相似多边形(巩固篇)(专项练习)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(北师大版)_第1页
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文档简介

专题4.12相似多边形(巩固篇)(专项练习)

一、单选题

知识点一、相似图形

1.下列图形中,一定相似的是()

A.两个正方形B.两个菱形C.两个直角三角形D.两个等腰三角形

2.如图,两个菱形,两个等边三角形,两个矩形,两个正方形,各成一组,每组中的一个

图形在另一个图形的内部,对应边平行,且对应边之间的距离都相等,那么两个图形不相似

的一组是()

3.如图,把菱形ABCQ沿着对角线AC的方向移动到菱形ABC力的位置,它们的重叠部分

(图中阴影部分)的面积是菱形ABCZ)的面积的;.若AC=6,菱形移动的距离初是()

A.-B.3C.1D.73-1

33

4.将等腰直角三角形纸片沿它的对称轴折叠,得到的三角形还是等腰直角三角形,按上述

方法把一个等腰直角三角形折叠四次,则所得三角形的周长是原三角形周长的()

A.!B.-C.-D.—

24816

知识点二、相似多边形

5.宽与长的比是叵口(约0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,

2

给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形ABCZ),分别

取A。、8C的中点E、F,连接EE以点尸为圆心,以产。为半径画弧,交8c的延长线于

点G;作GHL4。,交的延长线于点”,则图中下列矩形是黄金矩形的是()

A.矩形ABFEB.矩形EFCQC.矩形EFG”D.矩形。CGH

6.在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:

甲:将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距

为1,则新三角形与原三角形相似.

乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为

1,则新矩形与原矩形相似.

对于两人的观点,下列说法正确的是()

A.甲对,乙不对B,甲不对,乙对

C.两人都对D.两人都不对

7.如图,一张矩形纸片ABCD的长AB=xcm,宽BC=ycm,把这张纸片沿一组对边AB和

D的中点连线EF对折,对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似,则x:y的值为()

8.取一张长为a,宽为b的长方形纸片,将它进行如图所示的两次对折后得到一张小长方

形纸片,若要使小长方形与原长方形相似,则2的值为()

a

A.变B.-C.—D.-

2244

知识点三、相似多边形的性质

9.如图,已知矩形ABC。中,AB=2,在BC上取一点E,沿AE将AABE向上折叠,使8

点落在AQ上的尸点处,若四边形EFDC与矩形458相似,则AO=()

A.75B,有+1C.4D.2c

10.如图,将菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH,若FD:BF=1:3,菱形ABCD

与菱形EFGH的重叠部分面积记为E,菱形ABCD的面积记为S?,则&:S,的值为()

A.1:3B.1:4C.1:9D.I:16

11.彼此相似的矩形A山iCQ,按如图所示的方式放置.点Ai,

A2,A3,…,和点Ci,C2,C3,…,分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上,已知点Bi、

B2的坐标分别为(1,2),(3,4),则Bn的坐标是()

A.(2n-1,2n)B.(2n--,2n)

2

C.⑵r--,2n-1)D.⑵-…,2"-1)

2

12.有一块边长为2的等边三角形纸板,如图1,经过底边的中点剪去第一个正三角形;如图

2,过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形,然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第

三个第四…正三角形,则剪掉的第2020个正三角形的面积是()

AGR上「6n上

・42019・42020•44038'44O4O

二、填空题

知识点一、相似图形

13.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放,被分割成了5个部分.①,②,③这三块

的面积比依次为1:4:41,那么④,⑤这两块的面积比是

14.若用一个2倍放大镜去看△ABC,则/A的大小();面积大小为()

15.如图,在菱形ABCD中,AB=\,ZADC=120°,以AC为边作菱形ACCQi,且NADiG

=120。;再以AC\为边作菱形4cle2。2,且N4C2c2=120。...;按此规律,菱形AC2020C2021D2021

的面积为.

16.四边形A8C£>和四边形AECO是相似图形,点A、B、C、。分别与A、B\C\。,对

应,已知BC=3,CD=2.4,B'C'=2,那么C77的长是.

