3.1 勾股定理 苏科版数学八年级上册素养提升卷(含解析)

第3章勾股定理单元大概念素养目标大概念素养目标对应新课标内容运用勾股定理及其逆定理解决问题探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题【P66】3.1勾股定理基础过关全练知识点1勾股定理1.【主题教育·中华优秀传统文化】(2023江苏苏州姑苏期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图2所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()图1图2A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和2.【新独家原创】在Rt△ABC中,∠C=90°,已知AC=24,AB=25,则△ABC的面积为.

3.如图,已知AB=12,AB⊥BC于B,AB⊥AD于A,AD=5,BC=10.点E是CD的中点,求AE的长.知识点2勾股定理的验证4.(2023江苏苏州月考)如图,四边形ABCD中,BD⊥CD,AE⊥BD于点E,且△ABE≌△BCD.求证:AB2=BE2+AE2.能力提升全练5.(2022山东济宁中考,9,★★☆)如图,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE的长是()A.136B.56C.766.【最短距离问题】(2021广西贵港中考,12,★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=12,D为AC边上的一个动点,连接BD,E为BD上的一个动点,连接AE,CE,当∠ABD=∠BCE时,线段AE的长的最小值是()A.3B.4C.5D.67.【主题教育·中华优秀传统文化】(2022四川内江中考,16,★★☆)勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3=.()

图①图②8.【三垂直模型】(2023江苏南京秦淮月考,12,★★☆)如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5,11,则b的面积为.

9.(2023江苏泰州姜堰月考,22,★★☆)如图,将一个长为8,宽为4的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合.(1)求证:AE=AF;(2)求AE的长.10.(2021江苏连云港期末,21,★★☆)中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明a2+b2=c2.素养探究全练11.【运算能力】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动,设运动时间为ts.(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.

答案全解全析基础过关全练1.C设直角三角形的斜边长为c,较长直角边的长为b,较短直角边的长为a,由勾股定理得c2=a2+b2,阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c),较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b),长=a,则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c),∴知道图中阴影部分的面积,则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积.故选C.2.答案84解析在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=24,∴BC2=AB2-AC2=252-242=49,∴BC=7,∴△ABC的面积为12AC·BC=13.解析如图,延长AE交BC于F.∵AB⊥BC,AB⊥AD,∴AD∥BC,∴∠D=∠C,∠DAE=∠CFE,∵点E是CD的中点,∴DE=CE.在△AED与△FEC中,∠D=∠C,∴△AED≌△FEC(AAS),∴AE=FE,AD=FC.∵AD=5,BC=10,∴BF=5.在Rt△ABF中,AF2=AB2+BF2=122+52=169,∴AF=13,∴AE=124.证明如图,连接AC.∵AE⊥BD,CD⊥BD,∴AE∥CD.∵△ABE≌△BCD,∴AB=BC,AE=BD,BE=CD,∠BAE=∠CBD.∵∠ABE+∠BAE=90°,∴∠ABE+∠CBE=90°,∴∠ABC=90°,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=12BD·AE+12BD=12AE·AE+12BD·BE=12又∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AB·BC+12CD=12AB·AB+12BE·DE=12∴12AE2+12BD∴AB2=AE2+BD·BE-BE·DE,∴AB2=AE2+(BD-DE)·BE,即AB2=BE2+AE2.能力提升全练5.A∵沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处,∴AD=AB=2,∠B=∠ADB.∵折叠纸片,点C与点D重合,∴CE=DE,∠C=∠CDE.∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°,∴∠ADB+∠CDE=90°,∴∠ADE=90°,∴AD2+DE2=AE2.设AE=x,则CE=DE=3-x,∴22+(3-x)2=x2.解得x=136∴AE=136.故选6.B如图,取BC的中点T,连接AT,ET.∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBD=90°.∵∠ABD=∠BCE,∴∠CBD+∠BCE=90°,∴∠CEB=90°.∵CT=TB=6,∴ET=12BC=6,AT2=AB2+BT2=82+62∴AT=10.∵AE≥AT-ET,∴AE≥4,∴AE的长的最小值为4.故选B.7.答案48解析设八个全等的直角三角形较长的直角边的长为a,较短的直角边的长为b,则S1=(a+b)2,S3=(a-b)2,a2+b2=EF2=16,∵S2=42=16,∴S1+S2+S3=(a+b)2+16+(a-b)2=2(a2+b2)+16=2×16+16=48.8.答案16解析如图,∵∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,∴∠ACB=∠DEC.在△ABC和△CDE中,∠ACB=∠DEC,∠ABC=∠CDE,∴△ABC≌△CDE(AAS),∴BC=DE.∵AB2+BC2=AB2+DE2=AC2,∴b的面积=a的面积+c的面积=5+11=16.9.解析(1)证明:由折叠可知,AE=CE,∠AEF=∠CEF.又∵AD∥BC,∴∠AFE=∠FEC,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.(2)由折叠可知,AE=CE,∴BE=BC-CE=BC-AE=8-AE,∵∠B=90°,∴AB2+BE2=AE2,即42+(8-AE)2=AE2,∴AE=5.10.解析∵大正方形的面积为c2,一个直角三角形的面积为12ab,小正方形的面积为(b-a)2∴c2=4×12ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2即a2+b2=c2.素养探究全练11.解析在Rt△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,∵AB=10cm,AC=6cm,∴BC2=102-62=64,∴BC=8cm.(1)①当∠APB=90°时,点P与点C重合,∴t=8÷1=8.②当∠BAP=90°时,∵BP=tcm,∴CP=(t-8)cm,在Rt△ACP中,AP2=AC2+PC2=62+(t-8)2,在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,∴102+[62+(t-8)2]=t2,解得t=252综上所