平面向量数量积及应用

高考文数

(课标Ⅲ专用)§5.2平面向量的数量积及应用1.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=

()A.4

B.3

C.2

D.0五年高考A组

统一命题·课标卷题组答案

B本题考查数量积的定义和运算.a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.故选B.解题关键掌握数量积的运算是求解关键.2.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量

=

,

=

,则∠ABC=

()A.30°

B.45°

C.60°

D.120°答案

A

cos∠ABC=

=

,所以∠ABC=30°,故选A.3.(2015课标全国Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=

()A.-1

B.0

C.1

D.2答案

C因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=

1.故选C.4.(2019课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>=

.答案-

解析本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运

算法则与运算方法的素养要素.由题意知cos<a,b>=

=

=-

.5.(2017课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=

.答案2解析∵a⊥b,∴a·b=0,又a=(-2,3),b=(3,m),∴-6+3m=0,解得m=2.6.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=

.答案7解析本题考查向量数量积的坐标运算.∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m-1,3),又(a+b)⊥a,∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.7.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=

.答案-

解析因为a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-

.思路分析混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因.考点一数量积的定义及模、夹角的运算B组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于

点O.记I1=

·

,I2=

·

,I3=

·

,则

()

A.I1<I2<I3

B.I1<I3<I2

C.I3<I1<I2

D.I2<I1<I3

答案

C解法一:因为AB=BC,AB⊥BC,∴∠BCO=45°.过B作BE⊥AC于E,则∠EBC=45°.因为AD<DC,所以D、A在BE所在直线的同侧,从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角.从而∠AOB为钝角,所以∠DOC为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可设

=-λ1

(λ1>1),

=-λ2

(λ2>1),从而I3=

·

=λ1λ2

·

=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,∴I3<I1<0,∴I3<I1<I2.故选C.

解法二:如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0).

设D(m,n),由AD=2和CD=3,得

从而有n-m=

>0,∴n>m.从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角.从而∠AOB为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可设

=-λ1

(λ1>1),

=-λ2

(λ2>1),从而I3=

·

=λ1λ2

·

=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3<I1,∴I3<I1<I2.故选C.2.(2019北京,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=

.答案8解析本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法.∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0,∴m=8.易错警示容易把两向量平行与垂直的条件混淆.3.(2018北京,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=

.答案-1解析本题主要考查平面向量数量积的坐标运算.∵a=(1,0),b=(-1,m),∴a2=1,a·b=-1,由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0,即ma2-a·b=0,即m-(-1)=0,∴m=-1.解析

解法一:

·

表示

在

方向上的投影与|

|的乘积,当P在B点时,

·

有最大值,此时

·

=2×3=6.

解法二:设P(x,y),则

·

=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由题意知-1≤x≤1,∴x=1时,

·

取最大值6,∴

·

的最大值为6.答案64.(2017北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则

·

的最大值为

.5.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为

.答案-5解析因为a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=

,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.1.(2018天津,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,

=2

,

=2

,则

·

的值为

()

A.-15

B.-9

C.-6

D.0考点二数量积的综合应用答案

C解法一:连接OA.∵

=

-

=3

-3

=3(

-

)-3(

-

)=3(

-

),∴

·

=3(

-

)·

=3(

·

-|

|2)=3×(2×1×cos120°-12)=3×(-2)=-6.故选C.解法二:在△ABC中,不妨设∠A=90°,取特殊情况ON⊥AC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分

别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为∠MON=120°,ON=2,OM=1,所以O

,C

,M

,B

.故

·

=

·

=-

-

=-6.故选C.

2.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为

,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是

()A.

-1

B.

+1

C.2

D.2-

答案

A设

=a,

=b,

=e,以O为原点,

的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨设A点在第一象限,∵a与e的夹角为

,∴点A在从原点出发,倾斜角为

,且在第一象限内的射线上.设B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运

动.而

=a-b,∴|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=

x(x≥0)的距离减去圆的半径,∴|a-b|min=

-1.选A.一题多解将b2-4e·b+3=0转化为b2-4e·b+3e2=0,即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).设

=e,

=a,

=b,

=3e,

=2e,则

⊥

,∴点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图.