知识点二、相似多边形

17.一个矩形的长为a,宽为b(a>b),如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形与

原矩形相似,那么:=________

b

18.如图,在矩形488中,AD>AB,AB=2.点E在矩形ABC。的边8C上,连结4E,

将矩形ABCD沿4E翻折,翻折后的点8落在边4。上的点F处,得到矩形CDFE.若矩形

CCFE与原矩形ABCD相似,则A。的长为

19.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,点E在AB上,EFJ_DC于点F,在边AD,DF

,EF,AE上分别存在点M,N,P,Q,这四点构成的四边形与矩形BCFE全等,则DM的

长度为.

20.下列图形都相似吗?为什么?

(1)所有的正方形都相似吗?

(2)所有的矩形都相似吗?

(3)所有的菱形都相似吗?

(4)所有的等边三角形都相似吗?

(5)所有的等腰三角形都相似吗?

(6)所有的等腰梯形都相似吗?

(7)所有的等腰直角三角形都相似吗?

(8)所有的正五边形都相似吗?

相似,不一定相似.

知识点三、相似多边形的性质

21.如图,已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使

B点落在AD上的F点.若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=

2

22.如图,点A,8,C在同一直线上,且AB=§AC,点ZXE分别是的中点,分别以

AB,DE,BC为边,在AC同侧作三个正方形,得到三个平行四边形(阴影部分)的面积分别

记作£,52,邑,若岳=石,则S2+$3=.

23.有.3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为5,&,则岳:$2=.

24.如图,菱形ABC。的面积为/,对角线AC,BO交于点。,点4,B”C,,功分别是

OA,OB,OC,。。的中点,连接4片,B,C,,C,D,,。出得到菱形为乌G。;点&,约,

G,。2分别是。4,OB,,0C,,。。的中点,连接Azg,B2C2,C2D2,D2A2,得到菱形

A2B2C2D2.,依此类推,则菱形400982009c2009A期的面积为.

三、解答题

知识点一、相似图形

25.阅读理解:给定一个矩形,如果存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周

长和面积的一半,则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图,矩形A4GR是矩形ABCD

的“减半”矩形.请你解决下列问题:

(1)当矩形的长和宽分别为9,1时,它是否存在“减半”矩形?请作出判断,如果不存在,

请说明理由;如果存在,请求出“减半”矩形的长宽.

(2)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗?如果存在,求出“减半”正方形的边长;如果

不存在,请说明理由.

26.如图,古塔直立地面上,塔的中心线0P与地面上的射线Q4成直角,为了测塔的大致

高度,在地面上选取与点。相距50奸的点A,测得NQ4P,用law代表10〃?(即1:1000的比

例尺),画线段A。,再画射线AP、OP,使NPAO=30。,ZPOA=90,AP、OP相交于P,

量出P。的长(精确到1%"),再按比例尺换算出古塔的高.

知识点二、相似多边形

27.如图1,在正方形ABC。中,点P是对角线8。上的一点,连结CP.

(1)求证:△4)修△CQP;

(2)如图2,延长口交线段。C于点Q,交BC的延长线于点G,点〃是G。的中点,连

结CM.求证:PCLMC:

(3)如图3,延长AP交射线。。于点。,交3c于点G,点M是GQ的中点,连结CM.若

PM=2,/fi4P=30。.求A3的长.

28.若矩形的一个短边与长边的比值为1二1,(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金

2

矩形

(1)操作:请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD为一边作正方

形AEFD.

(2)探究:在(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形?若是,请予以证明;若不是,请说

明理由.

(3)归纳:通过上述操作及探究,请概括出具体有一般性的结论(不需证明)

知识点三、相似多边形的性质

29.一个矩形ABCD的较短边长为2.

(1)如图①,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求它的另一边长;

(2)如图②,已知矩形ABCD的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF后,余下的矩形EFDC

与原矩形相似,求余下矩形EFDC的面积.

