数列（解析版）-2021年高考真题和模拟题数学（理）专项汇编（全国通用）

专题08数列

2021年高考真题

1.（2021.北京高考真题）｛%｝和也｝是两个等差数列，其中,（14左<5）为常值，4=288,%=96,

4=192,则4=（）

A.64B.128C.256D.512

【答案】B

【分析】由已知条件求出"的值，利用等差中项的性质可求得4的值.

【详解】由已知条件可得:吟，则么=处=我詈=64,因止匕4=卡=巨警=128.

b、b5q28822

故选：B.

2.（2021.北京高考真题）数列｛4｝是递增的整数数列，且q23,4+%+…+4=100,则n的最大值为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.

【详解】若要使〃尽可能的大，则可，递增幅度要尽可能小,

不妨设数列｛%｝是首项为3,公差为1的等差数列，其前〃项和为S“，

则a“=〃+2,S”=三*11=88<100,A2=U^xl2=102>100,

所以〃的最大值为11.

故选：C.

3.（2021•浙江高考真题）已知数列｛q｝满足G=1，。田='）~尸（〃€用）.记数列｛4,｝的前〃项和为5,,,

1+

则z)

\(

399

033444y5

-<^<<<C<<--<<

A.2B.002D.200

【答案】A

【分析】显然可知，Woo〉；，利用倒数法得到

--再放缩可得

4

1114册an+,n+1

")=<-7=+不，由累加法可得/N----T,进而由4+1=-―/=局部放缩可得---V-----,然后

M+IM2(«+1)-1+在“4”+3

6

利用累乘法求得4<最后根据裂项相消法即可得到Soo<3,从而得解.

(〃+1)(〃+2)

【详解】因为4=1，4川所以4>0,SIOO>1.

>4=册<%=〃+1

一("+i)2""i+点?-ii2〃+3"

〃+1

ann+3

6

由累乘法可得,4当且仅当〃=1时取等号,

(〃+1)(〃+2)

由裂项求和法得:

<3,即/<51Go<3.

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到向二的不等关系，再由累加法可求得％之言铲，由

题目条件可知要证Boo小于某数，从而通过局部放缩得到4,4+1的不等关系，改变不等式的方向得到

心证最后由裂项相消法求得几。<3.

4.（2021.全国高考真题（理））等比数列｛4｝的公比为q,前〃项和为S“，设甲：q>0,乙：⑸｝是递

增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】当4>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当｛Sn｝是递增数列时，必有。“>0成立即可

说明4>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.

【详解】由题，当数列为-2,-4,一8,…时，满足q>0,

但是｛"｝不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若｛SJ是递增数列，则必有为>0成立，若4>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0

成立，所以甲是乙的必要条件.

故选：B.

【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过

程.

5.（2021.全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,

规格为2（）dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmx12dm,2（）dmx6dm两种规格的图形，它

们的面积之和&=240dm2,对折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,2（）dmx3dm三种规格的

图形，它们的面积之和S2=180dm2,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；

如果对折〃次，那么dm2.

*=i

,15（3+〃）

【答案】5720——J■工

2"-4

【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.

【详解】（1）由对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，所以对

53

着三次的结果有：一*12,5x6,10x3；20x—,共4种不同规格（单位dm?）；

22

5533

故对折4次可得到如下规格：-xl2,-x6,5x3,10x2,20x-,共5种不同规格；

4224

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成

公比为g的等比数列，首项为120（dn?）,第〃次对折后的图形面积为i20x（g）,对于第n此对折后的

图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为〃+1种（证明从略），故得猜想5“=12。，：D,

T

八0J120x2120x3120x4,120（〃+1）

设5=毕=下-+丁~+-^+1+,

,,10120x2120x3120/7120（/?+1）

则一S=——：—+—厂-+…+—二+--——-,

22'222"T2"

两式作差得：

入=240+］20仕+!+-+-^7］_120（〃+1）

2U222'-'）2"

60

120(«+1)

=240+—

2"

2

120120（«1）120（〃+3）

二30"----；----------+--=JoU-----------,

2"~'2"2"

,,240（〃+3）15（〃+3）

因此，S=720-----——^=720——

2"2"4

故答案为：5；720」5（.：3）

2-4

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（I）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

⑵对于｛。也｝结构，其中｛《,｝是等差数列，也｝是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于｛a,,+“｝结构，利用分组求和法；

（4）对于［」一］结构，其中｛q｝是等差数列，公差为d（d/0）,则」一二乙1-1——匚］,利用裂

IA4+J44+1八4«„+|）

项相消法求和.

