人教版初中数学九年级上册第27章 相似2 7 .1 图形的相似

第27章相似

27.1图形的相似

帮如校

1.相似图形的定义

（1）我们把形状相同的图形叫做.

（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形得到.

（3）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相等.

2.比例线段

ac

（1）对于四条线段a,8,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如一=一

hd

（即ad=6c）,我们就说这四条线段.

（2）比例的相关性质

accic

①比例的基本性质：若一,则；若ad=bc（bd丰0），则一二一.

bdbd

②比例的有关性质：

nc61+hdClc

合比性质：若？=上，则巴上=上上或一^=/一（a+4c+d均不为0）.

bdbda+bc+d

丁4aca-bc—d-ac、

分比性质：右一二一，贝（J-----=-------或-----=-----（a—b,c-d均不为0）

bdbda-bc-d

更比性质：若g=则9=2或£=邑（a,b,c,d均不为0）.

bdcdab

等比性质：脸书吟吟,则小"人。）.

bdfhb广+d广+f+雪hb7+

3.相似多边形

（1）两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做.

（2）相似多边形对应边的比叫做.

K知识参考答案：

1.（1）相似图形；（2）放大或缩小；

2.(1)成比例；(2)ad=bc.

3.(1)相似多边形；(2)相似比.

帮重夕

K一重点了解线段的比和成比例的线段

K一难点相似多边形的有关性质

K-易错求线段的比时，线段的长度单位不一致；找错相似多边形的对应边

一、相似图形

判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的大小、位置无关，这也是相似图

形的本质.

【例1】下列四组图形中，不是相似图形的是

【答案】D

【解析】A、形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故不符合题意:

B、形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故不符合题意；

C、形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故不符合题意；

D、形状不相同，不符合相似图形的定义，故符合题意；

故选D.

【例2】下列各组图形一定相似的是

A.各有一角是70。的两个等腰三角形

B.任意两个等边三角形

C.任意两个矩形

D.任意两个菱形

【答案】B

【解析】A、各有一角是70。的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；

B、两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；

C、两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；

D、任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；

故选B.

二、比例线段

一般地，四条线段mb,c,d的单位应该一致，有时为了计算方便，a,Z?的单位一致，c,d的单位一

致也可以.

【例3】下列线段（单位：cm）成比例的是

A.1,2,3,4B.5,6,7,8

C.1,2,2,4D.3,5,6,9

【答案】C

【解析】A、"4先><3,故四条线段不成比例；

B,5x8r7*6,故四条线段不成比例;

C、Ix4=2x2,故四条线段成比例；

D、3x9#x6,故四条线段不成比例.

故选C.

三、相似多边形

两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例.

【例4】下列说法正确的是

A.对应边成比例的多边形都相似

B.四个角对应相等的梯形都相似

C.有一个角相等的两个菱形相似

D.有一个锐角相等的两个等腰三角形相似

【答案】C

【解析】A、对应边成比例且对应角相等的多边形都相似，故原说法错误；

B、四个角对应相等且对应边成比例的梯形都相似，故原说法错误；

C、有一个角相等即可利用菱形的性质得到其余的角对应相等，且对应边的比相等，故这样的菱形相似,

正确；

D、有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似，故原说法错误.

故选C.

帮娉题

（帮基础）

一、单选题

I.已知两数X,y,且3x=2»则下列结论一定正确的是（)

x+22

A.x=2,y=3B.二=工C.-D.-----T=T

.32y3

2.如图，若正方形内接于正方形48C。的内接圆，则纯L的值为（）

AB

D.受

3.一个运动场的实际面积是6400m2,它在比例尺为1：1000的地图上的面积是（）

A.6.4cm2B.640cm2C.64cm2D.8cm2

4.下列图形中不是相似关系的是（）

I)

A.AB.Bc.cD.D

5.如图，已知AB//CO//EF,那么下列结论不正确的是（)

D

ADBCBCDFCEDFBCAD

A.-------B.--------C.--------D.--------

DFCECEADEBAFBEAF

6.若（a-b）：（2=1:15,则()

A.1:15B.4:5C.15:14D.14:15

7.下面给出了相似的一些命题：

（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似;

（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似;

其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

8.如图，将AA8C沿着过中点0的直线折叠，使点A落在3c边上的A,称为第1次操作，折痕。E

到3c的距离记为由；还原纸片后，再将AADE沿着过AO中点R的直线折叠，使点A落在。E边上的4

处，称为第2次操作，折痕。用到8c的距离记为％;按上述方法不断操作下去…，经过第2019次操作

后得到的折痕口染马球，到5c的距离记为%19,若％=1，则&）19的值为（）

A_L1

C1———D

22018B.,2019-^2OJ7

二、填空题

9.已知：—=--（分0）,则q=____.

