上海市静安区2023届初三中考一模数学试卷+答案

静安区九年级一模数学学科练习

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题；

2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无

效；

3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主

要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置

上.】

1.下列实数中，无理数是（）

A.VF6B.C.（〃+2）。D.1

7

2.计算的结果是（）

A.xB.x5C.x6D.x9

3.如果非零向量人互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）

A.aHbB.卜|=1|C.a+b=0

D.a=-b

4.如图，已知与.。砂，下列条件一定能推得它们相似的是（）

A

;

BCEF

BC

A.ZA=ZD,NB=NEB.NA=ZD且一=

DF~EF

ABAC

C.ZA=ZB,ZD=ZED.ZA=NE且一=■

DEDF

5.如果0°<NA<45°,那么sinA与cosA的差（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

6.如图，在4ABe中，中线AO与中线BE相交于点G,联结。E.下列结论成立的是（）

A

cBGDEDE

A.DG=-AGB.--------D.~2

3EGABGBJ

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.-倒数是.

3

9.己知f=2,则，的值是

b3a+b

10.抛物线）=（%+/）2—2与y轴的交点坐标是.

11.请写出一个以直线x=3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是

.（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）

12.有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面A8宽20米，拱桥的最高点。距离水面AB为

3米，如图建立直角坐标平面X0V，那么此抛物线的表达式为.

13.一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作8C、AD，且迎水坡A3的坡度为1：2.5,背水坡的

坡度为1：3,则迎水坡A8的坡角背水坡CO的坡角.（填“大于”或“小于”）

12

14.己知..ABC..A4cl.^BC,_ABC与△A4G的相似比为—，_ABC与△&约c2的相似比为:，那

22253

么△44G与△&旦&的相似比为.

15.在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于点尸.如果点尸恰好

是边CO的黄金分割点（。/>/。），且PE=2,那么PE=.

DE

16.在ABC中，48=6,4。=5,点。、后分别在边囚民4。上，当AD=4,/ADE=NC时，——

BC

17.如图，绕点C逆时针旋转90°后得,OEC,如果点8、D、E在一直线上，且N3DC=60°,BE=3,

那么/、。两点间的距离是

18.定义：把二次函数y=a（x+m）~+〃与y=-a（x-〃z）2-〃（«#0,加、〃是常数）称作互为''旋转函数如果

二次函数丁=/+^^一2与y=—/―；cx+c（6、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（"c）的坐标

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.计算：Jcos?30。_sii?30。+kot45。-sm45。］.

（tan45°J

20.如图，已知在ABC中，点。、E分别在边A3、AC上，且皮）=2AD，AE=-EC.

2

（1）求证：DE//BC,

（2）设8E=a，BC=b，试用向量a、。表示向量AC.

21.如图，已知在ABC中，为锐角，AO是3c边上的高，cosB=』，AB=13,BC=21.

A

（1）求AC的长；

（2）求/B4c的正弦值.

22.有一把长为6米的梯子AB，将它的上端/靠着墙面，下端8放在地面上，梯子与地面所成的角记为a,地

面与墙面互相垂直（如图1所示），一般满足50°Wa475。时，人才能安全地使用这架梯子.

图1图2

（1）当梯子底端8距离墙面2.5米时，求a的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？

（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端/离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端”沿着墙面下

滑1.5米到墙面上。点处停止，梯子底端8也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安

全使用这架梯子？请说明理由.

23.如图，梯形NBC。中，AD//BC,分别交对角线NC、底边8c于点E、F,且.

（1）求证：AB//FD-.

（2）点G在底边8C上，BC=10,CG=3,连接AG,如果_AGC与的面积相等，求FC的长.

24.如图所示，在平面直角坐标系X0X中，抛物线>=依2+法一6（。。0）与x轴交于点力、B（点/在点8的

左侧），交y轴于点C,联结8C,/ABC的余切值为：，45=8,点尸在抛物线上，且PO=PB.

