新课标人教版济南市市中区九年级上期中数学试卷含答案解析初三数学期中试题

2015-2016学年山东省济南市市中区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）

1.若？f,则四的值为（）

X4X

4R7

A.1B.-C.-D.-

744

2.若反比例函数y』（七0）的图象经过点P（-2,3）,则该函数的图象不经过的点是

x***

（）

A.（3,-2）B.（1,-6）C.（-1,6）D.（-1,-6）

3.2cos60。的值等于（）

A.1B.&C.V3D-2

4.如图，一个几何体是由两个小正方体和一个圆锥构成，其主视图是（）

5.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：眄,堤坝高BC=50m,则迎水坡面AB

的长度是（）

9

6.已知反比例函数丫=-W，下列结论不正确的是（）

X

A.图象必经过点（-1,2）B.y随x的增大而增大

C.图象分布在第二、四象限内D.若x>l,则-2<yV（）

7.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2,1）,则tana的值是（)

8.如图，在团ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F,贝EF：FC等于

kn

10.如图，正比例函数y1=k]X和反比例函数丫2一工的图象交于A(-1,2)、B(1,-2)两

11.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心，将

线段CD放大得到线段AB,若点B坐标为(5,0),则点A的坐标为()

(3,5)D.(3,6)

12.如图，已知〃人字梯〃的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档

的正中间处有一条60cm长的绑绳EF,tana=-|,则"人字梯"的顶端离地面的高度AD是（）

A

A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm

14.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,NACB的角平分线分别交AB、

BD于M、N两点.若AM=2,则线段ON的长为（)

15.将一副三角尺(在RtZViBC中，ZACB=90",ZB=60°,在Rt^EDF中，NEDF=9()°,

ZE=45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P,DF经过点C,将4EDF绕点D

顺时针方向旋转a(0o<a<60°),DE，交AC于点M,DF交BC于点N,则震的值为()

二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)

16.己知a为锐角，且sin(a-20°)普,则a等于'

17."今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而

见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD,东边城墙AB长9里，南

边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB,AD的中点，EG±AB,FH_LAD,

EG=15里，HG经过A点，则FH=__________里.

H

18.如图，菱形OABC的顶点。是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6

和4,反比例函数尸K(x<0)的图象经过点C,则k的值为

X

19.网格中的每个小正方形的边长都是1,4ABC每个顶点都在网格的交点处，则

sinA=.

20.如图，双曲线产上(x>0)经过点A(1,6)、点B(2,n),点P的坐标为(t,0),

x

且-14t<3,则^PAB的最大面积为.

21.如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M],M2,M3，…，Mn分别

为边B]B2,B2B3,B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1GM1的面积为S],Z^B2c2M2的面积为

S2，…△BnVnMn的面积为Sn，则S0=.(用含n的式子表示)

三、解答题(共7小题，满分57分)

22.(1)cos245°+tan30°sin60°；

(2)如图，小方在清明假期中到郊外放风筝，风筝飞到C处时的线长BC为20米，此时小方

正好站在A处，并测得/CBD=60。，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高

度.(后1.732,1.414,结果精确到01米)

23.将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/

千米）之间是反比例函数关系S=K（k是常数，kxO）.己知某轿车油箱注满油后，以平均耗

a

油量为每千米耗油01升的速度行驶，可行驶700千米.

（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）；

（2）当平均耗油量为（）.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？

24.已知：如图，在aABC中，NC=90。，点D、E分别在边AB、AC上，DE〃BC,DE=3,

BC=9

（i）求的值；

25.如图是函数产卫与函数y=@在第一象限内的图象，点P是y=@的图象上一动点，PA_Lx轴

XXX

于点A,交丫二一的图象于点C,PB_Ly轴于点B,交y二一的图象于点D.

xx

（1）求证：D是BP的中点；

26.如图，四边形ABCD中，AC平分NDAB,ZADC=ZACB=90°,E为AB的中点,

（1）求证：AC2=AB»AD；

（2）求证：CE〃AD；

AC

（3）若AD=4,AB=6,求失的值.