30.如图,点E是菱形A8CZ)对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边作一个菱形

AEFG,且菱形AEFGs菱形A8C£>,连接EB,GD.

(I)求证:EB=GD;

(2)若N£>AB=60。,AB=2,AG=+,求GO的长.

参考答案

1.A

【分析】

根据相似形的对应边成比例,对应角相等,结合正方形,菱形,直角三角形,等腰三角形的

性质与特点对各选项分析判断后利用排除法.

【详解】

A、两个正方形角都是直角一定相等,四条边都相等一定成比例,所以一定相似,故本选项

正确;

8、两个菱形的对应边成比例,角不一定相等,所以不一定相似,故本选项错误;

C、两个直角三角形的边不一定成比例,角不一定相等,所以不一定相似,故本选项错误;

两个等腰三角形的边不一定成比例,角不一定相等,所以不一定相似,故本选项错误.

故选人

【点拨】本题主要考查了相似图形的定义,比较简单,要从边与角两方面考虑.

2.C

【分析】

根据相似多边形的性质逐一进行判断即可得答案.

【详解】

由题意得,

A.菱形四条边均相等,所以对应边成比例,对应边平行,所以角也相等,所以两个菱形相似,

B.等边三角形对应角相等,对应边成比例,所以两个等边三角形相似;

C.矩形四个角相等,但对应边不一定成比例,所以B中矩形不是相似多边形

D.正方形四条边均相等,所以对应边成比例,四个角也相等,所以两个正方形相似;

故选C.

【点拨】本题考查相似多边形的判定,其对应角相等,对应边成比例.两个条件缺一不可.

3.D

【分析】

根据题意和观察图形可知,重叠部分与菱形相似,根据重叠部分(图中阴影部分)的面积是

菱形ABCD的面枳的g,可得CA,与CA的比,从而可求CA,的长,即可求出菱形移动的距

离AAI

【详解】

解:•••菱形与重叠部分相似,且它们面积比为3:1,

.•.CALCA=1:石,且AC=>^,

;.CA,=1,

则菱形移动的距离AA,是6-1

故选:D

【点拨】主要考查了平移的性质和坐标与图形的关系.需要注意的是:平移前后图形的大小、

形状都不改变.

4.B

【详解】

解:由于折叠一次后得到的等腰直角三角形与原等腰直角三角形是相似三角形,

得到的相似比=现在的斜边:原来的斜边=走,

2

折叠四次,所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的=;倍,

故选B.

5.D

【分析】

先根据正方形的性质以及勾股定理,求得DF的长,再根据DF=GF求得CG的长,最后根

据CG与CD的比值为黄金比,判断矩形DCGH为黄金矩形.

【详解】

解:设正方形的边长为2,则CD=2,CF=1

在直角三角形DCF中,3F=炉方=石

,矩形DCGH为黄金矩形

故选:D.

【点拨】本题主要考查了黄金分割,解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念.解题时注意,

宽与长的比是叵口的矩形叫做黄金矩形,图中的矩形ABGH也为黄金矩形.

2

6.A

【详解】

试题分析:根据题意得:AB〃A,B,,AC〃A,C,BC//B'C,

.,.ZA=ZA\ZB=ZB\

/.△ABC^AA,B,C,,

.,•甲说法正确;

乙::根据题意得:AB=CD=3,AD=BC=5,则AB=CD=3+2=5,AD=BC=5+2=7,

•.•-AB--C--D--~~3,AD―-B-C-■-5,

AWCD'5AD'ffC7

.ABAD

行而

新矩形与原矩形不相似.

,乙说法不正确.

故选A.

考点:相似三角形的应用.

7.B

【分析】

根据相似多边形对应边的比相等,可得到一个方程,解方程即可求得.

【详解】

解::四边形ABCD是矩形,宽BC=ycm,

AD=BC=ycm,

由折叠的性质得:AE=;AB=;x,

•.•矩形AEFD与原矩形ADCB相似,

.AEAD

..—=——,即2y,

ADAB一=-

yx

x2=2y2,

x=0y,

・・.

y

故选:B.