(1)求上述抛物线表达式；

(2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点。和点P,新抛物线的对称轴与x轴交于点E.

①求新抛物线的对称轴；

②点尸在新抛物线对称轴上，且/EOF=NPCO,求点尸的坐标.

25.在等腰直角中，NC=90°,AC=4,点。为射线C3上一动点(点。不与点8、C重合)，以AO为

腰且在AO的右侧作等腰直角△AQF,2ADF90?,射线A8与射线口»交于点E，联结防.

备用图

(1)如图1所示，当点。线段CB上时,

①求证：ACD~ABF；

②设CD=x,tan/BED=y,求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围;

(2)当4?=23E时，求CD的长.

九年级数学学科练习

考生注意:

1.本试卷含三个大题，共25题;

2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无

效；

3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主

要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置

上.】

1.下列实数中，无理数是（）

C.（乃+2）。D.1

A.屈B.3

【答案】B

2.计算噂叨2的结果是（）

A.xB.X5C.x6D.x9

【答案】B

3.如果非零向量。、匕互为相反向量，那么下列结论中错误是（）

A.a〃Z?B.卜卜WC.a+b-0D.a=-b

【答案】C

4.如图，已知一ABC与」死尸，下列条件一定能推得它们相似的是（）

4=〃且器BC

A.ZA=ND,NB=NEB.

~EF

C.ZA^ZB,ZD=ZED.ZA=NE且一=——

DEDF

【答案】A

5.如果0°<NA<45°,那么sinA与cosA的差（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

【答案】B

,/COSA=sin（90°-ZA）,正弦函数随着角的增大而增大，

...当00<ZA<45°时，45°<90°-ZA<90°,

sinA<cosA=sin（90°-ZA）,即sinA—cosA<0,

故选B.

6.如图，在3ABe中，中线AO与中线BE相交于点G,联结£>E.下列结论成立的是（）

BGDES&DEGS^CDE_J_

A.DG=-AGB.------------C.

3EGABq^AAGB2

【答案】C

；中线AO与中线BE相交于点G,

DE是」ABC的中位线,

：.DE//AB,DE=^AB,

：.NDEG=ZABG,ZDGE=ZAGB,NCDE=ZCBA,

DEG』ABG,

2GDE1AB

---==-

AGAB-2-D-

)E

11GB2

-

一-

一---

4-2BE3

・uAGB_

,♦二?一针

AE=EC,

・・SAEB=]SABC9

•・SAGB=§SABC，

DEIIAB,

,\^CDE~_CBA,

.SCDE.侬丫」

.飞机U5J4'

T

•**SCDE=1SABC

・uCDE_J

,•二-4'

S1

・・・结论正确的是

>AGB4

故选：c.

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.，的倒数是

3

【答案】3

一生2a4

8.计算：----1---------=__________.

。+2。+2

【答案】2

9.已知3=一，则，的值是___.

b3a+b

2

【答案】y##0.4

10.抛物线y=(x+/)2—2与y轴交点坐标是.

【答案】(0,-1)

11.请写出一个以直线x=3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是

.(只要写出一个符合条件的抛物线表达式)

【答案】y=(x-3)2+l,答案不唯一

解：根据题意可得满足条件抛物线解析式可为：

y=(x-3>+1

故答案为：y=(x-3>+l,答案不唯一

12.有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面A8宽20米，拱桥的最高点。距离水面为

3米，如图建立直角坐标平面xOy,那么此抛物线的表达式为.

3

【答案】y-........x23##y=—0.03x-

100

设抛物线解析式为y=O?,

由图象可知，点8的坐标为(10,—3),

代入解析式得—3=100a,

3

解得”一工，

100

3

该抛物线的解析式为y=—而f，

3,

故答案为：y=一1田》•

13.一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、A。，且迎水坡AB的坡度为1：2.5,背水坡CO的

坡度为1：3,则迎水坡A3的坡角背水坡CO的坡角.(填“大于”或“小于”)

【答案】大于

解：；迎水坡A3的坡度为1：2.5,背水坡CD的坡度为1：3,

“1c1

♦・tanA=—，tanD=一,

2.53

11

♦--->一，

2.53

ZA>zr>>

即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角.