D

27.如图1,点A(8,1)、B(n,8)都在反比例函数产三(x>0)的图象上，过点A作

X

AC_Lx轴于C,过点B作BD，y轴于D.

(1)求m的值和直线AB的函数关系式；

(2)动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD-DB向B点运动，同时动

点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到D

时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒.

①设AORQ的面积为S,写出S与t的函数关系式；

②如图2,当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△OPQ,是

否存在某时刻t,使得点0,恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求0,的坐标和t的值；若

不存在，请说明理由.

28.如图，等腰Rt^ABC的直角边长为人巧，点O为斜边AB的中点，点P为AB上任意一

点，连接PC,以PC为直角边作等腰Rtz^PCD,连接BD.

七、工PCco

(1)求证：CD^CB：

(2)请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由.

(3)当点P在线段AB上运动时，设AP=x,Z\PBD的面积为S,求S与x之间的函数关系

式.

2015-2016学年山东省济南市市中区九年级(上)期中数

学试卷

一、选择题(共15小题，每小题3分，满分45分)

1若衿，则号的值为()

【考点】比例的性质.

【专题】计算题.

【分析】根据合分比性质求解.

【解答】解：•••基,

x4

.x+y=4+3=7

•fr-4-

故选D.

【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；

合分比性质；等比性质.

2.若反比例函数y&(H0)的图象经过点P(-2,3),则该函数的图象不经过的点是

x,••

()

A.(3,-2)B.(1,-6)C.(-1,6)D.(-1,-6)

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】先把P(-2,3)代入反比例函数的解析式求出k=-6,再把所给点的横纵坐标相

乘，结果不是-6的，该函数的图象就不经过此点.

【解答】解：••,反比例函数y』(修())的图象经过点P(-2,3),

X

.*.k=-2x3=-6,

只需把各点横纵坐标相乘，不是-6的，该函数的图象就不经过此点，

四个选项中只有D不符合.

故选：D.

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标

的积应等于比例系数.

3.2cos60。的值等于()

A.1B.72C.V3D.2

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】根据60。角的余弦值等于专进行计算即可得解.

【解答】解：2cos60°=2*3=1.

故选A.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30。、45。、60。角的三角函数值是解题的关

键.

4.如图，一个几何体是由两个小正方体和一个圆锥构成，其主视图是（）

【考点】简单组合体的三视图.

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

【解答】解：从正面看第一层两个小正方形，第二层右边一个三角形，

故选：B.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，注意圆锥的主视图

是三角形.

5.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：V3>堤坝高BC=50m,则迎水坡面AB

D.5()5/3111

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【分析】根据题意可得好学，把BC=50m,代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出

Av3

AB的长即可.

【解答】解：：堤坝横断而迎水坡AB的坡比是1：a,

.BC_V3

'•----，

AC3

VBC=50m,

AAC=5(h/3m,

•1-AB=7A/+CB匚10°m，

故选：A.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度

h和水平宽度1的比.

9

6.己知反比例函数丫=-上,下列结论不正确的是（）

X

A.图象必经过点（-1,2）B.y随x的增大而增大

C.图象分布在第二、四象限内D.若x>l,则-2<y<0

【考点】反比例函数的性质.

【分析】根据反比例函数y=X的性质，当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的

增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大，即可作出判

断.

【解答】解：A、（-L2）满足函数的解析式，则图象必经过点（-1,2）；

B、在每个象限内y随x的增大而增大，在自变量取值范围内不成立，则命题错误；

C、命题正确；

D、命题正确.

故选B.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数尸上（kxO）,（1）k>0,反比例函

x

数图象在一、三象限；（2）k<0,反比例函数图象在第二、四象限内.

