高考数学大二轮复习 第1部分 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题练习-人教版高三数学试题

第一部分专题六第二讲圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题A组1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4eq\r(3)，则抛物线方程为(B)A．y2＝6x B．y2＝8xC．y2＝16x D．y2＝eq\f(15,2)x[解析]依题意，设M(x，y)，因为|OF|＝eq\f(p,2)，所以|MF|＝2p，即x＋eq\f(p,2)＝2p，解得x＝eq\f(3p,2)，y＝eq\r(3)p.又△MFO的面积为4eq\r(3)，所以eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝4eq\r(3)，解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x.2．若双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1(a>0，b>0)和椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝(D)A．m2－a2 B．eq\r(m)－eq\r(a)C．eq\f(1,2)(m－a) D．m－a[解析]不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(m)，|PF1|－|PF2|＝2eq\r(a)，∴|PF1|＝eq\r(m)＋eq\r(a)，|PF2|＝eq\r(m)－eq\r(a)，故|PF1|·|PF2|＝m－a.3．(文)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(D)A．eq\f(\r(7),3) B．eq\f(5,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(5,3)[解析]由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a，b的关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，故选D．(理)已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(D)A．eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(4y2,3)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1[解析]根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,2)x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝eq\f(b,2)x，x2＋y2＝4得xA＝eq\f(4,\r(4＋b2))，yA＝eq\f(2b,\r(4＋b2))，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝eq\f(32b,4＋b2)＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，故选D．4．(2018·重庆一模)已知圆(x－1)2＋y2＝eq\f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是(D)A．(1，eq\r(3)) B．(1,2)C．(eq\r(3)，＋∞) D．(2，＋∞)[解析]由题意，圆心到直线的距离d＝eq\f(|k|,\r(12＋k2))＝eq\f(\r(3),2)，所以k＝±eq\r(3)，因为圆(x－1)2＋y2＝eq\f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有两个交点，所以eq\f(b,a)>eq\r(3)，所以1＋eq\f(b2,a2)>4，所以e>2.5．(2018·济南一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，则|QF|＝(B)A．eq\f(7,2) B．3C．eq\f(5,2) D．2[解析]如图所示，因为eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，所以eq\f(|PQ|,|PF|)＝eq\f(3,4)，过点Q作QM⊥l垂足为M，则MQ∥x轴，所以eq\f(|MQ|,4)＝eq\f(|PQ|,|PF|)＝eq\f(3,4)，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.6．(2018·泉州一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l，过M(1,0)且斜率为eq\r(3)的直线与l相交于点A，与点C的一个交点为点B，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，则p＝2.[解析]设直线AB：y＝eq\r(3)x－eq\r(3)，代入y2＝2px得：3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，又因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，即M为A，B的中点，所以xB＋(－eq\f(p,2))＝2，即xB＝2＋eq\f(p,2)，得p2＋4p－12＝0，解得p＝2，p＝－6(舍去)．7．已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为－2.[解析]由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))取最小值，最小值为－2.8．已知椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝12.[解析]取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝eq\f(1,2)|AN|，|GF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12.9．(2018·郴州三模)已知抛物线E：y2＝8x，圆M：(x－2)2＋y2＝4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．[解析](1)设P(x，y)，则点N(2x,2y)在抛物线E：y2＝8x上，所以4y2＝16x，所以曲线C的方程为y2＝4x.(2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．令y＝0，可得x＝x0－eq\f(y0,k)，圆心(2,0)到切线的距离d＝eq\f(|2k＋y0－kx0|,\r(12＋k2))＝2，整理可得(xeq\o\al(2,0)－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋yeq\o\al(2,0)－4＝0，设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝eq\f(2x0y0－4y0,x\o\al(2,0)－4x0)，k1k2＝eq\f(y\o\al(2,0)－4,x\o\al(2,0)－4x0)，所以△QAB面积S＝eq\f(1,2)|(x0－eq\f(y0,k1))－(x0－eq\f(y0,k2))|y0＝2·eq\f(x\o\al(2,0),x0－1)＝2eq\f(x0－12＋2x0－1＋1,x0－1)＝2[(x0－1)＋eq\f(1,x0－1)＋2]．设t＝x0－1∈[4，＋∞)，则f(t)＝2(t＋eq\f(1,t)＋2)在[4，＋∞)上单调递增，所以f(t)≥eq\f(25,2)，即△QAB面积的最小值为eq\f(25,2).B组1．若a>1，则双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是(C)A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2 )C．(1，eq\r(2)) D．(1,2)[解析]由题意得双曲线的离心率e＝eq\f(\r(a2＋1),a).∴e2＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).∵a>1，∴0<eq\f(1,a2)<1，∴1<1＋eq\f(1,a2)<2，∴1<e<eq\r(2).故选C．2．已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[解析]解法一：设E(0，m)，则直线AE的方程为－eq\f(x,a)＋eq\f(y,m)＝1，由题意可知M(－c，m－eq\f(mc,a))，(0，eq\f(m,2))和B(a,0)三点共线，则eq\f(m－\f(mc,a)－\f(m,2),－c)＝eq\f(\f(m,2),－a)，化简得a＝3c，则C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).