专题1 8 .7 用勾股定理解决最值问题（专项练习）

专题18.7用勾股定理解决最值问题（专项练习）

通过勾股定理的学习，求线段最值问题是本章学习的一个重要内容，通过分析，其求

最值问题有以下几个类型：

类型一、利用两点之间线段最短解决最值问题；

类型二、利用点线之间垂线段最短解决最值问题；

类型三、图形折叠变换中利用勾股定理解决最值问题；

类型四、通过勾股定理利用非负性解决最值问题；

类型五、立体图形中通过勾股定理解决最值问题。

类型一两点之间，线段最短

C1.已知如图，正方形A8CD的边长为8,M在。C上，且。M=2,N是AC上的一动

点，则OV+MN的最小值为（）

【答案】B

【思路点拨】

此题理论依据为：两点之间，线段最短，此题两定点D、M,一动点N,简称：两定一动；

解题思路：两定一动，动点在对称轴上，两定点中，有对称点找出来，没对称点作出来（作

一个定点的对称点），连接对称点与另一定点，与对称轴交点就是最小值时的动点位置，最

后把“折打直”解决问题

解：根据题意，连接BD、BM,则BM就是所求DN+MN的最小值，

在RSBCM中，BC=8,CM=6

根据勾股定理得：BM=762+82=10>

即DN+MN的最小值是10：

故选B.

1

【点拨】此题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法.然后熟练运用

勾股定理.

【专项练习】

1.在平面直角坐标系中，已知点4-4,1）,点8（—2,—3）,点P（OM）,则P4+P6的最小

值为（）

A.25/13B.5C.2MD.25/14

2.如图，在A3c中，AC=BC=2,NAC3=90"，。是8C边的中点，£是AB边上

一动点，则EC+ED的最小值是（）

3.如图，等边ABC的边长为8,4。是8。边上的中线，点E是AC边上的中点.如果

点P是AO上的动点，那么"+CP的最小值为（）

A.4B.2百C.3/D.4百

4.如图，如图，在等边AABC中，AB=6,AD±BC,E是AC上的一点，M是AD上的点,

若AE=2,求ME+MC的最小值（）

2

A.277B.2C.4D.V13

5.如图，在AA8C中，AC=BC,NACB=90。，点。在5c上，BD=6,CD=2,点尸是

AB上的动点，则PC+PD的最小值是()

R

A.7B.8C.9D.10

6.如图，在四边形A5CQ中，NA=90。，AD//BC,AB=4,点尸是线段AO上的动点,

连接5P,CP,若A5PC周长的最小值为16,则5c的长为()

A.5B.6C.8D.10

7.如图，在平面直角坐标系中，点A(10,12),点B在x轴上，AO=AB,点C在线段OB

上，且OC=3BC,在线段AB的垂直平分线DE上有一动点G,则4BCG周长的最小值为

().

3

A.2而B.13C.675D.18

8.如图，在A3C中，ZABC=90°,BC=1,ZA=30°,M、N分别是A3、AC

9.如图，RtABC中，AC=BC^2,点DE分别是A氏AC的中点，在CO上找一点

P,使PA+PE最小，则这个最小值是（）

C.V2-1D.百

10.如图，等边A6C的边长为2,AQ是边8。上的中线,“是AO上的动点，E是

边AC上的中点，若AE=1,求EM+CM的最小值为（）

4

A

A.B.0C.2D.£

11.RtAABC中,ZACB=90°,AC=20,BC=10,D、E分别为边AB、CA上两动点，则CD

A.475+8B.16C.8后D.20

12.如图，正方形ABCD的边长为3,E是BC中点，P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为