7.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2,1）,贝Ijtana的值是（)

A.近B.V5C.士D.2

5vv2

【考点】解直角三角形：坐标与图形性质.

【分析】设（2,1）点是B,作BCJ_x轴于点C,根据三角函数的定义即可求解.

【解答】解：设（2,1）点是B,作BC，x轴于点C.

则OC=2,BC=1,

皿

则1•1ana五BC1

故选C.

【点评】本题考查了三角函数的定义，理解正切函数的定义是关键.

8.如图，在自ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点E则EF：FC等于

（）

【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质.

【专题】几何图形问题.

【分析】根据题意得出△DEFS^BCF,进而得出黑穹，利用点E是边AD的中点得出答案

BCFC

即可.

【解答】解：,yABCD,故AD〃BC,

/.△DEF^ABCF,

.DE_EF

"BC^C'

•.,点E是边AD的中点，

.•.AE=DE」AD,

2

.EF1

・・—=一.

FC2

故选：D.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出

△DEF^ABCF是解题关键.

9.当aw()时，函数y=ax+l与函数丫=且在同一坐标系中的图象可能是(

x

A.

【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象.

【分析】分a>0和a<0两种情况讨论,分析出两函数图象所在象限,再在四个选项中找到正

确图象.

【解答】解：当a>0时，y=ax+l过一、二、三象限，y二在一、三象限；

X

当aVO时，y=ax+l过一、二、四象限，y=3在二、四象限；

x

故选A.

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前

提下图象能共存.

kn

10.如图，正比例函数ypkix和反比例函数丫21的图象交于A(-1,2)、B(1,-2)两

C.-l<x<0或()Vx<lD.-lVx<0或x>l

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】压轴题；数形结合.

【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可.

【解答】解：由图象可得，-l<x<0或x>l时，yi<y2.

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键.

11.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心，将

线段CD放大得到线段AB,若点B坐标为(5,0),则点A的坐标为()

【考点】位似变换；坐标与图形性质.

【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A点坐标.

【解答】解：.••以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB,

•••B点与D点是对应点，则位似比为：5：2,

,/C(1,2),

•••点A的坐标为:(2.5,5)

故选：B.

【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键.

12.如图，己知"人字梯"的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档

的正中间处有一条60cm长的绑绳EF,tana=^,则〃人字梯〃的顶端离地面的高度AD是()

A

A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm

【考点】解直角三角形的应用.

【分花】根据题意可知：△AEOS^ABD,从而可求得BD的长，然后根据锐角三角函数的定

义可求得AD的长.

【解答】解：如图：

A

根据题意可知：AAFO^AACD,OF=^EF=30cm

•.•OFzzAF,

DCAC

•.•30—■2.5

DC6

•*.CD=72cm,

..5

・tana=-

2

.AD5

••—■

DC2

.♦.AD、X72=180cm.

故选：B.

【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数

学问题加以计算.

13.如图，在x轴的上方，直角NBOA绕原点O按顺时针方向旋转，若NBOA的两边分别与

【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】压轴题.

【分析】如图，作辅助线；首先证明△BOMSaOAN,得到第0；设B(-m,工)，A

ONANir

(n,—),得到BM=1,AN=—,OM=m,ON=n,进而得至I]mn=2,mn=\历，此为解决问题

nirninn

的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan/OAB^为定值，即可解决问题.

【解答】解：如图，分别过点A、B作AN，x轴、BM，x轴；

,/ZAOB=90°,

,ZBOM+ZAON=ZAON+ZOAN=90°,

,NBOM=NOAN,

VZBMO=ZANO=90°,

/.△BOM^AOAN,

.BM-OM

->ON^AN；

19

设B(-m,-),A(n,一),

irn

19

则BM=-,AN=—,OM=m,ON=n,

irn

mn=^/2;

inn

・.•ZAOB=90°,

***tanNO；

UA

VABOM^AOAN,

*,0AONmn2

由①②知tan/OAB^g为定值，

...NOAB的大小不变，

【点评】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应

用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判

定等知识点来分析、判断、推理或解答.