Q

6.(2021.浙江高考真题)已知数列｛4｝的前〃项和为S,，a,=--,且4s.=3S“-9.

(1)求数列｛为｝的通项：

(2)设数列｛4｝满足3£+(〃-4)勺=0,记也｝的前〃项和为T“，若Z,〈劝“对任意〃eN*恒成立，

求2的范围.

3

【答案】(1)a„=-3-(-)n；(2)-3<2<1.

【分析】(1)由4s=3S,-9,结合S“与a”的关系，分〃=1,〃22讨论，得到数列｛4｝为等比数列，

即可得出结论；

(2)由32+(〃-4)%=0结合⑴的结论，利用错位相减法求出7；,骞4九%对任意〃GN*恒成立，分

类讨论分离参数;I,转化为之与关于〃的函数的范围关系，即可求解.

【详解】(1)当〃=1时，，4(0!!+a2)—3a,—9,

当〃N2时，由4S,用=3S“一9①，

得4S„=3s“一|一9②，①一②得4an+l=3a,

a,=-红彳0,•.也=』，

16凡4

3..93

又一=:,二.｛4｝是首项为—二，公比为一的等比数列,

6444

.也=-浮尸7(卜

n—4-4)(%,

(2)由32+(〃-4)a“一0,得36,=(〃-

<3Y

所以？；=_3xq_2x(q)-lx^+°x[£]+••­+(n-4)J-1,

3/3丫<3Y(3Y

产二-3xQJ-2x(/—IxQJ+…+(〃-5).g+d).g.

两式相减得』7；=—3x3+(3]+f-1+f-1+…白〔(〃.4).仅广

44UJUJUJ

9

1-3

9165一（〃一4）图

=--1--

4if

3

-2+2_4f3

44(4r-(i小,=-4ir

所以q=-4n-

4>(3”恒成立,

由T<他得-4n-

n4

即“〃-4)+3〃20恒成立,

〃=4时不等式恒成立；

〃<4时，A<一一-=-3--------，得丸<1；

n-4n-4

〃>4时，2>一一-=-3一一—,得42一3；

n-4n-4

所以一3W/IW1.

【点睛】易错点点睛：（1）已知S“求不要忽略〃=1情况：（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负

零讨论，如（2）中4（n-4）+3〃20恒成立，要对〃一4=0,〃一4>0,〃一4<0讨论，还要注意??一4<0

时，分离参数不等式要变号.

7.（2021•全国高考真题）记S”是公差不为0的等差数列｛4｝的前"项和，若4=55，%%=S'.

（1）求数列｛4｝的通项公式勺；

（2）求使S„>a„成立的n的最小值.

【答案】（1）。”=2〃-6；（2）7.

【分析】（1）山题意首先求得见的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式;

（2）首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】（1）由等差数列的性质可得：$5=54,则：%=5。3，，。3=0，

设等差数列的公差为d,从而有：a2a4=（%—"）（%+4）=—/，

S4=4+生+q+q=(%—2^/)+(%—d)+q+(%—d)=-2d,

从而：—]2=—2d，由于公差不为零，故：d=2,

数列的通项公式为：3）d=2"-6.

（2）由数列的通项公式可得：4=2-6=-4,则：s“=〃x（—4）+当二»X2=〃2-6〃，

则不等式S“〉a“即：“2一5”>2“_6,整理可得：（〃-1）（〃-6）>0,

解得：〃<1或〃>6,又“为正整数，故〃的最小值为7.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数

列的有关公式并能灵活运用.

