相似三角形-2022年中考数学一轮复习帮(浙江专用)(解析版)

考点14相似三角形

【命题趋势】

相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，它不仅可以作为简单考点单独考察，

还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察。而且,

在很多压轴题中，虽然题面上没有明确考察相似三角形的判定或性质，但是经常通过相似三

角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重

要手段。需要考生在复习的时候给予加倍的重视！

【中考考查重点】

一、比例线段

二、相似三角形的性质

三、相似三角形的判定

四、相似三角形的基本图形

考向一：比例线段

一.比例的性质

1.基本性质：a:b=c:dad=be；

2.比例中项：a:c=c:bo*=ab,此时，c为a、b的比例中项；

二.比例线段

1.比例线段：在四条线段中，如果。和6的比等于c•和d的比，那么这四条线段

a,b,c,d叫做成比例线段简称比例线段；

2.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC（AC>3。，且使AC是A3和8C的比例

中项，叫做把线段黄金分割，点。叫做线段A8的黄金分割点，其中=1二!■AB心

2

0.618AB.

3.平行线分线段成比例的基本性质:

如图：AB〃CD〃EFo4£=J?2

CFDE

【同步练习】

1.己知包=2,则三也的值为（）

b5b

A.2B.3C.7D.2

5553

【分析】直接利用同一未知数表示出小〃的值，进而代入化筒即可.

【解答】解：•.•包=2,

b5

；•设a=2x,b=5x>

•a+b=2x+5x=7

,，-b5T~?

故选：c.

2.线段AB的长为2,点C是线段A8的黄金分割点，则线段AC的长可能是（）

A.V5+1B.2-近C.3-75D.遥-2

【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求

出即可.

【解答】解：•••点C是线段AB的黄金分割点，AB=2,

：.AC=y^~1AB=^~1X2=V5-1,

22

或AC=2-（旄-1）=3-遥，

故选：C.

3.如图，直线a,b,c截直线e和/,a//b//c,过_=Z,则下列结论中，正确的是（)

BC5

CBE-2

'CF^5

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答本题.

【解答】'：a//b//c,坐■上,

BC5

・DE^AB^2

"EFBC"5

••——=7,EF=❷，^LJL,故选项A正确，符合题意，选项8、。不正确，不符合题

DE2DE2EF5

意；

连接AF,交BE于H,

,JBE//CF,

••---B--H=,A一BZ：—2♦

CFAC7

-B-E-二-2-,

CF5

选项c不正确，不符合题意：

故选：A.

4.若包=&=2（aWc）,则也二包=.

ac2a-c

【分析】根据等比的性质即可求解.

【解答】解：♦.•t=旦=工QWc）,

ac2

vb-d=1

a-c2

故答案为：1.

2

5.若三々一.（x、y、z均不为0）,则三堂-=

6433y-2z

【分析】设比值为％,然后用％表示出x、y、z,再代入比例式进行计算即可得解.

【解答】解：设三=工=三=k（ZW0）,

643

则x=6k,y=4k,z=3k,

所以，x+3y=6k+l2k=3.

3y-2z12k-6k

故答案为：3.

6.如图，在△ABC中，点£>,E分别在边AB,AC上，DE//BC,已知AE=6,迫屈

AB7

则EC的长是

【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论得出幽=坦=3,将AE=6代入，求出

ACAB7

AC=14,那么EC=AC-AE=8.

【解答】解：

•AE=AD3

"ACABf

；AE=6,

._6_=3_

''ACT

解得：AC=14,

，EC=4C-AE=14-6=8.

故答案是：8.

