2024届黑龙江省虎林市高级中学高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

2024届黑龙江省虎林市高级中学高二数学第二学期期末达标测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若则有（）A． B．C． D．2．口袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从袋中一次摸出2个球，记下号码并放回，若这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，则获奖.某人从袋中一次摸出2个球，其获奖的概率为（）A． B． C． D．3．设，，∈R，且＞，则A． B． C． D．4．函数的图象可能是（）A． B．C． D．5．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A． B． C． D．6．设p:f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增；q:m≥43A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．若数列是等比数列，则“首项，且公比”是“数列单调递增”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件8．对于椭圆，若点满足，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A构成的图形为（）A．三角形及其内部 B．矩形及其内部 C．圆及其内部 D．椭圆及其内部9．当取三个不同值时，正态曲线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A． B．C． D．10．函数图象交点的横坐标所在区间是()A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）11．球的体积是，则此球的表面积是（）A． B． C． D．12．若为纯虚数，则实数的值为（）A．-2 B．2 C．-3 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为．14．在中，内角所对的边分别为，且的外接圆半径为1，若，则的面积为______．15．已知函数，则的极大值为________．16．已知向量，（，为实数），若向量，共线，则的值是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，其中，且曲线在点处的切线平行于轴.（1）求实数的值；（2）求函数的单调区间.18．（12分）某蔬菜加工厂加工一种蔬菜，并对该蔬菜产品进行质量评级，现对甲、乙两台机器所加工的蔬菜产品随机抽取一部分进行评级，结果（单位：件）如表1：（1）若规定等级为合格等级，等级为优良等级，能否有的把握认为“蔬菜产品加工质量与机器有关”？（2）表2是用清水千克清洗该蔬菜千克后，该蔬菜上残留的农药微克的统计表，若用解析式作为与的回归方程，求出与的回归方程.（结果精确到）（参考数据：，，，.）19．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R,令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；20．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣ex（a∈R）．其中e是自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性并求极值；（2）令函数g（x）＝f（x）+ex，若x∈[1，+∞）时，g（x）≥0，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若，求证：当时，.22．（10分）已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】①，∵，∴，故．②，，∴，故．综上．选D．2、A【解题分析】分析：先求出基本事件的总数，再求出这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数的基本事件，再根据古典概型的概率计算公式求解即可.详解：从6个球中一次摸出2个球，共有种，2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，共有：9种，获奖的概率为.故选A.点睛：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．3、D【解题分析】分析：带特殊值验证即可详解：排除A,B．排除C．故选D点睛：带特殊值是比较大小的常见方法之一．4、A【解题分析】

求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.【题目详解】解：当时，，则，若，，，若，，，则恒成立，即当时，恒成立，则在上单调递减，

故选：A.【题目点拨】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.5、D【解题分析】因为曲线，所以切线过点（4，e2）

∴f′（x）|x=4=e2，

∴切线方程为：y-e2=e2（x-4），

令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），

令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），

∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.

故选D．6、C【解题分析】试题分析：由f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增，得f'(x)=3x2+4x+m≥0在R上恒成立，只需Δ=16-12m≤0，即m≥考点：1、充分条件与必要条件；2、利用导数研究函数的单调性.7、B【解题分析】

证明由，可以得到数列单调递增，而由数列单调递增，不一定得到，，从而做出判断，得到答案.【题目详解】数列是等比数列，首项，且公比，所以数列，且，所以得到数列单调递增；因为数列单调递增，可以得到首项，且公比，也可以得到，且公比.所以“首项，且公比”是“数列单调递增”的充分不必要条件.故选：B.【题目点拨】本题考查等比数列为递增数列的判定和性质，考查充分不不必要条件，属于简单题.8、B【解题分析】

由在椭圆上，根据椭圆的对称性，则关于坐标轴和原点的对称点都在椭圆上，即可得结论．【题目详解】设在过的任意椭圆内或椭圆上，则，，即，由椭圆对称性知，都在任意椭圆上，∴满足条件的点在矩形上及其内部，故选：B．【题目点拨】本题考查点到椭圆的位置关系．考查椭圆的对称性．由点在椭圆上，则也在椭圆上，这样过点的所有椭圆的公共部分就是矩形及其内部．9、A【解题分析】分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定的大小.详解：由正态曲线的性质知，当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，所以.本题选择A选项.点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、C【解题分析】

试题分析：设的零点在区间与图象交点的横坐标所在区间是，故选C．考点：曲线的交点．【方法点晴】本题考曲线的交点，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程度高，属于较难题型．11、B【解题分析】

先计算出球的半径，再计算表面积得到答案.【题目详解】设球的半径为R，则由已知得，解得，故球的表面积.故选：【题目点拨】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.12、C【解题分析】

本题首先可以确定复数的实部和虚部，然后根据纯虚数的相关性质即可列出方程组，通过计算即可得出结果．【题目详解】因为为纯虚数，所以，解得，故选C．【题目点拨】本题考查复数的相关性质，主要考查纯虚数的相关性质，纯虚数的实部为0且虚部不为0，考查运算求解能力，考查方程思想，是简单题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】试题分析：至少有一次正面向上的概率为，恰有一次出现反面向上的概率为，那么满足题意的概率为．考点：古典概型与排列组合．14、【解题分析】

分析：由正弦定理可把其中一边化为角，从而由及公式求得面积.

