圆与多边形知识梳理

9.3圆与多边形

【知识梳理】

正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.

正多边形判定：“各边相等”、“各角相等”必须同时具备，缺一不可.

正多边形与圆的关系：正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相

等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形

的外接圆.

正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心.

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形

的边心距.

与正多边形（正〃边形）有关的计算：

边长45a

半径0AR

周长C-na

面积s=«5AAOB=等

360°

中心角NA05

n

360°

外角

n

360"

(1)180。-汇-

n

内角NC43AB

(2)(〃-2)180°

n

内角和(n-2)180°

1QQO

(1)OH=Hxcos^-

n

边心距0H

(2)OH=,_(手

正三角形，正方形，正六边形的内外接圆半径与边长的关系。

正三角形正方形正六边形

内接

外接

正多边形的边心距（正三角形，正方形，正六边形）

【经典例题1）正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的

边心距。若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为

（）

A.V2B.2V2-2C.2-V2D.V2-1

练习1-1如图，已知。0的内接正六边形ABCDEF的边心距0M=2,则

该圆的内接正三角形ACE的面积为（）

A.2B.4C.6百D.473

练习1-2如图，边长为。的正方形ABC。和边长为匕的等边△AEE均内接于

。0,则的值是（）

a

A.2B.百C.V2

练习1-3如图，△ABC是半径为1的。。的内接正三角形，则圆的内接矩形

BCDE的面积为（）

D.B

C.V3

2

练习1-4如图I,正六边形ABCDEE内接于。。，已知。。的半径为4,则这

个正六边形的边心距0M和弧BC的长分别为（)

D.2S手

练习1-5如图，等腰三角形ABC的内切圆。。与A3,BC,C4分别相切于

点。，E,F,且AB=AC=5,BC=6,则OE的长是()

D3M延

AMD.------cD.竽

105.可

练习1-6（2019•十堰中考）如图，四边形ABCD内接于。O,AELCB交CB的

延长线于点E,若BA平分NDBE,AD=5,CE=，E,则AE=()

A.3B.3yliC.4小D.2y[3

练习1-7如图，有一个圆。和两个正六边形Ti，T2.T］的6个顶点都在圆周

上，T2的6条边都和圆。相切(我们称Ti，T2分别为圆。的内接正六边形

和外切正六边形).

(1)设Ti，T2的边长分别为a,b,圆。的半径为r,求r：a及r：。的值;

(2)求正六边形T”T2的面积比Si：S2的值.

练习1-8如图，。0外接于正方形A5CD,。为弧4)上一点，且AP=1,PC=3,

求正方形ABCD的边长

练习L9如图，正六边形ABC。"的边长是6+4百，点。i，Q分别是△ABb,

△CDE的内心，则0\0i=.

【经典例题2】如图，将正五边形绕中心。顺时针旋转。角度，与原正五边

形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则”的最小

A.30°B.36°C.72°D.90

练习2-1如图，正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于。O,则NBOM

的度数是.NMNC的度数是

练习2-2如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB

边重合叠放在一起，连接EB,交HI于点K,则NBKI的大小为()

£,______D

A.90°B.84°C.72°D.88°尸((\G))c

练习2-3如图,P,Q分别是圆O的内接正五边形的边AB.BC上的点,BP=CQ,

则/POQ=()

(2018秋•沐阳县期中)如图，P.Q分别是。0的内接正五边形的边A8,8C上的点，BP=CQ,则/

POQ=()

A.75°B.54aC.72°D.60°

练习2-4刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割

圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O

的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则

S=.(结果保留根号)

练习2-5刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割

圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用

圆的内接正十二边形的面积与来近似估计。O的面积S,设。。的半径为1,

则S-S严

o

练习2-6小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他

绘制了如图2所示的图形.图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的

内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M,PB=5cm,小

正六边形的面积为竽切’则该圆的半径为一皿

图I图2

练习2-7置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到

AB的距离为10cm,则该脸盆的半径为cm.