【点拨】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质;根据相似多边形对

应边的比相等得出方程是解决本题的关键.

8.B

【解析】

分析:根据对折表示出小长方形的长和宽,再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可

得解.

详解:对折两次后的小长方形的长为从宽为J”.;小长方形与原长方形相似,,

£=_Lbi

h~1,;.a=2尻即一的值是彳.

4aa2

故选B.

点睛:本题考查了相似多边形对应边成比例的性质,准确表示出小长方形的长和宽是

解题的关键.

9.B

【分析】

可设AD=x,根据四边形EFDC与矩形ABCD相似,可得比例式,求解即可.

【详解】

解:•・•沿AE将4ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,

・•・四边形ABEF是正方形,

VAB=2,

设AD二x,则FD=x-2,FE=2,

"/四边形EFDC与矩形ABCD相似,

.EFAD

•.----=-----,

FDAB

2_x

2'

解得X|=l+石,X2=l-石(负值舍去),

经检验X|=l+括是原方程的解.

故选B.

【点拨】考查了翻折变换(折叠问题),相似多边形的性质,本题的关键是根据四边形EFDC

与矩形ABCD相似得到比例式.

10.D

【分析】

利用相似多边形的性质即可解决问题.

【详解】

解:如图设交E尸于M,CD交FG于N.

由题意,重叠部分四边形MDN尸是菱形,

菱形MFNDs菱形ABCD,

7=(空

S2BD'

・・•DF:BF=\:3,

DF:BD=1:4,

.X=(空)2=_L

'S2BD16

故选D

【点拨】考查菱形的性质、相似多边形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.

11.A

【分析】

根据矩形的性质求出点4、儿的坐标,然后利用待定系数法求一次函数解析式求出山b,

从而得到一次函数解析式,再根据一次函数图像上点的坐标特征求出A的坐标,然后求出

的坐标,…,最后根据点的坐标特征的变化规律写出8“的坐标即可.

【详解】

•••耳(1,2),

相似矩形的长是宽的2倍,

・点片、B2的坐标分别为(1,2),(3,4),

4(0,2),4(1,4),

:点4、&在直线y=H+b上,

b=2

k+b=4

y=2x+2,

,点A)在直线y=2x+2上,

y=2x3+2=8,

二点4的坐标为(3,8),

,点鸟的横坐标为3+;X8=7,

点鸟(7,8),

B”的坐标为(2"—1,2").

故选:A.

【点拨】本题考查了相似多边形的性质,一次函数图象上点的坐标特征,根据点A的系列坐

标判断出相应矩形的长,再求出宽,然后得到点8的系列坐标的变化规律是解题的关键.

12.B

【分析】

根据等边三角形的性质得出,三角形的边长分别为J,。…,…即相邻三角形相似比为:1:2,

进而求出即相邻三角形面积比,从而得出规律.

【详解】

解:依次剪去一块更小的正三角形纸板,即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的子

三角形的边长分别为1,,;

即相邻三角形相似比为:1:2,

即相邻三角形面积比为:1:4,

•••剪去一块的正三角形纸板面积分别为:==@

22422416

...第n个纸板的面积为:£=B

22n4n

...第2020个纸板的面积为:-A

42020

故选:B

【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识,此题得出相邻三角形面积

比,从而表示出各三角形面积是解决问题的关键.

13.9:14.

【详解】

试题解析:由题意得,①、②、④都是等腰直角三角形,

•••①,②这两块的面积比依次为1:4,

设①的直角边为X,

②的直角边为2x,

•••①,③这两块的面积比依次为1:41,

①:(①+③)=1:42,

即gx?:3xy=1:42,,y=7x,

,④的面积为6XX6X+2=18X2,⑤的面积为4xx7x=28x2,

④,⑤这两块的面积比是18x2:28x2=9:14.

考点:相似三角形的性质.

