湖南省衡阳县江山中英文学校2024届高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

湖南省衡阳县江山中英文学校2024届高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，若∥，则A． B． C． D．2．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，则f(x)()A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值3．已知复数是纯虚数，，则（）A． B． C． D．4．已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．5．下列四个命题中，真命题的个数是（）①命题：“已知，“”是“”的充分不必要条件”；②命题：“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③命题：已知幂函数的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④命题：若，则．A．1 B．2 C．3 D．46．自2020年起,高考成绩由“”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（）A．6 B．7 C．8 D．97．已知集合,,则下图中阴影部分所表示的集合为()A． B． C． D．8．已知曲线在点处切线的倾斜角为，则等于（）A．2B．-2C．3D．-19．已知复数z满足，则复数等于()A． B． C． D．i10．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，点是侧面的两条对角线的交点，则直线与底面所成角的正切值为（）A． B． C． D．111．已知为正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是（是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（）A．8万斤 B．6万斤 C．3万斤 D．5万斤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，直线与抛物线所围成的封闭图形的面积为（）．14．将集合的元素分成互不相交的三个子集：，其中,，，且，，则满足条件的集合有__________个．15．已知命题，，则为________.16．一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）是上不同的三点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.18．（12分）（1）已知矩阵，矩阵的逆矩阵，求矩阵.（2）已知矩阵的一个特征值为，求.19．（12分）已知函数．（1）若有三个极值点，求的取值范围；（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明：．20．（12分）已知某盒子中共有个小球，编号为号至号，其中有个红球、个黄球和个绿球，这些球除颜色和编号外完全相同．（1）若从盒中一次随机取出个球，求取出的个球中恰有个颜色相同的概率；（2）若从盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取次，求恰有次取到黄球的概率；（3）若从盒中逐一取球，每次取后不放回，记取完黄球所需次数为，求随机变量的分布列及数学期望.21．（12分）已知圆：，是轴上的动点，分别切圆于两点.（1）若，求及直线的方程；（2）求证：直线恒过定点.22．（10分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长.下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设为产值不超过500万元的城市个数，求的分布列及期望和方差.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据∥得到，解方程即得x的值.【题目详解】根据∥得到.故答案为D【题目点拨】(1)本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)如果=,=，则||的充要条件是.2、D【解题分析】因为xf′(x)－f(x)＝xlnx，所以，所以，所以f(x)＝xln2x＋cx.因为f()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋＝(lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等3、B【解题分析】

根据纯虚数定义，可求得的值；代入后可得复数，再根据复数的除法运算即可求得的值.【题目详解】复数是纯虚数，则，解得，所以，则，故选：B.【题目点拨】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.4、C【解题分析】

设为边的中点，由双曲线的定义可得，因为正三角形的边长为，所以有，进而解得答案。【题目详解】因为边的中点在双曲线上，设中点为，则，,因为正三角形的边长为，所以有，整理可得故选C【题目点拨】本题考查双曲线的定义及离心率，解题的关键是由题意求出的关系式，属于一般题。5、C【解题分析】

命题①单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足“a2+b2≥1”，从而判断命题的真假性；命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后把x＝4代入求值即可；命题④构造函数f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，利用导数判断函数的单调性，从而判断命题的真假性；【题目详解】命题①如图在单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，故命题①正确；命题②“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q都为真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q为真”.所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；命题③由幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），所以2α＝，所以α＝﹣，所以幂函数为f（x）＝，所以f（4）＝，所以命题③正确；命题④若x+lnx＞1，则x﹣1+lnx＞0，设f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，∴＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）＞0时x＞1，即x+lnx＞1时x＞1，所以命题④正确.故选：C【题目点拨】本题考查命题的真假判断，充分不必要条件，幂函数，构造函数，利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，知识综合性强，属于中档题．6、D【解题分析】分析：直接利用组合数进行计算即可.详解：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为种.故选D.点睛：本题考查组合的应用，属基础题..7、B【解题分析】分析：根据韦恩图可知阴影部分表示的集合为，首先利用偶次根式满足的条件，求得集合B，根据集合的运算求得结果即可.详解：根据偶次根式有意义，可得，即，解得，即，而题中阴影部分对应的集合为，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在求解的过程中，首先需要明确偶次根式有意义的条件，从而求得集合B，再者应用韦恩图中的阴影部分表示的是，再利用集合的运算法则求得结果.8、A【解题分析】因为，所以，由已知得，解得，故选A.9、D【解题分析】