考向二：相似三角形的性质

相似三角舷的性质

相似相似三角形的对应角相等，对应边成比例

三角相似三角形的周长之比等于相似比

形的相似三角形的面积之比等于相似比的平方

性质相似三角形的对应“三线”（高线、中线、角平分线）之比等于相似比

【方法提炼】

相似三角形性质的主要应用方向：

>求角的度数

>求或证明比值关系

>证线段等积式

>求面积或面积比

相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的

重要手段

【同步练习】

1.如图，已知△ABES/XCDE,AD.BC相交于点E,/XABE与△（?£）£的周长之比是2,

5

若AE=2、BE=1,则BC的长为（）

A

c乙------

A.3B.4C.5D.6

【分析】首先利用周长之比求得相似比，然后根据AE的长求得CE的长，从而求得8C

的长.

【解答】解：,:△ABEs^CDE,与△CQE的周长之比是2,

5

•"氏CE=2：5,

VAE=2,

:・CE=5,

,:BE=T,

：.BC=BE+EC=H5=6,

故选：D.

2.如图，已知△ABCs/SOEF,若/4=35°,ZB=65°,则/尸的度数是（）

【分析】先根据三角形内角和定理求出NC的度数，再根据相似三角形对应角相等即可

解决问题.

【解答】解：•.•△48C中，NA=35°,28=65°,

.'.ZC=180°-AX-ZB=180°-35°-65°=80°,

又：△ABSXDEF,

.,.ZF=ZC=80°,

故选：C.

3.如图，在正方形网格中：△ABC、尸的顶点都在正方形网格的格点上，t\ABCs匕

【分析1利用相似三角形的性质，证明NBAC=135。，可得结论.

【解答】解：；AABCSAEDF,

：.ZBAC=ZDEF=135°,

ZABC+ZACB=180°-135°=45°,

故选：B.

4.如图，△ABCsZ\AB'C,下列说法正确的是（）

A.ZB=ZC,B.S^ABC—2SAA'BC'

C.AC=4A'CD.A'B'=6

【分析】根据相似三角形的性质解答即可.

【解答】解：V△ABC^AA'B,C',AB=U,BC=2a,B'C=a,

ZB=ZB\S^ABC：SAA8C=2=4,AC=2A'C,A'B'=^-AB=—x12=^-

a22

故A、B、C错误，。正确；

故选：D.

5.若。为△ABC中AB边上一点，且。E〃BC交AC于E,AB=6,BC=8,AC=10,若

△4OE与△ABC的相似比为工，则AE=.

2

【分析】先根据OE〃8c得出△月。Es△ABC,再根据AC=10以及△AOE与△A8C的

相似比为工，即可求出AE.

2

【解答】解：...OE〃BC,

.,.△ADE^AABC,

△ADE与aABC的相似比为■!,

2

•AE_1

AC2

VAC=10,

.\AE=5,

故答案为：5.

考向三：相似三角形的判定

一.相似三角形的判定方法;

AF

判定方法-0VDE//BC

1-平行/.△ABC^AADE

判定方法VZA=ZA\ZC=ZC'

2・“AA”「•△ABCs/VVB，C*

ABBC—

判定方法.、、:、、，ZB-ZB

ABBC

3•“SAS”

•••△ABCSAA，B，C，

..ABBCAC

判定方法

,ABBCAC

4•“SSS”

△ABCSAA，B'C'

二.判定三角形相似的思路：

(1)有平行截线一一用平行线的性质，找等角

(2)有一对等角，找!另一对等角

［该角的两边对应成比例

(3)有两边对应成比例，找夹角相等

一对锐角相等

(4)直角三角形，找

直角边、斜边对应成I：血J

一对底角相等

⑸等腰三角形，找

底边和腰长对应成比例

【同步练习】

1.如图，在△ABC纸片中，/4=76°,ZB=34°.将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种

方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是()

【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可.

【解答】解：@

图①中，NB=NB,NA=NBDE=76°,所以△8DE和△A8C相似;

图②中，NB=NB,不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似;

图③中，ZC=ZC,ZCED=ZB,所以△COE和△C48相似;

图④中,ZC=ZC,不符合相似三角形的判定，不能推出△COE和△A8C相似;

所以阴影三角形与原三角形相似的有①③,

故选：C.