∵|a-b|=|

|,∴|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径.∵|

|=2,∠AOM=

,∴|a-b|min=2sin

-1=

-1.3.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2

,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则

·

=

.答案-1解析本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考

查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面考查了学生

逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.解法一:∵∠BAD=30°,AD∥BC,∴∠ABE=30°,又EA=EB,∴∠EAB=30°,在△EAB中,AB=2

,∴EA=EB=2.以A为坐标原点,直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0,0),D(5,0),E(1,

),B(3,

),∴

=(2,-

),

=(1,

),∴

·

=(2,-

)·(1,

)=-1.解法二:同解法一,求出EB=EA=2,以

,

为一组基底,则

=

-

,

=

+

=

-

,∴

·

=(

-

)·

=

·

-

+

·

-

=

×5×2

×

-12-

×25=-1.4.(2019江苏,12,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若

·

=6

·

,则

的值是

.

答案

解析本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查

学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算.过D作DF∥EC,交AB于F.∵D为BC的中点,∴F为BE的中点,

又BE=2EA,∴EF=EA,又DF∥EO,∴AO=

AD,∴

=

=

×

(

+

).∴

·

=

(

+

)·

=

.∵

·

=6

·

,∴

·

=

-

+

·

,∴

=3

,∴|

|=

|

|,∴

=

.一题多解由于题目中对∠BAC没有限制,所以不妨设∠BAC=90°,AB=c,AC=b,建立如图所示

的平面直角坐标系.

则E

,D

,易得lAD:y=

x,lEC:

+

=1,联立得

解得

则O

.由

·

=6

·

得6

·

=0,∴c2=3b2,∴c=

b,∴

=

.5.(2017天津,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若

=2

,

=λ

-

(λ∈R),且

·

=-4,则λ的值为

.答案

解析本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算.由

=2

得

=

+

,所以

·

=

·(λ

-

)=

λ

·

-

+

λ

-

·

,又

·

=3×2×cos60°=3,

=9,

=4,所以

·

=λ-3+

λ-2=

λ-5=-4,解得λ=

.

思路分析根据

=2

得

=

+

,利用

·

=-4以及向量的数量积建立关于λ的方程,从而求得λ的值.一题多解以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,∠

∠BAC=60°,所以B(3,0),C(1,

),又

=2

,所以D

,所以

=

,而

=λ

-

=λ(1,

)-(3,0)=(λ-3,

λ),因此

·

=

(λ-3)+

×

λ=

λ-5=-4,解得λ=

.

6.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量

,

,

的模分别为1,1,

,

与

的夹角为α,且tanα=7,

与

的夹角为45°.若

=m

+n

(m,n∈R),则m+n=

.

答案3解析本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识.解法一:∵tanα=7,α∈[0,π],∴cosα=

,sinα=

,∵

与

的夹角为α,∴cosα=

=

,∵

=m

+n

,|

|=|

|=1,|

|=

,∴

=

,①又∵

与

的夹角为45°,∴

=

=

,②又cos∠AOB=cos(45°+α)=cosαcos45°-sinαsin45°=

×

-

×

=-

,∴

·

=|

|·|

|·cos∠AOB=-

,将其代入①②得m-

n=

,-

m+n=1,两式相加得

m+

n=

,所以m+n=3.解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N,则

=m

,

=n

,由正弦定理得

=

=

,∵|

|=

,由解法一知,sinα=

,cosα=

,∴|

|=

=

=

,|

|=

=

=

,又

=m

+n

=

+

,|

|=|

|=1,∴m=

,n=

,∴m+n=3.1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,

=(1,-2),

=(2,1),则

·

=

()A.5

B.4C.3

D.2C组教师专用题组答案

A∵四边形ABCD是平行四边形,∴

=

+

=(3,-1),∴

·

=2×3+1×(-1)=5.选A.2.(2015陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中

的是

()A.|a·b|≤|a||b|

B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2

D.(a+b)·(a-b)=a2-b2

答案

B设向量a,b的夹角为θ,因为a·b=|a||b|cosθ,所以|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,A成立;由向量

的运算律易知C,D成立.故选B.3.(2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为

()A.

B.

C.

D.

答案

C因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cosθ=

=

=-

,又0≤θ≤π,所以θ=

,故选C.4.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,

),C(3,0),动点D满足|

|=1,则|

+

+

|的取值范围是

()A.[4,6]

B.[

-1,

+1]C.[2

,2

]

D.[

-1,

+1]答案

D由|

|=1知,点D是以C为圆心,1为半径的圆上的动点,设D(x,y),则(x-3)2+y2=1.|

+

+

|=|(x-1,y+

)|表示点D到点P(1,-

)的距离,又|

|=

=

,因此

-1≤|

|≤

+1,故选D.5.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是

,最大值是

.答案4;2

解析解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4,∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4.∵

≤

=

=

,∴|a+b|+|a-b|≤2

.当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a·b=0.故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2