图①图②

练习2-8已知：圆内接正方形ABCD,NDAC的平分线交圆于点E,交CD

于P,若EP=1,AP=3,则圆的半径r=

【经典例题3】如图，△ABD是圆。的内接正三角形，四边形ACEF是圆0

的内接正四边形，若线段BC恰是圆0的一个内接正n边形的一条边，则仁

()

E

练习3-1如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于圆0,则AD:AB=

A.2\f2：V3C.百：V2D.x/3：2V2

练习3-2如图，在正六边形ABCDEF中，连接BD、BE、DF,则则BE/DF

的值为______.

练习3-2将正方形ABC。绕点A按逆时针方向旋转30。，得正方形ABGA，

BCi交CD于点E,AB=@,则四边形ASEO的内切圆半径为（）

AV3+1D3—A/3厂6+1八3-

2233

练习3-3如图，A3是。。的直径，点。,。在。。上，NOOC=90。，AD=

y/2,BC=\,则。。的半径为()

修

A.百B.9V10八a+1

rX-x♦•

22

练习3-4如图。O内接正三角形形ABC、内接正四边形ABCD、。。内接正

五边形ABCDE……。。内接正n边形ABCDE...,且BlM=CN,

(1)图①中NMON=_______0；

(2)图②中ZMON=_______°；

(3)图③中ZMON=_______°；

(4)试探究NMON的度数与正n边形的边数的关系_______________（直接写

出答案)

A

OBS©

①②③

练习3-5如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE

分别是OO的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、

C开始，以相同的速度中。0上逆时针运动.

(1)求图①中NAPB的度数；

(2)图②中，NAPB的度数是,图③中NAPB的度数是；

(3)根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写

出推广问题和结论；若不能，请说明理由.

练习3-6如图1,△ABC为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形，

图4为正方形.

(1)如图1,当BP=CQ时，请写出NAOQ的度数，并说明理由

(2)如图2,在正方形中当BP=CQ时，ZAOQ=；如图3,在正五边

形中，当BP=CQ时，ZAOQ=；

(3)如图4,在正n边形中当，BP=CQ时，NAOQ是否有什么规律？如果

有请用含有n的式子直接表示；如果没有，请说明理由.

图1

练习3-7在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动(不与B、C

重合)，M在BC的延长线上.

(1)如图1,△ABC和△APE均为正三角形，连接CE.

①求证：△ABPgAACE.

②NECM的度数为。.

(2)①如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE.则

ZECM的度数为。.

②如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE.则

ZECM的度数为。.

(3)如图4,n边形ABC…和n边形APE...均为正n边形，连接CE,请你

探索并猜想NECM的度数与正多边形边数n的数量关系(用含n的式子表示

NECM的度数)，并利用图4(放大后的局部图形)证明你的结论.

练习3-8如图1,作ZBPC平分线的反向延长线PA,现要分别以ZAPB，ZAPC

，NBPC为内角作正多边形，且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不

同花纹后成为一个图案.例如，若以NBPC为内角，可作出一个边长为1的

正方形，此时NBPC=90。，而90。2=45是360。（多边形外角和）的18,这

样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求

的图案，如图2所示.

图I

图2中的图案外轮廓周长是.

在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮

廓周长是

练习3-9粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，

总支数为50支.图2是它的横截面（矩形ABC。），已知每支粉笔的直径为

12mm,由此估算矩形ABC。的周长约为mm.（V3«1.73,结果精确

至U1mm)

练习3-10如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF,点P

沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶

点距离相等时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点「有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

9.3圆与多边形

【知识梳理】

正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.

正多边形判定：“各边相等”、“各角相等”必须同时具备，缺一不可.

正多边形与圆的关系：正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相

等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形

的外接圆.

正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心.

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形

的边心距.