B.2GC.，亚D.2

32

13.如图，N8=30。,线段8C=2,点E、尸分别是线段BC和射线BA上的动点，设t=CF+EF,

则产的最小值是（）

B.2

C.3

14.如图，已知N8=30。，线段BC=2,点E,尸分别是线段8c和射线8A上的动点，则

CP+E尸的最小值是（）

5

A.1B.2C.6D.6

15.一次函数y=丘+。的图象与x轴、）’轴分别交于点A（2,0）,B（O,4）,点C,。分别是Q4,

的中点,P是0B上一动点.则AOPC周长的最小值为（）

A.4B.75C.272D.272+2

16.如图，在aABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则

EC+ED的最小值是（）

A.3B.73C.75D.20

17.如图，在菱形A3CO中，ZABC=120°,点E是边A3的中点，户是对角线AC上的

一个动点，若止2,则加依的最小值是（）

A.1B.6C.2D.26

6

18.如图，在AABC中，AB=AC=8,ZBAC=60°,E是高AD上的一个动点，F是边

AB的中点，则£B+EF的最小值是（）

A.4B.4百C.8D.8石

19.已知：在RtAABC中,4/90。，BC=1,Z占百，点〃是斜边Z5的中点，点E是边

A.2B.V3+1C.也D.2百

类型二：点线之间，垂线段最短

©>2.如图，在RtZvWC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,AO是Na4C的平分

线，若P、。分别是AD和AC上的动点，则PC+R2的最小值是（）.

55

【答案】C

【思路点拨】

此题理论依据为：点线之间，垂线段最短，此题两动点P、Q,一定点C,简称：“两动一定”；

解题思路：两动一定，此类题往往以垂线段最短为解题方向，结合角平分性质：角平分线

上的点到角两边距离相等，把“折打直”再通过等面积法解决问题。

解：如图，作CQUAB于Q，，交AD于点P,作PQLAC此时PC+PQ最短.

7

VPQ±AC,PQ」AB,AD平分NCAB,

PQ=PQ-

.•.PQ+CP=PC+PQ,=CQ,,

根据垂线段最短可知此时PC+PQ最短.

在RtZXABC中，VZACB=90°,AC=3,BC=4,

AB=7AC2+BC2=732+42=5，

11

V-•AC，BC=-.AB<Q,,

22

ACBC12

.•.CQ'=-------=—,

AB5

12

.•.PC+PQ的最小值为《，

故选c.

本题考查轴对称-最短问题、角平分线性质、勾股定理等知识，解题的关键是找到点P、Q

的位置，灵活应用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型.

20.如图，在“此中，有一点尸在直线4C上移动，若A5=AC=5,BC=6,则8P的最小

A.V24C.4D.4.8

21.如图，在三角形A5C中，A8LAC于点A,A5=6,AC=8,8c=10,点尸是线段5c

上的一点，则线段AP的最小值为.