14.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,NACB的角平分线分别交AB、

BD于M、N两点.若AM=2,则线段ON的长为（）

【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的性质.

【专题】计算题.

【分析】作MHJ_AC于H,如图，根据正方形的性质得/MAH=45。，则△AMH为等腰直角

三角形，所以AH=MH=*?AM=^,再根据角平分线性质得BM=MH=&,则AB=2+J],于

是利用正方形的性质得到AC=&AB=2扬2

OC=^AC=V^1-所以CH=AC-AH=2+J],然后证明△CONsaCHM,再利用相似比可计

算出ON的长.

【解答】解：作MH_LAC于H,如图，

:四边形ABCD为正方形，

.•.ZMAH=45",

/.△AMH为等腰直角三角形，

.,.AH=MH=^AM=^x2=J?>

22v

：CM平分/ACB,

.,.BM=MH=V2.

/.AB=2-H/2»

.,.AC=V2AB=V2（2+V2）=2扬2,

：.OC=^C=>^1,CH=AC-AH=2A/2+2-A/^=2+&,

VBD1AC,

，ON〃MH,

.,.△CON^ACHM,

.ON_OCHnON2/2+I

.而由即7F国？

.,.ON=1,

故选C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中

己有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法

是通过作平行线构造相似三角形.也考查了角平分线的性质和正方形的性质.

15.将一副三角尺（在RtZ\ABC中,ZACB=90°,NB=60。，在Rt/XEDF中，ZEDF=90°,

/E=45。）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P,DF经过点C,将^EDF绕点D

顺时针方向旋转a（0。<01<60。），DE交AC于点M,DF交BC于点N,则音的值为（）

【专题】压轴题.

【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB,则/ACD=/A=3()。，

ZBCD=ZB=60°,由于/EDF=90。，可利用互余得/CPD=60。，再根据旋转的性质得

ZPDM=ZCDN=a,于是可判断△PDMsaCDN,得到普=错，然后在RtZ^PCD中利用正切

的定义得到tan/PCD=tan3(T=黑，于是可得号=(.

【解答】解：.••点D为斜边AB的中点，

.*.CD=AD=DB,

/.ZACD=ZA=30°,ZBCD=ZB=60°,

,/NEDF=90°,

，NCPD=6()。，

ZMPD=ZNCD,

「△EDF绕点D顺时针方向旋转a(0"<a<60<,),

/.ZPDM=ZCDN=a,

/.△PDM^ACDN,

•PM_PD

''ciTcD'

pn

在RtAPCD中，•.・tanZPCD=tan30°=-^,

_LU

,PM2八。y]~3

.；=tan30——.

CN3

故选c.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段

的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了相似三角形的判定与性质.

二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)

16.已知a为锐角，且sin(a-20°)=竿，则a等于趾。.

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】根据疝16()。二反解答.

2

【解答】解：为锐角，sin(a-20。)正,sin60°=^,

22

：.a-20°=60°,

，a=80°.

故答案为80.

【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特特殊角的三角函数值即可.

17."今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而

见木？"这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD,东边城墙AB长9里，南

边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB,AD的中点，EG±AB,FH±AD,

EG=15里，HG经过A点，则FH=1.05里.

【考点】相似三角形的应用.

【专题】几何图形问题.

【分析】首先根据题意得到△GEAS^AFH,然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例

式求得答案即可.

【解答】解：EG_LAB,FH±AD,HG经过A点，

，FA〃EG,EA〃FH,

/.ZHFA=ZAEG=90",ZFHA=ZEAG,

.'.△GEAS/XAFH,

.EGEA

•；AB=9里，DA=7里,EG=15里,

，FA=3.5里，EA=4.5里，

.15_4.5

••3.5二FH'

解得:FH=1.05里.