与正多边形（正〃边形）有关的计算：

边长ABa

半径0AR

周长C-na

nar

面积3=〃»AOB=

360°

中心角NA05

n

360°

外角

n

360°

(1)180°-^-

n

内角NC45AB

(2)(〃-2)180°

n

内角和(n-2)180°

1QQO

(1)O〃=Hxcos^-

n

边心距0H

(2)OH=,_(豕

正三角形，正方形，正六边形的内外接圆半径与边长的关系。

正三角形正方形正六边形

内接

外接

正多边形的边心距（正三角形，正方形，正六边形）

【经典例题1］正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的

边心距。若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为

()

A.V2B.2V2-2C.2-V2D.V2-1

【解析】•••等腰直角三角形外接圆半径为2,

...此直角三角形的斜边长为4,两条直角边分别为2后，

.,•它的内切圆半径为：R=-(2A/2+2V2-4)=241-2.

2

故选B.

练习1-1如图，已知。0的内接正六边形ABCDEF的边心距0M=2,则

该圆的内接正三角形ACE的面积为()

A.2B.4C.673D.46

【解析】如图所示，连接OC,0B,过0作ON_LCE于N,

,/多边形ABCDEF是正六边形，

:.ZCOB=60°,

VOC=OB,

.'.△COB是等边三角形，

.,.ZOCM=60°,

.•.OM=OC«sinZOCM,

“OM4有

一$.60。一亍

VZOCN=30°,

1Dpi

，ON=±OC=*,CN=2,

23

，CE=2CN=4,

...该圆的内接正三角形ACE的面积=3x1x4x空=46,

23

故选：D.

练习1-2如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的等边AAEF均内接于

Q0,则2的值是（）

a

A/6

A.2B.逐C.&D.2

【解析】设其半径是r,则其正三角形的边长是百r,

正方形的边长是四r,则它们的比是收：百.

则内接正方形的边长与内接正三角形的边长的比为：76:3.

即则颖值考,

故选：D.

练习1-3如图，△ABC是半径为1的。。的内接正三角形，则圆的内接矩形

D.旦

C.百

2

【解析】过点O作0F1BC于点F,连结BD、0C,

••.△ABC是0的内接等边三角形，AB=1,

.*.BF=-BC=-,NOBC=30。，

22

.,.0B=研=与=&，CD=BC«tan30°=—

cos300@33

T

.,•矩形BCDE的面积=BOCD=Y^.

3

故选c.

练习1-4如图，正六边形ABCDE/内接于OO,已知。。的半径为4,则这

个正六边形的边心距0M和弧BC的长分别为（)

D.2省,y

【解析】解：如图所示，连接OC、0B

多边形ABCDEF是正六边形,

.,.ZBOC=60°,

VOA=OB,

.,.△BOC是等边三角形,

.*.ZOBM=60o,

77

/.OM=OBsinZOBM=4x—=273,

2

弧BC的长度=更需=*'

故选：A.

B

练习1-5如图，等腰三角形ABC的内切圆。。与A3,BC,CA分别相切于

点。，E,F,且AB=AC=5,BC=6,则。E的长是（）

3MC延

【解析】D

练习1-6（2019•十堰中考）如图，四边形ABCD内接于。0,AELCB交CB的

延长线于点E,若BA平分NDBE,AD=5,CE=，H,则AE=（）

A.3B.3啦C.4小D.2小

【解析】如解图，连接AC,〈BA平分NDBE,

/.ZABE=ZABD,

•••四边形ABCD是。O的内接四边形，

工ZABC+ZADC=180°.

VZABC+ZABE=180°,

/.ZABE=ZADC,/.ZADC=ZABD,

VZABD=ZACD,

.*.ZADC=ZACD,.，.AC=AD=5.VAE±CE,CE=而,

/.AE=^AC2-CE2=752-(V13)2=2百.

练习1-7如图，有一个圆。和两个正六边形Ti，T2.TI的6个顶点都在圆周

上，T2的6条边都和圆。相切(我们称Ti,T2分别为圆。的内接正六边形

和外切正六边形).

(2)设T”T2的边长分别为a,b,圆。的半径为r,求r：a及r：。的值;

(2)求正六边形T”T2的面积比Si:S2的值.

【解析】(1)连接圆心0和Ti的6个顶点可得6个全等的正三角形。

所以r:a=l:l；

连接圆心0和T2相邻的两个顶点，得以圆0半径为高的正三角形,

所以r:Z?=AO:BO=sin60°=V3:2；

⑵TI：T2的边长比是有:2,所以S152=34=3:4.