14.不变,4倍

【详解】

•.•放大后的三角形与原三角形相似

,ZA的度数不变

•••放大前后,两相似三角形的相似比为1:2

•••它们的面积比为1:4,即放大后面积为原来的4倍.故答案为:(1).不变,(2).4倍.

15(6严

2

【分析】

根据题意,可以求得菱形ABC。的面积,再根据题意,可以知所有的菱形都相似,即可得

到菱形AC2020C2021D2021的面积.

【详解】

解:作CE_LAB交A8的延长线于点E,如右图所示,

由已知可得,

NABC=120。,8c=1,ZCAB=30°,

:.ZCBE=60°,

:.ZBCE=30°,

:.CE=正,

2

:.AC=6

...菱形相CD的面积是屋且=且,

22

=—.图中的菱形都是相似的,

AB1

爰形AC2020C202Q202I的面积为:3x[(走)2严21=(岔)4042=班巴,

2122

/信4043

故答案为:及2—.

2

【点拨】本题考查了图形的相似、菱形的性质、图形的变化类,解题的关键是明确题意,发

现图形的变化特点,利用数形结合的思想解答.

16.1.6.

【分析】

相似多边形的对应边成比例,根据相似多边形的性质即可解决问题.

【详解】

解:,/四边形ABCDs四边形A'B'C'D',

.,.CD:CD=BC:BC,

VBC=3,CD=2.4,BC=2,

・・・CD=1.6,

故答案为:16

【点拨】本题考查了相似图形,解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质.

17.-^1

2

【解析】

【分析】

根据截去的最大的正方形的边长应该是b,把这个矩形截去一个最大的正方形后余下的矩形

与原矩形相似,根据对应边的比相等列出算式,计算即可.

【详解】

由题意得:7=-^-.即储-〃。一/=0,解得a=生叵从

ba-h2

则q=l+6

b2

故答案为:上叵.

2

【点拨】本题考查的知识点是相似多边形的性质,解题的关键是熟练的掌握相似多边形的性

质.

18.1+5/5

【分析】

根据相似多边形的性质列出比例式,计算即可.

【详解】

•.•矩形CDFEs矩形ADCB,

.CDDF2AD-2

•.——=——,即an——=------,

ADCDAD2

整理得,AD2-2AD-4=0,

解得,AD]=1-(舍去),ADi=1+\[s,

故答案为:1+爪.

【点拨】本题考查的是相似多边形的性质,掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键.

19.币

【解析】

试题分析:如图所示

设DM=x,DM=y,则AM=4-x,

根据题意得:四边形MNPQ4矩形BCFE,

•••△AMQ四△FPN,PN=FC,MN=BO4,ZMNO=ZPFN=ZD=90°,

JAM=FP=4-x,ZDMN=ZPNF,

AADMN^AFNP,

.DMDNMN

,U1FN~~PF~~PN'

x(4-x)4(4-x)

.'.FN=———PN=———

yy

x2+y2=16

根据题意得:{x(4-x)4(4-x)幺,

yy

解得:{'=¥,或(舍去),

y=3[y=0

:.DM=y/i;

故答案为五.

考点:矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、方程组的解法等

20.(1)(4)(7)(8)(2)(3)(5)(6)

【分析】

根据正方形、矩形、菱形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、等腰直角三角形及正五边

形的性质进行判断即可.

【详解】

解:(1)正方形的四条边相等,四个角都等于90。,所以对应边成比例,对应角都相等,所

以所有的正方形都相似;

(2)矩形的四个角都等于90。,但对应边不一定成比例,所以所有的矩形不一定相似;

(3)菱形的四条边相等,对应边成比例,但对应角不一定相等,所以所有的菱形不一定相

似:

(4)等边三角形的三条边相等,三个角都等于60。,所以所有的等边三角形的对应边都成

比例,对■应角都相等,所以所有的等边三角形都相似;

(5)等腰三角形的两条边相等,两个底角相等,但所有等腰三角形的对应边不一定成比例,

对应角也不一定相等,所以所有的等腰三角形不一定相似;

(6)等腰梯形的两条腰相等,两对底角相等,但所有等腰梯形的对应边不一定成比例,对

应角也不一定相等,所以所有的等腰梯形不一定相似;

(7)所有的等腰直角三角形都有两个45。角和一个90。角,所以所有等腰直角三角形的对应

角都相等,所以所有的等腰直角三角形都相似;

(8)正五边形的五条边相等,五个角相等,所以所有对应边成比例,对应角都相等,所以

所有的正五边形都相似.

