线性代数试卷

线性代数（经管类）综合试题一

（课程代码4184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

%"13-2%判1一。12%

021%-加21

-2fl

1.设®二峪0,则Dx=31到1一%。-

(B)

AL2MB.2MC.-6MD.6M

2.设A、B、C为同阶方阵，若由A3=AC必能推出B=C,则

A应满足

(D).

A.A*OB.A=OC.|N|=0D.|4和

3.设A,B均为八阶方阵，则(A).

A.\A+AB\=0,则⑷=0或|班引=0B.(4+必2=#+2册F

C.当止。时，有4=0或户0D.（阳二歹才

£

4.二阶矩阵AI©d),\A\=1,则4=(B).

fdb>fd(a—b、5a

A.lca)B.l-caJC.l-cd>D.lcdj

，丹，则下列说法正确的是（B）.

A.若两向量组等价，则

B,若两向量组等价，则r(,，叼44，户2,…，阳)

C.若s=3则两向量组等价.

D.若N,，—「一，4)=/网启)，则两向量组等价.

6.向量组•，/，-，,线性相关的充分必要条件是

(C).

A.中至少有一个零向量

B.■，丐，…"，中至少有两个向量对应分量成比例

C.■，啊，…户■中至少有一个向量可由其余向量线性表示

D.，可由,，啊广、.-1线性表示

7.设向量组/■，“•，，有两个极大无关组,，■一■与

%,%!，・”,啊,则下列成立的是(C).

A.r与s未必相等B.r+s="

C.r-sD.r+s'>m

8.对方程组Ax=b与其导出组Ax=o,下列命题正确的是(D).

A.Ax=o有解时，Ax=b必有解.

B.Ax=o有无穷多解时一,Ax=方有无穷多解.

C.Ax=8无解时'，Ax=o也无解.

D.Ax=方有惟一解时，Ax=o只有零解.

2天4■巧一巧=0

巧4~匕=0

9.设方程组巧二°有非零解，则％=(D).

A.2B.3C.-1D.1

10人阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(D).

A.|A|>0B.存在〃阶方阵C使4=(5。

C.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每

小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.四阶行列式。中第3列元素依次为-1,2,0,1,它们的余

子式的值依次为5,3,-7,4,则。=-次.

12.若方阵A满足A2=A,且则|4=0.

13.若A为3阶方阵，且I"卜G,则|24=4.

’10-12、

A=2-1-26

14.设矩阵(31t4%勺秩为2,则―3.

15.设向量"=(6,8,0),户=(4,-3,5),则(。/)=0.

16.设〃元齐次线性方程组Ax=0,r(A)=r<n,则基础解系含有

解向量的个数为n-r个.

17.设,=(1,1,0),a2=(0,1,1),%=(0,0,1)是W的基,

则户=(1,2,3)在此基下的坐标为(1,1,2).

18.设4为三阶方阵，其特征值为1,-1,2,则价的特征值为1,

1,4.

19.二次型/5,程/)=2甘+3片-尺-缶〜+"用的矩阵A=2

-20-2310

1-1

门23、

024

0

20.若矩阵A与后1°相似，则A的特征值为一1,2,

3.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1+1111

11-X11

11L+y1

21.求行列式1111-y的值.

解:11111

111111

1111lxxyy=1

11100111

lOOxxxyyy110

01100001

1001lxxyy00

011000000

01lxxyy=x2y2

22.解矩阵方程:

解：令A=1112111

11

B=236.因为(AE)=111

100111

10021101

003121

0111001

002101

21110003311

101023611001

022,所以1110331

1123

611022A.由AX=B,得:

X=A-1B=11O33121113323

66211022

23.求向量组.=(1,1,2,3),%=(—1,—1,1,1),.=(1,3,3,

5),“=(4,—2,5,6)的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用

该极大无关组线性表示.

