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文档简介
2023-2024学年广东省东莞市第五高级中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点,若为线段的中点,且(为坐标原点),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个号码的和是3的倍数,则获奖,若有5人参与摸球,则恰好2人获奖的概率是()A. B. C. D.3.若平面向量,满足,则的最大值为()A. B. C. D.4.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19项为()(注:)A.1624 B.1024 C.1198 D.15605.若时,,则的取值范围为()A. B. C. D.6.已知角的终边经过点,则A. B.C. D.7.在三棱锥中,,,P在底面ABC内的射影D位于直线AC上,且,.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上,则球Q的半径为()A. B. C. D.8.执行下面的程序框图,如果输入,,则计算机输出的数是()A. B. C. D.9.若实数满足不等式组则的最小值等于()A. B. C. D.10.已知,则,不可能满足的关系是()A. B. C. D.11.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如,.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不对12.已知函数满足=1,则等于()A.- B. C.- D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在处的切线方程是_________.14.展开式中项系数为160,则的值为______.15.已知数列的前项和公式为,则数列的通项公式为___.16.已知复数z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中i是虚数单位,a∈R),若z1•z2是纯虚数,则a的值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρcos2θ=4asinθ (a>0),直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-1+(I)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程(不要求具体过程);(II)设P(-2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.18.(12分)是数列的前项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列中最小的项.19.(12分)已知在等比数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列前项的和.20.(12分)已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形,且面面,分别为线段的中点.为线段上的点,且.(1)证明:为线段的中点;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知函数,直线为曲线的切线(为自然对数的底数).(1)求实数的值;(2)用表示中的最小值,设函数,若函数为增函数,求实数的取值范围.22.(10分)如图,在三棱柱中,平面ABC.(1)证明:平面平面(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点,∴,则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴,即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛:本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质,考查了离心率的求解,同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用,对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).2、C【解析】
先确定摸一次中奖的概率,5个人摸奖,相当于发生5次试验,根据每一次发生的概率,利用独立重复试验的公式得到结果.【详解】从6个球中摸出2个,共有种结果,两个球的号码之和是3的倍数,共有摸一次中奖的概率是,5个人摸奖,相当于发生5次试验,且每一次发生的概率是,有5人参与摸奖,恰好有2人获奖的概率是,故选:.【点睛】本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率,考查独立重复试验的概率,解题时主要是看清摸奖5次,相当于做了5次独立重复试验,利用公式做出结果,属于中档题.3、C【解析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达,利用向量数量积的性质,化简为三角函数最值.【详解】由题意可得:,,,故选:C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.4、B【解析】
根据高阶等差数列的定义,求得等差数列的通项公式和前项和,利用累加法求得数列的通项公式,进而求得.【详解】依题意:1,4,8,14,23,36,54,……两两作差得:3,4,6,9,13,18,……两两作差得:1,2,3,4,5,……设该数列为,令,设的前项和为,又令,设的前项和为.易,,进而得,所以,则,所以,所以.故选:B【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用,考查累加法求数列的通项公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.5、D【解析】
由题得对恒成立,令,然后分别求出即可得的取值范围.【详解】由题得对恒成立,令,在单调递减,且,在上单调递增,在上单调递减,,又在单调递增,,的取值范围为.故选:D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题,导数的综合应用,考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题,可采用参变量分离法去求解.6、D【解析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D.7、A【解析】