8.（2021•北京高考真题）定义（数列｛%｝：对实数p,满足：©«,+P>0,%+p=0；②

③4+“6｛品+a„+p,am+a„+p+\｝,m,n&N'.

（1）对于前4项2,-2,0,1的数列，可以是此数列吗？说明理由；

（2）若｛4｝是%数列，求生的值；

（3）是否存在p,使得存在“数列｛4｝,对弋nwN*,S“WSg?若存在，求出所有这样的p；若不存在，说

明理由.

【答案】（1）不可以是此数列；理由见解析；（2）%=1；（3）存在；P=2.

【分析】（1）由题意考查的的值即可说明数列不是与数列；

（2）由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定处的值；

（3）构造数列d=an+p,易知数列也｝是&的，结合（2）中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数P的

值.

【详解】（1）由性质③结合题意可知0=%e｛/+%+2,4+%+2+1｝=｛2,3｝,

矛盾，故前4项2,-2,0,1的数列，不可能是&数列.

（2）性质①q>0,a2=0,

由性质③q”+2e｛%,《”+1｝，因此的=4或%=4+1，。4=。或%=1，

若包=0，由性质②可知/<%，即q<0或q+l<0,矛盾;

若。4=1,。3=4+1，由。3<。4有4+1<1，矛盾•

因此只能是q=1，“3~a\'

所以q=；或q=0.

又因为。4=4+4或4=4+4+1

H1则

右4=7,%—aMc{4+q+0,q+4+0+11={2q,2q+1}={1,2},

不满足。2=。，舍去.

当。।=0,则｛a,,｝前四项为:0,0,0,1,

下面用纳法证明4,用=〃。=L2,3),。而旬="+1(〃eN)：

当〃=0时，经验证命题成立，假设当〃4女/N0)时命题成立，

当〃=k+1时：

若i=1,则旬&+1)+1=。4/+5=。巩4&+5-力，利用性质③：

{%+%+5-/，€27*,14./<4左+4}=伙,k+1},此时可得：%心5=%+1；

否则，若2%+5=%，取%=°可得：。5=。，

而由性质②可得：。5=4+。4e{l，2},与"5=0矛盾.

同理可得：

{%+a4H6-/JeN*,lWJW4Z+5}=伙,k+1},有%*+6=k+1：

{%+%+8J./eN*,2W/W44+6}=伙+1,左+2},有a4k+s=k+2.

aa

{j+4k+i-jI./G^V",1<j<4Z:+6)={/:+1),又因为。软+7<%*+8，有a®?=&+l.

即当〃=k+1时命题成立，证毕.

综上可得：4=0,%=^4x1+1=1・

⑶令勿=。〃+〃，由性质③可知:

V九〃eN*,0+“=a,“+,,+pe{a,“+〃+a“+p，4“+〃+a“+〃+l}={篇+4,0+d+1},

由于4=，+〃N0,包=々+P=。，々,1=%,1+〃<4"+P=b4n>

因此数列也}为R。数列.

由(2)可知:

若V/GM/M=〃一。(，=1,2,3),。4“+4=〃+1一”；

=

S|i—百0=q]=%x2+3=2-。20,S9—510=—«)0=—a4x2+2—(2—p)2°，

因此P=2,此时…,q（）<0,ay>0（j>ll）,满足题意.

【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义’'主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、

新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新

定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”,

掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

4+1,〃为奇数,

9.（2021.全国高考真题）已知数列｛4｝满足q=1,a„+l

。,+2,〃为偶数.

⑴记勿=a2n,写出白，b2,并求数列出｝的通项公式;

（2）求｛《,｝的前20项和.

【答案】（D4=2也=5；（2）300.

【分析】（1）根据题设中的递推关系可得年”=2+3,从而可求｛%｝的通项.

⑵根据题设中的递推关系可得｛4｝的前20项和为S20可化为520=2伯+4+…+仇+伪。）一1。，利用

（1）的结果可求§2。.

【详解】(1)由题设可得仿=。2=q+1=2,d~a4=。3+1=。2+2+1=5

乂a2k+2~a2k+l+1>a2k+\~42*+2，(女€N)

故%1+2=+3，即包+1=2+3,即。+1一2=3

所以也｝为等差数列，故"=2+(〃-1)X3=3"-1.

