2024届云南省师范大学附属中学高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届云南省师范大学附属中学高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则（）A． B． C． D．2．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（）A． B． C． D．3．如图是函数的导函数的图象，则下面说法正确的是()A．在上是增函数B．在上是减函数C．当时，取极大值D．当时，取极大值4．直线l在平面上，直线m平行于平面，并与直线l异面.动点P在平面上，且到直线l、m的距离相等.则点P的轨迹为（）.A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线5．在的展开式中，含项的系数为（）A．10 B．15 C．20 D．256．设，是两个不重合的平面，，是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则7．若，则为（）A．－233 B．10 C．20 D．2338．甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如表：甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103则哪位同学的试验结果体现、两变量有更强的线性相关性（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．函数f(x)与它的导函数f'(x)的大致图象如图所示，设g(x)=f(x)exA．15 B．25 C．310．已知集合，，全集，则等于（）A． B． C． D．11．已知，，，则下列说法正确是（）A． B．C．与的夹角为 D．12．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量满足：，，当取最大值时，______．14．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）15．若的展开式中，常数项为5670，则展开式中各项系数的和为____．16．甲、乙两地都位于北纬45°，它们的经度相差90°，设地球半径为，则甲、乙两地的球面距离为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。18．（12分）已知函数的最小值为M.（1）求M；（2）若正实数，，满足，求：的最小值.19．（12分）已知椭圆过点，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值.20．（12分）已知抛物线的焦点为，圆与轴的一个交点为，圆的圆心为，为等边三角形.（1）求抛物线的方程（2）设圆与抛物线交于、两点，点为抛物线上介于、两点之间的一点，设抛物线在点处的切线与圆交于、两点，在圆上是否存在点，使得直线、均为抛物线的切线，若存在求点坐标（用、表示）；若不存在，请说明理由.21．（12分）统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数为．（1）当千米/小时时,行驶千米耗油量多少升？（2）若油箱有升油,则该型号汽车最多行驶多少千米？22．（10分）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求四棱锥的侧面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

利用抛物线的定义列等式可求出的值.【题目详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，，解得，故选：D.【题目点拨】本题考查抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解，考查运算求解能力，属于中等题.2、A【解题分析】分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．详解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由题意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴﹣1＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故选A．点睛：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.3、D【解题分析】分析：先由图象得出函数的单调性，再利用函数的单调性与导数的关系即可得出.详解：由图象可知上恒有，在上恒有，在上单调递增，在上单调递减则当时，取极大值故选：D.点睛：熟练掌握函数的单调性、极值与导数的关系是解题的关键，是一道基础题.4、D【解题分析】

设m在平面上的投影，与直线l交于点O.在平面上，以O为原点、直线l为y轴建立直角坐标系.则设的方程为.又设点P（x，y）.则点P到直线l的距离，点P到直线的距离为.从而，点P到直线m的距离平方等于，其中，a为直线m到平面的距离.因此，点P的轨迹方程为，即为双曲线.5、B【解题分析】分析：利用二项展开式的通项公式求出的第项，令的指数为2求出展开式中的系数．然后求解即可．详解：6展开式中通项

令可得，，

∴展开式中x2项的系数为1，

在的展开式中，含项的系数为：1．

故选：B．点睛：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．6、D【解题分析】

选项逐一分析，得到正确答案.【题目详解】A.正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；B.正确，垂直于同一个平面的两条直线平行；C.正确，因为平面内存在直线，使，若，则，则；D.不正确，有可能.故选D.【题目点拨】本题重点考查了平行和垂直的概念辨析问题，属于简单题型.7、A【解题分析】

对等式两边进行求导，当x＝1时，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出a0的值，即可得出答案．【题目详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；又a0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣1．故选A．【题目点拨】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解题的关键．8、D【解题分析】试题分析：由题表格；相关系数越大，则相关性越强．而残差越大，则相关性越小．可得甲、乙、丙、丁四位同学，中丁的线性相关性最强．考点：线性相关关系的判断．9、B【解题分析】

结合图象可得到f'(x)-f(x)<0成立的x的取值范围，从而可得到g(x)【题目详解】由图象可知，y轴左侧上方图象为f'(x)的图象，下方图象为对g(x)求导，可得g'(x)=f'(x)-f(x)ex，结合图象可知x∈(0,1)和x∈(4,5)时，f'(x)-f(x)<0，即g(x)在0,1和【题目点拨】本题考查了函数的单调性问题，考查了数形结合的数学思想，考查了导数的应用，属于中档题.10、D【解题分析】