23b

10.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一小题计分.

（1）方程炉-9工+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为.

（2）如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一

个图形的内部，对应平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（请填写正确答案

11.已知线段AB,点C是靠近B点的AB的黄金分割点.点G是靠近点A的黄金分割点，则——=

BC

12.已知四边形ABCD与四边形AECD是位似图形，且它们的对应边的比为3:4,则四边形ABCD与四

边形ABO的周长之比为,面积之比为.

三、解答题

13.已知：如图，点。、尸在“WC的边AB上，点E在边AC上，且。E//BC,EF//DC.

求证：AD2=AFAB-

14.已知，如图，AB、DE是直立在地面上的两根立柱，AB=12m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=4m.

（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影.

（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长6m,请你计算DE的长.

D

BCE

15.如图，在AABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且。E//BC.

A

（1）若AQ=5,DB=>EC=12,求AE的长.

⑵若AB=16,AD=4,AE=8,求EC的长.

16.如图，mAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.点P从点。出发沿折线C4一A3以每秒1个单

位长的速度向点B匀速运动，点。从点3出发沿3C-C4-AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动,

点P，。同时出发，当其中一点到达点8时停止运动，另一点也随之停止.设点P,。运动的时间是1秒

（r>0）.

⑴；

（2）当点P,。相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时AP的长.

探究：

（1）当，=1时，APQC的面积为；

（2）点P,。分别在AC,5c上时，APQC的面积能否是AABC面积的一半？若能，求出，的值；若

不能，请说明理由.

拓展：当PQ//BC时，直接写出此时，的值.

参考答案

1.c

【解析】

【分析】

根据比例的性质化简求解即可.

【详解】

；3x=2y

.x_2

Ay-3

x2

等式两侧同时加1,得1+—=1+:

y3

x+V5

变形得一-=w

y3

故选c.

【点睛1本题考查了等式的性质和比例的性质，关键是将原式根据比例的性质进行变形,

然后根据等式的性质求解.

2.B

【解析】

【分析】

根据相似多边形的性质进行求解即可.

【详解】

图形中正方形48GA和正方形ABCD一定相似QF.OFi分别是两个正方形的边心距,

△OC)F是等腰直角三角形，因而OF:OC尸正因而则为”的值为也L

2AB2

故选B.

【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，边数相同的正多边形一定相似，边心距的比,

半径的比都等于相似比.

3.C

【解

【分析】

面积比是比例尺的平方比根据题意进行计算即可得出地图上的面积.

【详解】

解:根据面积比是比例尺的平方比，得:图上面积是

6400—1000000=0.0064(7n2)=64(c7n2),所以c选项是正确的.

【点睛】本题主要考查相似图形具有的性质，其中相似图形的面积比等于相似比的平方.

4.D

【解析】

【分析】

根据相似图形的定义，结合图形，通过比较得到正确结果.

【详解】

解：观察比较图形,，A,B,C选项中的图案的形状相同，是相似图形,D选项中的两个图

案的形状不相同，所以不是相似图形，故根据相似形的定义可知：不相似的图形是D.

【点睛】本题主要考查相似图形的定义.

5.B

【解析】

【分析】

已知AB//CD//EF,根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可.

【详解】

解：山AB//CD//EF,

有——-=——，故B不正确.

CEDF

故选B.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案.

6.C

【解析】

【分析】

根据比例式的分比性质计算即可。

【详解】

解：已知(。一人)：a=l:15,即上普

I5(a-b)=a,14。=15/7,

故:a:b=15:14,

故选c.

【点睛】本题主要考查比例式的性质，关键在于熟练运用比例式的分比性质，认真的进

行计算.

7.B

【解析】

【分析】

菱形和矩形不一定都相似，但是等腰直角三角形正方形和正六边形都相似.