练习1-8如图，。0外接于正方形A3C2P为弧上一点，且AP=1,PC=3,

求正方形ABC。的边长

D.

•O

P

AB

【解析】连接AC,作于点£,

如图所示.

•.•四边形ABC。是正方形,

AB=BC=CD=AD,NABC=ND=ZBCD=90°,ZACB=45°,

二•AC是。。的直径，AABC是等腰直角三角形,

ZAPC=90°,AC=y/2AB,

AC=\IAP2+PC2=VI2+32=Vio,

AC

AB

ZAPB=NAC5=45°,AEJ_PB,

.•.△APE是等腰直角三角形,

V2

PE^AE=—APV

BE=[AB?_4炉=（逐）2J也]二辿

YI2J2

:.PB=PE+BE=®+^^=2短.

22

正方形ABCD的边长为V5,PB的长为2近.

D.C

PIE,

B

练习1-9如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4百，点。1,Q分别是△ABF,

△CDE的内心，则Oi。2=.

zA=-6-2)-80-=120°,AF=AB,

6

/.ZAFB=ZABF=-(180°-120°)=30°,

2

,XAFB边上的高AM=』Ab='(6+4后)=3+26，BM=6AM

22

=373+6,

Z.BF=3V3+6+3V3+6=12+6V3,

设^AEB的内切圆的半径为r,

5AAFB=SAAOIF=SAAOIB=SABFOI，

：.-(12+673)x(3+2V3)=-(6+4退)r+-(6+4V3)r+-(12+6百)

2222

解得：r=3,

即OiM=r=3,

：.OiO2=2x3+6+48=12+45

故答案为：12+46.

【经典例题2】如图，将正五边形绕中心。顺时针旋转。角度，与原正五边

形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则”的最小

A.30°B.36°C.72°D.90

【解析】

•••正五边形的每个外角的度数=号-=72。，

,将正五边形ABCDE绕C点顺时针方向旋转72。时，所得新五边形

ABCDE的顶点D第一次落在直线BC上.

故选B.

练习2-1如图，正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于。O,则NBOM

的度数是.NMNC的度数是.

【解析】连接AO,

•.•正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于。O,

.,.ZAOM=-x360°=120°,

3

.,.ZAOB=-x360°=72°,

5

ZBOM=ZAOM-ZAOB,

.,.ZBOM=120o-72°=48°

故答案为:48°

ZMNC=-ZM0C=12°

2

练习2-2如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB

边重合叠放在一起，连接EB,交HI于点K,则NBKI的大小为（）

【解析】由正五边形内角，得NI=NBAI=(5x2)x180°

---------------=1VO

5

由正六边形内角，得

NABC=(6x2)xl80°_℃。，

-1ZXJ

2

BE平分/ABC,

ZABK=60°,

由四边形的内角和，得

ZBKI=360°-ZI-ZBAI-ZABK

=360o-1080-108o-60°

=84°.

故选:B.

练习2-3如图,P,Q分别是圆0的内接正五边形的边AB,BC上的点,BP=CQ,

则NPOQ=()

(2018秋♦沐阳县期中)如图，P.。分别是。。的内接正五边形的边48,8c上的点，BP=CQ,则/

POQ=()

A.75°B.54°C.72°D.60’

【解析】解答解：连接OA、OB、OC,

•••五边形ABCDE是。O的内接正五边形，

.".ZAOB=ZBOC=72°,

VOA=OB,OB=OC,

/.ZOBA=ZOCB=54O,

在^OBPOCQ中，

OB=OC,ZOBP=ZOCQ,BP=CQ,

.'.△OBP四△OCQ,

/.ZBOP=ZCOQ,

■:ZAOB=ZAOP+ZBOP,ZBOC=ZBOQ+ZQOC,

.,.ZBOP=ZQOC,

•:NPOQ=NBOP+NBOQ,NBOC=NBOQ+/QOC,

.,.ZPOQ=ZBOC=72°.

故答案为：72°.