(2)设｛4｝的前20项和为$20,则S20=4+。2+。3-1---i~a2O1

因为q=a2-i,a3=a4=a20-l,

所以S20=2(/+%+…+《8-10

=2伍+仇+…+%+%>)T0=2x[10x2+—^—x3j—10=300.

【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项

的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.

10.(2021.全国高考真题(理))已知数列｛4｝的各项均为正数，记S,,为｛a,,｝的前〃项和，从下面①②③

中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛%｝是等差数列：②数列｛后｝是等差数列；③出=3a,.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【分析】选①②作条件证明③时，可设出底，结合S”的关系求出％,利用｛4,｝是等差数列可证

%=3q:

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出疯，结合等差数列定义可证；

选②③作条件证明①时，设出底=+。，结合a”,S„的关系求出an，根据g=3%可求b，然后可证｛a.｝

是等差数列.

【详解】选①②作条件证明③：

设#7=劭+仇口>0),则5.=(即+人)2,

当”=1时，q=£=(〃+/?)-；

2

当〃22时，an-Sn—Sn_t=(tzn+Z?)—(an—=a(2an—a+2b)；

因为｛4｝也是等差数列，所以(a+Z7)2=a(2a—a+2/?),解得b=0；

所以所以生=3。1.

选①③作条件证明②：

因为%=3%,｛%｝是等差数列，

所以公差d=%-4=2弓,

2

所以S”=叫+1)d=na],即#7=JZ7，

因为5/S”+i-Js“=(〃+1)-，

所以｛、区｝是等差数列•

选②③作条件证明①：

设疯=〃〃+伏a>0),则S,=(an+b^,

当〃=i时，q=y=(〃+/?广；

当〃之2时，an-Sn-571_j=(6ZH+b^~-^an-a+by=a(2an—a+2b)；

因为4=3%,所以a(3a+2b)=3(a+〃y,解得6=0或6=，；

当。=0时，a,=a2,a„=a2(2n-l),当“22时，4-。,T=2/满足等差数列的定义，此时｛为｝为等差

数列：

当b=—"时，Js^^an+h=an--a,卮=一旦<0不合题意，舍去.

综上可知｛4｝为等差数列.

【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等

差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.

11.(2021•全国高考真题(理))记Sn为数列｛4｝的前〃项和"“为数列⑸｝的前〃项积，已知不+丁=2.

(1)证明：数列｛4｝是等差数列；

(2)求｛4｝的通项公式.

[3,

—,n-l

2

【答案】(1)证明见解析；(2)凡=，]

--1~n^-2

〃("+1)

21c02仇3

【分析】⑴由已知丁+丁=2得S“=L^”也工0,取〃=1,得伪=匕由题意得

S,b“2bn-\2

2bl2bl2h2b“+ihn+y(、

不士・…hr=>，消积得到项的递推关系,1,=胃L，进而证明数列佃｝是等差数列；

2b、一l2b,-12b,-1o2Z?_,-1b„<”

（2）由（1）可得么的表达式，由此得到S“的表达式,然后利用和与项的关系求得a“=J,

--7~n^-2

n\n+\）

2।2bj

【详解】⑴由已知不+[=2得S“=诟、,且2wO,“了；，

取〃=1,由E=仇得伉=；,

由于a为数列｛s.｝的前〃项积，

■■^^=hn

2^-12b2-l2b「1

2乙2A2hu

所以---—•-------—=b.

'2^,-12瓦-12bz-1…

所以产出__b〃+i

2鼠「1b“

由于2+1r0

211

所以.1即2+i_"=5■，其中〃eN"

2%-1一b“‘

41

所以数列｛a｝是以々=募为首项，以“=彳为公差等差数列；

q1

(2)山(1)可得，数列｛2｝是以为首项，以4=彳为公差的等差数列,

22

>3/\I

/.b=—+(n-l1)x—=1+—,

〃n2v722

s=2b.=2+〃

"2bn-\1+〃’

3

当〃=1时，a.=S,=—,

2

2+〃1+n1

当n>2吐a=Sc„-Sc“_|=—----------=一一1一，显然对于»=1不成立，

n1+nnn\n+\)

3,〃=i

2

1

,n>2

n(n+l)

【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前"项和与项的关系，数列的前"项积与项的关系，其中

2b,2b,2b,lb,2b,2bn+.,2h+,bn+.