故答案为：大于.

C___B

12

14.已知—ABC44G层。2，ABC与与G的相似比为一，A6C与△&鸟g的相似比为:，那

53

么与的相似比为.

【答案】—

3

设AB=/〃，

ABC-A4clAAG，

.AB_1AB_2

■-4^-5'AB,~3'

44=5叫AB,=—m,

A4_5m_10

“4—m

2

故答案为：—.

3

15.在矩形ABC。内作正方形AEED（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EE于点P.如果点尸恰好

是边CO的黄金分割点（。/〉/7。），且PE=2,那么.

【答案】石-1##-1+6

•••四边形ABC。为矩形，四边形AEED为正方形，

：.NPFC=/PEA=90。，DF=AE，

•：NCPF=ZAPE,

C..PFCPEA,

.PF_CF_CF

"~PE~^E~~DF'

•••点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC),PE=2,

.PFV5-1

••=-------,

22

PF=$L

DE

16.在中，48=6,4。=5,点。、£分别在边48,4。上，当4r>=4,/ADE=NC时，——

BC

4

【答案】-##0.8

在_ABC中，：ZA=NA,ZADE=NC,

i.ABC~dAED，

.ADDE

**AC-SC)

•/AD=4,AC=5,

一

•••4一DE,

5BC

4

故答案为：y.

17.如图，_A5C绕点C逆时针旋转90°后得£0EC，如果点8、D、E在一直线上，且NBDC=60°,BE=3,

那么4、3两点间的距离是.

【答案】岳

过点C作CE_LBE交于点尸,

二ZCFD=90°,

'：_ABC绕点C逆时针旋转90°后得_OEC,

ZACD=/BCE=90°,AC=CD,BC=CE,即^ACD-BCE是等腰直角三角形,

BE=3,

13

二CF=-BE=—,

22

•；ZBDC=60°,

.•.48=30°,

.“6fV336

••DF=—CF=—x-=—,

3322

CD=IDF=V3，

；•AD=&D=0x6=瓜,

故答案为：、后.

18.定义：把二次函数y=a（x+〃?）~+〃与y=-a（x-〃z）2-〃（存0,m,"是常数）称作互为“旋转函数如果

31

二次函数y=f+彳灰一2与y=—x2—[cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点尸0,c）的坐标

【答案】（一;,2）

y=J-|—bx―2

2

y=—x——cx+c

4

,，1、

=-（尤+—ex）+c

=-（x+-c）2+c+—c2

864

‘3,1

—b-——c

48

-2--Z?2+c+—c2=0

I1664

/>=--

••・解得：J3

c=2

故答案为：（—q,2）

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

'cot45°-sin45°丫

19.计算：7cos2300-sin230°+

、tan45°J,

［答案］匕旦

2

也丫

解,—,）J）*

2

1

7

=J---+1+--V2

V442

=也+1+二6

22

_3-V2

2

20.如图，已知在_ABC中，点。E分别在边A3、AC上，且80=24），AE=-EC.

2

A

(1)求证：DE//BC-,

(2)设BE=a，BC=b，试用向量a、b表示向量AC.

【答案】(1)见解析.

(2)AC=-b--a

22

[1]

证明：BD-2AD,AE^-EC

2

ADAE_}

AB-AC-3

.-.DE//BC

[2]

BE=a,BC=b

•••EC=BC—BE=b—a

—3-3-

AC=-b--a

22

21.如图，已知在一ABC中，N5为锐角，AO是BC边上的高，cosB=\,

AB=\\BC=2\.

(1)求AC的长；

(2)求NB4c的正弦值.

【答案】(1)AC长为20.

(2)/BAC的正弦上.