0

2135

3156

T

TTT

八

II

H

U

aaaa

114

026

0313

046

n

ii

H

u

1114111

4

oo26o

3

o113oo

3

oo26ooo

o

loo7

o1oo

oo13

oooo

n

H

H

^

H

H-

u

所以，

1234

(，3,

r,,

aaaa

极

大无关组为

12343

；73

4-5+巧4-X,=1

马+2芍一/+4X4-2

24.6/取何值时，方程组〔玉+75-4巧+1乜="有解？并求其通

解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).

A12

142053

730000

5a•

3若方程组有解，贝1]()()rrAA,故a=5.

当a=5时，继续施以初等行变换得：164105

553730155500

000A,

原方程组的同解方程组为1

34342

344165

55,,33755

5xXXXXX

XX

为自由未知量，令x3=x4=0,得原方程组的一个特解：

453500.与导出组同解的方

程组为：13

43423

41655,,3755xXXXXX

XX为自由未知

量，令34xx分别取10,01

，得到导出组的基础解系：165537,551001

，所以,

方程组的全部解为：

4124165

5533

75550

1000

Icc

v,其

中，cl,c2为任意常数

(200、

2-1

°11求A的特征值及特征向量，并判断A

25.已知I

能否对角化，若能，求可逆矩阵P,使尸-/尸=/(对角形矩阵).

解：矩阵

A

的特

征多项式为:

2

200

I1212)

(1)

101

X

XXXX

X

一=—————

IEA

所以，

A

的特征值

为：

123

2,1

A,X.入

对

于

12

2

XX

，求齐次线性方程组

(2

EAxo

的

基础解系，

000101

210100

0

101000

、(

II

->

EA

,得基础解系:

01

1,0

01

(\(\

,从

而矩阵

A

的对应于特征值

12

2

XX

的全部特征向量为

1212

01

10,

01

cccc

（、

+

不

全

为

零

对

于

3

1

X

,求齐次线性方程组

0

­二

EAxo

的

基础解系，

100100

111011

100000

(\(、

EA

,得基础解系:

0

1

1

C\

u

,从而矩

阵

A

的对应于特征值

3

1

X

的全部特征向量为:

0

1(0)

1

cc

n

H

u

*

5

因为三阶矩阵

A

有三个线性无

关的特征向量

0

1

0

A

U

1

0

1

A

U

o

1

1

A

U

所以，

A

相似于对角矩阵，且

o1o200

101,020

011001

26.用配方法将下列二次型化为标准形:

=五：+2g-尺+4/巧-4/巧_4121s

解:

222

12312312

1323

()24

44

fX,X,XXXXxx

XXXX

=+一+——

22

22

11233

233

44()]4

)+24

XX

XXXXXX

+-+

222

123223

3

(22245

XXXXXXX

+十

2222

23223

33

(22)2

(2)3

XXXXXXX

X

+4-

22

13

3

(22)2(3

Xxxx

+

令

1123

223

33

22

yXX

yXX

yx

r

।

+—

1

1

,即

112

223

33

2

Xyy

Xyy

xy

二+

得二次型的标准形为:

222

123

23

yyy

四、证明题(本大题共6分)

27,设向量4=(LTD,，==(0,0,1)，证明向量组

■，■，,是K空间中的一个基.

证：因为1101101

10020201

11001

，所以123,,线性无

关（方法多样），所以向量组123,,

是R3空间中的一个基.

线性代数（经管类）综合试题二

（课程代码4184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

210

131

1.若三阶行列式k21=0,则k=

（C）.

A.1B.0C.-1D.-2

2.设4、〃为〃阶方阵，则(/田)2=彳小成立的充要条件是

(D).

A.4可逆B.吕可逆C.止B\D.AB=BA

3.设A是n阶可逆矩阵A*是A的伴随矩阵，则

B㈤=同

D.

的秩为2,则人=

C.0D.-1

5.设3x4矩阵N的秩rG4)=l,♦女，是齐次线性方程组Ax-o的

三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为

(D).

A.a属B.隹，，，-2

c.a-D.

