寿险精算学（第3版）课件：期缴保费

期缴保费本章结构均衡原则下毛保费的厘定2.组合百分数原则下毛保费的厘定3.期缴净保费的厘定1.保费保费构成净保费（netpremium）：只覆盖保障风险，它是精算师计算保费的基础，所以也称为风险保费或数学保费（riskpremium,mathematicalpremium）毛保费（grosspremium）：覆盖了风险，费用和利润需求，也成为官方保费（officepremium）保费缴纳方式趸缴保费(singlepremium)：在保单生效日一次性全额缴纳期缴保费(termpremium)：采用生存年金方式分期缴纳期缴净保费期缴净保费的实质是被保险人采用生存年金的方式缴纳保费期缴净保费是被保险人采用分期缴纳的方式支付保费,被保险人缴纳保费的前提是在缴费时刻依然存活。例如,某被保险人购买终身寿险,采用20年每年初分期缴费。如果被保险人在购买保险之后的第5年去世,那么他的保险受益人不仅可以获得死亡赔付金,还不用再缴纳剩余15年的期缴保费。期缴净保费和趸缴净保费一样，都要符合净均衡原则无论是趸缴净保费还是期缴净保费都属于净保费,它们都要符合保费厘定的净均衡原则未来损失变量未来损失变量（FutureLoss），t时刻的未来损失变量记作Lt如果Lt

>0,意味着对保险人而言未来收不抵支,将会产生亏损(loss)如果Lt

<0,意味着对保险人而言未来收入会大于支出,将会产生利润(profit)如果Lt

=0,意味着对保险人而言未来恰好收支平衡在净保费场合,损失变量记作在毛保费场合,损失变量记作Lt=未来支出贴现到t时刻的现值-未来收入贴现到t时刻的现值例5.1甲在2006年1月1日买了一份10年定期寿险,死亡即刻赔付10000元,保费为前5年每年初缴费500元,假设年实质利率为5%,按复利计息。求保险公司在如下两种情况下的未来损失:(1)甲在2008年6月30日死亡;(2)甲在2015年12月31日保障期结束时,仍然存活。例5.1解(1)甲在2008年6月30日死亡例5.1解(2)甲在保障期结束时仍然存活这个例子说明被保险人的未来寿命不同,保险人的未来损失也不同。如果被保险人在未来2.5年时死亡,保险人会损失7422元。如果被保险人能活过10年保障期,那么保险人会获利4054元。例5.2假设(x)购买终身寿险,死亡年末赔付B元,请写出如下两种情况下的未来损失变量的表达式:(1)在保单签约日缴纳趸缴净保费A;(2)在保单签约之后,每年期初缴纳净保费P,缴费期20年。例5.2解假设死亡发生在未来寿命的任意时刻t,此时整值未来寿命等于Kx,则如下两种情况在保单签约日的未来损失函数为:(1)在保单签约日缴纳趸缴净保费A(2)在保单签约之后,每年期初缴纳净保费P,缴费期20年。例5.3假设(x)购买n年两全寿险,死亡年末赔付和期初生存赔付均为B元,请写出如下情况下的未来损失变量的表达式:(1)