【详解】

可以令矩形一边长固定，另一边长增加一倍，容易知道两矩形不相似，对于菱形，可以

变换边与边之间的夹角，容易看出两菱形不相似.等腰直角三角形正方形和正六边形无

论怎么变都相似，故正确的有3个.

【点睛】理解四边形的性质是解题的关键.

8.B

【解析】

【分析】

根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA，=DB,从而可得/ADA，=2/B,结合折叠的

性质可得NADA'=2/ADE,可得NADE=NB,继而判断DE〃BC,得出DE是△ABC

的中位线，证得AAi_LBC,得至ljAA尸2,求出hi=2-l=l,同理，h?=2—,

2

h3=2-1xi=2-^,经过第n次操作后得到的折痕Dn.}En.l到BC的距离为=2-击.

【详解】

解：由折叠的性质可得：AAUDE,DA=DAi,

又是AB中点,

,DA=DB,

.\DB=DAi,

AZBA|D=ZB,

.*.ZADAi=2ZB,

XVZADAi=2ZADE,

AZADE=ZB,

，DE〃BC,

AAAi±BC,

AAi=2hi=2,

Ahi=2-l=l,

同理，h)=2—,h3=2—x—=2——

■22222

，经过第n次操作后得到的折痕到BC的距离儿=2-9.

；.112019=2-宁丽•

故选B.

【点睛】本题考查平面图形的有规律变化，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理,

要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的

关键.

2

9.——

3

【解析】

【分析】

利用比例的性质可直接得结论.

【详解】

..a_b

•——--，

23

.a_2

♦•—1.

b3

故答案为：-1■.

3

【点睛】本题考查了比例的性质,若a:b=c:d(b、毋0),则有：①ad=bc(即比例的基本

性质：两个外项的积等于两个内项的积)，②b:a=d:c(a、cM)(交换比较，结果仍然相

等)，③a:c=b:d、c:a=d:b,④(a+b):b=(c+d):d,@a:(a+b)=c:(c+d)(a+b#0,c+d#0),

⑥(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d)(a+b/0,c+d#)).

10.15②.

【解析】

【分析】

(1)解原方程可得方程的两根，须=3.々=6,根据三角形的性质“两边之和大于第三边，两

边之差小于第三边”，可得腰为6,底边长为3,可得周长；

(2)根据图形相似要求对应角相等、对应边成比例可得答案.

【详解】

解：⑴方程因式分解可得：(x-3)(x-6)=0,故原方程的解为再=3,超=6,

•••两个根是等腰三角形的底和腰，根据构成三角形的条件“两边之和大于第三边，两边

之差小于第三边”，

二可得等腰三角形的腰为6,底边长为3,二所以这个等腰三角形的周长为6+6+3=15,

故本题正确答案为15.

(2)图形相似即要求对应角相等、对应边成比例，

等边三角形的三个内角都是60。,三条边都相等，故①中的图形相似；

矩形的四个内角都是90。，对边相等，所以对应边不一定成比例，故②中的图形不一定相

似；

正方形的四个内角都是90"，四条边都相等,故③中的图形相似；

菱形的时角相等，四条边都相等，故④中的图形相似；

故答案为②.

【点睛】(1)本题主要考查一元二次方程和等腰三角形.

(2)本题考查图形相似的性质：图形相似要求对应角相等、对应边成比例.

II.1

【解析】

【分析】

根据黄金分割点的概念进行计算，其中较短的线段=原线段的三叵倍，较长的线段=原

2

线段的叵1倍.

2

【详解】

解：由黄金分割的公式:较短的线段=原线段的三5倍，较长的线段=原线段的叵1倍.

22

•••BC=AB,AG=AB,

22

BC

故答案：1.

【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算.把一条线段分成两

部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割,

他们的比值(正1)叫做黄金比.

2

12.3:49:16

【解析】

【分析】

由相似多边形对应边周长的比等于相似比，可知四边形ABCD与四边形A'B'CD的周

长比；

由相似多边形的面积比等于相似比的平方，可得四边形ABCD与四边形的

面积比.

【详解】

解：•••四边形ABCD与四边形是位似图形，且它们的对应边的比为3:4.

