高等数学(第三版)课件二元函数微积分

高等数学(第三版)课件二元函数微积分汇报人：AA2024-01-25目录contents二元函数基本概念与性质二重积分及其计算方法曲线积分与曲面积分初步微分方程在二元函数中的应用无穷级数在二元函数中的应用总结回顾与拓展延伸二元函数基本概念与性质01二元函数定义域是指使得函数有意义的自变量取值范围，通常表示为D。定义域二元函数值域是指函数在定义域内所有可能取到的函数值的集合。值域二元函数定义域与值域二元函数极限与连续性极限二元函数的极限描述了当自变量趋近于某一点或无穷时，函数值的变化趋势。连续性二元函数的连续性是指函数在定义域内任意一点处的极限值等于该点的函数值。偏导数描述了二元函数在某一点处沿某一坐标轴方向的变化率。全微分描述了二元函数在某一点处的全增量与自变量增量之间的线性关系。偏导数与全微分概念全微分偏导数条件极值条件极值是指在满足一定约束条件下，使得二元函数取得最大或最小值的点。拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解条件极值问题的一种常用方法，通过构造拉格朗日函数并求解其驻点来找到可能的极值点。无条件极值无条件极值是指在定义域内，使得二元函数取得最大或最小值的点。多元函数极值问题二重积分及其计算方法02二重积分的定义设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上有界，将闭区域$D$任意划分成$n$个小闭区域$Deltasigma_1,Deltasigma_2,ldots,Deltasigma_n$，每个小区域的面积记作$Deltasigma_i(i=1,2,ldots,n)$，取点$(xi_i,eta_i)inDeltasigma_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i,eta_i)Deltasigma_i$。若该和式在$Deltasigma_i$的直径最大值趋于0时极限存在，则称该极限为函数$f(x,y)$在区域$D$上的二重积分，记作$iint_{D}f(x,y)dsigma$。要点一要点二二重积分的性质二重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等性质。二重积分定义与性质直角坐标系下二重积分的计算步骤首先确定被积函数和积分区域，然后将积分区域用平行于坐标轴的直线网划分成若干个小矩形区域，对每个小矩形区域进行积分并求和，最后取极限得到二重积分的值。直角坐标系下二重积分的计算技巧在计算过程中，可以根据被积函数和积分区域的特点，选择合适的积分次序和积分方法，如变量替换、分部积分等。直角坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分的计算步骤首先确定被积函数和积分区域，然后将积分区域用极坐标网划分成若干个小扇形区域，对每个小扇形区域进行积分并求和，最后取极限得到二重积分的值。极坐标系下二重积分的计算技巧在计算过程中，可以根据被积函数和积分区域的特点，选择合适的极坐标方程和积分次序，如利用极坐标与直角坐标的转换公式进行变量替换等。极坐标系下二重积分计算二重积分在几何中的应用可以用来计算平面图形的面积、立体图形的体积等。例如，计算由曲线$y=f(x)$和直线$x=a,x=b(a<b)$所围成的平面图形的面积，可以通过二重积分$int_{a}^{b}int_{0}^{f(x)}dydx$来实现。二重积分在物理中的应用可以用来计算物体的质量、质心坐标、转动惯量等。例如，计算均匀薄片的质量，可以通过二重积分$iint_{D}rho(x,y)dsigma$来实现，其中$rho(x,y)$为薄片的密度函数。二重积分应用举例曲线积分与曲面积分初步03VS设$L$为平面上可求长度的曲线段，$f(x,y)$是定义在$L$上的函数。对曲线$L$作分割$T$，它把$L$分割为$n$个可求长度的小曲线段$L_i(i=1,2,...,n)$，$L_i$的弧长记为$Deltas_i$，分割$T$的细度为$|T|=max_{1leqileqn}{Deltas_i}$，在$L_i$上任取一点$(xi_i,eta_i)(i=1,2,...,n)$，若有极限$lim_{|T|to0}sum_{i=1}^{n}f(xi_i,eta_i)Deltas_i$存在，且其值与分割$T$和点$(xi_i,eta_i)$的取法无关，则称此极限为函数$f(x,y)$在曲线$L$上的第一类曲线积分，记为$int_{L}f(x,y)ds$。