由-hr…LT=2，得到力二七hr…”〔=，进而得到J[是关键

24-12b2-12bn-12仇一12与一12bn+t-12Z?；J+I-1bn

一步；要熟练掌握前〃项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到

和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.

急2021年高考模拟试题

1.（2021•山西高三三模（理））《九章算术》卷七“盈不足''有这样一段话：“今有良马与驾马发长安至齐.齐去

长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驾马初日行九十七里，日减半里意思是：今有良马与

鸳马从长安出发到齐国.齐国与长安相距3000里.良马第一日走193里，以后逐日增加13里.弩马第一日走

97里，以后逐日减少0.5里.则8天后两马之间的距离为（）

A.1055里B.1146里C.1510里D.1692里

【答案】B

【分析】山题意，良马与弩马日行里数分别构成等差数列，由等差数列通项公式可得.

【详解】良马H行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驾马II行里数则构成以97为首项，-0.5

为公差的等差数列，

8x7

则两马同时出发后第8日，良马日行里数193x8+——xl3=1908（里），

2

8x7

而鸳马日行里数97x8+;一x（—0.5）=762（里），

所以良马较弩马日行里数多1908—762=1146（里）.

故选：B.

2.（2021•全国高三其他模拟（理））数列｛&｝满足册+“=4“+%5,〃GN*），4=1，

。20+“22+”24+…+。40=（）

A.300B.330C.630D.600

【答案】B

[分析】根据给定条件判断数列｛4｝是等差数列，再借助等差数列的前n项和公式求解即得.

【详解】数列卜满足4”+”=4“+4,（"?,〃@N*），则当加=1时，则

于是得数列｛4｝是首项为1,公差为1的等差数列，a„=al+（n-l）d=\+n-l=n,

.(20+40),11.

从而有。20+。22+%4+■—I"=20+22+24+—F40=---------------=330，

aa

所以。20+22+24---。40=330.

故选：B

3.(2021.合肥市第六中学高三其他模拟(理))若等比数列｛%｝满足4+4=1，g+%=8,则%=()

6464「3232

A.—B.---C.-D.---

3333

【答案】A

【分析】设等比数列｛6｝的公比为4,根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.

CL.+Clc3c,.1

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,则」一=q=8,所以4=2,又4+4=4。+4)=1，4=—，

+。23

164

所以%=4X夕6=§X2‘=y

故选：A.

4.(2021•全国高三其他模拟(理))已知数列｛4｝的前〃项和为S,,4=2,即,向+5用=l(〃eN*),则

S=()

S2+S4+Ss+l6

3979-41

A.—B.—C.—D.5

8168

【答案】B

【分析】根据an+]=Sll+t-Sn并结合已知条件得(〃+1)5用一=1,故数列｛〃S“｝为等差数列，进而得

S„=l+-,再求和即可得答案.

【详解】Vna„+t+Sn+l=\,

"(S"+i-S")+S"+i=1,(n+l)5n+1-nSlt-1.

...数列卜s｝为等差数列,公差为1.

XVa,=2,故首项为2,

/.nSn=n+l,：.Sn=1+—,

故选：B

5.(2021•四川绵阳市•广安中学高三其他模拟(理))已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，%=5,=31,

若S“=198,则〃=()

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【分析】利用等差数列求和公式及等差数列性质求得

【详解】S“=](q+4)=](%+%)198=5(5+31)."=11，

故选：B.

6.(2021.四川遂宁市.高三三模(理))在递增的数列｛%｝中，=a,q+2,若

%+%,=130,g“"T=256,且前加项和S,“=170,则”?=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根据题意分析出数列｛4｝为等比数列，再结合等比数列的性质即可求解结论.

