相似三角形及锐角三角函数问题-2021年中考数学经典题型讲练案(解析版)【江苏专用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（江苏专用）

专题12相似三角形及锐角三角函数问题

【方法指导】

1.判定三角形相似的思路：

①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；

②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；

③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；

④条件中若有一一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；

⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.

2.相似的基本模型

（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找.到解题思路，事半功倍.

（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三

角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.

AB//CD

Z.B=Z.D=90°LB=L\=LC

AELECABDEsLCVD

XACDsMBDsZUBC

3.锐角三角函数的应用问题：

(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；

(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解.

【题型剖析】

【考点11平行线分线段成比例定理

【例1】(2020秋•锡山区期中)如图，ZXABC中，点。、E分别在边AB、BC上，DE//AC,若DB=4,AB

=6,BE=3,则的长是()

A.4B.4.5C.2.5D.2

【分析】由中，点。、E分别在边AB、BC上，DE//AC,根据平行线分线段成比例定理解答即可.

【解析】,：DE//AC,

：.DB：AH=BE：BC,

9

：DB=4tA8=6,BE=3,

A4：6=3：BC,

：.BC=4.5,

故选：B.

AB

【变式1-1］（2019秋•新沂市期末）如图,在△A8C中’点。、E分别在边胡、C4的延长线上，布=2,

那么下列条件中能判断。E〃BC的是（）

1DE1EC

C.—=—D.­=2

2BC2AC

【分析】利用如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线

平行于三角形的第三边进行判断.

ABAC

【解析】当一=一时，BC//DE,

ADAE

即丝=2.

AE

故选：B.

【变式1-2］（2019秋•高新区模拟）如图，在AABC中，。、E分别在AB、AC上，DE//BC,EFIICD

交A3于F,那么下列比例式中正确的是（）

AFDEDAFAD_DFAFEFDE

-------=D.=C.=

DFBCBDABDBDF

【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利

用排除法求解.

【解析】A、-EFHCD.DE//BC.

AFAEAEDE

~DF~~EC'~^C~~BC

*:CEwAC，

AFDE

----*-----.故本答案错误;

DFBC

B、,.・DE//BC，EFI/CD,

.AEADAEAF

,AC"'AC-AD'

.AF_AD

~AD~~AB'

:AD丰DF、

AFAD

----*-----故本答案错误;

BDAB

C、\EF//CD,DEIIBC

.AFAEAEAD

而一耘‘~EC~~BD'

AFAD

.•_.___-_1«

DFBD

.•.史N竺，故本答案错误;

DBDF

D、-DEIIBC.EFI/CD,

.DEAEEFAE

~BC~~AC''CD~~AC'

故本答案正确.

CDBC

故选：D.

【考点2】相似三角形的性质

[例2]（2020春•相城区期末）如图，在平行四边形ABCD中,点E在边。C上，DE：EC=3：1,连接

AE交80于点F,则△£>£/的面积与△£）”的面积之比为（）

C.9：4D.3：2

【分析】先根据平行四边形的性质得到A8=C£>,AB//CD,贝ljDE：AB=3：4,再证明凡

EF3

利用相似比得到不=然后根据三角形面积公式求AOE尸的面积与△04尸的面积之比.

AF4

【解析】•••四边形A8C。为平行四边形，

：.AB=CD,AB//CD,

,:DE：EC=3：1,

：.DE：AB=DE：CC=3：4,

■:DEaAB,

：./\DEF^/\BAF,

EFDE3

...△OE尸的面积与尸的面积之比=EF：AF=3t4.

故选：B.

【变式2-1]（2018秋•兴化市期末）己知AABCS&DEF,顶点A、B、C分别与。、E、F对应，若

AB:DE=1:2,AABC的周长是5cm,则ADEF的周长是cm.

【分析】根据相似三角形的性质：周长比=相似比，即可解决问题.

【解析】•;\ABC^^DEF,AB:DE=\:2,

.•.AABC的周长：的周长=1:2,

•.•A4BC的周氏是5c,〃?，

.♦.ADEF的周长是lOczn.

故答案为：10.