8

22.已知△ABC,AB=5,5c=12,AC=13,点尸是AC上一个动点，则线段BP长的最

小值是（）

6030

A.—B.5C.—D.12

1313

23.如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5,BC=6,则BP的最

小值为（）

A.4.8C.4D.724

24.如图，OC平分NAOB,点P是OC上一点，PM_LOB于点M,点N是射线OA上的

一个动点，若OM=4,OP=5,则PN的最小值为（

0WB

A.2B.3C.4

25.如图，在ABC中，有一点尸在AC上移动，若AB=AC=5,BC=6,则

AP+8P+CP的最小值为（）

C.8.8D.9.8

26.如图，在平面直角坐标系中A（-4,0）,B（0,3）,P是线段AB上的一个动点，则OP的

最小值是（）

9

126

A.3B.4C.—D.-

55

27.如图，在长方形ABCD中，AB=6,AD=8,若P是AC上的一个动点，则AP+BP

+CP的最小值是（）

C.16D.18

28.如图，在锐角△ABC中，AB=6,ZBAC=60°,NBAC的平分线交BC于点D,M、N

分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）

8

29.如图，在RAA8C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,E为AC上一点,RAE=~,

40平分NA4c交8C于O.若尸是AO上的动点，则PC+PE的最小值等于（）

1824

Ty

30.如图，A6C中，AB=AC=10,BC=\2,点。在边AC上运动，则BQ的最

小值为（）

10

A

A.7.2B.8.0C.8.8D,9.6

31.如图，在RfABC中，ZACB=90°,AC=3,8c=4,AT>平分NC4B交8c于

D点,E,尸分别是AO,AC上的动点，则CE+£F的最小值为（）

32.如图，在锐角△A8C中，AB=4V2,乙BAC=45°,/BAC的平分线交BC于点。，M、N分

别是40和48上的动点，贝!+MN的最小值是（）

33.如图，在A4BC中，点M是AC边上一动点，若AB=AC=10,BC=12,则

的最小值为（）

A.8B.9.6C.10D.45

11

34.在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,若点尸在边AC上移动，则BP的最小值是（）

D.4.8

35.如图，在RtABC中，/ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是/BAC的平分线.若

P,Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

36.如图，在AABC中，有一点P在线段AC上移动.若AB=AC=5,BC=6,则BP的

最小值为（）

A.4.8B.5C.4D.叵

37.如图，在AA3C中，AB=AC,ABAC=60°,BC边上的高AO=8,E是AD上的

一个动点，F是边AB的中点，则EB+EE的最小值是（）

38.如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB=AC=5,BC=6,贝！）AP+BP+CP

12

的最小值为（）

C.11D.10.2

39.如图，在R3ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分线.若P,

Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

24

A.—B.5C.6D.8

5

40.如图，在△A5C中，AB=3,BC=4,AC=5,点。在边5c上，以AC为对角线的所

有平行四边形AOCE中，OE的最小值是（）

41.如图，在ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交A3于N,交AC于"，P是

直线MN上一动点，点H为BC中点,若A6=13,A3C的周长是36.则BB+PH的

最小值为（）

13

A

A.769B.10C.12D.13

42.如图，A48C和AAOE都是等腰直角三角形，NA4c=NZME=90。，AB=AC=4,O

为AC中点，若点O在直线5c上运动，连接OE,则在点O运动过程中，线段OE的最小

值是为（）

A.—B.—C.1D.J2

22

类型三、利用非负性解决最值问题

如图，在边长为4的正方形A3C。中，点”为对角线上一动点，MELBC于

E,MF工CD于F,则EF的最小值为（）

I.

//

/\7\

/\\

A.472B.2正C.2D,1

【思路点拨】此题求EF最小值，利用MF+ME=4,设MF=x,通过勾股定理用含x的代数式各

表示EF的长，再通过平方非负性（二次函数最值）得出最值。

【答案】B

解：在边长为4cm的正方形ABCD中，BC=CD=4

ZC=90°,ZCBD=ZCDB=45°

14

ME_LBC于E,，CD于F

ZMEC=ZMFC=ZMFD=90°

四边形MECF是矩形，△MDF为等腰三角形

CE=MF=DF

设DF=x，则CE=x

CF=CD-DF=4-x

在RTACEF中，由勾股定理得

EF=>]CE2+CF2=7X2+（4-X）2

=+16-8X+J2

=^2（X-2）2+8

2（^-2）2>0,当且仅当x-2=0时，即x=2时，2（x—2）2有最小值0

^2（X-2）2+8>272当且仅当x-2=0时，即x=2时，^2（x-2）2+8有最小值2肥

故选B。

【点拨】本题考查正方形的性质，找好点M的位置是解题关键.

43.在平面直角坐标系中，点4卜46,0）,点8（a,Ga）,则当AB取得最小值时，”的

值为（）

A.-73B.-3C.0D.百

类型四、折叠中的最值问题

如图，在长方形纸片ABC。中，A5=4,AO=6.点E是AB的中点，点口是AZ）

边上的一个动点.将A4EE沿旅所在直线翻折，得到AGE尸.则GC长的最小值是（）

A.2V10-2B.2V10-1C.2A/13D.2M

【思路点拨】由折叠可知EA=EG,即EG为定长，要使GC最短，则由E、C为定点，所以EC

15

为定长，所以当E、G、C三点共线时，GC最小。

【答案】A

解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点G在线段CEMt，GC的长取最

小值，如图所示.

在RSBCE中，BE=1AB=2,BC=6,NB=90°,

2

22

CE=VBE+BC=2V10,

/.GC的最小值4£匕£=2V10-2,

故选：A.

【点拨】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A（取最小值

时点A，的位置是解题的关键.