练习2-4刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割

圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O

的半径为1,若用圆0的外切正六边形的面积来近似估计圆0的面积，则

s=.（结果保留根号）

【解析】依照题意画出图象，如图所示.

•••六边形ABCDEF为正六边形,

AAABO为等边三角形，

VOO的半径为1,

.*.OM=1,

.".BM=AM=—,

3

,AB;地

3

S=6S△ABO=6X—xl2U-x1=2V3.

23

故答案为：2也.

练习2-5刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割

圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用

圆的内接正十二边形的面积Si来近似估计。。的面积S,设。。的半径为1,

则S-Si=.

练习2-6小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他

绘制了如图2所示的图形.图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的

内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M,PB=5cm,小

正六边形的面积为竽编‘则该圆的半径为力

图1图2

练习2-7置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到

AB的距离为10cm,则该脸盆的半径为cm.

图①图②

【解析】如解图，取圆心为O,

连接OA、OC,OC交AB于点D,则OC_LAB.

设。O的半径为r,则OA=OC=r,

又•.•CD=10,；.OD=r—10,

VAB=40,OC_LAB,AAD=20.

在RaADO中，由勾股定理得：r2=202+(r—10)2,解得r=25,

即脸盆的半径为25cm.

AB

C

练习2-8已知：圆内接正方形ABCD,NDAC的平分线交圆于点E,交CD

于P,若EP=1,AP=3,则圆的半径r=

答案：V5

【经典例题3】如图，△ABD是圆。的内接正三角形，四边形ACEF是圆0

的内接正四边形，若线段BC恰是圆0的一个内接正n边形的一条边，则仁

()

A.16B.12C.10D.8

答案：B

练习3-1如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于圆。，则AD:AB=

)

E

A.2企：V3B.V2：V3C.6：42D.V3：2\f2

答案：B

练习3-2如图，在正六边形ABCDEF中，连接BD、BE、DF,则则BE/DF

的值为.

2扣

答案:

3

练习3-2将正方形ABC。绕点A按逆时针方向旋转30。，得正方形ABG。,

BiCi交CD于点、E,AB=y[3,则四边形ABiED的内切圆半径为（）

AV3+1口3-6「V3+1门3-6

2233

练习3-3如图，AB是。。的直径，点O,C在。。上，ZDOC=90°,AD=

血，BC=\,则。。的半径为（

「回

A.73B.立n^2+1

222

【解析】如图延长。。交。。于E,作EELCB交C8的延长线于巴连接

BE、EC.

•*-AD=BE-

.,.AD=BE=叵,

,：ZDOC=ZCOE=9Q°,OC=OB=OE,

：.ZOCB=ZOBC,ZOBE=ZOEB,

：.ZCBE=-(360°-90°)=135°,

2

：.ZEBF=45°,

...△E8/是等腰直角三角形，

：.EF=BF=l,

在RtAECF中，EC=｛蹉2^2rl2+22=爬,

•..△OCE是等腰直角三角形,

V22

故选：C.

练习3-4如图。。内接正三角形形ABC、内接正四边形ABCD、。。内接正

五边形ABCDE……OO内接正n边形ABCDE...,且BM=CN,

(1)图①中NMON=°；

(2)图②中ZMON=°；

(3)图③中ZMON=°；

(4)试探究NMON的度数与正n边形的边数的关系.(直接写

出答案)

【解析】分别连接OB、OC,

(1)VAB=AC,

，NABC=NACB,

VOC=OB,O是外接圆的圆心，

，C0平分/ACB

.,.ZOBC=ZOCB=30°,

.,.ZOBM=ZOCN=30°,

•；BM=CN,OC=OB,

.•.△OMB丝△ONC,

/.ZB0M=ZN0C,

VZBAC=60°,

.•.ZBOC=120°；

.,.ZMON=ZBOC=120°；

（2）同（1）可得NMON的度数是90。，图3中NMON的度数是72。；

36003600

（3）由（1）可知，ZM0N=——=120°；在（2）中，ZMON=——=90°；

34

360

故当n时，NM0N=U.

n

练习3-5如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE

分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、

C开始，以相同的速度中。O上逆时针运动.

