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(中值定理与导数的应用)第三章微分中值定理与导数的应用这一章提供了各种各样的方法来研究函数。这其中又提供了两种求极限的方法---洛必达法则与泰勒式；另外利用微分中值定理,函数的单调性，凹凸性，泰勒公式又可解决一大类不等式及等式的证明，结合上面连续函数的性质,又可讨论方程根的分布。函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化性质—变化率，它是函数在该点的一个局部性质。有时候，我们要研究函数在整个定义域上的变化形态，这就是要了解函数在其定义域上的整体性质。而函数的局部性质与整体性质是通过中值定理表达的。这些中值定理是微分学的基础，它联系着导数的许多应用。第一节微分中值定理一.罗尔(Rolle)定理首先，我们看图,其中连续曲线弧AB是函数y=f(x)，(x∈[a,b])的图形。此图形的两个端点的纵坐标相等，即f(a)=f(b)，且除了端点外处处有不垂直于x轴的切线。x可发现在曲线弧的最高点或最低点C处，曲线有水平的切线.如果记C点的横坐标为ξ，那么有=0。我f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么=0.们用数学语言来描述这个情况,先介绍费马定理。引理(费马定理)设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内有定义并且在x0处可导,如果对任意的x∈U(x0)，有当△x<0时bxyoξaABC证明:设x∈U(x0)时,f(x)≤f(x0)[对f(x)≥f(x0)可以同样证明]对于x0+△x∈U(x0),有f(x0+△x)—f(x0)≤0,当△x>0时根据函数f(x)在x0点可导的条件,再由极限的保号性，便得到=0证明完毕。通常称导数为0的点为函数的驻点，(或称为稳定点,临界点)所以罗尔定理设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点的导数等于0,即有(a<ξ<b)(1)证明:由于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么它在该区间上必定存在最大值M和最小值m,下面我们分两种情况来证明定理1axyf(x)=kbo即f(x)在[a,b]上是常数;所以在(a,b)内的任意一点C有f’(C)=0(1)设M=m由知道在(a,b)内取得M或m值的点ξ,有xyf(x)=kaboMmξ1ξ2(2)设M≠m,必有m<M,由于f(a)=f(b),所以在区间的两端,函数f(x)不可能同时取到最大值和最小值,M和m中至少有一个是在(a,b)内达到,由费马定理我们定理1的几何意义是:对于满足条件的f(x)在(a,b)内至少有一点ξ(即中间值),使f(x)在x=ξ时有水平切线,即f’(ξ)=0.

罗尔中值定理:若函数y=f(x)满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内具有导数(3)在区间的端点的函数值相等f(a)=f(b)结论是在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)使f’(ξ)=0例如函数f(x)=|x|,x∈[-1,1],

(1)在[-1,1]上连续,(2)f(-1)=f(1)=1,但在x=0处不可导(不满足第二个条件),所以在[-1,1]内找不到一点ξ使f’(ξ)=0.同学们注意:必须要满足这3个条件,如果少一个就没有这个结论.例1设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在任一点处的导数都不为零.又f(a)·f(b)<0.试证明:方程f(x)=0在开区间(a,b)内有仅有一个实根.证明:由于函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0.即f(a)与f(b)异号,由闭区间上连续函数的性质,至少存在一点x0∈(a,b),使f(x0)=0,即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根x0.再证明只有一个实根,用反证法.假设还有x1∈(a,b),x1∈(a,b),x1≠x0,使f(x1)=0.那么由罗尔定理知道,必定存在一点ξ∈(a,b),使f‘(ξ)=0,则与题设导数恒不为零相矛盾.因此方程f(x)=0只有一个实根x0.二拉格朗日(Lagrange)定理定理2设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得分析:看图(2)式的右边是连续曲线上两点A(a,f(a)),B(b,f(b))的弦的斜率,定理的结论是至少存在一内点ξ,使得曲线上的点C(ξ,f(ξ))的切线平行于AB弦.当f(a)=f(b)时拉格朗日定理就是罗尔定理.