6.向量1=&么3%,=（2,2,23％=（3,0,无）线性相关,则

（C）.

A.k=-4B.k=4C.k=-3D.k=3

7.设如，肛是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若GA-c/是其

导出组Ax=o的解，则有（B）.

A.C1+C2=1B.Cl=C2C.C1+C2=0D.Cl=2c2

8.设A为〃(e2)阶方阵,且#=£,则必有(B).

A.A的行列式等于1B.A的秩等于n

C.A的逆矩阵等于ED.A的特征值均为1

9.设三阶矩阵A的特征值为2,1,1,则A1的特征值为

(D).

11

A.1,2B.2,1,1C.2,1D.2,1,1

10.二次型/"(算1再2冯)=M'2+3月是

(A).

A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每

小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

111

314

11.8952.

12.设A为三阶方阵,且|A|=4,则12Al=_32

<-11O\pi0、

002022

13.设/I。02J,8=100

3y,则ArB=_-1-10

110

0410.

<21、

]4.设4=(-5-21则A】_-2

-1

52

15.向量户=（—L2,5）表示为向量组马=0,0,0%与=（O,L0）,

马=(0,0,1)的线性组合式为尸=

—G14-2g2+5s3

3jq4-Xj-x,=0

切+59一2玛=0

16.如果方程组4马+电=0有非零解，则卜=_

-1

17.设向量==&&_2)与2=(wLD正交，则”=—2

J13、

1———

22

20

2

3

0-3

18.已知实对称矩阵4=12)，写出矩阵A对应的二次型

/（上任㈤=

_12323

213

)23

3

xXXxXxXX

Xx

+

0、

—10

一”相似，则才

19.已知矩阵4与对角矩阵0E

20.设实二次型/5,松程勺）的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯

性指数为3,则其规范形为—yyyy

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

xyyy

D=yyy

yyxy

2i.计算行列式yyyx的值.

解：原式

31

31

(3)

31

31

Xyyyy

yyy

XyXyy

Xyy

xy

XyyXy

yXy

XyyyX

yyX

+

+

=+

+

+

3

1

00

(3)

(3)()

00

000

yyy

xy

Xy

XyXy

xy

xy

<1-10、

-121

22.设矩阵Z=(223,

求矩阵A'B.

-

A

M

H

H

H

V

A

1oo

o1o

o2o1

一

八

-

u

7

1o10o

o111o

o164

-

MA

H

I

u

100431

010531

001641

n

ii

u

得

431

531

641

n

II

=——

u

A

所以,

4311129

53102310

64121413

V

II

II

II

八

<1-2我、

A.—-12k-3

23.设矩阵*-23；，求A的值，使力的秩r(4)分别等于

1,2,3.

解：对矩阵A施行初等变换：12312

323kkkA21

230223

302233kkkkk

212

3022330

0633kkkkk

12

301100

2)(1)kkkkk

.当k=l时，Al230

00000，矩

阵A的秩r(A)=l；当k=-2时，A1260330

00,矩

阵A的秩r(A)=2；当kWl且kW-2时一，Al230

1100

1k,矩阵A的秩r(A)=3

⑴⑴「2、

1234

=,,=，%=>，=

♦13710

24.求向量组1<4>犯凶的秩和一个

极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

解：将所给列向量构成矩阵

A

,然后实施初等行变换:

1234

1112111

2

1234012

2

0

13710026

8

141320031218

((

IIII

IIII

=->

IIII

IIII

()I)

aaaa

11121112

1002

01220122

0102

00240012

0012

00120000

0000

(、(、(

IIIIII

IIIIII

—

IIIIII

IIIIII

I)I)I)

所以，向量组的秩

1234

(,,,)3

aaaa

,向量组的一个极大

无关组为

123

，，

aaa

,且有

4123

222

=一+

aaaa

马+25一2巧+3勺=0

2Xj+3X2-巧+2工（=0

25.求线性方程组l马+3弓-5巧+7勺=0的基础解系，并用基础

解系表示其通解.