故答案为：1.05.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度

不大.

18.如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6

和4,反比例函数尸K(x<0)的图象经过点C,则k的值为二d

x

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质.

【分析】先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k

的值.

【解答】解：•••菱形的两条对角线的长分别是6和4,

/.C(-3,2),

•••点C在反比例函数y=K的图象上,

X

解得k=-6.

故答案为：-6.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定

满足此函数的解析式.

3

19.网格中的每个小正方形的边长都是1,Z^ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=1.

5

【考点】锐角三角函数的定义；三角形的面积：勾股定理.

【分析】根据各边长得知aABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE,根据面积相

等求出CE,根据正弦是角的对边比斜边，可得答案.

【解答】解：如图，作AD^BC于D,CELAB于E,

由勾股定理得AB=AC=2代，BC=2a,AD=3&,

可以得知aABC是等腰三角形，

由面积相等可得，-^BC»AD=-^AB»CE,

24遂避

即CE=-

5/35

sinA#=

AC■2泥5

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边,

余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

20.如图，双曲线产上(x>0)经过点A(1,6)、点B(2,n),点P的坐标为(t,0),

x

且-IWt<3,则^PAB的最大面积为6

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【分析】根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，过B作BD，y轴，

延长AB交x轴于C,连接AD并延长交x轴于P|,根据待定系数法求得直线AB和直线AD

的解析式，即可求得交点C和P的坐标，由SApAB=SApAc-SAPBC=^(3-t)x6--i(3-1)

x3二|(3-t)=-|t+1,根据一次函数的性质即可求得最大值.

【解答】解：把A(1,6)代入反比例解析式得：k=6,

,反比例解析式为y=2

x

把B(2,n)代入反比例解析式得：n=3,即B(2,3),

过B作BDJ_y轴，延长AB交x轴于C,连接AD并延长交x轴于P|,

由A(1,6),B(2,3),D(0,3),

直线AB为y=-3x+9,直线AD为y=3x+3,

令y=0,解得x=3和x=-1,

/.C(3,0),P,(-1,0),

•.•点P的坐标为(t,0),且-1RV3,

；.PC=3-t,

"•"SAPAB=SAPAC-SAPBC=_^(3-t)x6-(3-t)x3=-|(3-t)=--|t

•••当t=-1时，SaPAB的值最大，最大值=-(-1)+^-6.

故答案为6.

C

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，三角形面积

等，得出面积的一次函数是解题的关键.

21.如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点Mi，M2,M3，…，Mn分别

为边BJB2,B2B3,B3B4...BnBe的中点，的面积为Si，AB2c2M2的面积为

S2，”.△BnVnMn的面积为Sn，则S-g(2nl=1)=(用含n的式子表示)

BiMiBiMiBsM3BAMABS

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质

【专题】规律型.

【分析】由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M|,M2,M3,...Mn分别

为边B|B2,B2B3,B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B]C|Mn的面积，又由

BnCn〃B|C|,即可得△BI1CnMllsZ\B|C|Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平

方，求得答案.

【解答】解：个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M|,M2,M3,...Mn分

别为边B1B2,B2B3,B3B4,...»BnBn+1的中点,

I133

ABX

SICIM2《B1C1xB1M2=—X1x-^=—,

11trtr

=_X

SAB1C1M3^BIC|XB|M3=—xlx—=-^,

c1177

SABlClM4=^xBiC|xB|M4=^xlx-g=—,

ABICI

SMn=*xB|C|XB|Mn=/1x2^jL=2nJL

•；BnCn〃BiCi，

.♦.△BnCnMnS/XBCMn，

1

2

•',SABnCnMn：SA|ciMn=

B2n-1

2

2n-l

即S：

n4—(2n-l)2

4(2n-1),

故答案为：TT^TF-

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式.此

题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键.