2.下列条件不能判定△A。8sZvlBC的是()

A.NABD=NACBB.ZADB=AABCCAD=DBD.AB2=AD-AC

,ACBC

【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似,以及根据两边对应成比例且夹角相等的

两个三角形相似，分别判断得出即可.

【解答】解：A.'：ZABD^ZACB,Z/l-ZA,AAABC^AADB,故此选项不合题意;

B、'：ZADB=ZABC,ZA=ZA,A/\ABC^/\ADB,故此选项不合题意；

C、延屈不能判定△A。8s△ABC,故此选项符合题意；

ACBC

。、"：AB2=AD-AC,；.或NA=NA,/^ABC^/^ADB,故此选项不合题意.

ABAD

故选：C.

3.如图，在下列四个条件：①/B=NC,®ZADB=ZAEC,③AD：AC=AE：AB,@PE：

PD=PB：PC中，随机抽取一个能使△BPEsacp。的概率是（）

A.0.25B.0.5C.0.75D.1

【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可.

【解答】解：由题意得：

ZDPC=ZEPB,

①/B=/C,根据两角相等的两个三角形相似可得：丛BPEs/\CPD,

②；NAOB=N4EC,

:.NPDC=NPEB,

所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：ABPESACPD,

@'：AD：AC^AE：AB,NA=/4

zMO8s△4£；（7,

：.ZB=ZC,

所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPEsMPD,

④PE：PD=PB：PC,根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：MBPEs/\

CPD,

，在上列四个条件中，随机抽取一个能使△BPEs^CP。的概率是：1,

故选：D.

4.如图，在△ABC中，AB=12,8c=15,。为BC上一点，且8。=工BC,在AB边上取

3

一点E,使以B,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，则BE=

【分析】根据相似三角形对应边成比例得出独型或以■典，再代值计算即可.

BCABABBC

【解答】解：:ABDEsABCA或ABDEsABAC,

.BD_BErlj；BD^BE

一而而AB'BC"

•：BD=1-BC,BC=15,

3

：.BD^5,

：A8=12,

...巨型或巨型.

15121215

解得：BE—4或至.

4

故答案为：4或空.

4

考向四：相似三角形的基本图形

一、A字图及其变型“斜A型”

三、一般母子型:

当时

NABD=NACBI其中：

△ABD^AACB

■NA是公共角

性质：jAB是公共边

与是对应边

AB2=AD»AC•BDBC

［联系应用L

切割线定理：如图，PB为四O切线，B为切点,

贝！I：APABCOAPBC

得.

PEP=PA-PC

四、等甭T

同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）

模型名称几何模型图形特点具有性质

△ABC^-AADE连结BD、CE

相似型手A、D、E逆时针①△ABDS/^ACE

拉手A、B、C逆时针©△AOB^AHOC

③旋转角相等

④A、B、C、H四点共圆

A

0

&C

“反向”相△ABC^AADE作aADE关于AD对称的

似型手拉A、D、E顺时针△ADE'

手A、B、C逆时针性质同上①②③

A、D、E'逆时针

【同步练习】

1.如图，已知，DE//BC,AD：DB=1：2,那么下列结论中，正确的是（）

B.AE：4c=1：3

C.AD：AE=\：2

D.SAADE:S四边形8DEC=1:4

（分析］利用平行线分线段成比例定理，比例的性质和相似三角形的性质对每个选项进

行逐一判断即可得出结论.

【解答】解：’.•A。：DB=\：2,

,.,—AD—1»

AB3

"DE//BC,

:./\ADEs/\ABC.

.DEAD_1

"BC"AB"3"

选项的结论错误；

'：DE//BC,

.♦.△ACEs△ABC.

♦AE_AD_1

"AC'AB

.♦.8选项的结论正确；

'：DE//BC,

：./\ADE^>^ABC.

•ADAB

"AE"AC'

，c选项的结论错误；

'CDE//BC,

：.^ADE^/\ABC.