解:对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：12

231223

12232312

01340

1341357

01340

000A

10450

134000

0与原方程组同解的方程组为：1

3423

44534xXX)(X

x，其中x3,x4为自由未知量.令

34xx分别取10,01

得基础解系：124534,1001

vv.方程组的通解为：1122

1245341001c

ccc

vv.（cl,c2为任意常数）

<111

Z=111

26.已知矩阵I11V,求正交矩阵尸和对角矩阵/，使

P'AP-A.

解：

矩阵

A

的特征多项式为:

2

111

II111

(3)

111

X

XX

X

EA

得矩阵

A

的所有特征值为：

123

0,3

对于

12

0

XX

9

求

方程组

(0)

0

EAx

的基础解系

,

111111

111000

111000

(1(1

得基础解系为

12

11

1,0

01

(\\

aa

9

10

将

此线性无关的特征向量正交化，得:

12

1

2

1

1

1,

2

0

1

n

H

n

II

-

__

__

__

__

_

N

V_

——

u

v

P3

再标准化，得:

12

1

1

6

2

11

26

0

2

6

八

n

u

u

YY

对于

3

3

X

解方程组

(3)

0

­=

EAx

10

011

000

,方程组的基础解系为

1

1

1

n

11

U

a

将其单位化，得:

3

1

3

1

3

1

3

n

ii

11

II

II

II

II

II

u

Y

令

P

123

111

263

111

(，,)

263

21

0

63

n

u

YYY

A

ooo

ooo

oo3

八

__

__

_

vu/1

则

p

是正交矩阵，且

p

1

AP

A

四、证明题（本大题共6分）

27.设向量组1，线性无关，证明：向量组

…+■也线性无关.

证：令

11212312

312

()()

(...)

SS

kkk

k

++++++++++=

o

aaaaaaaaa

整理得

223

2

kkkkk

kkkk

o

+++++++++++

aaaa

11

因为

12

aaa

线性无关，所以

121

23

1

…0

…0

0

0

kkkk

kkk

kk

k

,解得:

1

2

1

0

0

0

0

k

k

k

k

故

223

2

++++++

aaaaaaaaa

线性无关

线性代数（经管类）综合试题三

（课程代码4184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.当（D）成立时，城门＞2）阶行列式的值为零.

A.行列式主对角线上的元素全为零

n（n-p

B.行列式中有2个元素等于零

c.行列式至少有一个Q—1）阶子式为零

D.行列式所有3—D阶子式全为零

2.已知人居C均为“阶矩阵，£为单位矩阵，且满足A8C=E,则

下列结论必然成立的是

（B）.

A.ACB^EB.BCAFEC.CBA^ED.BAOE

3.设48均为〃阶可逆矩阵，则下列等式成立的是(D).

A.(y45)=A'B'B.(A+B)~l=A'+Bl

LT

C.(AB)'=A'E

4.下列矩阵不是初等矩阵的是

5.设/•，•••，/是4维向量组，则［，■「，■

(D).

A.线性无关

B.至少有两个向量成比例

C.只有一个向量能由其余向量线性表示

D.至少有两个向量可由其余向量线性表示

6.设Z为相x〃矩阵，且相则齐次线性方程组4r=。必(C).

A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定

7.已知4元线性方程组4不6的系数矩阵4的秩为3,又

%=&253<>,，=(233,4,5)7是A后b的两个解，则A后b的通解是

(D).

Trr

A.(L2330+*(2,3,4,5/B,(2,3,4,5)+it(L2330

C.(LLL1>+HL2330rD(1,2,3,47+小也以

8.如果矩阵4与5满足(D)，则矩阵力与5相似.

A.有相同的行列式

B.有相同的特征多项式

C.有相同的秩

D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同

9.设/是〃阶实对称矩阵，则4是正定矩阵的充要条件是（D）.

A.|力|〉0B.N的每一个元