测量平差理论

主讲人：王华1一、间接平差原理主讲人：王华2

1.观测方程与误差方程设有n个平差值方程和误差方程的纯量表达式分别为：令

则相应方程的矩阵表达式分别为

主讲人：王华32.基础方程误差方程中未知数个数（n+t）大于方程个数n，方程有无穷多组解。根据最小二乘原理可求得满足方程的唯一一组解。

求VTPV的自由极值得：

上式与误差方程联立得基础方程

方程中未知数个数与方程个数相等，方程有唯一解。

主讲人：王华43.基础方程的解将基础方程第一式代入第二式得

令

则有法方程由此可求出参数平差值、观测值改正数和平差值主讲人：王华54.精度评定验后单位权方差：平差参数的协方差矩阵：平差参数函数的协方差矩阵：主讲人：王华6间接平差法的步骤选择平差参数（独立）列观测方程（线性化）列误差方程组成法方程解法方程，计算参数的平差值计算观测值的改正数和观测值的平差值精度评定主讲人：王华7二、误差方程的列立高差观测值误差方程的列立方向观测值误差方程的列立角度观测值误差方程的列立长度观测值误差方程的列立主讲人：王华8参数的选取与要求参数选取：水准网一般选择未知点高程为参数，也可选择观测高差为参数；平面控制网一般选择未知点坐标为参数，也可选择观测角度等为参数。

参数选择要求：参数个数等于必要观测数t；参数间线性无关。主讲人：王华91.高程测量观测方程与误差方程如下图水准网列出平差值方程及误差方程

解：t=2，应选两个参数

观测方程为：

将代入观测方程得：

主讲人：王华102.方位测量观测方程与误差方程设

计算参数近似值：

平差值方程为：

其中

主讲人：王华11

观测方向的误差方程为：

或

ajk、bjk称j、k方向的方向系数。主讲人：王华123.角度测量观测方程与误差方程观测方程：

误差方程：

常数项：

主讲人：王华134.边长测量观测方程与误差方程设：

观测方程：

其中

误差方程：

常数项：主讲人：王华14三、算例主讲人：王华151.水准网算例下图中A为已知水准点，其高程HA＝237.483m，为了确定B、C、D点高程，共观测了5个高差，高差观测值及相应水准路线的路线长度为

试按间接平差法求B、C、D点高程的平差值。

解：此例n=5，t=3，应选3个独立参数，列出5个方程方程。1、选参数，计算参数近似值

主讲人：王华162、列观测方程：

3、计算误差方程常数项

l

主讲人：王华174、列误差方程，确定观测值的权：

或

令c=10，则由定权公式，有

5、组成法方程，求参数改正数

主讲人：王华18

法方程为：

解出：主讲人：王华19

6、求观测值改正数

、观测值平差值和高程平差值主讲人：王华202.测角网算例例题同精度测得下图中的六个角度L1，L2，…，L6

其观测值列于表1中，已知点的起算数据列于表2中。试以待定点D的坐标为参数，列出平差值方程及误差方程，并求出平差值。表1

角号

观测值Li

角号

观测值Li

123106°50′42.2"30

5244.0421639.1

456

28°26′05.0"1274841.2234516.2主讲人：王华21

点名

坐标（m）

坐标方位角边长（m）

X

YBAC13737.378986.686642.2710501.925705.0314711.75

225°16′38.1"1043524.36751.249306.84解：1、计算参数近似值

表2主讲人：王华22方向近似坐标方位角

近似边长（m）DADBDC256°09′22.0"2

5959.01282039.04745362056093、列坐标方位角改正数方程，计算坐标方位角改正数方程的系数。2、由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角和近似边长，见表3。

主讲人：王华23

方向

（m）

（m）

系数（秒／dm）DADBDC-46071894399-11353615-34802252·1041311·1043146·104-4.220.302.881.04-5.692.28据表中系数可写出坐标方位角改正数方程

系数计算见表4主讲人：王华24误差方程常数项计算

观测方程4、列观测方程和误差方程

主讲人：王华25

检核：属于同一个三角形的三个误差方程求和，其未知数部分应自相抵消；常数项之和应等于三角形闭合差反号。

5、组成法方程，求参数及观测量的平差值

误差方程主讲人：王华26

法方程为

解法方程，得

主讲人：王华27求观测值平差值求D点坐标平差值求观测值改正数主讲人：王华283.测边网算例例同精度测得右图中的三个边长，其结果为S1＝387.363，S2＝306.065，S3＝354.862。已知点A、B、C的起算数据列于表5中，试列出误差方程，并求出平差值。

点名坐标（m）

方位角αXY

A

B

C

A2692.201

2092.765

2210.5935203.153

5132.304

5665.422

603.608

545.984

667.562

186º44′26.4″

773213.3

3161025.6边长（m）s

主讲人：王华29解：1、设D点坐标XD和YD为参数，计算参数近似值

如图，待定点D的坐标为

主讲人：王华30方向jk

（m）

（m）近似边长

（m）ADBDCD-365.942233.494115.666

127.031197.880-335.238387.363306.065354.631-0.94470.76290.3262

0.32790.6465-0.9453

000.231误差方程为