44.如图，在矩形ABC。中，AB=10,AD=n,点七是AB的中点，点F是AD边上

的动点，将AA历沿所翻折，得到AA'所，则AC的最小值是（）

A.6B.7C.8D.9

45.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D

落在矩形ABCD内部的点D，处，贝IJC”的最小值是（）

D

16

A.4B.475C.475-4D.475+4

46.如图，在HABC中，ZB=90，ZBCA=45，AC=V2.点D在8C边上，将

ABC沿直线A。翻折，点B恰好落在AC边上的点E处，若点P是直线上的动点,

连接PE,PC,则VPEC的周长的最小值为（）

A.2-V2B.V2C.V2+1D->/2+2

类型五：通过平移解决最值问题

©，5.如图，直线/上有两动点C、D,点A、点B在直线/同侧，且A点与B点分别

到/的距离为。米和。米（即图中A4'=a米，BB'=b米）,且A8'=。米，动点CO之间

的距离总为S米，使C到A的距离与。到3的距离之和最小，则AC+B。的最小值为

（）

B.^(a+bf+S2

B.J(a+/>)2+(c+syD.++(c-s)2

【思路点拨】做线段股〃1且出=$,且点P在点A的右侧，作P关于L的对称点P',连

接BP'交直线L于点D,在L上D的左侧截取DC=S,此时BP，即为所求的最小值，作P，E

J_BB'交BB'的延长线于E,利用勾股定理求解即可.

【答案】D

【分析】解："：P'E=c-S,BE=a+b,

17

•*.PB=y/P'E2+BE2=J(a+b)2+(c-S)2.

【点拨】考查最短路线问题及平移问题的综合应用：用平移和对称的知识综合解决最短路线

问题是解决本题的关键：构造出直角三角形解决问题是解决本题的难点.

47.如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,动点P,Q在边BC上（P在Q的左边）,

且PQ=2,则AP+AQ的最小值为（)

C.9D.2>/17

类型六：立体图形中最值问

如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,

在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器

上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是<

【思路点拨】立体图形中最值问题往往转化为平面图形，利用两点之间线段最短，通过勾

股定理解决问题，本题如图，将容器侧面展开，建立A关于肱0，的对称点4,根据两点

之间线段最短可知A3的长度即为所求.

18

解：将圆柱沿4所在的高剪开，展平如图所小，则MM'=MV'=10cm.

作A关于MM'的对称点A'，连接A3，

则此时线段45即为蚂蚁走的最短路径，

过8作5。JLAAF点D，

则8O=NE=5c/n,A'O=MN+A'M-B£=12+3-3=12cm,

在RtA'3。中,

由勾股定理得AB=>JAD2+BD2=13cm，

故答案为：13.

【点睛】本题考查/轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开

图、熟练运用相关知识是解题的关键.

48.如图，要为一段高5m,长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯____m.

49.如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm,宽为9cm,高为5cm,一只蚂蚁想

从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G,蚂蚊爬行的最短路程是cm.

19

参考答案

类型一两点之间，线段最短

1.【答案】A

【分析】求出A点关于y轴的对称点A，，连接AB交y轴于点P,则P即为所求点，利用

两点间的距离公式即可求解.

解：作点A关于y轴的对称点A-连接AB交y轴于点P,则P即为所求点；

；点A(-4,1),

...点A关于y轴的对称点A，的坐标为(4,1),

VA)(4,1),B(-2,-3),

AB=J(4+2)2+(1+3)2=2>/13.

即PA+PB的最小值为2，

故选A.

y

公

_____X________________

/P

B

【点拨】本题考查的是最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间

线段最短的知识.

2.解：如图，过点C作COJ_AB丁0,延长CO到C'，使OC'=oc,

AB于E,此时DE+CE=DE+EC'=DC'的值最小，连接BC，.

月NC'

D

20

在ABC中，AC=BC=2,ZACB=90°,

；./ABC=45°.

由对称性可知/ABC'=NABC=45°.

.".ZCBC/=90°.

VCCZ±AB,OC=OC,

=BC=2.

是BC边的中点，

.*.BD=1.

根据勾股定理可得：DC'=ylBC,2+BD2=V5.

故EC+ED的最小值是VL

故答案为：D.

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，确定动点E何位置，使EC+ED的值最小是关

键.

3.【答案】D

【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP,CP的值，从而找出其最小

值求解

解：连接BE,与AD交于点G.

「△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线,

；.AD_LBC,

...AD是BC的垂直平分线，

...点C关于AD的对称点为点B,

；.BE就是EP+CP的最小值.