【变式2-2]（2020•梁溪区一模）如图，△A8C中，AB=8,AC=6,N4=90°,点。在△A8C内，且

平分/ABC,0c平分NACB,过点£＞作直线PQ,分别交AB、AC于点P、Q,若△APQ与△ABC相似,

则线段PQ的长为（）

66

【分析】当PQ〃8c时，如图1,根据角平分线的定义得到NP8O=NC8。，根据等腰

三角形的性质得到P8=P。，同理，DQ^CQ,设AP=4x,AQ=3x,根据勾股定理得到PQ=5x,根据

题意列方程即可得到结论；当NAPQ=NACB时，△APQs^ACB,由勾股定理得到BC=10,过。作

DEVABE,DFLACF,QGLBC于G,根据角平分线的性质得到。E=。尸=QG,根据三角形的

面积公式得到QE=6+Q~10=2,四边形AEQF是正方形，推出△PEQs△。尸Qs2\CAB,求得靠=,=

咚="得到FQ=根据勾股定理即可得到结论.

AB42〜3

【解析】当尸。〃8。时，，/\APQ^/\ABC,如图1,

•・・。8平分NABC,

・•・NPBD=NCBD,

■:PD〃BC,

：.NPDB=NDBC,

：./PBD=NPDB,

：・PB=PD,

同理，DQ=CQ,

,/ZAPQ=ZABC,

AC62

tanZAPQ=tanZABC=丽=g=4，

・••设A尸=4JGAQ=3x,

：.PQ=5x,

VPB=PD=8-4x,PQ=CQ=6-3xf

.".8-4x+6-3x=5x,

•\x=k，

35

：.PQ=5x=~

当NAPQ=NAC3时，AAPg^AACB,

VAB=8,AC=6,ZA=90°,

.\BC=10,

过。作OE_LA8于E,DFLACTF,DG_LBC于G,

YOB平分NA3C,OC平分NAC3,

：・DE=DF=DG,

VSAABC=^DE(AB+AC+BC)=%B・AC,

:.DE=。干厂=2,四边形AEDF是正方形,

：.DF//AP,

：.ZEPD=ZFDQ,

同理NEQP=NFQ£>,

:.丛PEDs丛DFQs丛CAB,

.PEDFAC3

・'DE~FQ~AB~4

oo

：.PE=^fFQ=I，

：.PD=y/PE2+DE2=J(1)2+22=1,DQ=yjDF2+FQ2=卜+陟=?

:.PQ=PD+DQ=|+学=率

35

综上所述，若/XAP。与△A8C相似，则线段PQ的长为二，

6

故选：B.

【变式2-3］（2019春•宿豫区期中）如图，在△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,。是AC的中点，过点。

沿直线剪下一

个与AABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法共有（）

A.1利।B.2和1C.3种D.4种

【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出.

【解析】如图所示：

当。尸〃BC时，AADF^AACB；

当OG〃A3时，△CQGs/\ABC；

当£>E_LA8时，AADE^AABC；

故过点P的△ABC的相似线最多有3条.

故选：C.

【考点3］位似变换

【例3】(2019•镇江模拟)在平面直角坐标系中，以点。(-2,0)为位似中心，把图形耳按相似比2:1放大得

到图形邑(即所得图形与原图形的相似比为2:1),P(l,l)在图形加上，则图形邑上与点尸对应的点的坐标

为.

【分析】分两种情形画出点P的对应点P,产即可解决问题.

【解析】有两种情形：①当点产在QP的延长线上时，产(4,2).

②当点P"在PQ的延长线上时，片(-8,-2).

rr1ITrTnrir-rr一厂rTn

-I-Ht-+rrT-LF-+H-t-♦"十T

U4.J-l.uA.J,-I-I-U..4L4u.uLJ」

LL」」_LL，」」_L…」」_LL」」」_L，」

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII

rrinTriTrr,Ti-rrin-rrTn

rr-f-i-rr-r-i-i-r--t-i-rr-r-i-r-rT-i

卜•T4-4-I-I-JJ一

LL」」_LL«L」」一L一」」_LL」」一LL1」

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII

m-i-rrT-i-nif-1一厂口?，一厂「T:

rrnn-rrTn-i-rn7nrT-i

L*TT-1>4TA1-H-H♦-+H

L1」1L」」IL」L」」」1»

LilJ_il£)_J

I11C-PT11111111111111

「T「m一厂「一1一1-「Ti「T1

rf不内・Lrt-1-1-r--tt-l磨tr-t-1-1-1

i」一I-J44-I-I.k.-I-I-J4.4一一LJ一

LJL_1」_l_____l」_LL」」_LL_L」

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII

FTTiTri-riTi-rrTi-i-rm

综上所述，满足条件的点P的对应点坐标为(4,2)或(-8,-2).