•••四边形ABCD与四边形A'B'CD'的周长之比为3:4,

二四边形ABCD与四边形A，B，CD'的面积之比9:16,

故答案：3:4；9:16

【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，其中相似多边形的周长比等于相似比，相似

多边形的面积比等于相似比的平方.

13.证明见解析

【解析】

【分析】

AHAPAFAF

由平行线分线段成比例可以得到——=——，—

ABACADAC

A17AT)

则根据等量代换可以推知—,即A。？=Ab-AB.

ADAB

【详解】

DE!IBC

ADAE

AB一AC

EF//DC,

AFAE

~\D~~AC'

AFAD,

—-即

ADAB

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例.注意找准对应关系，以防错解.

14.(1)见解析；(2)DE的长18米

【解析】

【分析】

(I)利用平行投影的性质得出即可；

(2)利用同一时刻影长与实际物体比值相等进而求出即可.

【详解】

解：(1)如图所示:

EM即为所求；

(2)：AB=d2m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=4m,

DE在阳光下的投影长6m,

二设DE的长为xm,

,,,2x

则一=—，

146

解得:x=18,

答：DE的长18米.

【点睛】此题主要考查了平行投影的性质，利用相同时刻影长与实际物体的关系得出是

解题关键.

15.(I)?l£=—；(2)EC=24.

7

【解析】

【分析】

(1)根据平行线分线段成比例，可以求得AE的长；

(2)根据平行线分线段成比例，可以求得AC的长,从而可以求得EC的长.

【详解】

(1)VDE//BC,

.ADAE

••=二，

DBEC

•；4。=5,。3=7,EC=12,

.5AE

•♦­=,

712

解得，A£=y；

（2））VDEIIBC,

.ADAE

•.---=----,

ABAC

AB=16,AD=4-AE=8，

•.•±_-_L，

16AC

解得，AC=32,

/.EC=AC—AE=32—8=24.

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例.

16.发现（1）5；（2）相遇点在边上，AP=1；探究：（1）1；（2）不能，理由见

44

解析；拓展：t——

13

【解析】

【分析】

发现：（1）在用AA8C中应用勾股定理即可求解；

（2）P和Q相遇时可得方程2/-/=4,求得t后，即可进一步AP的长；

探究：（1）求出当『=1时PC和CQ的长，然后根据三角形面积公式求解即可；

（2）用t列出APQC的面积表达式，然后和AABC面积的一半列出方程，进行求解即

可判断：

拓展：根据题意作出示意图，然后根据平行线截线段成比例列出方程，解方程即可求出

t的值.

【详解】

发现：（I）在mAABC中，AB=JAC?+BC?="+42=5

，AB=5；

⑵点P运动到B需要：（4+5）+l=9s

点Q运动到B点需要：（3+4+5）+2=6s

当点P,。相遇时，有2f—r=4.解得r=4.

相遇点在A8边上，

此时AP=4-3=1.

探究：(1)当f=l时,PC=i,BQ=2,即CQ=2

S.PQC=~PC*CQ=-xlx2=l

故答案为1：

(2)不能

理由：若APQC的面积是A43c面积的一半，

即gf(4-2t)=gxgx3x4,化为「一2f+3=0.

VA=(-2)2-4xlx3<0,

二方程没有实数根，

即APQC的面积不能是AABC面积的一半.

拓展：由题可知，点尸先到达A3边，当点。还在AC边上时，存在PQ//BC,如图

所示.

AQAP

这时,

AC-AB

•.•AQ=7—2r,AP^t-3,

7-2/t-3

35

44

解得/=一，

13

44

即当PQ//BC0^,t=^.

【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程中的动点问题，平行线截线段成比例，一

元二次方程的判别式，题目较难，综合性较强，熟练掌握不同模块知识点是本题的关键.