先解出集合、，再利用补集和交集的定义可得出.【题目详解】因为，即或，所以，则，应选答案D.【题目点拨】本题考查集合的交集和补集的运算，同时也涉及了二次不等式与对数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.11、D【解题分析】

根据向量运算和向量夹角公式，向量模依次判断每个选项得到答案.【题目详解】，故，故错误；，故错误；，故，故，错误；，故，正确.故选：.【题目点拨】本题考查了向量数量积，向量夹角，向量模，意在考查学生的计算能力.12、B【解题分析】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据向量模的性质可知当与反向时，取最大值，根据模长的比例关系可得，整理可求得结果.【题目详解】当且仅当与反向时取等号又整理得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查向量模长的运算性质，关键是能够确定模长取得最大值时，两个向量之间的关系，从而得到两个向量之间的关系.14、24【解题分析】

首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.【题目详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种【题目点拨】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.15、256【解题分析】

根据二项式展开式的通项公式求得，再用赋值法求出各项系数的和.【题目详解】由二项式的展开式的通项公式得，则所以所以所以再令得展开式中各项系数的和故答案为【题目点拨】本题考查二项式展开式中的特定项和各项系数和，属于中档题.16、【解题分析】

根据两地的经度差得两地纬度小圆上的弦长，再在这两地与球心构成的三角形中运用余弦定理求出球心角，利用弧长公式求解.【题目详解】由已知得，所以，所以，所以在中，，所以，所以甲、乙两地的球面距离为.故得解.【题目点拨】本题考查两点的球面距离，关键在于运用余弦定理求出球心角，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）E=0.【解题分析】（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1-P（C）=1-P=，解得P=………………4分（2）由题意，P（=0）=[来源:Z+xx+k.Com]P（=1）=P（=2）=P（=3）=所以，随机变量的概率分布列为：0123 P故随机变量X的数学期望为：E=0……12分.[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.18、（1）（2）3.【解题分析】

将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值。由（1）知，直接利用公式：平方平均数算数平均数，即可解出最小值。【题目详解】（1）如图所示∴(2)由（1）知∴∴∴∴当且仅当，是值最小∴的最小值为3.【题目点拨】本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题.19、（Ⅰ）.（Ⅱ）为定值.证明见解析．【解题分析】本试题主要是考出了椭圆方程的求解，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系的运用的综合考查，体现了运用代数的方法解决解析几何的本质的运用．（1）首先根据题意的几何性质来表示得到关于a,b,c的关系式，从而得到其椭圆的方程．（2设出直线方程，设点P的坐标，点斜式得到AP的方程，然后联立方程组，可知借助于韦达定理表示出长度，进而证明为定值．（Ⅰ）解：由题意可知，，，解得.…………4分所以椭圆的方程为.…………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,，.设，依题意，于是直线的方程为，令，则.即.…………7分又直线的方程为，令，则，即.…………9分…………11分又在上，所以,即，代入上式，得,所以为定值.…………12分20、（1）；（2）存在圆上一点满足、均为为抛物线的切线，详见解析.【解题分析】

（1）将圆的方程表示为标准方程，得出其圆心的坐标，求出点的坐标，求出抛物线的焦点的坐标，然后由为等边三角形得出为圆的半径可求出的值，进而求出抛物线的方程；（2）设、，设切线、的方程分别为和，并写出抛物线在点的切线方程，设，并设过点的直线与抛物线相切，利用可求出、的表达式，从而可用表示直线、，然后求出点的坐标，检验点的坐标满足圆的方程，即可得出点的存在性，并得出点的坐标.【题目详解】（1）圆的标准方程为，则点，抛物线的焦点为，为等边三角形，则，即，解得，因此，抛物线；（2）设、.过点、作抛物线的两条切线（异于直线）交于点，并设切线，，由替换法则，抛物线在点处的切线方程为，即，记，①设过点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程，得，，即，，，由①可得，，，②，同理可得，，切线，，联立两式消去可得，，③代入可得，代入②有，，联立与圆可得，，，分别代入③、④可得，，，即切线、的交点在圆上，故存在圆上一点，满足、均为抛物线的切线.【题目点拨】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的切线方程，同时也考查了韦达定理，解题的关键就是直线与抛物线相切，得出切线斜率