故答案为(4,2)或(-8,—2).

【点睛】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换的性质，属于中考

常考题型.

【变式3-11.(2019•兴化市模拟)如图，AABC与ADE尸位似，点。位似中心，3.-=-,则3迎=___.

°A2^MBC

【分析】直接利用位似图形的性质进而得出答案.

【解析】・・・AABC与AD£F位似，点。位似中心，H—=-,

OA2

.DEOD

一~AB~~OA~2"

•S、DEF_/JL\2_，

S-2-4

故答案为：—.

4

【变式3・2】（2019秋•建湖县期末）如图，平面直角坐标系中，点A（-2,0）,B（0,1）,C（-3,2）,

以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△4'B'C,且aA'B'C与△ABC的相似比为1：2,则点

C.（-6,4）D.（-6,4）或（6,-4）

【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质解答.

【解析】以原点O为位似中心，把△A3C缩小为B'C,且B'C与△ABC的相似比为1：

2,

・・♦点。的坐标为（-3,2）,

.•.点C的对应点C，的坐标为（-3x表2x分或（3x；,-2xa），即（-1.5,1）或（1.5,-1）,

故选：B.

【变式3.3］（2020春•吴中区期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△

ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上.以原点O为位似中心，画出△4/1C1，使它与△A8C的

相似比为2,且它与aABC在位似中心0的两侧，并写出点B的对应点Bi的坐标是

［分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置.

【解析】如图所示：点B的对■应点Bi的坐标是(-4,-2).

【考点4］相似三角形的性质与判定

【例4】(2020•如皋市一模)如图，△ABC中，P'是边48上一点，四边形POMW是正方形，点。,，M

在边BC上，点N'在△ABC内.连接BN',并延长交AC于点N,过点N作NMLBC于点M,NPL

MN交AB于点P,PQLBC于点Q.

(1)求证：四边形PQMN为正方形；

(2)若NA=90°,AC=］.5m,△ABC的面积=1.5机2.求PN的长.

P，NiBN，MiNi

【分析】(1)易得四边形PQMN为矩形，再利用平行线分线段成比例得到弁=—=—,加上P'

N'=〃'N',所以PN=MN,从而可判断四边形PQMN为正方形；

(2)解：作AOLBC于。，AD交PN于E,如图，利用三角形面积公式先计算出AB=2,再利用勾股

定理计算出8c=2.5,接着利用面积法求出AQ=《，设PN=x,则PQ=OE=x,AE=1-x,证明△APN

6

T~Xx

-△ABC,然后利用相似比得到'一=77,最后利用相似比求出x即可.

【解析】（1）证明：：NM_L8C,NPA.MN,PQVBC,

四边形PQMN为矩形，

•/四边形PQ'MW是正方形，

：.PN//P'N1,

.P，N，BNf

,*PN-BN'

■:MN〃M'N',

.MNBNf

••MN-BN'

PfNrMiNi

PNMN

而P'N'="N',

・・・四边形PQMN为正方形;

(2)解：作AD_LBC于。，AD交PN于E,如图,

△ABC的面积=1.5,

••・一AB・AC=L5,

2

：.BC=22+1.52=2.5,

1

-BCMD=1.5,

2

设PN=x,P>lJPQ=DE=x,AE=1-x,

,:PN〃BC,

XAPNsMBC,

6

些_空anlZl会解得广羿

一，印

ADBC-6

5

30

即PN的长为一m.

37

【变式4-1］（2020秋•南京期末）如图，在等边△ABC中，尸为8c上一点,。为4c上一点，且/APO=

60°,2BP=3CD,BP=\.

(1)求证△ABPsapc。；

【分析】（1）根据等边三角形性质求出AB=BC=AC,ZB=ZC=60°,推出NBAP=NOPC,即可得

出结论;

（2）与相似：角形的性质得出比例式，代入求出48即可.

【解析】（1）证明：:△ABC是等边三角形,

：.AB=BC=AC,ZB=ZC=60°,

VZBPA+ZAPD+ZDPC=180°,且乙“。=60°,

：.ZBPA+ZDPC=1201,,

VZDPC+ZC+ZPDC=\S0°,

：.ZDPC+ZPDC=nO0,

：.ZBPA=ZPDC,

.•.△A8PS"CQ；

(2)解：“：2BP=3CD,且2P=1,

2

.\CD=1,

・.•△ABPsdPCD,

.BPAB

•.—,

CDPC

设则尸。=x-l,

.1___x

••"3"=，

-x-1

3

.\x=3.