.SAADE,AD、21

S/kABC杷9

设S^ADE=k,则SZSABC=9Z,

••5四边形8O£C=SAA8C-S^ADE=8k,

.SAADE1

••----------------------------------------------=1.

S四边形BDBC8

选项的结论错误.

综上所述，正确的结论是B,

故选：B.

2.如图，在矩形A8C。中，E,F,G分别在AB,BC,CZ）上，DE±EF,EF1FG,BE=3,

BF=2,FC=6,则DG的长是（）

A.4B.尤C."D.5

33

【分析】由矩形的性质可求出NA=NB=NC=90°,AB=CD,证明△EFBs^FGC,

由相似三角形的性质得出巫£2,求出CG=4,同理可得出△DAES/XEB凡由相似三

FCCG

角形的性质求出AE的长，则可求出答案.

【解答】解：♦••£/」用；，

；.NEFB+NGFC=90°,

•.•四边形A8C。为矩形，

.•./A=NB=NC=90°,AB^CD,

NG尸C+N尸GC=90°,

:"EFB=NFGC,

:.丛EFBs丛FGC,

•••BEBF,

FCCG

•:BE=3,BF=2,FC=6,

•.•32,

6CG

；.CG=4,

同理可得△D4Es/\EBF,

•ADAE

"BE"BF'

•.•—8—=”AE一,

32

;.AE=K,

3

.*.8A=AE+8E=JA+3=空，

33

：.DG=CD-CG=^--4=H.

33

故选：B.

3.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转a得到△£>EC,此时点£>落在边AB上，且。E垂直

平分BC,则星•的值是（）

A.AB.AC.3D.返

3252

【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明△DC/SAOEC,对应边成比例

即可解决问题.

【解答】解：如图，设DE与8c交于点凡

由旋转可知：CA=CD,AB=DE,BC=EC,NB=NE,

垂直平分fiC,

J.DFLBC,DC=DB,CF=BF=Uc=Lc,

22

：.NDCB=NB=NE,

VZDCB+ZFDC=90°,

.•.NE+NF£)C=90°,

：.ZDCE=9O°,

/.△DCFsADEC,

ACD=CF=1

"DECE~2

•AC=1

"DE2"

故选：B.

4.如图，已知在△ABC中，点。在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC'AACC的

是（）

A.B.AC2=^AD'ABC.ZB=ZACDD.ZADC=ZACB

CDBC

【分析】△ABC和△4C。有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断.

【解答】解：••,/D4C=NC48,

/•当NACO=或/4C»C=/4CB,可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断

△ACD^A/IBC；

当£&屈，即4c2=AO・A8时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三

ACAC

角形相似可判断△ACDSAA5c.

故选：A.

5.如图，AB//CD,AD与BC相交于点E,若AE=3,ED=5,则典的值为.

EC

【分析】利用平行线的性质判定利用相似三角形的性质可得结论.

【解答】解：•••AB〃C£>,

:.△ABEsXDCE.

.BEAE

"EC'ED"

：AE=3,ED=5,

•理=旦

’,而?■

故答案为：1.

5

?尽跟踪训练.

1.己知且则3二目的值是（）

a13a+b

A.2B.2c.9D.A

3249

【分析】设且=旦=&a#0）,得出a=l3k,b=5k,再代入要求的式子进行计算即可求

a13

出答案.

【解答】解：设互总=A（kWO）,

a13

则a=13k,b=5k,

•a-b=13k-5k=4.

a+b13k+5k9

故选：D.

2.如图，在△ABC中，/A8C=3NA,AC=6,BC=4,所以A8长为（）

C.D.4

【分析】将NABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F,利用托勒密定

理列出方程组，求解即可解决问题.

【解答】解：将N48C三等分，与8c外接圆相交，交点分别为：E与F,

如图所示：圆上依次为A8CEF,

记BE=m,AB—b,

则利用托勒密定理有：

6m=4m+4b

,62=bm+42

可得：［2m=4b,

I20=bm

即1m=2b,

120=bm

:・b=710,

故选：B.