n年缴费期,每年期初缴纳

P1元净保费;(2)5年缴费期,每年期初缴纳

P2元净保费(n>5)。例5.3解假设死亡发生在未来寿命的任意

t时刻,此时整值未来寿命等于Kx,则(1)缴费期为整个保障期时,未来损失变量的表达式为:(2)缴费期为5年(n>5),未来损失变量的表达式为:期缴净保费的厘定原则净保费的厘定要满足净均衡原则,即实现统计意义上的收支平衡,也就是说以保单签约日(t=0)作为时间参照点,要满足公平原则厘定净保费即不同的保费缴纳方式不影响该等式的成立,所以又有缴费期与保障期一致时，期缴净保费的厘定以(x)投保终身寿险为例,假设死亡年末赔付1,终身缴费,每年期初缴纳净保费P元,则未来净保费损失函数为净保费厘定未来损失的方差缴费期与保障期不一致时，期缴净保费的厘定缴费期与保障期不一致时,损失函数是分段函数。以(x)投保终身寿险为例,假设死亡年末赔付1,n年定期缴费,每年期初缴纳净保费π,则未来净保费损失函数为:净保费厘定未来损失的方差案例5.4假定寿命服从的均匀分布，年实质利率，对于(30)完全连续的终身寿险求：（1）（2）求该终身寿险未来损失变量的方差例5.4(30)购买10年定期两全寿险,死亡年末赔付和生存赔付均为1。假设按复利计息,年实质利率为5%,寿命服从中国人身保险业经验生命表(见附录2)的CL1表。请计算:(1)保障期内,每年期初缴纳保费,计算期缴净保费。(2)5年缴费期,每年期初缴纳保费,计算期缴净保费。例5.4解(1)已知生命表和预定利率,容易算出则10年缴费期的期缴净保费为:例5.4解(2)根据生命表和已知利率,容易求出则5年缴费期的期缴净保费为例5.5一个为期两年的两全寿险,保险赔付金为死亡年末赔付1000元,此保险有两种缴费方案:方案一:第一年期初缴纳净保费600元,第二年期初缴纳净保费400元。方案二:每年期初缴纳均衡净保费

元。已知d=0.05,计算期缴净保费

。例5.5解保险赔付金的精算现值为:按照方案一缴纳的保费精算现值为:根据净均衡原则,保险赔付金精算现值应该等于方案一缴纳的保费精算现值,即依然根据净均衡原则,保险赔付金精算现值也应该等于方案二缴纳的保费精算现值,即缴费频率与赔付频率不一致时，期缴净保费的厘定实务中,有时保费的缴纳频率会和赔付的给付频率不一致比如有可能保费每年期初缴纳,但死亡即刻给付;再比如保费每年缴纳m次,而死亡年末赔付或死亡即刻赔付。这时，期缴净保费的厘定,通常需要借助不同频率之间精算函数的变换来实现。例5.6假设(x)购买n年定期两全保险,每年初缴纳保费P,死亡即刻给付1000元。已知:

假设死亡在年内服从均匀分布,求期缴净保费P。例5.6解本例缴费是离散的,死亡给付是连续的,根据净均衡原则有由于：得：所以例5.7已知：假设被保险人在每一个分数年内死亡服从均匀分布,求：例5.7解因为所以本章结构均衡原则下毛保费的厘定2.组合百分数原则下毛保费的厘定3.期缴净保费的厘定1.毛保费的构成毛保费的定义：购买寿险产品时,应该支付的所有费用称为毛保费(grosspremium),因为它是保险公司公布的官方价格,所以毛保费也称为官方保费(officialpremium)。理论上,寿险产品的毛保费由性质不同的两部分组成,一部分是恰好覆盖赔付风险的净保费;另一部分是覆盖经营费用和安全附加的保费。经营费用主要满足由于开发、维护和管理该险种所支出的费用。经营费用具体又分为管理费和佣金(在个人业务中称为佣金,在团体业务中称为手续费)两部分。安全附加费是为了有足够的把握保证所收取的保费足够覆盖真实赔付而收取的一笔安全附加金。由于安全附加费主要由各公司所要求的安全系数确定,所以本章的附加保费主要考虑经营费用,而不考虑安全附加费。毛保费的构成图示经营费用所谓经营费用是指保险公司支出的除了风险赔付之外,其他维持保险公司正常运作的所有费用支出的统称。经营费用包括管理费用和佣金两大部分,其中,管理费用通常由投资费用和保险费用两部分构成。投资费用包括与投资相关的分析、购买、销售及服务成本。由于这些费用直接与投资收入的产生有关,所以投资费用通常从总投资收入中扣除,在传统寿险产品保费计算时通常不单独考虑。保险费用是指不具有投资功能的费用，它涵盖的费用范围非常广：税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服务费用、合同成立后的维持费，理赔相关费用等等。在实务中,和保险费用相关的数据主要由保险公司的会计部门收集汇总完成。为了便于统计,会计部门会对经营活动中的主要费用进行分类,内容庞杂的保险费用可以有多种不同的分类方式。保险机构经营费用的一种分类方案保险费用精算分类精算师通常将所有的保险费用分为三类:初年费用(initialexpense)。它是指研发和销售一款保险产品,分摊在第一年的费用。它又具体分为每份保单分摊的初年费用、每千元保额(benefit)分摊的初年费用和保费分摊的初年费用(毛保费的百分比)。续年费用(renewalexpense)。它是指保单销售之后,除第一年之外,以后各年的维持费用。和初年费用一样,它也分为每份保单分摊的续年费用、每千元保额分摊的续年费用和保费分摊的续年费用(毛保费的百分比)。终止费用(terminationexpense)。它是指保单终止时,可能涉及赔付,与赔付相关的服务、鉴定、调查、辩护等费用。它通常分为每份保单分摊的终止费用和每千元保额分摊的终止费用。保险费用的精算分类示例均衡原则下毛保费的厘定所谓均衡原则就是收支平衡原则。在均衡原则下进行毛保费计算,就是要求未来赔付现值和未来费用支出现值之和恰好等于未来毛保费收入现值,即等价公式毛保费精算现值=净保费精算现值+费用精算现值