所以(1)(4)(7)(8)一定相似;

(2)(3)(5)(6)不一定相似.

故答案为:(1)(4)(7)(8);(2)(3)(5)(6).

【点拨】本题考查了相似图形的知识,熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键,难度一般.

21.

2

【分析】

可设AD=x,根据四边形EFDC与矩形ABCD相似,可得比例式,求解即可.

【详解】

•.•沿人后将^ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,

四边形4BE/7是正方形,

a:AB=\,

设Jill]FD=x-\fFE=l,

四边形EFDC与矩形ABCD相似,

.EFAD

…万一花’

1x

0_丁,

解得片=11且2=12叵(负值舍去),

22

经检验幻=11更是原方程的解.

2

【点拨】本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.

22.速.

4

【分析】

根据题意利用正方形的性质求出是等腰直角三角形,设=则EC=x,

AD=BD=2x,根据题意列出方程即可解答

【详解】

设=则EC=x,AD=BD=2x,

•••四边形A8GP是正方形,

ZABF=45°,

是等腰直角三角形,

,BD=DH=2x,

:.S\=DHAD=y5,即2六2天=百,

275

X=—,

4

VBD=2x,BE=x,

2

:.S2=MHBD=(3X-2X\2X=2X,

2

S3=ENBE=XX=X,

222

S2+S3=2x+x=3x=,

故答案为他.

4

【点拨】此题考查正方形的性质,相似多边形的性质,解题关键在于求出AB。”是等腰直

角三角形

23.4:9

【分析】

设小正方形的边长为x,再根据相似的性质求出Si、S2与正方形面积的关系,然后进行计算

即可得出答案.

【详解】

解:设小正方形的边长为x,根据图形可得:

..EF_]

•AC~3'

.__1

.一」

S正方形43co18

・・、1一工?、正方形ABCD,

-*•Si

..S]」

S“8c4

S正方形八BCD8

._1

c=-c

•-02S正方形ABCD,

1

8-

11

22

5一X-9

SI2-8

18

故答案是:4:9.

【点拨】本题考查了正方形的性质,解题的关键是熟练的掌握正方形的性质.

24.(J)®09(或了1)

【分析】

根据面积的比等于相似比的平方进行计算,菱形ABGD的面积等于菱形ABCD的面积的

V,即为:;菱形A2B2c02的面积等于菱形ABGDi的面积的?,即占,依此类推,则

4444-

菱形A2009B2009C2009D2009的面积为《zoos•

【详解】

解:1•点Ai,Bi,Ci,解分别是OA,OB,OC,OD的中点,

.反,

AB2,

易知:菱形ABGDis菱形ABCD,

•.•菱形ABCD的面积为1,

...菱形ABGD的面积等于:,

4

菱形A2B2C2D2的面积等于菱形ABGD的面积的9,即占,

44'

依此类推,菱形A2009B2009C2009D2009的面积为.

门俨1

故答案为(或可).

【点拨】本题考查了菱形的相似和性质,注意:相似形的面积的比等于相似比的平方.

91

25.(1)存在,长为宽为3;(2)不存在,见解析

【分析】

(1)设“减半”矩形的长为x,则宽为5-x,根据“减半”矩形的定义列出方程求解即可.

(2)根据两个正方形是相似图形,面积比是相似比的平方可知不存在“减半”正方形.

【详解】

解:(1)存在“减半”矩形;

设“减半”矩形的长为X,则宽为5-x,

9

由题意得:X(5-X)=5,

解得:Xl=g,X2=g;

9I

•••"减半”矩形的长为],宽为《;

(2)不存在.