3.如图，在平行四边形45co中，E是A3的中点，尸是4Q的中点，FE交AC于。点,

交CB的延长线于G点，那么SAAOF：S^COG=（）

zDC

G

A.1：4B.1：9C.1：16D.1：25

【分析】根据平行四边形的性质求出4D=BC,AD//BC,推出△AFES/\BGE,△AFO

sXCGO,再根据相似三角形的性质得出即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

为A8的中点，F为AO的中点，

：.AE=BE,AF=^AD=^BC,

22

\'AD//BC,

：.LAFES^BGE,

.AF_AE

"BG"BE'

:AE=BE,

：.AF=BG=^BC,

2

•AF=1

"CG3

'JAD//BC,

：./\AFO^ACGO,

S

.AAF0=（迎）2=工，

^ACGOCG9

即SzsAOF：S^COG—1：9,

故选：B.

4.如图，在△ABC中，点。在BC边上，连接A。，点E在力C边上，过点E作E尸〃BC,

交A。于点凡过点E作EG〃AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是（)

BGEF

A_B_CCG_AFnEFEG

,FD'GC-EC'CD-BC'AD.CD'AB

【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可.

【解答】解：YE/〃8C,

•••AFAE,

FDEC

'JEG//AB,

•••'AE''=BG,

ECGC

••--AF---B-G,

FDGC

故选：A.

5.如图，P为平行四边形ABC。的边A£>上的一点，E,F分别为P8,PC的中点，/\PEF,

△PDC,ZXBAB的面积分别为S,S,52.若S=3,则S1+S2的值为（）

【分析】过P作PQ平行于OC,由OC与A8平行，得到尸。平行于AB,可得出四边形

PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PC。面积相等，△PQ8与4

A8P面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到£尸为BC的一半，且

EF平行于8C,得出与△尸8c相似，相似比为1：2,面积之比为1：4,求出△

PBC的面积，而△PBC面积=4CPQ面积面积，即为△P£><:面积+△以8面积,

即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积.

【解答】解：过P作PQ〃QC交8c于点。，由QC〃AB,得至ljPQ〃A8,

二四边形PQCO与四边形4PQB都为平行四边形，

:.△PDgACQP,△A8P/QP8,'--------------

:.SAPDC=S&CQP,SAABP=SAQPB,........../Q

'：EF为△PCS的中位线，/

：.EF//BC,EF=LBC,

2

.,.APEF^APBC,且相似比为1：2,

:，St\PEF:S/\PBC=1:4,SAPEF=3,

S»BC=SACQP+SAQPB=S»DC+SMBP=SI+S2=12.

故选：B.

6.如图，在平行四边形A8CQ中，AC是一条对角线，EF//BC,且EF与AB相交于点E,

与AC相交于点F,3AE=2EB,连接OF.若S»EF=4,则SA4DF的值为（）

B

A.6B.10C.15D.至

5

【分析】因为四边形A8co是平行边形，所以AO〃8C,贝1J4AE尸s/XABC,得岖=迎

ABAC

=2,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积为25,而△CD40

5

△ABC,则△CD4的面积为25,根据等高三角形面积的比等于底的比即可求出△AO尸的

面积.

【解答】解：如图，•••四边形48CD是平行边形，

J.AD//BC,

：.八4£尸sA4BC,

'：3AE=2EB,

..AE=2,

"EB3"

•••AgE—_—A,F—_2，

ABAC5

•^AAEF_（AE）2=（2）2=4

"SAABCAB25'

"•"SMEF—4,

f=纱包型=空425,

44

:.CD=AB,AD=BC,AC=C4,

.".△CDA^AABC（SSS）,

•••S^CDA=S^ABC=25,

S^ADF——S/^CDA=2X25=10,

55

，S"DF的值为10,

故选：B.

7.如图，平行四边形A8CZ)中，E是边2C上的点，AE交BC于点F,如果型上，那么

FD3

【分析】由平行四边形的对边相等可求得BC=4C,BC//AD,易证得△8EFSZ^D4凡

则巫幽=2,根据比例的性质即可得解.

