为0,.•.直线/的斜率为0,

.•.直线/的方程为y=2.

综上所述，满足条件的直线/的方程是x-y+2=0或y=2.

2.3.4两条平行线间的距离

【学习目标】

1.理解两条平行线间的距离公式的推导

2.会求两条平行直线间的距离。

3.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数

学思想方法解决问题的能力。

【学习重难点】

重点：理解和掌握两条平行线间的距离公式。

难点：应用距离公式解决综合问题。

【知识梳理】

一、自主导学

问题：已知两条平行直线G的方程，如何求％与?2间的距离？

根据两条平行直线间距离的含义，在直线"上取任一点p（&，y。），，点P（&，y°）到直线G

的距离就是直线"与直线q间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。

两条平行直线间的距离

1.定义：夹在两平行线间的公垂线段的长。

2.图不：

3.求法：转化为点到直线的距离。

二、小试牛刀

1.原点到直线x+2y—5=0的距离是（）

A.72B.小C.2D.\[5

【学习过程】

一、情境导学

前面我们已经得到了两点间的距离公式,点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题,

两条直线间的距离也是值得研究的。

思考：立定跳远测量的什么距离？

A.两平行线的距离B.点到直线的距离C.点到点的距离

二、典例解析

例1.求证两条平行直线4%+By+Q=0与+By+C2=0间的距离为＜/=辱驾

IC1-C2I

思考：两条平行直线间的距离公式写成d=时对两条直线应有什么要求？

跟踪训练1两直线3x+y-3=O与6x+my+l=0平行，则它们之间的距离为（）

A.4B.迈C.旭D.还

132620

例2.已知直线/i：3x—2y—l=0和以3x-2y-13=0,直线/与一的距离分别是di,

d2,若由：龙=2：1,求直线/的方程。

求两平行直线间距离的两种思路

1.利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离。

2.接利直用两平行线间的距离公式，当直线/i：y^=kx+b\,b：y=依+历，且。/历时,

\b\~b:\IG-C2I

当直线/i：Ax+By+C\=0,京AX+B)，+C2=O且。印。2时，d=必须

、d+l'yl^+B2

注意两直线方程中x,y的系数对应相等。

跟踪训练2.直线/i过点A(0,1),/2过点8(5,0),如果八〃/2,且/1与/2间的距离为

5,求/1,/2的方程。

例3.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(—3,-1),并且各自绕着A,B旋

转，如果两条平行直线间的距离为D你能求出△的取值范围吗？

变式1.上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程。

距离公式综合应用的三种常用类型

1最值问题。

①利用对称转化为两点之间的距离问题。

②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离。

③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值。

2求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值。

3求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结

合直线的位置关系平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借

助三种距离公式求解。)

金题典例：已知正方形的中心为直线2x—y+2=0,x+y+l=O的交点，正方形一边所在

的直线/的方程为x+3y—5=0,求正方形其他三边所在直线的方程。

母题探究：1.求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程。

2.本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？

【达标检测】

1.平行直线尔3x—y=0与m3x—y+®=0的距离等于()

A.1B.0C.V10D.3

2.分别过点A(-2,1)和点8(3,-5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间

的距离是0

3.已知两点A(3,2)和8(—1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等，贝Um=。

4.求与直线/：5元一12》+6=0平行且与直线/距离为3的直线方程。

课堂小结

点到直线的距离与两条平行线间的距离

点到直线的距离两条平行直线间的距离

点到直线的垂线段的长夹在两条平行直线间公垂线段

定义

度的长度

点Po（九o,yo）到直线/：两条平行直线/1：Ax+By+Cs

Ac+By+C=0的距离=0与，2：Ar+By+C2=0(。生。2)

公式

|Axo+Byo+C|

'y[A2+B2之间的距离d-giqzp

参考答案：

知识梳理

二、小试牛刀

I-5|

1.D碎=小可^=小。选D.］

【学习过程】

二、典例解析

例1.分析：两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一

条直线的距离

证明：在直线+By+Ci=0上任取一点P（%o，y。），点P（%o，y0）到直线4％