三、解答题（共7小题，满分57分）

22.（1）cos2450+tan30<>sin60o；

（2）如图，小方在清明假期中到郊外放风筝，风筝飞到C处时的线长BC为20米，此时小方

正好站在A处，并测得NCBD=60。，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高

度.（小1.732,1历生1.414,结果精确到（）.1米）

【考点】解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值.

【分析】(1)根据特殊角的锐角三角函数值计算即可；

(2)根据直角三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出CD的长，根据CE=CD+DE求

出答案即可.

【解答】解：(1)原式g縻xg,

乙J乙

=i；

(2)解：VZCDB=90°,NCBD=60。，

，ZC=30°,

.,.BD=-^BC=10米，

，CD=1()V^米，_

，CE=CD+DE=(IOVS+I.5)=18.8米，

答：此时风筝离地面的高度CE约为18.8米.

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解题关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画

出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

23.将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/

千米)之间是反比例函数关系S=X(k是常数，kx()).已知某轿车油箱注满油后，以平均耗

a

油量为每千米耗油01升的速度行驶，可行驶700千米.

(1)求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式(关系式)；

(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？

【考点】反比例函数的应用.

【专题】应用题.

【分析】(1)将a=0.1,S=700代入到函数的关系中即可求得k的值，从而确定解析式：

a

(2)将a=0.08代入求得的函数的解析式即可求得S的值.

【解答】解：(1)由题意得：a=0.1,S=7()(),

代入反比例函数关系S*中，

a

解得：k=Sa=70,

所以函数关系式为：s=—；

(2)将a=0.08代入得：^①片875千米，

aa0.08

故该轿车可以行驶875千米；

【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型.

24.已知：如图，在^ABC中，ZC=90°,点D、E分别在边AB、AC±,DE〃BC,DE=3,

BC=9

(1)求铛的值；

AB

(2)若BD=10,求sinNA的值.

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义.

【分析】(I)由平行线可得△ADESAABC,进而由对应边成比例即可得出铛的值；

AB

(2)根据(1)铛=段得出小幺W，再根据BD=10,DE=3,BC=9,得出AD的值，即可

ADBCAD+DDDC

求出AB的值，从而得出sinZA的值.

【解答】解:(1)VDE/ZBC,

ADDE

/.△ADE^AABC,=

AB-BC'

又：DE=3,BC=9

.AD31

••=~~=一;

AB93

俎姆ADDEznADDE

（2）根据（1）得：«m二二，

ABBCAD+BDBC

*BD=10,DE=3,BC=9,

AD二3

*AD+10~9，

.AD=5,

.sinZA=—

AB155

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似比得出铝雪，难度不

ADBC

大，属于基础题.

25.如图是函数丫=及与函数y*在第一象限内的图象，点P是y=@的图象上一动点，PA，x轴

XXX

于点A,交丫=心的图象于点C,PB，y轴于点B,交丫=心的图象于点D.

xx

(1)求证：D是BP的中点；

(2)求四边形ODPC的面积.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定

义，可得答案；

（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案.

【解答】（1）证明：：点P在函数y=3上，

X

•••设P点坐标为（3,m）.

IT

.・,点D在函数y=N上，BP〃x轴，

x

q

；・设点D坐标为（一，m）,

IT

由题意，得

BD=-,BP=-=2BD,

ITIT

・\D是BP的中点.

6

（2）解：S四边彩0APB=—m=6,

IT

设C点坐标为（x,—）,D点坐标为（一，y）,

xy

[33

„_13_3

s△OAC=]X=-^,

S

s㈣边形OCPD=S㈣边彩PBOA-AOBD-S△OAC=6---|=3.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析

式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法.

26.如图，四边形ABCD中，AC平分NDAB,ZADC=ZACB=90O,E为AB的中点,

（1）求证：AC2=AB・AD；

（2）求证：CE〃AD；

【考点】相似三角形的判定与性质：直角三角形斜边上的中线.