把给出的等式通过复数的乘除运算化简后,直接利用共轭复数的定义即可得解.【题目详解】,,.故选:D.【题目点拨】本题考查了复数的代数形式的乘除运算,考查共扼复数,是基础题.10、C【解题分析】

通过作DH垂直BC，可知为直线与底面所成角，于是可求得答案.【题目详解】如图，过D作DH垂直BC于点H，连接DH，AH，于是DH垂直平面ABC，故为直线与底面所成角，而，,故，故选C.【题目点拨】本题主要考查线面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度一般.11、A【解题分析】

根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【题目详解】①当时，满足，但不成立，即必要性不成立，②若，则，即，即故，成立，即充分性成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【题目点拨】本题主要考查了判断必要不充分条件，解题关键是掌握判断充分条件和必要条件的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.12、B【解题分析】

销售的利润为，利用可得，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.【题目详解】设销售的利润为，由题意，得，即，当时，，解得，故，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大，故选B.【题目点拨】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、C【解题分析】画出函数的图象，如图所示，由，解得，，所以．选．14、3【解题分析】

分析：由可得，令，则，，，然后列举出的值，从而可得结果.详解：，所以，令，根据合理安排性，集合的最大一个元素，必定为：，则，又，，①当时，同理可得.②当时，同理可得或，综上，一共有种，故答案为.点睛：本题考查主要考查集合与元素的关系，意在考查抽象思维能力，转化与划归思想，分类讨论思想应用，属于难题.解得本题的关键是首项确定，从而得到，由此打开突破点.15、，【解题分析】

根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”求解【题目详解】命题，，为特称命题故为，故答案为，【题目点拨】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，是解答本题的关键．16、【解题分析】

设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，利用勾股定理求出球的半径，由此能求出球的表面积．【题目详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，设球的半径为，则∴球的表面积.故答案为：．【题目点拨】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）直接用待定系数法可得方程；（2）设三点坐标分别为，，，设出直线方程，联立椭圆，求证为常数即可.【题目详解】（1）由题意椭圆的焦距为2，且过点，所以，，解得，，所以椭圆的标准方程为（2）设三点坐标分别为，，，设直线斜率分别为，则直线方程为由方程组消去，得由根与系数关系可得：故同理可得：又故则从而即两点的横坐标之和为常数【题目点拨】本题主要考查椭圆的相关计算，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度较大.18、（1）;（2）.【解题分析】

（1）依题意，利用矩阵变换求得，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．（2）根据特征多项式的一个零点为3，可得的值，即可求得矩阵，运用对角化矩阵，求得所求矩阵．【题目详解】（1）解：，，又，．（2）解：矩阵的特征多项式为，可得，解得，即为.由可得，，当时，由，即，，即，取，可得属于3的一个特征向量为；当时，由，即，，即，取，可得属于的一个特征向量为.设，则，，．【题目点拨】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，考查了特征值与特征向量，考查了矩阵的乘方的计算的知识.19、（1）（2）见解析【解题分析】试题分析：（1）若有三个极值点，只需应有两个既不等于0也不等于的根；（2）恒成立即.变量分离，转化为函数最值问题.（1），定义域为，，∵，只需应有两个既不等于0也不等于的根，，①当时，，∴单增，最多只有一个实根，不满足；②当时，，当时，，单减；当时，，单增；∴是的极小值，而时，，时，，要有两根，只需，由，又由，反之，若且时，则，的两根中，一个大于，另一个小于.在定义域中，连同，共有三个相异实根，且在三根的左右，正负异号，它们是的三个极值点.综上，的取值范围为.（2）对恒成立，①当或1时，均满足；②对恒成立对恒成立，记，，，，欲证，而，只需证明，显然成立.下证：，，，，先证：，，，.令，，，，，∴在上单增，∴，∴在上单增，∴，∴在上单增，∴，即证.要证：，.只需证，，而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立.点睛：第一问函数有是三个极值点，即导函数有三个零点，研究导函数的单调性满足函数有3个零点．第二问较为复杂，将恒成立求参的问题转化为函数最值问题，分离变量，求出a满足的表达式，再求这个表达式的范围．20、（1）；（2）；（3）见解析.【解题分析】

（1）事件“取出的个球中恰有个颜色相同”分为两种情况“个球中有个红球”和“个球中有个黄球”，然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可计算出所求事件的概率；（2）计算出每次取球取到黄球的概率为，然后利用独立重复试验概率来计算出所求事件的概率；（3）由题意得出的可能取值有、、、、，利用排列组合思想求出随机变量在对应取值时的概率，于此可列出随机变量的分布列，并计算出随机变量的数学期望.【题目详解】（1）从盒中一次随机取出个球，记取出的个球