例5.8（30）购买了保险金额为2万元的死亡即刻给付终身寿险保单，保险费用按上表所列。已知：假设年实质利率为6%,按复利计息。根据均衡原则计算终身缴费场合每年期初缴纳的净保费和毛保费。例5.8解（1）年缴净保费计算例5.8年缴毛保费计算新业务压力（newbusinessstrain）我们可以看到初年费用要比续年费用高很多。这不是特例，而是寿险产品的惯例。以例5.8进行讲解，每年的净保费等于133.07元，每年的毛保费等于178.47元，也就是说每年缴纳的毛保费里面有45.4元是覆盖费用的费用保费。但实际上第一年的真实费用等于：第一年收取的费用45.4元是完全不够支付第一年的真实费用的。费用不够的部分是由保险公司现行垫付。这就产生了寿险产品的新业务压力（newbusinessstrain）。也就是说寿险公司只要新卖出一份保险产品，第一年就要承担初年费用不够的资金压力。延期购置成本

（deferredacquisitioncost）而被保险人续年的费用通常都比较低，以例5.8为例，第2-9年的续年费用等于而10-15年的续年费用等于31.17，第16年以后的续年费用等于26.71。它们都比每年缴纳的费用保费45.4元低。也就是说被保险人是通过以后各年的多缴费用来弥补第一年费用不够的部分。这种现象称为延期购置成本（deferredacquisitioncost）。例5.9(30)男子购买30年延期的终身生存年金,生存年金从60岁退休开始,每月领取5000元。缴费方式是从现在开始直到退休,每月等额缴纳保费。假设该产品按复利计息,年实质利率为5%,寿命服从中国人身保险业经验生命表的CL1表,初年费用是毛保费的50%,续年费用是毛保费的10%。请计算该男子每月应该缴纳的毛保费。例5.9解根据已知条件,可以写出该险种的均衡方程:根据生命表和利率,容易求得把相关年金代入均衡方程,则该男子每月应该缴纳的毛保费为:本章结构均衡原则下毛保费的厘定2.组合百分数原则下毛保费的厘定3.期缴净保费的厘定1.组合百分数原则均衡原则是保费厘定的一种传统原则，但并不是唯一原则。单个被保险人产生的损失函数可以使保险亏损，也有可能使保险公司获得利润，对保险公司而言，每一次损失的波动风险无法准确衡量与控制。但对于大量的被保险人群体，保险人的未来损失变量是有统计规律可循的。从统计学的角度而言，均衡原则是以损失变量的期望为零作为定价原则。这意味着有50%的概率会出现赔付大于保费收入，即保险公司出现亏损的情况；还有50%的概率会出现赔付小于保费收入，即保险公司获得利润(profit)的情况。50%的亏损概率显然不能满足保险公司的安全要求。组合百分数原则（PortfolioPercentileprinciple）就是为了克服均衡原则的这个不足提出的一种新的保费厘定原则。它的理论基础是中心极限定理，是以控制亏损发生概率为立足点的保费定价方法。组合的中心极限定理组合（portfolio)：具有相同风险、相同保险受益、相同保障时期且相互独立的一群人。该组合中的任意一个个体i在保单签约日的未来损失变量记作

当一个组合的