新教材2023版高中数学第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程2.7.2抛物线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一册

2.7.2抛物线的几何性质[课标解读]

1.经历从抛物线标准方程和代数运算得到抛物线的简单几何性质、几何图形，并给出几何解释，解决问题，了解它们的简单几何性质.2.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题(图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.3.了解抛物线的简单应用．新知初探·自主学习课堂探究·素养提升新知初探·自主学习教材要点知识点一抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点________离心率e＝________(0，0)1状元随笔参数p对抛物线开口大小有何影响？[提示]参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y2＝2px(p＞0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p＞0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p＞0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p＞0)|AB|＝p－(y1＋y2)基础自测1.四种标准方程对应的抛物线有相同的(

)A．顶点B．焦点C．准线D．对称轴答案：A

答案：C

3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是(

)A．8

B．6

C．4

D．2答案：A解析：∵抛物线的方程为y2＝8x，∴其准线l的方程为x＝－2，设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|，即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，∵点P到y轴的距离是6，∴x0＝6，∴|PF|＝6＋2＝8.4．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(

)A．x2＝16y

B．x2＝8yC．x2＝±8y

D．x2＝±16y答案：D解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.课堂探究·素养提升题型1由抛物线的几何性质求标准方程例1

抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．

状元随笔解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．方法归纳用待定系数法求抛物线方程的步骤

题型2抛物线几何性质的应用例2

已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；解析：抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．

状元随笔(1)利用抛物线对应性质的公式求解；(2)利用抛物线的对称性即重心的性质求解．例3

求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值．

状元随笔方法一：(代数法)设出抛物线上的动点，转化为函数求最值；方法二：(几何法)数形结合思想转化为两条平行线间的距离求解．方法归纳抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质．跟踪训练2

(1)已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________；

(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．

2．以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？[提示]

如图，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线