xyf(x)=kaboξ1ξ2f(ξ)f(a)f(b)AB这里采用构造一个函数的方法是高等数学中常用的方法.请同学注意,要学会它.证明：因为弦AB的方程是设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则函数φ(x)也在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由φ(a)=φ(b)根据定理1知道至少存在一点ξ,使得它可以写成下列几个常用的公式我们知道x+θ△x在x和x+△x之间,它是个中值.下面我们介绍一个推论如果函数f(x)在某区间I上的导数恒为0则此函数在区间上是一个常数.证明:任意取x1,x2∈I,由中值定理:f(x2)-f(x1)=f’(C)(x2-x1)其中c位于x1,x2之间,由题设可知f(x2)=f(x1)由x1,x2的任意性,知道f(x)=C(常数,x∈I,)例2设函数f(x)在区间I上的导函数f’(x)有界,证明存在常数L使得对于I上任意两点x1和x2,都有不等式|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|成立这时称为函数在区间I上满足李普希茨(Lipschitz)条件证明:由中值定理:f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1)其中ξ在x1,x2之间由题可知存在L>0,使得|f’(ξ)|<L所以

|f(x1)-f(x2)|=|f’(ξ)||(x2-x1)|

≤L|x1-x2|例3:证明等式:证明：将左式设为f(x),当|x|<1/2时由中值定理可知f(x)=C(常数,|x|<1/2)在(-1/2,1/2)中选一点计算函数值,例如取x=0,得到f(0)=3arccos0-arccos0=3π/2-π/2=π所以f(x)=π(|x|<1/2)当x=1/2时,有3arccos1/2-arccos(3/2-1/2)=3π/3-0=π3arccos(-1/2)-arccos(-3/2+1/2)=3×2π/3-π=π例4若f(x),g(x)在[0,+∞]上连续,在(0,+∞)内可微,且f(0)=g(0),当x>0时,f’(x)>g’(x).，则当x>0时,f(x)>g(x).例5证明不等式:证明:设F(x)=f(x)-g(x)(x>0)由于F(0)=f(0)-g(0)=0,且F’(x)=f’(x)-g’(x)>0(x>0)所以F(x)-F(0)=F’(x)·(x0)>0→F(x)=f(x)-g(x)>0即f(x)>g(x).分析:上面的不等式包含两个不等式关系:对于每一个不等式,问题是比较两个函数的大小.我们直接利用例3设三柯西(Cauchy)定理定理3设函数f(x)和g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g’(x)≠0,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得下式成立将(4)式写成下列形式,且构造辅助函数(辅助函数一般的构成方法是把结果的右边移到左边,使它变成零.)证明：先证明(4)式中分母g(b)-g(a)≠0,因为g’(x)≠0,根据中值定理将辅助函数求导,应用(Lagrange)定理可以得到.构造函数它在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,柯西(Cauchy)定理得到证明.根据(Rolle)定理可以得到:至少存在一点ξ,使罗尔(Rolle)定理，拉格朗日定理，柯西(Cauchy)定理之间的关系定理及关系条件结论罗尔(Rolle)定理f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b),(a,b)内至少存在一点ξ,f’(ξ)=0(a<ξ<b)

f(a)=f(b),拉格朗日定理(Lagrange)f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a,b)内至少存在一点ξ,柯西(Cauchy)定理f(x)，g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,g’(x)≠0,(a,b)内至少存在一点ξ,g’(x)=xf(a)=f(b)例6当x>1时,试证明不等式ex>ex.证明:用拉格朗日定理证明不等式的关键是构造一个

辅助函数,并定出一个适当的区间,使该辅助函数在区间上满足定理的条件,然后由中值ξ所在的位置,放大或缩小f’(ξ),推出要证的不等式.设f(x)=ex