【详解】因为在递增的数列｛。#中，43=4,4+2,所以数列｛4｝是单调递增的等比数列，

因为。4-1=256,所以％=256,

a.+a„-130a,=2

所以《i=256,解得或，

a=128-

所以S=矶i)=170,即1一’=85,-------①

\-qi-q

又因为内=128,即/T=64,-----------②

①②联立，解得q=4,m=4.

故选：B.

7.(2021・上海民办南模中学高三三模)已知递增正整数数列｛4｝满足a.+2=G\(〃eN*),则下列结论中

正确的有()

(1)%、%、。3可能成等差数列；

(2)《、。2、。3可能成等比数歹小

(3)｛《,｝中任意三项不可能成等比数列;

(4)当123时,%+2>4+1%恒成立.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】首先根据题意得到数列间的关系an>a,-+2,不放假设>2,a2>4,a3>6可判断(1)；假

设《、出、的是等比数列退出矛盾可判断(2)，进而可判断(3)；同(2)一样证明｛4｝中任意三项不可能

成等比数列；当时，4+2=。：：7"">£】>4用%可判断(4)：

【详解】因为*=1

0+1Q“X(Q,_1)X・・・X2X]

因为｛4｝是递增正整数数列，所以可之4-+1,

当a“=an,,+1时,an+l=C：r=C：=an,不满足题意；

所以4,N%T+2,若q=l,则4=。2,不满足题意；

所以4>2,a2>4,a3>6,

不妨取4=2,4=4，q=6，此时4、的、a3成等差数列，故(1)正确；

若9、和、的成等比数列，则必"。，

_((1_tz2x(«2-1)x(a2-2)x•••x(a2-+1)_x(a2-1)x(a2-2)x•--x(a2-<3,+1)

32

0qx(q-l)x…x2xl«2x(tz,-l)x---x2xl

_(%T)x4-2)x…x(%-q+1)_

a2~(q-l)x…x2cxil—3，T一/1，

所以七=。3-1即％=4+1与％*4-1+2矛盾，故(2)错误;

同理假设%T，a“,%+i成等比数列则为=an_xan+x,

(。“1)>&-2)*..x(a“-a,—+D

所以见=

(a,iT)x…x2xlCW

与%+iN凡+2矛盾故(3)正确;

"1〃23时，。〃+2=0之J」""+|之+2

限=%=C「〉Ct,=%'（尸-1）>a“+A，

故（4）正确；

故选：D

【点睛】本题主要考有数列与组合数相结合的综合题，组合数公式C："=F----打，这是正确计算的关

键，其次也要注意式子的化简与放缩等.

8.（2021•安徽池州市•池州一中高三其他模拟（理））已知数列｛q｝为等比数列，给出下列结论：

①的8=a2al；

②若4=4,4=16,则g=±8；

③当%>0时，4+%之2as；

④当/<0时，+>a4+ab.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②③B.②④C.①④D.①③

【答案】D

［分析］根据等比数列的性质可判断①；由%=«2^2=4/可判断②；由%+%—2%=49+如—2）

结合均值不等式可判断③；当q=l时，④不成立.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4

61

对于①.则%的=%•a@=a：qi,a2a7=%qxa［q=ajq

所以=a2a7，故①正确.

对于②.由题意4==4/>0,所以%=±8不正确，所以②不正确.

-

对于③.2+%—2a5=-j+a§q-24z5/~T+q一—22/2I~~z-xq~—2I0

'q-旧）A）

当且仅当/=i时，取得等号.故③正确

对于④.当4=1时，%=%=%=%，则/+%=%+《,，故④不正确

故选：D

9.（2021•正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且2s“=3〃2+17〃，若

hn=«„•—,则数列也,｝的最大值为（）

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

【答案】D

S],〃=1（inVh,

【分析】由4=〈二。，先求出凡，从而得出6=（3〃+7〉—,由n谷+讨论出其单调性，从

而得出答案.

【详解】当〃=1时，4=E=10；

2

由2s“=31+17〃，当〃22时，2Sn_｝=3（n-l）+17（n-l）,

两式相减，可得2%=3〃2+17〃—3（〃-1）2—17（〃-1）=6〃+14,

解得4=3〃+7,当〃=1时，也符合该式，故=3〃+7.