RDO

cosB==—,AB=13,

AB15

.•.80=13x2=5,

13

:.CD=BC—BD=21=5=16

AD=\JAB2-BD2=V132-52=12

AC=^AEr+CEr=V122+162=20

[2]

作C”_LAB于，

,48。的面积=,48（"=，3。.4。

22

...13C〃=21x12

252

:.CH=j

13

252

.•.NB4c的正弦值是C"1363

AC2065

22.有一把长为6米的梯子A8,将它的上端/靠着墙面，下端8放在地面上，梯子与地面所成的角记为a,地

面与墙面互相垂直（如图1所示），一般满足50°Wa<75°时，人才能安全地使用这架梯子.

图1图2

（1）当梯子底端8距离墙面2.5米时，求a的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？

（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端/离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端N沿着墙面下

滑1.5米到墙面上的。点处停止，梯子底端8也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安

全使用这架梯子？请说明理由.

【答案】（1）人能安全地使用这架梯子，理由见解析

（2）不能安全地使用这架梯子，理由见解析

由题意得NO=90°,。3=2.5,A3=6,

皿〃=空=至=』

AB612

查表得Na=65°,

一般满足50。Wa475。时，人才能安全地使用这架梯子,

二人能安全地使用这架梯子；

[2]

不能安全地使用这架梯子，理由如下：

由题意得NABO=75°,ZO=90°,AB=6,

AOAOV2+V6

sin75°

AO=£0+布卜5.80米，

；AD=1.5,

O£>=4.3米，

/.sinNDEO=—=—®0.72,

DE6

查表得ZDEOQ46。，

二不在安全范围之内.

23.如图，在梯形488中，AD//BC，。尸分别交对角线/C、底边BC于点E、F,且AZ>AC=AE-BC.

（1）求证：AB//FD；

（2）点G在底边8c上，3c=1（）,CG=3,连接4G,如果,AGC与&EFC的面积相等，求FC的长.

【答案】（1）见解析（2）廊

[1]

证明：ADAC=AEBC

:.AD:AE^BC:AC

AD\BC

:"DAE=ZACB

AED^CAB

:.ZAED^ZCAB

:.AB//FD

[2]

SAGC_GC_3

根据题意得,

sABCBC10

EFHAB

:.二EFCsjABC

,SEFC(CfVCF2

■■^7=IBCJ=-ioo

AGC和；及C面积相等

3_CF2

,,io-io(r

解得：CF=回

24.如图所示，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+Z?x-6（。。0）与x轴交于点AB（点/在点8的

左侧），交y轴于点C,联结8C,/ABC的余切值为:，AB=8,点尸在抛物线上，且PO=PB.

（1）求上述抛物线的表达式；

（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点。和点P,新抛物线的对称轴与x轴交于点E.

①求新抛物线的对称轴；

②点尸在新抛物线对称轴上，且/EOF=NPCO,求点尸的坐标.

【答案】（1）y^-x2+2x-6

2

（2）①对称轴为直线x=4；②6（4,1）,居（一4,1）

[1]

•・•抛物线了=以2+。%一6（。。0）,当工=0时，y=-6,

・・・C（0,-6）,即OC=6,

CR1

在RtAOBC中，cotZ-ABC-=—

OC3

:.08=2,

8(2,0),

A8=8,

/.OA=6,

A(-6,0),

0=4。+2Z?-6

把4、8的坐标代入y=ox?+a一6,得，

0=36。-6b-6

1

a=—

解得|2,

b=2

：.抛物线解析式为y=；V+2%—6；

[2]

1,

①设平移后的解析式为y=-x2+nvc+n,

'：PO=PB,

二尸在BO的中垂线上，

〃二0

将0(0,0),P坐标代入丁=+如+〃，

/〃=一4

：.<,

n=0

...新抛物线的解析式为y=gx2-4x,

二对称轴为直线x=4；

7

②过点产作轴于M则ON=—,PN=1,

2

75

CN=6——=—

22

.-.£（4,0