解法二：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．由PF⊥x轴得P(－c，eq\f(b2,a))．设E(0，m)，又PF∥OE，得eq\f(|MF|,|OE|)＝eq\f(|AF|,|AO|)，则|MF|＝eq\f(ma－c,a).①又由OE∥MF，得eq\f(\f(1,2)|OE|,|MF|)＝eq\f(|BO|,|BF|)，则|MF|＝eq\f(ma＋c,2a).②由①②得a－c＝eq\f(1,2)(a＋c)，即a＝3c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).故选A．3．(文)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，则C的焦点到准线的距离为(B)A．2 B．4C．6 D．8[解析]由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，可取A(eq\f(4,p)，2eq\r(2))，D(－eq\f(p,2)，eq\r(5))，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，得p＝4.故选B．(理)已知椭圆C1：eq\f(x2,m2)＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：eq\f(x2,n2)－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(A)A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1[解析]由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，则m2－n2＝2，故m>n，又(e1e2)2＝eq\f(m2－1,m2)·eq\f(n2＋1,n2)＝eq\f(n2＋1,n2＋2)·eq\f(n2＋1,n2)＝eq\f(n4＋2n2＋1,n4＋2n2)＝1＋eq\f(1,n4＋2n2)>1，所以e1e2>1.故选A．4．已知M(x0，y0)是曲线C：eq\f(x2,2)－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为点N，若eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))<0，则x0的取值范围是(A)A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(－1,1)[解析]由题意知曲线C为抛物线，其方程为x2＝2y，所以F(0，eq\f(1,2))．根据题意，可知N(x0,0)，x0≠0，eq\o(MF,\s\up6(→))＝(－x0，eq\f(1,2)－y0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0，－y0)，所以eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝－y0(eq\f(1,2)－y0)<0，即0<y0<eq\f(1,2).因为点M在抛物线上，所以有0<eq\f(x\o\al(2,0),2)<eq\f(1,2).又x0≠0，解得－1<x0<0或0<x0<1.故选A．5．已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0,2eq\r(3))，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于(B)A．eq\f(11\r(3),4) B．eq\f(21\r(3),4)C．eq\f(11,4) D．eq\f(21,4)[解析]由椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝eq\r(a2－b2)＝2，Rt△AOF中，|OF|＝2，|OA|＝2eq\r(3)，则|AF|＝4.设椭圆的左焦点为F1，则△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(当且仅当A，P，F1三点共线，P在线段AF1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF1的方程为eq\f(x,－2)＋eq\f(y,2\r(3))＝1，与椭圆的方程为5x2＋9y2－45＝0联立并整，得32y2－20eq\r(3)y－75＝0，解得yP＝－eq\f(5\r(3),8)(正值舍去)，则△APF的周长最大时，S△APF＝eq\f(1,2)|F1F|·|yA－yP|＝eq\f(1,2)×4×|2eq\r(3)＋eq\f(5\r(3),8)|＝eq\f(21\r(3),4).故选B．6．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为eq\r(3).[解析]设双曲线方程：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意可知，将x＝c代入，解得：y＝±eq\f(b2,a)，则|AB|＝eq\f(2b2,a)，由|AB|＝2×2a，则b2＝2a2，所以双曲线离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(3).7．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为点C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为eq\f(\r(5),5).[解析]如图所示，因为S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2CA(－c，eq\f(b2,a))，直线AF2的方程为：y－0＝eq\f(\f(b2,a)－0,－c－c)(x－c)，化为：y＝eq\f(－b2,2ac)(x－c)，代入椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，可得：(4c2＋b2)x2－2cb2x＋b2c2－4所以xC·(－c)＝eq\f(b2c2－4a2c2,4c2＋b2)，解得xC＝eq\f(4a2c－b2c,4c2＋b2).因为eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2C,\s\up6(→))，所以c－(－c)＝2(eq\f(4a2c－b2c,4c2＋b2)－c)，化为：a2＝5c2，解得e＝eq\f(\r(5),5).8．设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，AF1⊥AB且AF1＝AB，则椭圆C的离心率为eq\r(6)－eq\r(3).[解析]设|AF1|＝t，则|AB|＝t，|F1B|＝eq\r(2)t，由椭圆定义有：|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以|AF1|＋|AB|＋|F1B|＝4a化简得(eq\r(2)＋2)t＝4a，t＝(4－2eq\r(2))a，所以|AF2|＝2a－t＝(2eq\r(2)－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝(2c所以[(4－2eq\r(2))a]2＋[(2eq\r(2)－2)a]2＝(2c)2，所以(eq\f(c,a))2＝9－6eq\r(2)＝(eq\r(6)－eq\r(3))2，所以e＝eq\r(6)－eq\r(3).9．(文)设F1、F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，求椭圆E的离心率．[解析](1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝1，又∵△ABF2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2∴|AF2|＝2a－|AF1(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由椭圆定义知：|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq\f(6,5)(2a－3k)(2a－k∴(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，∴a＝3k，于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|∴F2A⊥AB，F2A⊥AF∴△AF1F2从而c＝eq\f(\r(2),2)a，所以椭圆离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(理)设点F1(－c,0)，F2(c,0)