10）

所以％=a.（3〃+7>—

\117

b13〃+1010123..

由强■=再一7x77＞l-解得〃＜一；又〃eN，所以〃47,所以白＜仇＜…＜伪＜勾，当〃之8时,

b

-V±L＜I,故々〉》9＞404"，因此最大项为4,

2

故选：D.

10.（2021♦山西高三三模（理））已知等比数列｛为｝的前〃项和为S“，若%＞0,4+%=：，A7,

贝ija2+a4=.

【答案】7

4

a=2

【分析】根据题意列出方程组，然后求得＜｝进而结合通项公式即可求出结果.

【详解】因为%>0,则q>0.

25

q+qq=耳q=2

5s3r

又由4+%=/，：=7，得《2，解得，1，

q+aiq+aiq~_q=一

2—/2

%q

1r1Y5

则+/="a+=2x—F2x—=一.

2\2y4

故答案为：—.

4

11.（2021•河南高三其他模拟（理））已知数列｛“〃｝的前〃项和为S〃，若S〃=2〃x-2,则

。3=•

【答案】8

［分析］根据数列前n项和的意义即可作答.

【详解】数列｛叫的前〃项和为S“，且S“=2"+i—2,

则4=S,_S2=（24-2）-（23_2）=8.

故答案为：8.

12.（2021•陕西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列｛%｝满足q=5,且4,4，a5成等比数歹lJ-

（l）求｛4｝的通项公式；

,11，、

（2）设勿=还-------，求数列｛d｝的前〃项和小

Janan+\

【答案】（1）=2/7-1,"CN*；（2）7；,=—i-.

4〃+22-3

【分析】（1）根据题意设等差数列的公差为d可得4+2。=5且有2卬-1=0,联立即可得解;

,1]_J_」1

(2)^,=—(2n-l)(2n+l)~3"~22n-l药），利用等比数列求和公式以及裂项相消法即可得

解.

【详解】（1）设等差数列的公差为。,

根据。3=5有6+2〃=5,

山4，“2，%成等比数列可得（％+d）2=q（q+4d），

240-屋=0,

山4H0,所以2q—d=0,

解得q=1,d=2,

所以4；=2〃-1,neN*：

,11111111、

⑵由⑴可得〃=三一遍二=三一—高访二1一5（罚一五“，

l(i-l)

]

33“L1-------)——(1-----)—(1---------)-----------------.

〃〃・〃

1--23352/2-12+12322/1+14/1+223

3

+

13.（2021•云南昆明市•昆明一中高三其他模拟（理））设数列｛q｝满足q=1,%=4,an+2-an+i=T'.

（1）求数列｛可｝的通项公式;

(2)bn—log2a,+log,ay-----log,an+],数列，丁，的前项和S“，证明：S<一.

叩9

1(〃=1)

【答案】(1)。〃=、小；⑵证明见解析・

2(〃22)

【详解】解：(1)因为。〃=[(〃〃-)+(〃〃_1—生々)"1-----1"(〃3-。2)]+%(〃23),

所以q二[2〃一】+2〃—2+・.・+22]+4=2〃(〃三3),

当〃=2时，4=4,满足q=2",当〃=1时，4=1,不满足q=2",

所以，数列｛«„｝的通项公式为4=j2>(〃>2),

(II)囚为bn=log?a?+log2"3+••,+log”Q〃+]=2+3+・,・+(〃+l)=----------»

122fl1A

所以，~T=~~i----N=Z----------o，

bn〃(〃+3)3\n〃+3J

所以，sn=|

111所以s.<9

3L23〃+1〃+2〃+3」3L6〃+1〃+2〃+3y

14.（2021•安徽马鞍山市•高三二模（理））已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,%=5,且

=4S“-

（1）求数列｛为｝的通项公式；

11,

（2）记数列｛------>的前w项和为7；.若v〃eN*，7；〈—苏+2%（加为奇数），求加的值.

mJ

【答案】(D4=