即AB=3.

：.△4BC的边长为3.

【变式4-2］（2019秋•赣榆区期末）如图1,RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=6cmfBC=Scm,动点P从

点B出发，在84边上以每秒3c机的速度向点4匀速运动，同时动点。从点C出发，在CB边上以每秒

2c机的速度向点B匀速运动，运动时间为f秒（0<f<2）,连接PQ.

（1）若△BPQ与AABC相似，求f的值；

（2）（如图2）连接AQ,CP,若AQJ_CP,求f的值.

【分析】（1）根据勾股定理求出AB,分△BPQSABAC、△BPQsaBCA两种情况，根据相似三角形的

性质列出比例式，计算即可；

（2）过P作PA/_LBC于点M,AQ,CP交于点M则有尸B=5f,PM=3f,8Q=8-4f,根据△ACQs

△CMP,得出AC：CM=CQ-.A/P,代入计算即可.

【解析】（1）①当△3PQSZ\8AC时，

BPBQ

'：­=—,BP=3t.QC=2t,AB=\0cm,BC=Scm,

BABC

.3t8-2t

••—,

108

.,,20

・・C一五,

②当时,

、.BPBQ

*BC~BA

.8-2t_3t

108

・*32

'-t=23;

：.t=君或一时，ABPQ与△ABC相似；

11

(2)如图所示，过户作于点M,AQ,CP交于点、N,

o1217

则有PB=31,PM=(3BM=寺3MC=8一昔3

VZNAC+ZNCA=90°,NPCM+NNCA=90°,

・・・NNAC=NPCM且N4CQ=NPMC=90°,

・・・△ACQs/\cMP,

eACCQ

"CM-MP1

62t

解得：t=~

【变式4.3](2020•鼓楼区校级模拟)如图，。是回A8CD对角线8。上的一点，且乙4OC=2NABC,OC=

OD,连接OA.

(1)求证：E1A8C。是菱形；

【分析】(1)连接AC,交BD与H,由角的数量关系可证OA=OC=OC,由等腰三角形的性质可得OB

LAC,由菱形的判定可得结论；

CDOD

(2)通过证明△BOSABOG可得筋=方’可得结论.

【解析】证明：(1)连接AC,交BD与H,

•：OC=OD,

：.ZDCO=ZCDO,

,/四边形ABCD是平行四边形，

・・・ZABC=ZADC=NADO+NCDO,AH=CH,

ZAOB=ZADO+ZDAO,ZCOB=ZDCO+ZCDO=2ZCDO,ZAOC=2ZABC,

ZAOB+ZCOB=2ZADO+2ZCDO,

・•・ZAOB=2ZADO,

：.ZDAO=ZADO,

：.OA=OD,

：.OA=OC,

又YAH=CH,

：.OBVAC,

・・・平行四边形A8CO是菱形；

(2)•・•四边形ABC。是菱形，

:.BC=CD,

:.NBDC=NCBD.

由(1)得/ODC=NOCD,

：.ZOCD=ZDBC.

在△CQ。和△5OC中，

♦：NODC=/CDB,/OCD=NCBD

:.ACDOsABDC.

.CDOD

••--,

BDCD

即CD2=OD'BD.

【考点5］相似三角形的应用

【例5】(2020•淮安模拟)在RtZXABC中，/C=90°,AC=20c〃?，BC^\5cm,现有动点P从点A出发,

沿AC向点C方向运动，动点。从点C出发，沿线段C8也向点B方向运动，如果点尸的速度是4cvn/s,

点Q的速度是2cm/s,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时间为t

秒.求：

(1)当f=3时，这时，P,Q两点之间的距离是多少？

(2)若△CP。的面积为5,求S关于f的函数关系式.

(3)当f为多少时，以点C,P,。为顶点的三角形与AABC相似?

