二次型化为标准型合同变换的方法_第1页
二次型化为标准型合同变换的方法_第2页
二次型化为标准型合同变换的方法_第3页
二次型化为标准型合同变换的方法_第4页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

二次型化为标准型合同变换的方法二次型是高等代数学中一个重要的概念，它在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用。将二次型化为标准型是解决二次型问题的关键一步。本文将介绍二次型化为标准型的方法。一、二次型的定义和性质在进入具体方法之前，我们先明确二次型的定义和性质。二次型是一个关于n个变量的多项式，形如：Q(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n其中，a_{ij}表示系数，x_i表示变量。性质：1.二次型的值域为实数域。2.二次型可通过矩阵形式表示，即Q(x)=x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵。3.二次型的阶数即为变量的个数，也就是n。二、合同变换的定义为了将二次型化为标准型，我们需要使用合同变换。合同变换是指根据特定的矩阵相似变换，将一个二次型转化为另一个与之相似的二次型，但其特点是标准化。合同变换的定义：设A、B为n阶实对称矩阵，若存在非奇异矩阵P，使得P^TAP=B，则称A与B合同。合同变换具有以下性质：1.两个合同的二次型有相同的秩。2.两个合同的二次型有相同的正负惯性指数。3.如果存在某个合同变换能够将一个二次型化为对角型，那么它就是标准型。三、合同变换的方法下面介绍将二次型化为标准型的方法：1.对称阵的合同变换方法若A为n阶对称矩阵，可以通过正交变换将其化为对角阵。具体步骤如下：a)求A的特征值和特征向量，特征向量组成的矩阵为P。b)计算P^{-1}AP，得到对角阵D。这里的P为正交矩阵，满足P^TP=I，所以A=PDP^T。2.一般阵的合同变换方法对于一般的矩阵A，可以通过两步变换将其化为标准型。具体步骤如下：a)求A的特征值和特征向量，特征向量组成的矩阵为P。b)设C=P^{-1}AP，计算C的规范形：C'=P^TCP。其中，规范形C'满足：1.C'是对称阵，即C'等于它的转置矩阵。2.C'的对角元素是实数。3.合同变换的应用举例接下来，我们通过一个例子来说明合同变换的应用。考虑二次型：Q(x)=2x_1^2+4x_2^2+6x_3^2-4x_1x_2我们需要将其化为标准型。首先，求出二次型的系数矩阵A为：A=[[2,-2,0],[-2,4,0],[0,0,6]]然后，计算A的特征值和特征向量：特征值：λ_1=0,λ_2=2，λ_3=10特征向量：v_1=[1,1,0],v_2=[-2,1,0],v_3=[0,0,1]将特征向量构成的矩阵P为：P=[[1,-2,0],[1,1,0],[0,0,1]]进行正交变换，求得对角阵D：D=P^TAP=[[0,0,0],[0,2,0],[0,0,10]]所以，二次型Q(x)经过合同变换化为标准型：0x_1^2+2x_2^2+10x_3^2四、总结本文介绍了将二次型化为标准型的方法，其中合同变换是最关键的一步。对于对称阵，可

人人文库> 全部分类> 生活休闲 > 网络生活

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论