设的中点为O先求出外接圆的半径,设,利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为,所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为,所以,解得.因为,所以.设,易知平面ABC,则.因为,所以,即,解得.所以球Q的半径.故选:A【点睛】本题考查球的组合体,考查空间想象能力,考查计算求解能力,是中档题8、B【解析】
先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数,再利用辗转相除法计算即可.【详解】本程序框图的功能是计算,中的最大公约数,所以,,,故当输入,,则计算机输出的数是57.故选:B.【点睛】本题考查程序框图的功能,做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么,本题是一道基础题.9、A【解析】
首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求的最小值.【详解】解:作出实数,满足不等式组表示的平面区域(如图示:阴影部分)由得,由得,平移,易知过点时直线在上截距最小,所以.故选:A.【点睛】本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值先画出可行域,利用几何意义求值,属于中档题.10、C【解析】
根据即可得出,,根据,,即可判断出结果.【详解】∵;∴,;∴,,故正确;,故C错误;∵,故D正确故C.【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化,对数的运算,以及基本不等式:和不等式的应用,属于中档题11、A【解析】
首先确定不超过的素数的个数,根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过的素数有,,,,,,,,共个,从这个素数中任选个,有种可能;其中选取的两个数,其和等于的有,,共种情况,故随机选出两个不同的数,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,属于基础题.12、C【解析】
设的最小正周期为,可得,则,再根据得,又,则可求出,进而可得.【详解】解:设的最小正周期为,因为,所以,所以,所以,又,所以当时,,,因为,整理得,因为,,,则所以.故选:C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性,考查学生分析能力和计算能力,是一道难度较大的题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用导数的运算法则求出导函数,再利用导数的几何意义即可求解.【详解】求导得,所以,所以切线方程为故答案为:【点睛】本题考查了基本初等函数的导数、导数的运算法则以及导数的几何意义,属于基础题.14、-2【解析】
表示该二项式的展开式的第r+1项,令其指数为3,再代回原表达式构建方程求得答案.【详解】该二项式的展开式的第r+1项为令,所以,则故答案为:【点睛】本题考查由二项式指定项的系数求参数,属于简单题.15、【解析】
由题意,根据数列的通项与前n项和之间的关系,即可求得数列的通项公式.【详解】由题意,可知当时,;当时,.又因为不满足,所以.【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式,其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系,合理准确推导是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.16、-1【解析】
由题意,令即可得解.【详解】∵z1=1﹣2i,z2=a+2i,∴,又z1•z2是纯虚数,∴,解得:a=﹣1.故答案为:﹣1.【点睛】本题考查了复数的概念和运算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(I)x2=4aya>0,x-y+1=0【解析】
(I)利用所给的极坐标方程和参数方程,直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程;(II)联立直线的参数方程和C的直角坐标方程,结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.【详解】(I)曲线C:ρcos2可得ρ2cos2直线l的参数方程为x=-2+22t,x-y=-1,得x-y+1=0;(II)将x=-2+22t,y=-1+2t韦达定理:t1由题意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化,以及参数方程的综合知识,结合等比数列,熟练运用知识,属于较易题.18、(1);(2).【解析】
(1)由可得出,两式作差可求得数列的通项公式;(2)求得,利用数列的单调性的定义判断数列的单调性,由此可求得数列的最小项的值.【详解】(1)对任意的,由得,两式相减得,因此,数列的通项公式为;(2)由(1)得,则.当时,,即,;当时,,即,.所以,数列的最小项为.【点睛】本题考查利用与的关系求通项,同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项,考查推理能力与计算能力,属于中等题.19、(1)(2)【解析】
(1)由基本量法,求出公比后可得通项公式;(2)求出,用裂项相消法求和.【详解】解:(1)设等比数列的公比为又因为,所以解得(舍)或所以,即(2)据(1)求解知,,所以所以【点睛】本题考查求等比数列的通项公式,考查裂项相消法求和.解题方法是基本量法.基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法,务必掌握.20、(1)见解析;(2)【解析】
(1)设为中点,连结,先证明,可证得,假设不为线段的中点,可得平面,这与矛盾,即得证;(2)以为原点,以分别为轴建立空间直角坐标系,分别求解平面,平面的法向量的法向量,利用二面角的向量公式,即得解.【详解】(1)设为中点,连结.∴,,又平面,平面,∴.又分别为中点,,又,∴.假设不为线段的中点,则与是平面内内的相交直线,从而平面,这与矛盾,所以为线段的中点.(2)以为原点,由条件面面,∴,以分别为轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,.设平面的法向量为所以取,则,.同法可求得平面的法向量为∴,由图知二面角为锐二面角,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何与空间向量综合,考查了学生逻辑推理,空间想象,数学运算的能力,属于中档题.21、(1);(2).【解析】
试题分析:(1)先求导,然后利用导数等于求出切点的横坐标,代入两个曲线的方程,解方程组,可求得;(2)设与交点的横坐标为,利用导数求得,从而,然后利用求得的取值范围为.试题解析:(1)对求导得.设直线与曲线切于点,则,解得,所以的值为1.(2)记函数,下面考察函数的符号,对函数求导得.当时,恒成立.当时,,从而.
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