详解：由题意得，即，∴，故答案为.点睛：正弦定理：，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为.15、【解题分析】，因此，时取极大值16、【解题分析】

根据向量，共线，结合两向量的坐标，列出方程组求解，即可得出结果.【题目详解】因为量，共线，所以存在实数，使得，则有，解得：，因此.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查由空间向量共线求参数的问题，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）单调增区间为：函数单调减区间为【解题分析】

（1）根据题可知，由此计算出的值；（2）写出并因式分解，讨论取何范围能使，由此求出单调递增、递减区间.【题目详解】（1）由题意，曲线在点处的切线斜率为0.，，所以；（2）由（1）知，，，当时，，当时，，当时，，所以函数单调增区间为：；函数单调减区间为：.【题目点拨】本题考查导数的几何意义的运用以及求解具体函数的单调区间，难度较易.已知曲线某点处切线斜率求解参数时，可通过先求导，然后根据对应点处切线斜率等于导数值求解出参数.18、（1）有的把握认为“蔬菜产品加工质量与机器有关”（2）【解题分析】

（1）根所给数据，利用公式求得，与临界值比较，即可求得答案；（2）根据所给数据求得和，即可求得其直线回归方程.【题目详解】（1）的观测值，所以有的把握认为“蔬菜产品加工质量与机器有关”.（2），，，，可得.【题目点拨】本题考查独立性检验中的计算和求回归直线方程，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19、（Ⅰ）（3，1）；（Ⅱ）3.【解题分析】

（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（3）关于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，即为恒成立，令，求得导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于3，通过分析即可得到m的最小值.【题目详解】（1）当m=时，．由f′（x）＞3得1﹣x3＞3又x＞3，所以3＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（3，1）．（3）令x+1．所以=．当m≤3时，因为x＞3，所以G′（x）＞3所以G（x）在（3，+∞）上是递增函数，又因为G（1）=﹣,所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．当m＞3时，．令G′（x）=3得x=，所以当时，G′（x）＞3；当时，G′（x）＜3．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．故函数G（x）的最大值为．令h（m）=，因为h（1）=，h（3）=．又因为h（m）在m∈（3，+∞）上是减函数，所以当m≥3时，h（m）＜3．所以整数m的最小值为3．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用20、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）函数f（x）的定义域为（1，+∞）．求出函数的导函数，然后对a分类讨论可得原函数的单调性并求得极值；（2）对g（x）求导函数，对a分类讨论，当a≥1时，易得g（x）为单调递增，有g（x）≥g（1）＝1，符合题意．当a＜1时，结合零点存在定理可得存在x1∈（1，）使g′（x1）＝1，再结合g（1）＝1，可得当x∈（1，x1）时，g（x）＜1，不符合题意．由此可得实数a的取值范围．【题目详解】（1）函数f（x）的定义域为（1，+∞）．f′（x）．①当a≤1时，f′（x）＜1，可得函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，f（x）无极值；②当a＞1时，由f′（x）＞1得：1＜x，可得函数f（x）在（1，）上单调递增．由f′（x）＜1，得：x，可得函数f（x）在（，+∞）单调递减，∴函数f（x）在x时取极大值为：f（）＝alna﹣2a；（2）由题意有g（x）＝alnx﹣ex+ex，x∈[1，+∞）．g′（x）．①当a≥1时，g′（x）．故当x∈[1，+∞）时，g（x）＝alnx﹣ex+ex为单调递增函数；g（x）≥g（1）＝1，符合题意．②当a＜1时，g′（x），令函数h（x），由h′（x）1，c∈[1，+∞），可知：g′（x）为单调递增函数，又g′（1）＝a＜1，g′（x），当x时，g′（x）＞1．∴存在x1∈（1，）使g′（x1）＝1，因此函数g（x）在（1，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，又g（1）＝1，∴当x∈（1，x1）时，g（x）＜1，不符合题意．综上，所求实数a的取值范围为[1，+∞）．【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，考查了利用了进行放缩的技巧，是难题．21、（1）见解析（2）见解析【解题分析】分析：（1）依题意，的定义域为，，分类讨论可求的单调性；（2）当时，要证明，即证明，只需证明.设，利用导数研究其性质，即可证明详解：（1）依题意，的定义域为，，（1）当时，，在单调递减；（2）当时，当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增；