(帮能力)

一、单选题

1.如图，直线a,b,c•分别与直线〃?，〃交于点A,B,C,D,E,F,直线a〃b〃c,

若45=2,BC=3,则二；的值为()

2.如图，在矩形ABCD中，将AABE沿着BE翻折，使点A落在BC边上的点F处,

再将△DEG沿着EG翻折，使点D落在EF边上的点H处.若点A,H,C在同一直

线上，AB=1,则AD的长为()

A.|B.C.6D.石-1

3.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：

点G将一线段MN分为两线段MG,GN,使得其中较长的一段是全长与较

短的段GN的比例中项，即满足曳生=丝=避二1,后人把避二1这个数称为“黄

MNMG22

金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点.如图，在AABC中，已知

AB=AC=3,BC=4,若D,E是边5c的两个“黄金分割”点，则AADE的面积为

()

5-275

D.20-85/5

2

4.如图，在矩形ABC。中，4)=2aAB=\,将矩形ABCZ)对折，得到折痕“V;

沿着CM折叠，点D的对应点为E,ME与BC的交点为F;再沿着MP折叠，使得AM

与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论:①ACMP是直角三角形:②

点C、E、G在同一条直线上;③=④A8=88P；⑤点F是△CMP的外

A.2个B.3个C.4个D.5个

5.如图，在矩形48co中，NCBN的正弦值等于』，BN与CO交于点N,/8N。的

3

平分线NM与4。交于点M,若CD=7,DM=2AM,则A。的长为（）

A.3A/10B.6&C.8D.9

6.如图，四边形ABC。中，BC=6,ABIBC,BC上CD,E为AD的中点，F

为线段BE上的点，且短=』BE,则点尸到边CO的距离是（）

2

1014

A.3B.—C.4D.

3T

7.如图.AB//CD//EF,AF、BE交于点、G,下列比例式错误的是（）

AGBGGCCDABAG

DFCE~GD~~CG~GE~~EF~EF~~GE

8.已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC）,则下列结论中正确的是（）

AB

A.AB2=AC2+BC2B.BC2=AC«BA

BC_V5-1AC_75-1

AC-2~BC~2

二、填空题

9.已知点C为线段AB的黄金分割点（AC>BC）,且AB=4,则ACv_（精确到0.1）.

10.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分

别交AC、CD于点P、Q.则CP：AC=.

11.如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB=

2BC,AC=3,CD=4,则AB的长为.

a2…a-2b…4G

12.已知：-=则------的值是.

b3a+2b

三、解答题

13.已知a,b,c为AABC的三边，且（a-c）:（。+。）：（c-/?）=（-2）:7:1,

a+b+c-24.

（1）求a,b,c的值；（2）判断AABC的形状.

14.如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE〃BC.

（1）若AB=6,AC=5,AD=4,求CE的长.

（2）连接BE,作DF〃BE交AC于点F,如图②，求证：AE2=AF«AC.

15.如图，一个木框，内外是两个矩形ABC。和EFG”,问按图中所示尺寸，满足什

么条件这两个矩形相似?

16.如图，已知A(40)、BO2)、C(6,0),直线AB与直线CD相交于点D,D点的横纵坐标

相同;

⑴求点D的坐标；

(2)点P从O出发,以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴匀速运动，过点P作x轴的垂线分

别与直线AB、CD交于E、F两点，设点P的运动时间为t秒，线段EF的长为y(y>0),求y

与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，直线CD上是否存在点Q,使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三

角形?若存在，请求出符合条件的Q点坐标，若不存在,请说明理由.

x

参考答案

1.A

【解析】

【分析】

根据平行线分线段成比例定理得出比例是在代入求出即可.

【详解】

•直线a〃b〃c,

•AB_DE

"：AB=2,BC=3,

.DE_2

•-------.

EF3

所以A选项是正确的.

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用.

2.B

【解析】

【分析】

首先通过折叠的性质得出四边形ABFE,EDGH都是正方形，然后设G〃=x,根据平

rHc'C'

行线分线段成比例得出——=—,从而UJ■求出X的值，然后AD的长度可求.

ADCD

【详解】

连接AC,

•.•四边形ABCD是矩形,

CD=AB=1,ZEAB=ZABF=NEDG=90°

由折叠的性质可知,

AB=BF,DG=GH,NBFE=ZE4B=90°,4EHG=ZEGD=90°

AB=BF,ZEAB=ZABF=ZBFE=90°,

四边形ABFE是正方形，

ZAEF=90。,AE=A8=1,

:.DEH=90。.

DG=GH,ZDEH=NEHG=ZEDG=90°,

二四边形EDGH是正方形，

AD//GH,GH=DG=ED,

,GHCG

,,茄一而

设GH=x,

X1-x

----=----,

1+X1

解得x=±2叵或彳=二115（舍去），

22

故选：B.

