2024届重庆市西南大学附中高二数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2024届重庆市西南大学附中高二数学第二学期期末质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．2．设全集，，，则等于（）A． B． C． D．3．下列关于回归分析的说法中，正确结论的个数为（）（1）回归直线必过样本点中；（2）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精度越高；（3）残差平方和越小的模型，拟合效果越好；（4）用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好．A．4 B．3 C．2 D．14．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，则（）A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}5．的展开式中的系数是（）A．-1152 B．48 C．1200 D．23526．已知双曲线x2a2-yA．x212-y287．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，F为线段CD上一动点（不含端点），现将△ADF沿直线AF进行翻折，在翻折过程中不可能成立的是（）A．存在某个位置，使直线AF与BD垂直 B．存在某个位置，使直线AD与BF垂直C．存在某个位置，使直线CF与DA垂直 D．存在某个位置，使直线AB与DF垂直8．在二项式的展开式中，含的项的系数是（）．A． B． C． D．9．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽取两张.则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是()A． B． C． D．10．已知随机变量服从正态分布，若，则()A． B． C． D．11．将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（）A．40 B．28 C．24 D．1612．若函数的定义域为，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，若随机变量的分布列是：012则当变化时，的极大值是__________．14．已知随机变量服从正态分布X∼N(2,σ2)，若P(X<a)=0.32，则P(a≤X<4-a)15．展开二项式，其常数项为_________.16．在区间[]上随机取一个实数，则事件“”发生的概率为____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.18．（12分）为迎接新中国成立70周年，学校布置一椭圆形花坛，如图所示，是其中心，是椭圆的长轴，是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道，拟在上选两点，，使，沿、、铺设管道，设，若，，（1）求管道长度关于角的函数及的取值范围；（2）求管道长度的最小值.19．（12分）在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A（2，1）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程．（2）求｜AP｜•｜AQ｜的值．20．（12分）已知等比数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.21．（12分）在中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产、、三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个）纪念品纪念品纪念品精品型普通型现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取个，其中种纪念品有个．（1）求的值；（2）从种精品型纪念品中抽取个，其某种指标的数据分别如下：、、、、，把这个数据看作一个总体，其均值为，方差为，求的值；（3）用分层抽样的方法在种纪念品中抽取一个容量为的样木，从样本中任取个纪念品，求至少有个精品型纪念品的概率．22．（10分）已知分别为内角的对边，且．（1）求角A；（2）若，求的面积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

构造函数，根据可知，得到在上单调递减；根据，可将所求不等式转化为，根据函数单调性可得到解集.【解答】令，则在上单调递减则不等式可化为等价于，即即所求不等式的解集为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性求解不等式，关键是能够构造函数，将所求不等式转变为函数值的比较，从而利用其单调性得到自变量的关系．2、B【解题分析】

直接利用补集与交集的运算法则求解即可．【题目详解】解：∵集合，，，由全集，．故选：B．【题目点拨】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查．3、B【解题分析】

利用回归分析的相关知识逐一判断即可【题目详解】回归直线必过样本点中，故（1）正确残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精度越高，故（2）错误残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故（3）正确用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故（4）正确所以正确结论的个数为3故选：B【题目点拨】本题考查的是回归分析的相关知识，较简单.4、B【解题分析】分析：由求出a的值，再根据题意求出b的值，然后由并集运算直接得答案.详解：由，，即，，则.故选：B.点睛：本题考查了并集及其运算，考查了对数的运算，是基础题.5、B【解题分析】

先把多项式化简，再用二项式定理展开式中的通项求出特定项的系数，求出对应项的系数即可.【题目详解】解：，的二项式定理展开式的通项公式为，的二项式定理展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用以及利用二项式展开式的通项公式求展开式中某项的系数问题，是基础题目.6、D【解题分析】试题分析：因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，所以ca考点：双曲线的性质．7、C【解题分析】

连结BD，在中，可以作于O，并延长交CD于F，得到成立，得到A正确；由翻折中，保持不变，可得到B正确；根据翻折过程中，，可得到C错误；根据翻折过程中，保持不变，假设成立，得到平面ABD，结合题中条件，进而可得出结果.【题目详解】对于A，连结BD，在中，可以作于O，并延长交CD于F，则成立，翻折过程中，这个垂直关系保持不变，故A正确；对于B，在翻折过程中，保持不变，当时，有平面，从而，此时，AD＝1，AB＝2，BD＝，故B正确；对于C，在翻折过程中，保持不变，若成立，则平面CDF，从而，AD＝1，AC＝，得CD＝2，在翻折过程中，，即CD＜2，所以，CD＝2不成立，C不正确；对于D，在翻折过程中，保持不变，若成立，则平面ABD，从而，设此时，则BF＝，BD＝，只要，BD就存在，所以D正确选C．【题目点拨】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.8、C【解题分析】