【分析】（1）由AC平分/DAB,ZADC=ZACB=90°,可证得△ADCS/\ACB,然后由相

似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB.AD；

(2)由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得

CE=3AB=AE,继而可证得NDAC=NECA,得至|JCE〃AD；

(3)易证得△AFDs/\CFE,然后由相似三角形的对应边成比例，求得去的值.

AF

【解答】(1)证明：：AC平分/DAB,

NDAC=NCAB,

•//ADC=NACB=90。，

/.△ADC^AACB,

/.AD：AC=AC：AB,

.*.AC2=AB*AD；

(2)证明：为AB的中点,

，CE」AB=AE,

2

ZEAC=ZECA,

,/ZDAC=ZCAB,

二ZDAC=ZECA,

；.CE〃AD；

(3)解：：CE〃AD,

/.△AFD^ACFE,

/.AD：CE=AF：CF,

VCE=-AB,

2

，CE=±x6=3,

2

VAD=4,

•.•-―4"二-AF

3CF

.AC7

••_一.

AF4

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.此

题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

27.如图1,点A(8,1)、B(n,8)都在反比例函数y』(x>0)的图象上，过点A作

AC_Lx轴于C,过点B作BD，y轴于D.

(1)求m的值和直线AB的函却关系式；

(2)动点P从0点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD-DB向B点运动，同时动

点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线0C向C点运动，当动点P运动到D

时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒.

①设AORQ的面积为S,写出S与t的函数关系式；

②如图2,当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△OPQ,是

否存在某时刻t,使得点0,恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求O'的坐标和t的值；若

不存在，请说明理由.

【考点】反比例函数综合题.

【专题】压轴题.

【分析】(1)由于点A(8,1)、B(n,8)都在反比例函数y4的图象上，根据反比例函

数的意义求出m,n,再由待定系数法求出直线AB的解析式；

(2)①由题意知：OP=2t,OQ=t,由三角形的面积公式可求出解析式；

②通过三角形相似，用t的代数式表示出0,的坐标，根据反比例函数的意义可求出t值.

【解答】解：(1)I•点A(8,1)、B(n,8)都在反比例函数丫学的图象上，

m=8xl=8,

.8

.・y=一,

x

/.8=—,即n=l,

设AB的解析式为y=kx+b,

把(8,1)、B(1,8)代入上式得：

[8k+b=l

lk+b=8,

直线AB的解析式为y=-x+9；

(2)①由题意知:OP=2t,0Q=l,

当P在0D上运动时，

11,

S=X)P・0Q=/tX2t=L(0<ts4),

当P在DB上运动时，

S=/@0D=4x8=4t(4<t<4.5)；

②存在，

当Q'在反比例函数的图象上时，

作PE_Ly轴，O，F_Lx轴于F,交PE于E,

则NE=90°,P0'=P0=2t,QO'=QO=t,

由题意知：ZPO/Q=ZPOQ,NQO'F=9()--NPO'E,

ZEPO,=90,-ZPO'E,

/.△PEO^AOTQ,

.PE_E0'_P0'

''O'FQFQO''

设QF=b,O'F=a,

则PE=OF=t+b,OzE=2t-a,

.t+b2t-a

------------=2-

ab

解得：a=-|t-b=-|f

当Q'在反比例函数的图象上时，

8t4t。

解得：t=±l,

•.•反比例函数的图形在第一象限,

/4>0,

5

；.t==..,.O-(4,2).

2

【点评】本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角

形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键.

28.如图，等腰RtaABC的直角边长为2近，点O为斜边AB的中点，点P为AB上任意一

点，连接PC,以PC为直角边作等腰RtZ\PCD,连接BD.

(2)请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由.

(3)当点P在线段AB上运动时，设AP=x,aPED的面积为S,求S与x之间的函数关系

式.

【考点】相似形综合题.

【分析】（1）根据a