ADFD3

【解答】解：：四边形4BCD是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC-,

.•.一”B—F-—2T

FD3

■：AD//BC,

：ABEFs^DAF,

•BEBF2

一而五而，

•••AD3,

BE2

.EC=BC-BE=AD-BE=1

"BEBE=BE2"

故答案为：.1.

2

8.在矩形ABC。中，A8=6,AO=8,E是BC的中点，连接AE,过点力作。尺L4E于点

F,连接CF、AC.

(1)线段。尸的长为；

(2)若AC交QF于点M,则里=

AM

【分析】(1)利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；

(2)延长力尸交C8的延长线于K,利用相似三角形的性质求出KE,再利用平行线分线

段成比例定理求解即可.

【解答】解：(1)根据题意，画出下图：

"：AB=6,AO=8,B£=M=4,an

.ME=26，2

.•.5M0£=A^AB=AE^F,SMD£=A^AB=24,

222B

:.DF=48=-2W7^...

2V1313

(2)若AC交OF于点M,延长。尸交BC延长线于点K,如图所示:

:,NKEF=NAEB,NEFK=NABE=90°,

:.△KEFsMEB,

；.KE=5,

：.CK=KE+EC=9,

'：AD//CK,

.CMCK_9

AMAD8

9.如图，在△ABC中，AB=AC,AC为BC边上的中线，£>E_LAB于点E.

(1)求证：BD-AD^DE'AC.

(2)若AB=13,BC=10,求线段。E的长.

(3)在(2)的条件下，求cos/BDE的值.

【分析】(1)证明N8=NC,/OE3=NA£)C=90°,可证明△BCEs/XCAZ)即可解决

问题；

(2)利用面积法：工上•A8・C£：求解即可；

22

(3)可得出/8OE=/BAO,则cos/B£)E=cos/84D=坦

AB13

【解答】证明：(1)'."AB=AC,BD=CD,

J.ADLBC,N8=NC,

"：DELAB,

：.NDEB=ZADC,

:.△BDEs^CAD.

•BDAC

••一一二»

DEAD

：.BA'AD=DE^CA；

(2)'：AB=AC,BD=CD,

：.ADLBC,

在RtAADB中，AD—{AB2-BD132-5,

•：^AD'BD=^AB'DE,

22

.•.£>E=毁.

13

(3)VZADB=ZAED=9Q0,

:.NBDE=NBAD,

cosNBZ)£=cosN8A。=坦：J2.

AB13

10.已知：四边形ABC。中，AC=AB=20,点E为BC边上一点，BE》CE,KDE=DC,

NAED=NB,AC、DE相交于点F,cosZB=A.

5

(1)求证：AABEsAECF；

(2)若BE=18,求EF的长；

(3)若/D4E=90°,求CE的长.

【分析】（1）正确作出辅助线，找到对等关系，即可证明△ABES/SECF；

（2）找到包含有要求解的边长有关系的三角形，利用勾股定理，求出AE的边长，再利

用相似三角形，找到对应关系，即可求出EF的长；

（3）在直角三角形内，根据给定的余弦值，找到对应边长，即可求出CE的长.

【解答】（1）证明：如图所示：过点A作8c于，，

"：AB=AC=20,

：.NAED=ZB,

.,.Zl+Z2=180o-AAED,

：/3+/2=180°-ZB,

AZ1=Z3,

/XABEsAECF；

（2）解：由（1）知，过点A作/1HJLBC于，,

'：AB=20,cosZB=—,

5

，8〃=16,

a：AB=AC.

:・BH=CH=\6,

，BC=32,

V^E=18,

/.EC=14,

在中，AH=^/^B2-BH2=7202-162=12，

HE=BE-BH=18-16=2,

A/4£=7AB2+HE2=V122+22=2V37,

XABEs^ECF,

.ABAEnn202737

ECEF14EF

3酒

(3)解：若/。AE=90°,贝Ij/R4E=9O°,

"：AB=2O,COSZB=A.