计算对于给定的函数和曲线，可以通过将曲线参数化，然后利用定积分的计算方法进行计算。定义第一类曲线积分定义及计算设函数$P(x,y)$及$Q(x,y)$定义在平面有向可求长度曲线$L$上，对曲线$L$的任意分割$T$，它把$L$分割为$n$个小弧段$overset{longrightarrow}{M_{i-1}M_i}(i=1,2,...,n)$，各弧段$overset{longrightarrow}{M_{i-1}M_i}$的长度为$Deltas_i$，又设$T$的分割细度$|T|=max_{1leqileqn}{Deltas_i}$，在弧段$overset{longrightarrow}{M_{i-1}M_i}$上任取一点$(xi_i,eta_i)(i=1,2,...,n)$，若有极限$lim_{|T|to0}sum_{i=1}^{n}P(xi_i,eta_i)Deltax_i+Q(xi_i,eta_i)Deltay_i$存在，且此极限值与分割$T$和点$(xi_i,eta_i)$的取法无关，其中$Deltax_i=xi_i-xi_{i-1}$，$Deltay_i=eta_i-eta_{i-1}(i=1,2,...,n)$，则称此极限为函数在曲线上的第二类曲线积分。定义对于给定的函数和曲线，可以通过将曲线参数化，然后利用定积分的计算方法进行计算。计算第二类曲线积分定义及计算定义设空间曲面$Sigma$是分片光滑的，函数$f(x,y,z)$在$Sigma$上有界。把$Sigma$任意地分成$n$个小曲面$DeltaS_1,DeltaS_2,...,DeltaS_n$，每个小曲面的面积记为$DeltaS_i(i=1,2,...,n)$。在每个小曲面$DeltaS_i$上任取一点$(x_i,y_i,z_i)$作和式$sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)DeltaS_i$。如果当各小曲面的直径中的最大值趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在曲面上的第一类曲面积分。计算对于给定的函数和曲面，可以通过将曲面参数化，然后利用二重积分的计算方法进行计算。第一类曲面积分定义及计算定义：设空间曲面$\Sigma$的分片光滑的有向曲面，函数$P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$在$\Sigma$上有界。把$\Sigma$任意地分成$n$个小曲面$\DeltaS_1,\DeltaS_2,...,\DeltaS_n$，每个小曲面的面积记为$\DeltaS_i(i=1,2,...,n)$。规定曲面$\Sigma$的一侧为正侧（前侧或上侧），另一侧为负侧（后侧或下侧）。如果指定了曲面$\Sigma$的正侧与负侧，则称曲面$\Sigma$为有向曲面。对于每个小曲面$\DeltaS_i$，也指定其正侧与负侧第二类曲面积分定义及计算微分方程在二元函数中的应用04含有未知函数及其导数的方程微分方程定义根据方程中未知函数的最高阶导数的阶数进行分类，如一阶、二阶等微分方程分类根据方程中未知函数及其各阶导数是否为线性组合进行分类线性与非线性微分方程微分方程基本概念和分类03一阶线性方程法适用于形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的方程，通过常数变易法或公式法进行求解01可分离变量法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，通过变量分离得到积分式进行求解02齐次方程法适用于形如dy/dx=(ay+b)/(cx+d)的方程，通过变量替换转化为可分离变量方程进行求解一阶常微分方程求解方法降阶法通过变量替换或引入新变量将高阶方程降为一阶或低阶方程进行求解常数变易法适用于形如y''+py'+qy=f