图论的基本概念

图论的基本概念汇报人：AA2024-01-24目录CONTENTS图论简介图的基本概念图的连通性图的路径与回路图的着色问题图论在计算机科学中的应用01图论简介CHAPTER图论是研究图的结构、性质及其应用的数学分支。图是由顶点（或节点）和连接顶点的边所组成的数学结构，用于描述对象及其之间的关系。图论起源于18世纪，欧拉对哥尼斯堡七桥问题的研究标志着图论的诞生。此后，图论逐渐发展成为一个独立的数学分支，并在计算机科学、运筹学、物理学、化学等领域得到广泛应用。图论的定义与发展计算机科学在计算机科学中，图论被广泛应用于网络设计、数据结构、算法设计等领域。例如，最短路径算法、最小生成树算法等都是基于图论的理论基础。物理学在物理学中，图论被用于描述和研究物理系统的结构和性质。例如，在量子力学中，费曼图用于描述粒子之间的相互作用；在统计物理中，图论被用于研究复杂网络的性质和行为。化学在化学中，图论被用于描述分子结构和化学反应。例如，化学图论可以表示分子中的原子和化学键，以及它们之间的连接关系；反应图论则可以描述化学反应的过程和机理。运筹学在运筹学中，图论被用于解决优化问题，如网络流问题、运输问题、分配问题等。这些问题可以通过构建图模型，并应用图论算法进行求解。图论的应用领域02图的基本概念CHAPTER图的定义图是由顶点（vertices）和边（edges）组成的一种数据结构，用于表示对象及其之间的关系。图的表示图可以用邻接矩阵（adjacencymatrix）或邻接表（adjacencylist）来表示。邻接矩阵是一个二维数组，表示顶点之间的连接关系；邻接表则是由链表或数组等数据结构实现的，用于存储每个顶点的邻居信息。图的定义与表示图中的顶点表示对象或实体，可以是任何具有特定意义或属性的数据元素。顶点（Vertices）图中的边表示顶点之间的关系或连接。边可以是有向的（directed），也可以是无向的（undirected）。在有向图中，边具有方向性，表示从一个顶点到另一个顶点的单向关系；在无向图中，边没有方向性，表示两个顶点之间的双向关系。边（Edges）图的顶点与边图的分类无向图（UndirectedGraph）无向图中的边没有方向性，表示两个顶点之间的双向关系。无向图常用于表示无向网络、社交网络等场景。有向图（DirectedGraph）有向图中的边具有方向性，表示从一个顶点到另一个顶点的单向关系。有向图常用于表示有向网络、流程图等场景。加权图（WeightedGraph）加权图中的边具有权重属性，表示顶点之间关系的强度或成本。加权图常用于表示交通网络、通信网络等场景。非加权图（UnweightedGrap…非加权图中的边不具有权重属性，仅表示顶点之间的连接关系。非加权图常用于表示简单的网络结构或拓扑关系。03图的连通性CHAPTER连通图在无向图中，若任意两个顶点之间都存在一条路径，则称该图是连通图。连通分量在无向图中，极大连通子图称为连通分量。即顶点集V的一个非空子集，使得在该子集中任意两个顶点之间都存在一条路径，且该子集是满足此条件的最大子集。连通图与连通分量在无向连通图中，删除一个顶点及其相关联的边后，使得图不再连通，则该顶点称为割点。割点在无向连通图中，删除一条边后，使得图不再连通，则该边称为割边或桥。割边（桥）割点与割边欧拉图存在一条经过图中每条边恰好一次的回路（欧拉回路）的图称为欧拉图。具有欧拉回路的图必须满足所有顶点的度数为偶数。哈密尔顿图存在一条经过图中每个顶点恰好一次的回路（哈密尔顿回路）的图称为哈密尔顿图。判断一个图是否为哈密尔顿图是NP完全问题，没有已知的多项式时间算法可以解决所有情况。欧拉图与哈密尔顿图04图的路径与回路CHAPTER在图论中，路径是一个顶点的序列，其中每对相邻的顶点之间都存在一条边。路径的长度等于它包含的边的数量。回路是一种特殊的路径，它的起点和终点是同一个顶点。回路也被称为环。路径与回路的定义回路路径最短路径的定义01在图论中，最短路径问题是指寻找图中两个顶点之间边数最少的路径。这种路径也被称为最短路径。Dijkstra算法02Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的贪心算法。它通过逐步增加已知最短路径的顶点集合，来找到从源顶点到所有其他顶点的最短路径。Floyd算法03Floyd算法是一种动态规划算法，用于计算图中所有顶点对之间的最短路径。它通过不断更新顶点之间的距离矩阵，来找到所有顶点之间的最短路径。最短路径问题VSEuler回路是指经过图中每条边恰好一次的回路。一个连通图存在Euler回路的充分必要条件是图中所有顶点的度都是偶数。Hamilton回路Hamilton回路是指经过图中每个顶点恰好一次的回路。判断一个图是否存在Hamilton回路是一个NP完全问题，没有已知的多项式时间算法可以解决所有情况。然而，对于某些特殊类型的图（如完全图、竞赛图等），存在有效的算法可以判断其是否存在Hamilton回路。Euler回路回路的存在性定理05图的着色问题CHAPTER任意一张平面地图，都可以用最多四种颜色来着色，使得任意两个相邻的区域颜色不同。四色定理图G的顶点色数是指对图G的顶点进行着色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同所需的最少颜色数。顶点色数图G的色多项式是图G的顶点着色方案数的多项式表示，记作P(G,k)，表示用k种颜色对图G进行顶点着色的方案数。色多项式顶点着色问题

边着色问题边色数图G的边色数是指对图G的边进行着色，使得任意两条相邻的边颜色不同所需的最少颜色数。Vizing定理对于任意简单图G，其边色数χ’(G)满足Δ(G)≤χ’(G)≤Δ(G)+1，其中Δ(G)表示图G的最大度。König定理对于二部图G，其边色数等于其最大度。可以画在平面上，使得任意两条边只在端点处相交的图称为平面图。平面图的定义任意一张平面图都可以用最多五种颜色来着色，使得任意两个相邻的区域颜色不同。五色定理对于任意平面图G，其顶点色数χ(G)≤[(Δ(G)+1)/2]，其中Δ(G)表示图G的最大度。该猜想已被证明对于Δ(G)≥8的情况成立。Heawood猜想平面图的着色问题06图论在计算机科学中的应用CHAPTER在给定的有向图中，寻找从源点到汇点的最大可行流。最大流问题最小割问题费用流问题确定将网络划分为两个不相交子集的最小割集，使得源点和汇点分别位于两个子集中。在满足流量守恒的条件下，寻找具有最小费用的流。030201网络流问题123从任意顶点开始，每次选择连接已选顶点和未选顶点中权值最小的边，直到所有顶点都被选中。Prim算法按照边的权值从小到大的顺序选择边，每次选择一条连接两个未连通子图的边，直到所有顶点都在同一个连通子图中。Kruskal算法最小生成树是唯一的，且其权值之