【分析】(1)在Rtacp。中，当1=3,可知CP、C。的长，运用勾股定理可将的长求出；

(2)由点P,点。的运动速度和运动时间，又知AC,BC的长，可将CP、CQ用含f的表达式求出，代

入直角三角形面积公式S^CPQ=|CPXCQ求解;

CPCQ

(3)应分两种情况：当RtACPQ^RtACAB时，根据一=一,可将时间/求出；当RtACPQ^RtA

CACB

CPCQ

CBA时,根据而=彳可求出时间八

【解析】由题意得AP=4r,CQ=2t,则CP=20-4r,

(I)当f=3B■寸，CP=20-4z=8c7/nCQ=2t=6cm,

由勾股定理得PQ=y/CP2+CQ2=V82+62=10cm；

(2)由题意得AP=4r,CQ=2t,则CP=20-4f,

因此Rt/XCPQ的面积为S=1x(20-4t)X2t=(20t-4t2)cra2；

(3)分两种情况:

CPCQ20—4t2t

①当Rt^CPQsRtZ^CAB时，一=—,即-----=—,解得/=3；

CACB2015

八、,CPCQ„20-4t2t，…40

②当RtACPQ^RtACBA时，—=—，即-----=—,解得t=-rr

CBCA1520口

因此f=3或U音时，以点C、P、。为顶点的三角形与△A8C相似.

【变式5-1]（2019秋•沐阳县期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形4BC,边BC长13cm,BC边上的

高AD为6cm,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在8C上，其余两个顶点分别在AB、AC上.

（1）求证：XhEFsXABC；

（2）求这个正方形零件的边长.

【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC//EF,利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他

两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可.

（2）设正方形零件的边长为加加，则K£>=EF=x,AK=6-x,根据EF〃8C,得至根

据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果.

【解析】（1）•.•正方形EG”F,

：.EF//BC,

：./\AEF^/\ABC,

（2）设EG=EF=x

'：XNEFS[\ABC

.EFAK

•.—>

BCAD

x6-x

•*•_—___,

136

・78

••户西，

78

・,・正方形零件的边长为一cm.

19

【变式5・2】（2019•淮阴区一模）《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基

地游玩.某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头

顶三点恰好在一条直线上（如图）.已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小

明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米.请根据以上数据

求出城楼的高度.

【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可.

【解析】过点A作AM于点M,交CD于点N,

由题意可得：AN=2m,=2-1.65=0.35(77/),MN=40m,

-,-CN//EM,

.-.AACTV^AAEM,

.CN_AN

20.35

"42"EM'

解得：EM=7.35,

AB-MF-1.65/n,

故城楼的高度为：7.35+1.65-1.7=7.3(米)，

答：城楼的高度为7.3m.

【考点6】解直角三角形

【例6】（2019•丹东模拟）如图，在AADC中，NA=30。，NAC£>=90。，点5在AC上ND8C=45。，点E

在3c的延长线上，且43=2,CE=3,过E作EF_LAE于E,交皮）延长线于尸.求的长.

BE

【分析】设8C=x.根据ianA=生，可得2+x=Gx,求出x即可解决问题.

AC

【解析】设8C=x.

・・・ND5c=45。，EF上AE,

:.EF=BE,BC=DC，

二.AC=2+x,

AC

:.2+x=丛x,

x=G+1,

.-.EF=y/3+4.

1行

【变式6・1】（2019•杨浦区一模）如图，AO是AABC的中线，tanB=-,cosC=—,AC=0,求：（1）

52

BC的长；（2）NADC的正弦值.

【分析】（I）如图，作AHJ_3c于”.在RtAACH中，求出AH=CH=1,在RtAABH中，求出8”即可

解决问题;

（2）在RtAADH中，求出，AD即可解决问题;

【解析】（1）如图，作A//_L8C「〃.

2AC

:.CH=\,AH=y/AC2-CH2=1,

AJ-11

在RtAABH中，vtanB=——=-,

BH5

:.BC=BH+CH=6.

（2）・；BD=CD,

...8=3,DH=2,AD=dAH2+DH?=旧

在RtAADH中，sinZAD/7=—=—.

AD5

・•.NADC的正弦值为且.

5

4

【变式6.2］（2020秋•太仓市期中）如图，在△ABC中，4。是BC边上的高，8c=4,AD=\2,sinB=

求：（1）线段CZ）的长；

【分析】（1）在Rt/\ABD中，由AD=\2,sinfi=可求出AB,再根据勾股定理求出HD,进而求出

CD-.

（2）作高，构造直角三角形，求出CE、AC即可，利用三角形的面积公式和勾股定理可求.

