新教材2023版高中数学第七章随机变量及其分布专项培优章末复习课学生用书新人教A版选择性必修第三册

专项培优2章末复习课知识网考点聚考点一条件概率1．条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法：(1)P(B|A)＝PABPA.(2)P(B|A)2．通过对条件概率的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．例1[2022·新高考Ⅰ卷节选]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，PBAP(B(1)证明：R＝PABP(2)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用(1)的结果给出R的估计值．例2[2022·新高考Ⅱ卷]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)．考点二相互独立事件的概率1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．2．通过对相互独立事件概率公式应用的考查，提升学生的数学抽象、逻辑推理核心素养．例3甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．考点三二项分布与超几何分布1．二项分布与超几何分布是高中阶段主要学习的两种分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查较灵活，常与期望、方差融合在一起．2．通过对二项分布与超几何分布的考查，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养．例4[2022·福建三明高二期中]2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分[50，60](60，70](70，80](80，90](90，100]频率0.10.10.30.30.2(1)如果规定竞赛得分在(80，90]为“良好”，竞赛得分在(90，100]为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取5人．现从这5人中抽取2人进行座谈，求两人竞赛得分都是“优秀”的概率；(2)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．例5[2022·广东深圳高二期中]近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表(单位：吨)．厨余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率P；(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每名志愿者被选到的可能性相同)．设X为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．考点四离散型随机变量的均值和方差在决策中的作用1．方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．2．通过对离散型随机变量的均值和方差在决策中的作用的考查，提升学生的数学运算、逻辑推理、数据分析核心素养．例6[2021·新高考Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．考点五正态分布1．正态分布在实际生产生活中有广泛的应用，在解题中注意求准正态分布中的参数μ，σ，充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称及在三个特殊区间的概率进行求解．2．通过对正态分布的考查，提升学生的数学运算、直观想象、数据分析核心素养．例7(1)[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是()A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________．章末复习课考点聚焦·分类突破例1解析：(1)证明：∵PBAP(B|A)P(B|A)P(B|A)＝PABPAB·PABPAB＝PABPB·P∴R＝PABP(2)由表格中的数据，得P(A|B)＝40100＝25，P(A|B)＝10100∴P(A|B)＝1－P(A|B)＝35P(A|B)＝1－P(A|B)＝910∴R＝PABPAB·例2解析：(1)平均年龄x＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝(0.005＋0.03＋0.3＋0.595＋1.035＋1.1＋1.105＋0.45＋0.17)×10＝47.9(岁)．(2)设A＝{一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)}，则P(A)＝1－P(A)＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.(3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式，得P(C|B)＝PBCPB＝0.1%×0.023×即此人患这种疾病的概率约为0.0014.例3解析：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．则P(Ak)＝23，P(Bk)＝1k＝1，2，3，4，5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝232＋1＝5681(2)X的可能取值为2，3，4，5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝59P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝29P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝1081P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881故X的分布列为X2345P52108例4解析：(1)成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为110所以成绩为“良好”的抽取30×110＝3人，成绩为“优秀”的抽取20×110＝所以抽到的竞赛得分都是“优秀”的概率为P＝C22C(2)由题意知，X的可能取值为0，1，2，3.由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为P1＝20100＝15，竞赛得分不是“优秀”的概率为P2＝1－P1＝1－15＝45.若以频率估计概率，则X服从二项分布B(3P(X＝0)＝C301P(X＝1)＝C311P(X＝2)＝C321P(X＝3)＝C331所以X的分布列为X0123P6448121E(X)＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1例5解析：(1)由题表可得厨余垃圾共有60＋20＋20＝100吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率P＝60100＝3(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C30C73C103＝724，PP(X＝2)＝C32C71C103＝740，P所以X的分布列为X0123P72171所以E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为910例6解析：(1)由题可知，X的所有可能取值为0，20，100.P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；P(X＝20)＝0.8(1－0.6)＝0.32；P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100.P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；P(Y＝80)＝0.6(1－0.8)＝0.12；P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．例7解析：(1)对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.