；.G点就是所求点，即点G与点P重合，

21

•.,等边△ABC的边长为8,E为AC的中点,

：.CE=4,BE±AC,

在直角ABEC中，BE=y)BC2-CE2=782-42=473-

.•.EP+CP的最小值为4百，

故选D.

【点拨】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的对称性、三线合一的性质以及勾股

定理的运用，熟练掌握，即可解题.

4.【答案】A

【分析】连接BE,交AD于M,连接CM,过点B作BF_LAC于F,根据等边三角形的性

质可得，AD垂直平分BC,BF垂直平分AC,AC=BC=AB=6,根据两点之间线段最短，此

时ME+MC最小，且最小值为BE的长，利用勾股定理求出BF,然后求出EF,再利用勾股

定理即可求出BE.

解：连接BE,交AD于M,连接CM,过点B作BF_LAC于F

BD

•.,在等边^ABC中，AB=6,AD_LBC,

；.AD垂直平分BC,BF垂直平分AC,AC=BC=AB=6

；.MB=MC,AF=4^C=3

；.ME+MC=ME+MB=BE,根据两点之间线段最短，此时ME+MC最小，且最小值为BE的

长

在RdABF中，BF=〃Bi_AF2=3&

：AE=2

.,.EF=AF-AE=I

在RtABEF111,BE=y/BF2+EF2=2v7

即ME+MC的最小值为2J7

故选A.

22

【点拨】此题考查的是等边三角形的性质、两点之间线段最短的应用和勾股定理，掌握等边

三角形的性质、两点之间线段最短和勾股定理是解题关键.

5.【答案】D

【分析】过点B作。且BQ'=6,连接。7交A8于点P,由“SAS”可证

△BPD妾△BPD',可得DP=£>7,可得尸C+PO的最小值为。C,由勾股定理可求解.

解：如图，过点8作。B_LBC,使8/)=6,连接交A8于点P

,：AC^BC,ZACB=90°,

AZABC=45°,且8Q'J_BC

：.ZD'BP=ZDBP=45°,且80=6=80,BP=BP

:./\BPD§△BPD'(SAS)

：.DP=D'P

：.CP+DP=CP+D'P

.•.PC+PE*的最小值为D'C,

・：BD=6,CD=2

.•.8C=8,

；•D'C=^BC2+D'B2=A/82+62=10

.♦.PC+PO的最小值为10

【点拨】本题考查利用轴对称的性质解决最短路径问题，涉及了直角三角形的性质以及勾股

定理的应用.

6.【答案】B

【分析】作点8关于的对称点E,连接CE交AO于尸，则AE=A8=4,EP=BP,设

BC=x,则CP+8P=16-x=CE,依据RsBCE中，EB2+BC2=CE2,即可得到8?+x2=(16

-x)2,进而得出8c的长.

解：如图所示，作点8关于AO的对称点E,连接CE交于P,则AE=AB=4,EP=BP,

23

设BC=x,贝ijCP+BP=16-x=CE,

'：ZBAD=90°,AD//BC,

：./ABC=90。，

.•.Rt^BCE中，£B2+BC2=CE2,

/.82+x2=(16-x)2,

解得x=6,

，8C=6,

故选民

【点拨】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三

角形的周长的计算.

7.【答案】D

【分析】

过A作AHXOB于H,连接AD,根据MN垂直平分AB,即可得至ljAD=BD,当A,D,C在同一直

线上时,ABCD周长的最小值为AC+BC的长，根据勾股定理求得AC的长，即可得到ABCD周

长的最小值为13+5=18.

【详解】

如图，过A作AH_LOB于H,连接AD

•.•点A坐标为(10,12),AO=AB

.*.OH=BH=10,AH=12

24

XVOC=3BC

ABC=5,CO=15

ACH=15-10=5

〈MN垂直平分AB,

・・・AD=BD

・・・BD+CD=AD+CD

・・・当A,D,C在同•直线上时,ABCD周长的最小值为AC+BC的长

此时,RSACH中,AC=JAH2+C”2=J122+52=13

△BCD周长的最小值=13+5=18

故选:D

【点拨】

此题考查垂直平分线的性质和勾股定理，三角形的周长，解题关键在于利用好垂直平分线的

性质求出AD=BD

8.【答案】A

［分析］作点B关于AC的对称点B'，连接A3'，作B'M±AB于点M交AC于点N,

则此时MN+M5的值最小，且MN+NB=MN+NF=MB'，再进一步求出即可得

到结论.