【点睛】本题主要考查正方形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的判定

及性质和平行线分线段成比例是解题的关键.

3.A

【解析】

【分析】

作AFLBC,根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求

出BE、CD的长度，得到△AQK中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.

【详解】

解：过点A作AFLBC,

VAB=AC,

ABF=—BC=2,

2

在RtAABF,AF=SJAB2-BF2=>/32-22=后>

•••D是边BC的两个“黄金分割''点,

.CD75-1Hr,CDV5-1

••----=--------即-----=--------,

BC242

解得CD=26-2，

同理BE=25/？-2，

,/CE=BC-BE=4-(275-2)=6-2亚，

；.DE=CD-CE=46-8,

.'.SAABC=^X£>fxAF=yX(4>/5-8jx75=10-4\/5，

故选：A.

【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三

角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。

4.D

【解析】

【分析】

根据折叠的性质得到NDMC=NEMC,NAMP=/EMP,于是得到NPME+/CME=

!、180。=90。，求得ACMP是直角三角形，故①正确；根据平角的定义得到点C、E、

2

G在同一条直线匕故②正确；AB=1,则AD=2夜，得到DM=,AD=夜，根

3x123

据勾股定理得到CM=y/DM2+CD2=下＞-根据射影定理得到

CP=夜一后,

得到PC=JJMP,故③正确；求得PB=R2AB=92,AB=OBP，故④正确；根

22

据平行线等分线段定理得到CF=PF,求得点F是^CMP外接圆的圆心，故⑤正确.

【详解】

•；沿着CM折叠，点D的对应点为E,

・・・NDMC=NEMC,

•再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP,

，NAMP=NEMP,

VZAMD=180°,

ZPME+NCME=—xl80°=90°,

2

...△CMP是直角三角形；故①正确；

•.•沿着CM折叠，点D的对应点为E,

.*.ZD=ZMEC=90°,

:再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP,

.•./MEG=NA=90。，

.,.ZGEC=180°,

.•.点C、E、G在同一条直线上，故②正确；

；AD=20AB,

VAB=I,则AD=20,

•••将矩形ABCD对折，得到折痕MN；

DM=-yAD=y/2

，CM=yjDM2+CD2二百'

,.,/PMC=90°,MN1PC,

/.CM2=CN«CP,

3xl23

••.CP=FF

历

/.PN=CP-CN=—

2

PM:1MN?+PN?=y-

••・上=藉后

PM4

，PC=GMP,故③正确；

33叵

•・・PC=-AB=*±,

V22

.,.PB=2A/2--=—

22

A3=6BP，故④正确，

VCD=CE,EG=AB,AB=CD,

；.CE=EG,

*/ZCEM=ZG=90°,

，FE〃PG,

；.CF=PF,

VZPMC=90°,

；.CF=PF=MF,

，点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确：

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的

性质，正确的识别图形，熟练掌握好相关知识是解题的关键.

5.B

【解析】

【分析】

延长NM交BA的延长线于H.设CN=a.根据BH=BN,构建方程即可解决问题，

【详解】

解：延长NM交BA的延长线于H.设CN=a.

•.•四边形ABCD是矩形,

；.AB=CD,AD=BC,ZC=90°

・・・NCBN的正弦值等于L

3

BN=3a.BC=2后a,

VDM=2AM,AH//DN,

.AHAM

NH=NBNH,

"DN~DM2

，AH

：NBNH=NDNH,

.*.ZBNH=ZH,

；.BN=BH=3a,

7-a

2

解得a=3,

；.AD=BC=6播.

故选：B.

【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

6.C

【解析】

【分析】

过E作EG，CD于G,过F作FHLCD于H,过E作EQ_LBC于Q,依据平行线分线

段成比例定理，即可得到HP=CQ=3,FP=-BQ=1,进而得出FH=1+3=4.