（1）求图①中NAPB的度数；

（2）图②中，NAPB的度数是,图③中NAPB的度数是；

（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写

出推广问题和结论；若不能，请说明理由.

【解析】（1）ZAPB=120°

图1：•.•点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动,

，NBAM=NCBN,

又•.•/APN=NBPM,

.,.ZAPN=ZBPM=ZABN+ZBAM=ZABN+ZCBN=ZABC=60°,

.".ZAPB=120°；

(2)同理可得：ZAPB=90°；ZAPB=72°.

（3）由（1）可知，NAPB=所在多边形的外角度数，故在图〃中,

n

分析：根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可.

练习3-6如图1,△ABC为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形,

图4为正方形.

(1)如图1,当BP=CQ时，请写出NAOQ的度数，并说明理由

(2)如图2,在正方形中当BP=CQ时，ZAOQ=；如图3,在正五边

形中，当BP=CQ时，NAOQ=；

(3)如图4,在正n边形中当，BP=CQ时，NAOQ是否有什么规律？如果

有请用含有n的式子直接表示；如果没有，请说明理由.

在^ABM和^BCN中,

ZBAM=ZCBNAB=BCZABC=ZC=60°

ZBAM=ZCBNAB=BCZABC=ZC=60°.

/.ZBAM=ZCBN.

.".ZBQM=ZBAM+ZABN=ZCBN+ZABN=ZABC=60°.

(2)理由同(1)：正方形NBQM=90。，正五边形NBQM=108。，正六边

形NBQM=120°,正n边形NBQM=180。(n-2)nl80°(n-2)n.

故答案为：90°,108°,120°,180°(n-2)nl80°(n-2)n

练习3-7在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动(不与B、C

重合),M在BC的延长线上.

(1)如图1,△ABC和△APE均为正三角形，连接CE.

①求证：△ABP^AACE.

②NECM的度数为。.

(2)①如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE.则

ZECM的度数为。.

②如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE.则

ZECM的度数为。.

(3)如图4,n边形ABC...和n边形APE...均为正n边形，连接CE,请你

探索并猜想NECM的度数与正多边形边数n的数量关系(用含n的式子表示

NECM的度数)，并利用图4(放大后的局部图形)证明你的结论.

【解析】(1)①证明:如图1,

,/AABC与^APE均为正三角形,

AAB=AC,AP=AE,ZBAC=ZPAE=60°,

:.ZBAC-ZPAC=ZPAE-ZPAC

即NBAP=NCAE,

在^ABP和^ACE中，

AB=AC,ZBAP=ZCAE,AP=AE,

.'.△ABP丝△ACE(SAS).

@VAABP^AACE,

/.ZACE=ZB=60o,

VZACB=60°,

ZECM=180°-60o-60o=60°.

故答案为：60.

(2)①如图2,作ENLBN,交BM于点N

3N"

•.•四边形ABCD和APEF均为正方形，

，AP=PE,ZB=ZENP=90°,

/.ZBAP+ZAPB=ZEPM+ZAPB=90°,

即NBAP=/NPE,

在AABP^lAPNE中，

NB=NENP,NBAP=NNPE,AP=PE,

/.△ABP^AACE(AAS).

，AB=PN,BP=EN,

VBP+PC=PC+CN=AB,

/.BP=CN,

/.CN=EN,

/.ZECM=ZCEN=45°

②如图3,作EN〃CD交BM于点N,

••,五边形ABCDF和APEGH均为正五边方形,

，AP=PE,ZB=ZBCD,

VEN//CD,

.,.ZPNE=ZBCD,

.,.NB=NPNE

ZBAP+ZAPB=ZEPM+ZAPB=180°-ZB,

即NBAP=NNPE,

在AABP^lAPNE中，

ZB=ZENP,NBAP=NNPE,AP=PE,

.".△ABP^APNE(AAS).

，AB=PN,BP=EN,

VBP+PC=PC+CN=AB,

.♦.BP=CN,

，CN=EN,

/.ZNCE=ZNEC,

ZCNE=ZBCD=108°,

.,.ZECM=ZCEN=-(1800-ZCNE