解：如图：

作点5关于AC的对称点连接AR、BN，作出，A5于点M交AC于点N

；在&ABC中，BC=l,N1a4c=30°

二AC=23。=2

AB=ylAC2—BC2=V22—I2=y/3

VB与5'关于AC对称

25

:.BN=B'N,AB=AB'＜，ZBAB'=2ABAC=2x30°=60°

/.ABB'是一个等边三角形

•/B'M±AB

...在RrAMB'中，AM=LAB=^，AB'=G

2

；.MB'7AB'?-AM

,:BN=B'N,LAB

...MN+NB=MN+NB'=MB',根据垂线段最短，可得MN+NB的最小值即为MN的

长

；.（MN+NB）最小悔=MB'=L5

故选：A

【点拨】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形以及最短路径

等知识点.找到点B关于AC的对称点B'以及适当的添加辅助线是解题的关键.

9.【答案】B

【分析】要求PA+PE的最小值，PA,PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA,PE的

值，从而找出其最小值.

解：•..RtZ\ABC中，AC=BC=2,点D,E分别是AB,AC的中点，

；.CE=1,AD=BD,CD±AB

:.A、B关于CD对称

如图，连接BE交CD于点P,则PA=PB

；.BE就是PA+PE的最小值，

PA+PE的最小值是

故选：B

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【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题时

注意转化思想的运用.

10.【答案】D

【分析】先连接BM,再根据MB=MC,将EM+CM转化为EM+BM,最后根据两点之间线

段最短，求得BE的长，即为EM+CM的最小值.

•.•等边4ABC中，AD是BC边上的中线

；.AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC

；.MB=MC

当B、M、E三点共线时，EM+CM=EM+BM=BE

•.•等边AABC中，E是AC边的中点

二直角三角形ABE中，BE=yjAB2-AE2=722-12=V3

即EM+CM的最小值6

故选D.

【点拨】本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运

用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键.解题时注意，最小值问题一般需

要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论.

II.【答案】C

【解析】如图，作点B关于AC的对称点B',过B'点作B'DLAB于D,交AC于E,连接

AB'、BE,则BE+ED=B'E+ED=B'D的值最小.

•.•点B关于AC的对称点是B',BC=10,，B'C=10,BB,=20.

•.,RtZXABC中,ZACB=90°,AC=20,BC=10,，AB=1075

VSAABB*=20X204-2=200.>.B,D=BB'XAC+AB=20X204-105/5=875

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ABE+ED=B,D=8后.

点拨：主要考查你对轴对称等考点的理解.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与

另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后

重合的点是对应点叫做对称点.轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距

离都是相等的.利用轴对称图形的形状来解决动点产生的最短距离是经常用到的数学思想，

同学们在看到这种问题的时候就要想到轴对称的性质.

12.【答案】C

【解析】

分析：要求PE+PC的最小值，PE,PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE,PC的值,

从而找出其最小值求解.

•.•点C关于BD的对称点为点A,

二PE+PC=PE+AP,

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值,

•.•正方形ABCD的边长为2,E是BC边的中点，

.♦.BE=L5,

故选：C.

点拨；此题主要考查了正方形的性质和轴对称以及勾股定理等知识的综合运用，根据已知得

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出两点之间线段最短，可得AE就是PE+AP的最小值是解题的关键.

13.【答案】C

［分析］作C关于直线AB的对称点D,过D作DE1BC交AB于F,则此时，CF+EF的值

最小，且CF+EF的最小值=口£,由勾股定理即可得到结论.

解：作C关于直线AB的对称点D,过D作DE±BC交AB于F,贝!」此时，CF+EF的值最小,

且CF+EF的最小值=口£,

.•.ZCGB=90°,

VBC=2,ZB=30°,

.\CG=—BC=1,

2

.*.CD=2,

VZDGF=ZBEF=90°,ZBFE=NDFG,

ZD=ZB=30°,

£C=-C£>=-x2=l

22

由勾股定理，DE=百，

••.CF+EF的最小值是百，

则产=（百）2=3,

故选：C.