(x)的方程，通过假设解的形式并代入原方程进行求解特征根法适用于形如ay''+by'+cy=0的方程，通过求解特征方程得到通解形式进行求解高阶常微分方程求解方法曲线切线斜率问题极值问题条件极值问题曲线积分问题微分方程在二元函数中的应用举例通过求解二元函数的偏导数得到切线斜率表达式，进而求解切线方程在给定约束条件下求二元函数的极值，可通过构造拉格朗日函数转化为无条件极值问题进行求解通过求解二元函数的偏导数并令其为零得到驻点，进而判断驻点的性质求得极值在二元函数定义的平面上对曲线进行积分，可通过参数化曲线并代入被积函数进行计算无穷级数在二元函数中的应用05无穷级数定义01无穷级数是由无穷多个数相加而成的，即$sum_{n=1}^{infty}u_n=u_1+u_2+u_3+cdots$，其中$u_n$是级数的通项。收敛与发散02如果无穷级数的部分和数列${S_n}$有极限$S$，则称无穷级数收敛，且和为$S$；否则称无穷级数发散。绝对收敛与条件收敛03如果$sum_{n=1}^{infty}|u_n|$收敛，则称原级数绝对收敛；如果原级数收敛但$sum_{n=1}^{infty}|u_n|$发散，则称原级数条件收敛。无穷级数基本概念和性质幂级数定义形如$sum_{n=0}^{infty}a_n(x-x_0)^n$的级数称为幂级数，其中$a_n$是常数，$x_0$是给定的数。收敛半径与收敛域对于幂级数$sum_{n=0}^{infty}a_n(x-x_0)^n$，如果存在正数$R$，使得当$|x-x_0|<R$时级数收敛，当$|x-x_0|>R$时级数发散，则称$R$为幂级数的收敛半径，称$(x_0-R,x_0+R)$为幂级数的收敛区间。如果幂级数在$x=x_0-R$或$x=x_0+R$处也收敛，则称$(x_0-R,x_0+R]$或$[x_0-R,x_0+R)$为幂级数的收敛域。幂级数的性质幂级数在其收敛域内具有连续性、可导性和可积性。幂级数展开式及其收敛性判断傅里叶级数展开式及其收敛性判断形如$frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}(a_ncosnx+b_nsinnx)$的级数称为傅里叶级数，其中$a_n,b_n$是常数。收敛性判断对于周期为$2pi$的函数$f(x)$，如果它满足狄利克雷条件，则其傅里叶级数在$[-pi,pi]$上收敛于$frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$。傅里叶级数的性质傅里叶级数具有正交性、周期性、收敛性等性质。傅里叶级数定义二元函数的幂级数展开对于二元函数$f(x,y)$，如果在某点$(x_0,y_0)$处可展成关于$(x-x_0),(y-y_0)$的幂级数，则可以利用幂级数的性质对函数进行近似计算或分析。二元函数的傅里叶级数展开对于二元周期函数$f(x,y)$，可以将其展成傅里叶级数形式，进而利用傅里叶级数的性质对函数进行分析和处理。无穷级数在求解偏微分方程中的应用无穷级数可以作为求解某些偏微分方程的解的一种方法。通过将偏微分方程的解表示为无穷级数的形式，可以简化求解过程并得到解析解或近似解。无穷级数在二元函数中的应用举例总结回顾与拓展延伸06二元函数的极限与连续性包括二元函数的定义、极限的求法、连续性的判断等。偏导数与全微分偏导数的定义与计算，全微分的概念及其与偏导数的关系。多元函数的极值包括无条件极值和条件极值的求法，以及极值在实际问题中的应用。二重积分的计算与应用二重积分的定义、性质、计算方法及其在几何与物理中的应用。关键知识点总结回顾易错点二在计算二重积分时，没有正确地确定积分区域或被积函数。二重积分的计算需要准确地确定积分区域和被积函数，否则可能导致错误的计算结果。误区一认为二元函数的极限存在与否可以通过取路径来判断。实际上，二元函数的极限存在与否需要满足严格的定义，不能简单地通过取路径来判断。误区二在计算偏导数时，忽略了其他变量的影响。偏导数是在一个变量变化而其他变量保持不变的情况下求导数，需要注意其他变量的取值。易错点一在求解多元函数的极值时，没有考虑所有可能的驻点。多元函数的极值点可能出现在驻点、不可导点或边界上，需要全面考虑。常见误区和易错点提示经济学中的应用在经济学中，多元函数微积分被广