3

【详解】

解：如图所示，过E作EGLCD于G,过F作FHLCD于H,过E作EQJ_BC于Q,

则EG〃FH〃BC,AB〃EQ〃CD,四边形CHPQ是矩形，

：AB〃EQ〃CD,

.AEBQ

''~ED~QC'

：E是AD的中点，

；.BQ=CQ=3,

：.HP=CQ=3,

；FP〃BQ,

.EFFP

1

VFE=-BE,

3

.•.FP=1BQ=1,

3

；.FH=l+3=4.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，解决问题的关键是作平行线,

解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行于三角形一边的直

线截其他两边，所得的对应线段成比例.

7.D

【解析】

【分析】

根据平行线分线段成比例定理进行判断即可.

【详解】

4、由则—,所以4选项的结论正确；

DFCE

则任=四，所以B选项的结论正确；

B、由AB〃C£）〃E尸，

GDCG

则堡=C2,所以c选项的结论正确：

C、由A8〃C/)〃EF,

GEEF

ARArz

。、由A8〃CD〃EF,则——,所以。选项的结论错误；

EFGF

故选。.

【点睛】考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线

段成比例.平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线,

所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

8.C

【解析】

黄金分割定义知，一=—，所以

ABAC

设A8=l,AC=x,

\-x_X

X1

解得：广-1-源—=必二1选C.

2AC2

9.2.5

【解析】

【分析】

根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段：则AC=XJAB,代入数据即可得出

2

AC的值.

【详解】

：C为线段AB=5的黄金分割点，且AC>BC,AC为较长线段,

V5-1

2与A8x4®2.5

2

故答案为：2.5.

【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC(AOBC),

且使AC是AB和BC的比例中项(即竺=―),叫做把线段AB黄金分割，点C

ACBC

叫做线段AB的黄金分割点.其中=是需要熟记的内容.

2

10.1:4

【解析】

【分析】

由平行四边形的性质，可以得出AC〃DE,且AC=DE,根据线段成比例即可得出结论.

【详解】

解：：四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，

；.AC〃DE,BC=AD=CE,

.PCBC

"~RE~~BE'

BE2'

.PC1

••---,

RE2

•点R为DE的中点，

/.PC：DE=1：4,

即PC：AC=1：4,

故答案为1：4.

【点睛】题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线

被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和

其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对

应成比例.

24

II.—

5

【解析】

【分析】

如图，作CE〃AD交AB于E.利用平行线分线段成比例定理解决同题即可.

【详解】

如图，作CE〃AD交AB于E.

5

故答案为y.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造

平行线解决问题，学会利用参数解决问题.

1

12.——

2

【解析】

【分析】

根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.

【详解】

解：由4@=—2,可设a=2k,b=3k,(kr0),

b3

,,a-2b2k-2x3k-4k1

故：------=-----------=----=--,

h+2h2k+2x3k8k2

故答案：一工.

2

【点睛】此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.

13.(1)a=6,h=S,c=10；(2)AABC是直角三角形.

【解析】

【分析】

(1)解此类含等比式的题目，解题关键是能否想到设出比例系数k,从而通过解方程

组来得到a、b、c和k的值.

(2)判断△ABC的形状，通常首先想到直角三角形和等腰三角形或者等腰直角三角形,

通过计算来判断出a,b,c三者之间的关系.

【详解】

解:(1)V(n-c):(a+Z?):(c-Z?)=(-2):7:1,

a-ca+bc-b

>>.------=-------=-------

-271

a—ca+hc-b

设k,

7

a-C—~~2k,a=3k,

解得卜二他

则<〃+/?=7k,

c-b=k,c=5k.

又丁Q+b+c=24,

・・・3女+软+5%=24,解得、=2.

，Q=6,b=8,c=10

(2)V«2+/,2=62+82=102=C2

/.AABC是直角三角形.

【点睛】此题考查比例的性质，勾股定理的逆定理，解题关键在于利用“设k法”.

14.(1)-(2)证明见解析

3

【解析】

【分析】

4AF

(I)如图①，根据平行线分线段成比例定理得到一=——，则利用比例性质可计算出

65

AE的长，然后计算AC-4E即可g；

4/7AnAnAF

(2)由DF//BE得到—=——，由。E〃8c得到2-=2-,利用等量代换得

AEABABAC

AFAF

—=——，然后利用比例的性质可得到结论.

AEAC

【详解】

(1)如图①.

ADAE4AE10105

,:DE〃BC,：.----,即nn一=--f.\AE=—,/.CE=AC-AE=5-----=

AB~AC65