利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．【题目详解】解：对于，对于10﹣3r＝4，∴r＝2，则x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10故选．点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9、B【解题分析】

根据第一次抽完的情况下重新计算总共样本数和满足条件样本数，再由古典概型求得概率。【题目详解】在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率为。选B.【题目点拨】事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为“事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率”，记为；条件概率常有两种处理方法：（1）条件概率公式：。（2）缩小样本空间，即在事件A发生后的己知事实情况下，用新的样本空间的样本总数和满足特征的样本总数来计算事件B发生的概率。10、D【解题分析】

随机变量服从正态分布,则,利用概率和为1得到答案.【题目详解】随机变量X服从正态分布,

,

答案为D.【题目点拨】本题考查了正态分布,利用正态分布的对称性是解决问题的关键.11、B【解题分析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数.详解：分两种情况讨论，一类是两个黑球放在一个盒子中的有种，一类是两个黑球不放在一个盒子中的:如果一个黑球和一个白球在一起，则有种方法；如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有种方法.故不同的分装方案种数为4+12+12=28.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合综合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错.12、C【解题分析】分析：由题得恒成立，再解这个恒成立问题即得解.详解：由题得恒成立，a=0时，不等式恒成立.a≠0时，由题得综合得故答案为C.点睛：（1）本题主要考查函数的定义域和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力数形结合思想方法.（2）解答本题恒成立时，一定要讨论a=0的情况,因为不一定时一元二次不等式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】分析：先求，再根据二次函数性质求极大值.详解：因为，所以，当且仅当时取等号，因此的极大值是.点睛：本题考查数学期望公式以及方差公式：考查基本求解能力.14、0.36【解题分析】P(X<a)=0.32,∴P(X>4-a)=0.32,∴P(a<X≤4-a)=1-2P(X<a)=1-2×0.32=0.36.15、【解题分析】

利用二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出二项式展开式的常数项.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，得.所以，二项式展开式的常数项为，故答案为：.【题目点拨】本题考查二项展开式中常数项的计算，解题时要充分利用二项式展开式通项，利用的指数来求解，考查运算求解能力，属于基础题.16、【解题分析】

由，得﹣2≤x≤0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件“”发生的概率．∵，∴﹣2≤x≤0，∵在区间[﹣3，5]上随机取一个实数x，∴由几何概型概率计算公式得：事件“”发生的概率为p==．故答案为：．【题目点拨】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）的分布列为

【解题分析】试题解析:（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为（2）的可能取值为0，10，20，30，则所以的分布列为0102030所以，的数学期望18、（1），（2）【解题分析】

(1)由三角函数值分别计算出、、的长度，即可求出管道长度的表达式，求出的取值范围(2)由(1)得管道长度的表达式，运用导数，求导后判断其单调性求出最小值【题目详解】解：（1）因为，，，所以，其中，.（2）由，得，令，，当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数.所以，当，即时，答：管道长度的最小值为.【题目点拨】本题考查了运用三角函数求解实际问题，在求最值时可以采用求导的方法判断其单调性，然后求出最值，需要掌握解题方法19、（1）；x2＋y2＝2y；（2）3【解题分析】

（1）由直线的倾斜角与所过定点写出直线的参数方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程，即可得到答案．（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，得到关于的一元二次方程，再由根与系数的关系，以及的几何意义，即可求解的值．【题目详解】(1)由题意知，倾斜角为α的直线l过点A（2，1，所以直线l的参数方程为(t为参数)，因为ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，把y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，设P、Q的参数分别为t1、t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3，且由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，所以|AP|·|AQ|=|t1|·|t2|=3.【题目点拨】本题主要考查了直线的参数方程的求解，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20、（1）（2）【解题分析】分析：（1）利用项和公式求出数列的通项公式.(2)先化简得，再利用裂项相消法求数列的前项和.详解：(1)由得，当时，，即，又，当时符合上式，所以通项公式为.(2)由（1）可知