【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确的作出对称点，熟练掌握轴对称图形的性

质和两点之间线段最短的性质是解题的关键.

14.【分析】

作点C关于直线BA的对称点C，，连接BC,作CE,LBC,则CE，的长就是CF+EF的最

小值，然后根据含30度的直角三角形的性质结合勾股定理求出CE，即可.

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【详解】

解：作点C关于直线BA的对称点C，，连接BC工作C，E，，BC,则CE，的长就是CF+EF

的最小值，

VBC=2,ZABC=30°,

・・・BC=2,NABC'=30。，

AZCBC5=60。，

2

.\C'E,=722-I2=后,即CF+EF的最小值是百，

故选：C.

【内拨】本题考查了轴对称一最短路径问题，根据题意得到CE，的长就是CF+EF的最小值

是解题关键.

15【答案】D

【分析】作C点关于y轴的对称点C'，连接OC'，与y轴的交点即为所求点P,用勾股定

理可求得DC'长度，可得PC+PD的最小值为2正，再根据CD=2,可得PC+PD+CD=

2亚+2

解：如图，作C点关于y轴的对称点C',连接DC'交y轴与点P,此时PC+PD的值最小且

DC=PC+PD

30

y

B

C'0\c\'X

,.­CD分别是04.AB的中点，A(2,0).B(0,4)

AC(1,0),D(1,2)

在RtADCC中，由勾股定理可得DC=\lDC2+C'C2=722+22=2夜

又(1,2)

；.CD=2

/.此时ADPC周长为PC+PD+CD=DC+CD=2A/2+2

故选D

【点拨】本题考查最短路径问题，把图形作出来是解题关键，再结合勾股定理解题.

16.【答案】C

【分析】首先确定DC=DE+EC=DE+CE的值最小，然后根据勾股定理计算.

解：过点C作C0_LA8于。，延长C。到C使。。=0C,连接DC，交AB于E,连接。从

此时OE+CE=OE+EC-DC的值最小.

连接8C',由对称性可知/C8E=NC8E=45。,

：.ZCBC=90°,

：.BC'±BC,ZBCC=/8C'C=45°,

BC=BC=2,

•.•。是8c边的中点，

：.BD=\,

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根据勾股定理可得:

DC，7BC，Blf，

=V22+12,

—下.

故EC+EZ）的最小值是否.

故答案为C.

【点拨】本题考查了轴对称一最短路线问题，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

17.【答案】B

【解析】

找出B点关于AC的对称点I）,连接DE交AC于P,则DE就是PB

+PE的最小值，求出即可.

解：连接DE交AC于P,连接DE,DB,

由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB,

；.PE+PB=PE+PD=DE,

即DE就是PE+PB的最小值，

VZABC=120°,

ZBAD=60",

VAD=AB,

.'.△ABC是等边三角形，

VAE=BE,

/•DEIAB（等腰三角形三线合一的性质）.

在RSADE中，DE=JA02_AE2=瓜

即PB+PE的直线值为百.

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故选B.

“点拨”本题主要考查轴对称.最短路线问题，勾股定理等知识点.确定P点的位置是解答

此题的关键.

18.【答案】B

【分析】

先连接CF,再根据EB=EC,将FE+EB转化为FE+CE,最后根据两点之间线段最短，求得

CF的长，即为FE+EB的最小值.

【详解】

解：连接CE,

;等边AABC中，AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC,ZBAC=60%

，EB=EC,ZBAD=30°,

•,.BD=—AB=4,

2

•*-AD=yjAB2-BD2=幅-42=4百，

当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF,

•.•等边AABC中，F是AB边的中点，

；.AD=CF=4百，

.•・EF+BE的最小值为46，

故选：B.

【点拨】

本题考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形

的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键.

19.【答案】C

【分析】

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作B关于AC的对称点B',连接BD,易求/ABB，=60°,贝I]AB=AB,且aABB，为等边三

角形，BE+DE=DE+EB为B与直线AB之间的连接线段，其