专题8-2二项式定理16类常考问题汇总（原卷版）

专题82二项式定理16类常考问题汇总TOC\o"13"\n\h\z\u题型1求展开式中的指定项题型2求指定项的系数题型3二项式系数最大的项题型4展开式所有项系数和题型5展开式二项式系数和题型6三项展开式问题题型7两个二项式乘积展开式的系数问题题型8由项的系数或系数和确定参数题型9奇次项与偶次项的系数和题型10等式两边求导后求和题型11展开式系数最大的项题型12等式两边不一致时需要换元或配凑题型13赋值求系数和题型14整除和余数问题题型15二项式定理与杨辉三角题型16二项式定理与数列1、定义一般地，对于任意正整数，都有：这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数2、二项式的展开式的特点：（1）项数：共有项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；（3）次数：a，b次数和均为（4）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即（5）增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大3、二项展开式的通项：公式特点：（1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；（2）字母的次数和组合数的上标相同；4、二顶式系数和与所有项系数和，以及奇数项项与偶数项例：对于（1）二项式系数之和为，即；（2）所有展开式系数和为，展开式为：，可以表示为：，令即可得出所有项系数和（3）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．知识点诠释：（1）二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．（2）展开式中的系数求法的整数且（3）求解二项展开式中系数的最值策略①求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))即得结果．重点题型·归类精重点题型·归类精练题型1求展开式中的指定项式子二项式定理展开中的第6项为．二项式的展开式中的第3项为（

）A．160 B． C． D．的展开式中，有理项是第项．的展开式中有理项的个数为.题型2求指定项的系数二项式的展开式中，含项的系数为.在的展开式中，的系数为（

）A． B．21 C．189 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,\r(x))))eq\s\up12(6)的展开式中的常数项为()A．－150 B.150C.－240 D.240在二项式(eq\r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．题型3二项式系数最大的项已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则.展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为.在的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于.题型4展开式所有项系数和若的展开式中的第项为常数项，则展开式的各项系数的和为（

）A． B． C． D．在的展开式中，所有项的系数和等于，含的项的系数是．若展开式中所有项的系数和为256，其中为常数，则该展开式中项的系数为已知（a为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中的系数为（用数字作答）题型5展开式二项式系数和（多选）已知展开式中的第三项的系数为45，则（

）A． B．展开式中所有系数和为C．二项式系数最大的项为中间项 D．含的项是第7项在的二项展开式中，各项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为（用数字填写答案）；若的展开式的二项式系数之和为16，则的展开式中的系数为.（多选）在的展开式中，则（

）A．二项式系数最大的项为第3项和第4项B．所有项的系数和为0C．常数项为D．所有项的二项式系数和为64若的二项展开式的第一项为，最后一项为，则下列结论正确的是（

）A． B．展开式的第四项的二项式系数等于C．展开式中不含常数项 D．展开式中所有项的系数之和等于32若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（

）A．6 B．8 C．28 D．56在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7题型6三项展开式问题若，且，则的值为.展开式中含项的系数为．的展开式中的系数为（）A． B． C． D．中常数项是．（写出数字）的展开式中，的系数为．已知的展开式中各项系数和为27，则项的系数为（

）A．3 B．6 C．9 D．15若，则．题型7两个二项式乘积展开式的系数问题的展开式中的系数为（用数字作答）．的展开式中的系数为（用数字作答）．的展开式中的系数为（

）A． B．7 C．77 D．展开式中的系数为（

）A．270 B．240 C．210 D．180的展开式中的系数是．（用数字填写答案）的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（

）A． B．46 C．61 D．190将多项式分解因式得，则（

）A．16 B．14 C． D．题型8由项的系数或系数和确定参数设，若.则.的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含项的系数是（

）A． B． C． D．已知的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．若的展开式中的系数为，则实数．的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（

）A． B． C．2 D．3已知（a为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中的系数为（用数字作答）的展开式中各项系数之和为，则该展开式中常数项为（

）A． B． C． D．（多选）在的展开式中，各项系数的和为1，则（

）A． B．展开式中的常数项为C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560（多选）已知的展开式中含有常数项，则的可能取值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10题型9奇次项与偶次项的系数和若，则（

）A．64 B．33 C．32 D．31若，则．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则（）A． B． C． D．若，且，则实数的值为.题型10等式两边求导后求和（多选）若，，则（

）A．B．C．D．（多选）已知多项式，则（

）A． B．C． D．题型11展开式系数最大的项在的展开式中，①求二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项是第几项；的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为.题型12等式两边不一致时需要换元或配凑已知，则=________．已知多项式，则（

）A．－960 B．960 C．－480 D．480(多选)已知，则下列结论成立的是A．B． C．D．题型13赋值求系数和若，=________.若，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．（多选）若，则（

）A． B．C． D．已知，若则m＝_________或_________.已知，则A．－1 B．0 C．1 D．2广东省二模T7改已知，（1）展开式中的二项式系数为________，（2）________，（3）________，（赋值）（4）________.（对称性）题型14整除和余数问题被8除的余数为（

）A．1 B．3 C．5 D．7二项式展开式的各项系数之和被7除所得余数为．除以所得的余数是.被4除的余数为.若，则除以7的余数是.除以所得的余数为.（多选）若，则（

）A．可以被整除B．可以被整除C．被27除的余数为6D．的个位数为6题型15二项式定理与杨辉三角如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为（用最简分数表示）.如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前项的和为（

）A．680 B．679 C．816 D．815“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（

）A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则D．第34行中第15个数与第16个数之比为题型16二项式定理与数列设数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)解关于n的不等式：.已知数列的通项公式为．求的值．已知数列的前项和为，且满足，，.(1)求数列的通项