5

：.BE=25,

：.CE=BC-BE^32-25=7.

;腾、真题再现

1.(2021•浙江衢州)图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，

椅面CE与地面平行，支撑杆AO,8c可绕连接点O转动，且。4=。8,椅面底部有一

根可以绕点H转动的连杆HD,点H是C。的中点，FA,E3均与地面垂直，测得以=

54cm,EB=45cm,AB=4Scm.

(1)椅面CE的长度为cm.

(2)如图3,椅子折叠时，连杆，。绕着支点，带动支撑杆AD,BC转动合拢，椅面和

连杆夹角/CHD的度数达到最小值30°时，A,8两点间的距离为(结果精

确到0.1cm).

(参考数据:sinl50—0.26,cosl5°«0.97,tan15°-0.27)

【分析】(1)由平行线的性质可得/ECB=/A8凡由锐角三角函数可得理工2,即可

CEAB

求解;

(2)如图2,延长A。，8E交于点N,由“ASA”可证△ABF岭△84M可得8N=AF,

可求NE的长，由锐角三角函数可求CE的长，即可求OH的长，如图3,连接CD,过

点，作〃PJ_C力于P,由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求。C的长，通过相似

三角形的性质可求解.

【解答】解：(1),：CE//AB,

：.ZECB=ZABF,

tanZECB=tanZiABF.

•••B..E.二一一A一F,

CEAB

.4554

"CE"4S"

CE=40(cm),

故答案为；40；

(2)如图2,延长AC,BE交于点N,

"：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,图2

在△ABF和△BAN中，

，Z0BA=Z0AB

<AB=AB>

ZFAB=ZABN=90°

:.△ABFWXBAN(ASA),

：.BN^AF=54(cm),

：.EN=9(cm),

•.七6=典望，

NEBN

•.•DE―_.48,

954

；.DE=8(cm),

：.CD=32Cem),

•点，是C£＞的中点，

；.CH=DH=16(cM,

,JCD//AB,

△AOBsXDOC,

.C0=CD=32=_2,

"OBAB48TG

如图3,连接CD,过点”作HPJ_C£＞于P,//

■：HC=HD,HPLCD,FR

:.NPHD=L1/CHD=15°,CP=DP,物\

2+

；sinN£WP=&＞=sinl5°^0.26,\

DH[\

•••P0Q16X0.26=4.16(cm),AB

；.CO=2Pn=8.32(cm),图3

'：CD//AB,

MAOBsXDOC,

•CDCO2

"AB"OB"3"

•.•-8-.--3-2--3:--2-,

AB3

，AB=12.48七12.5(cm),

故答案为：12.5.

2.(2021•浙江宁波)【证明体验】

(1)如图1,A。为△A8C的角平分线，N4DC=60°,点E在AB上，AE=AC.求证:

QE平分NAD8.

【思考探究】

(2)如图2,在(1)的条件下，尸为AB上一点，连结尸C交于点G.若FB=FC,

DG=2,CD=3,求8。的长.

【拓展延伸】

(3)如图3,在四边形ABCD中，对角线AC平分/BA。，NBCA=2NQC4,点E在

4c上，NEDC=NABC.若8c=5,CD=2娓,AD=2AE,求4c的长.

A

【分析】（1）由^£4。丝2\。4£）得/4）£1=/4£^=60°,因而/BOE=60°,所以OE

平分NAO&

（2）先证明△BQESZXCQG,其中CD=ED,再由相似三角形的对应边成比例求出BD

的长;

（3）根据角平分线的特点，在A8上截取AF=A。，连结CF,构造全等三角形和相似三

角形，由相似三角形的性质求出4c的长.

【解答】（1）证明：如图1,平分N8AC,

J.ZEAD^ZCAD,

"：AE=AC,AD=AD,

.•.△EW四△CAQ(SAS),

.