【解析】（1）是BC边上的高，

•,.Z£>=90°,

在Rt/\ABD中，

VsinB=

.AD4

••—―,

AB5

又・.・4。=12,

：.AB=\5f

:.BD=yjAB2-AD2=9,

又..皿二%

:.CD=BD-BC=9-4=5；

答：线段CO的长为5；

(2)如图，过点C作CELA8,垂足为E,

』ABC=^BC-AD=^AB'CE

11

.,.-X4X12=4X15XC£,

22

：.CE=^-,

在RtZVIEC中，

・•CE_」_16

【考点7】锐角三角函数的应用

【例7】（2020•泰兴市校级二模）现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板、撑杆、地面都是水平的，

梯子的简化结构如图所示，左右支撑架A。、4c长度相等，BD=\,n.设梯子一边A。与地面的夹角为a,

且a可调节的范围为60°WaW75°,当a=60°时，撑杆BE的长度为1.20,"（8E平行于地面，其长

短随着角度的变化可调节）.

（1）当a=60°时;求撑杆BE离地面的高度（结果保留根号）

（2）调节角度，人字梯的顶端A到地面的高度能否达到2.13优，并说明理由.（参考数据：sin75°g0.966,

cos750-0.259,tan750弋3.732)

【分析】(1)由sin60。=转，即可求出踏板8E离地面的高度BH；

(2)当a=60°时，证得△ABE和△AOC都是等边三角形，得到A8=AE=8D=1.2,进而可得AD,当

a=75°时，A到地面的高度最大，过A作AFLQC,根据三角函数的定义即可求得AF,即可得到.

【解析】(1),:BHLCD,

/.ZBHD=90",

；NBDH=a=60°,

BHy[3BH

；.sin60°=，即以

BD1

:.BH=空〃?；

(2)人字梯的顶端A到地面的高度不能达到2.13孙

理由：

当a=60°时，BE=1.2m,

"：AD=AC,

：.AD=AC=DC,

：.ZC=60°

\'DE//DC,

...NA8E=Na=60°,ZAEB=60°,

.♦.△ABE是等边三角形，

：.AB=AE=BE=1.2,

：.AD=AB+BD=1.2+1=2.2,

：.DC=2.2,

当a=75°时，A到地面的高度最大，

过A作于尸，

4尸=43・sin75°=2.2X0.966=2.1252<2.13Cm),

故人字梯的顶端A到地面的高度不能达到2.13m.

【变式7-1】（2020•亭湖区校级三模）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的

度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图.AB和CD是两根相同长度的活动支撑

杆，点。是它们的连接点，OA=OC,h（cm）表示熨烫台的高度.

（1）如图2.若AO=CO=80c,mNAOC=120°,求AC的长（结果保留根号）；

（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度/?为128c〃?时，两根支撑杆的夹角/AOC是

74°

（如图3）.求该熨烫台支撑杆4A的长度.（参考数据：sin37°«=0.6,cos37°«=0.8,sin53°七0.8,cos53°

比0.6）

【分析】（1）过点。作OEJ_AC,垂足为E,利用等腰三角形的三线合一可得出/AOE的度数及4C=

2AE,在RtzMEO中，通过解直角三角形可求出4E的长，再结合4c=2AE即可求出AC的长；

（2）过点B作BFLAC,垂足为尸，则8尸=128a”，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出

NOAC的度数，在RtzXAB/中，通过解直角三角形即可求出的长.

【解析】（I）如图2,过点。作0EL4C,垂足为E,

'：AO=CO,

1-I

.•./AOE=//AOC=/120。=60°,AC=2AE.

/q

在RtAAEO中,AE=AO-sinZAOE=80x%=40A/3,

."C=2AE=80V5.

答：AC的长为80Wa”.

（2）如图3,过点B作BFJ_AC,垂足为尸，则BF=128c?n.

U：AO=CO,N4OC=74°,

180°—74°

AZOAC=ZOCA=2=53°.

Dr-1OQ

在RtZXABF中，AB=.=4^=160cm.

sinZ-BAC0.8

答：支撑杆AB长160C〃7.

图3

图2

【变式7-2］（2019•南京一模）如图是小莉在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整

个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成37。角，线段明表示小红身高1.5米.当她从点A跑动4

米到达点3处时.，风筝线与水平线构成60。角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离C尸为8米，这

一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度弓力.