因为两个正方形是相似图形,当它们的周长比为;时,面积比必定是

24

所以正方形不存在“减半”正方形.

【点拨】本题考查了一元二次方程的应用,相似图形的性质,关键是要知道相似图形的面积

比与周长比的关系.

26.29m.

【解析】

【分析】

(1)根据题意画出图形即可,量出P0大约的长度,根据比例尺计算出古塔的实际高度即

可.

【详解】

⑴据题意画出图形如图所示,其中

AO=5cm,々AO=30',4OA=9(T;

(2)量出PO约为2.9cm;

innoQ

(3)设塔的实际高度为xm,据题意,得焉=上吆,

JUvUX

X=29,

,古塔的实际高度为29m.

【点拨】本题考查根据比例尺计算实际高度,比例尺=图上距离:实际距离,熟练掌握比例

尺公式是解题关键.

27.(1)见解析;(2)见解析;(3)过二叵

2

【分析】

(I)利用正方形的对角线的性质和S4S定理即可证明;

(2)根据正方形的性质可得出NA£>P=NCOP、AD=CD,结合。P=DP即可证出

AAOP=ACDP(SAS),根据全等三角形的性质可得出ZDCP=ZDAG,由AD//BG可得

出ZD4G=NG,进而得出NDCP=NG,山直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得出

ZMCQ=ZMQC,再结合NG、NMQC互余,即可证出ZDCP+NMCQ=90。,即PC1MC;

(3)首先证明出△CGM为等边三角形,再由题意算出CG=1,再根据NBAP=30。,利

用直角三角形三边关系,建立方程求解即可.

【详解】

(1)证明:••,80为正方形AB8的对角线,

ZADP=NCDP,AD=CD.

AD=CD

在AADP和KDP中■/AOP=ZCDP,,

DP=DP

(2)AADPgKDP,ZDCP=ZDAG..

又•.•四边形438为正方形,

AD//BG,

/.^DAG=ZG.

「•ZDCP=ZG.

又・・・NQCG=90。,〃为GQ中点,

/.CM=QM,

/.ZMCQ=/MQC.

又・.•ZG+ZMQC=90°,

ZDCP+ZMCQ=90°,

PCLMC.

(3)•••M为2G的中点,ZQCG=90。,:.GM=CM=QM,

■:AB//CQ,,ZB4P=NQ=30。,△CGM为等边三角形,

由(2)得,/PCM=90°,PG=GM=\,,CG=1,

设AB=x,则8G=x—l,由题意得:73(X-1)=X,解得x=AB=^叵.

【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角

形内角和定理,等边三角形,锐角三角函数,解题的关键是:掌握相关的知识点,零用运用,

需要添加适当的辅助线.

28.(1)见解析;(2)矩形EBCF不是黄金矩形,理由见解析;(3)若以黄金矩形的短边为

边在矩形内作(截割)正方形,则剩余矩形必为黄金矩形.

【分析】

(1)如图,分两种情况:正方形中,AD的对边在矩形的内部或外部;

(2)矩形EBCF不是黄金矩形,设AB=a,AD=b(a>b),则BE=BA+AE=a+b,

BE,=BA-E,A=a-b,由已知得2=在二1,所以空=々=2+("2)=避二1小("避二L)

=三亚/往二1,对应边不成比例,故矩形EBCF不是黄金矩形;矩形EBCP是黄金矩形,

22

理由:鬻=F=(1-2)--=(1-正二1)+叵口=避二1,即对应边成比例,故两个

矩形相似.

(3)由(1)、(2)可发现结论:若以黄金矩形的短边为边在矩形内作(截割)正方形,则

剩余矩形必为黄金矩形.

【详解】

解:(I)以AD为边可作出两个正方形AEFD与AEFD,(AB>AD),如图所示

(2)矩形EBCF不是黄金矩形,理由如下:

设AB=a,AD=b(

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