（参考数据：sin37°»0.6,8s37°a0.8,tan37°®0.75.）

RCA_iY

【分析】设AF=x,则8尸=旬+诙=4+*,在RtABEF中，BE=-------------=----------=8+2x,CF=8,

cosZ.EBFcos60°

AC=AF+FC=8+x,在RtADAC中，AD=-------------=----------=10+1.25x可建立关于x的方程，解之求

cosADACcos37°

得X的值，即可得出C£＞的长，继而得出答案.

【解析】设AF=x,则BF=4?+AF=4+x,

DpAly

在RtABEF中，BE=-------------=———=8+2x,

cosZ.EBFcos60°

・・・CF=8,

/.AC=AF+FC=8+x,

ACg+V

在RtADAC中，AD=-------------=----------=10+1.25A:,

cosZDACcos37°

由题意知：AD=BE

Q

.•.8+2x=10+L25x,解得：x=-，

3

Q

:.CD=ACtanZG4D=（8+-）xO.75=8,

则Gr>=CO+GC=8+L5=9.5,

答：风筝原来的高度a。为9.5米.

【变式7.3］（2020•秦淮区二模）如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A营地出发，准备前往正东方向

的8营地，由于一条南北向河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C处过桥，经过测量得知，4、8

之间的距离为13切?，ZA和的度数分别是37。和53°,桥CD的长度是0.5km,图中的区域CDFE

近似看做一个矩形区域.

（1）求CE的长；

（2）该考察小组希望到达8营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留

1位小数）（参考数据：sin370-0.60,cos37°~0.80,tan37°40.75）.

【分析】（1）设CE=OF=x,由题意可知：CD=EF=0.5,根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

（2）根据路程、速度以及时间之间的等量关系即可求出答案.

【解析】（1）设CE=OF=x,

由题意可知：CO=EF=0.5,

在RtAACE中，

rp

；.tan37°=第，

在RtADBF中,

er。BF

tan37=

：.BF=DF^an310,

x

：.——+0.5+0.75x=13,

0.75

解得：x=6,

即CE=6.

（2）由题意可知：行进时间最多5小时,

.sin37=庶，cos37=亦，

•MC"得=1。，BDx耗=7.5

AC+CD+BD=10+0.5+7.5=18

，行进速度至少为18+5=3.6初小

答：他们的行进速度至少是3.6hM〃

【达标检测】

1.（2020•姑苏区一模）如图，在平行四边形A8CO中，点后在边。。上，DE：EC=3：1,连接AE交3。

于点R则尸的面积与△RAb的面积之比为（）

DEC

AB

A.3：4B.9：16C.9：1D.3：1

【分析】可证明根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.

【解析】•・•四边形为平行四边形，

：.DC//AB,

:./XDFEsABFA,

•:DE：EC=3：1,

：.DE：DC=3：4,

：.DE：AB=3：4,

SADFE：5ABM=9：16.

2.（2020•如皋市二模）如图，函数y=—］（xV0）的图象经过RtaAB。斜边。3的中点O,与直角边43

相交于C,连结若40=3,则AABO的周长为（）

C.6+2V10D.6+2V11

由直角三角形的性质可得8。=6,由平行线分线段成比例可得AB=

IDE,A0=20E,由勾股定理可求OA+48,即可求解.

【解析】如图，过点D作于E,

：.AD=BD=DO=3f

・・・5O=6,

*：DEI.AO,AB±AO,

J.AB//DE,

DODEEO1

BO~AB~AO~2

：.AB=2DE,A0=2E0,

1I

VSAD£O=*EXEO=W，

：.S^ABO=^ABXAO=2,

"."AB2+AO2=OB2=36,

：.(AB+AO)2=36+8,

：.AB+A0=2y/ll,

：./XABO的周长=4O+8O+A8=6+2“r,

故选：D.

3.(2020•宿迁二模)在平面直角坐标系中，已知A(2,4),P(1,0),B为)，轴上的动点，以A8为边构

造△ABC,使点C在x轴上，NBAC=90°,M为的中点，则PM的最小值为()

【分析】作轴，CE1AH,证明△A，8s4CE4,根据相似三角形的性质得到AE=28”,求出点

例的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出nW,根据二次函数的性质解答即可.

【解析】如图，过点A作轴于H,过点C作CEL4H于E,

则四边形CEHO是矩形，

：.OH=CE=4,

'：ZBAC^NAHB=NAEC=90°,

ZABH+ZHAB=90Q,ZHAB+ZEAC=90°,

ZABH=ZEAC

:.△AHBsXCEA,

AHBH2BH

—,即一=—

EC