.解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,得1≤x≤3.设y=|a-b|,同理,1≤y≤3.而x2+y2=2a2+2b2=10,故可设x=

cosθ,

≤cosθ≤

,y=

sinθ,

≤sinθ≤

.设α1,α2为锐角,且sinα1=

,sinα2=

,则有α1≤θ≤α2,又0<α1<

<α2<

,则x+y=

(cosθ+sinθ)=2

sin

,α1+

≤θ+

≤α2+

,而

<α1+

<

<α2+

<

,故当θ+

=

,即θ=

时,x=y,此时|a+b|=|a-b|,所以当a⊥b时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2

.又sin

=sin

=

=

,故当θ=α1或θ=α2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时a∥b,x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4.解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1.则|a+b|+|a-b|=

+

=

+

=

+

=

=

,∵0≤x2≤1,故当x=0,即a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2

,当x2=1,即a∥b时,|a+b|+|a-b|有最小值4.6.(2016浙江,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大

值是

.答案

解析由已知易得a,b所成角为60°,如图.

设向量e与a所成角为α,e与b所成角为β,则α与β的关系为β=60°-α(e在区域Ⅰ)或β=60°+α(e在区域Ⅱ)或β=300°-α(e在区域Ⅲ)或β=α-60°

(e在区域Ⅳ).当β=60°-α(e在区域Ⅰ)时,|a·e|+|b·e|=cosα+2cosβ=2cosα+

sinα=

sin(α+φ),其中tanφ=

,则φ>30°,∵φ≤α+φ≤60°+φ,∴|a·e|+|b·e|的最大值为

.同理可得另三种情况下所求最大值均为

.故|a·e|+|b·e|的最大值为

.7.(2015湖北,11,5分)已知向量

⊥

,|

|=3,则

·

=

.答案9解析∵

⊥

,∴

·

=0,即

·(

-

)=0,∴

·

=

=9.8.(2015安徽,15,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足

=2a,

=2a+b,则下列结论中正确的是

.(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥

;⑤(4a+b)⊥

.答案①④⑤解析∵

=2a,|

|=2,∴2|a|=2,∴|a|=1,故①正确.由

=

-

=2a+b-2a=b,知④正确,又|b|=|

|=2,故②不正确.由a·b=

·

=

×2×2×

=-1,知③不正确.由(4a+b)·

=(2

+

)·

=2

·

+

=2×2×2×

+4=0,知⑤正确.综上,结论正确的是①④⑤.9.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=

,则a·b=

.答案10解析由a=(-2,-6),得|a|=

=2

,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=2

×

×cos60°=10.10.(2014江西,12,5分)已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=

,若向量a=3e1-2e2,则|a|=

.答案3解析由向量数量积的定义知e1·e2=|e1||e2|cosα=1×1×

=

,而a2=(3e1-2e2)2=9

-12e1·e2+4

=9×12-12×

+4×12=9,所以|a|=3.11.(2014四川,14,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,

则m=

.答案2解析

a=(1,2),b=(4,2),则c=ma+b=(m+4,2m+2),|a|=

,|b|=2

,a·c=5m+8,b·c=8m+20.∵c与a的夹角等于c与b的夹角,∴

=

,∴

=

,解得m=2.12.(2014天津,13,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3

BE,DC=λDF.若

·

=1,则λ的值为

.答案2解析如图,

=

+

=

+

,

=

+

=

+

=

+

,

所以

·

=

·

=

·

+

2+

2=

×2×2×cos120°+

+

=1,解得λ=2.考点一数量积的定义及模、夹角的运算三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2019贵州贵阳一中高三月考,3)已知向量|a|=1,|b|=

,且a⊥(a-b),则|a-b|=

()A.1

B.

C.

D.

答案

A∵|a|=1,|b|=

,且a⊥(a-b),∴a·(a-b)=0,即|a|2-a·b=0,∴a·b=1,∴(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=1+2-2=1,∴|a-b|=1.故选A.2.(2019四川内江数学一诊,5)若|a|=1,|b|=2,|a+2b|=

,则a与b的夹角为

()A.

B.

C.

D.

答案

D∵|a|=1,|b|=2,|a+2b|=

,∴(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=1+16+4a·b=13,∴a·b=-1,∴cos<a,b>=

=-

,又0≤<a,b>≤π,∴a,b的夹角为

.故选D.3.(2017贵州遵义模拟,6)设向量e1,e2是两个互相垂直的单位向量,且a=2e1-e2,b=e2,则|a+2b|=

()A.2

B.

C.2

D.4答案

B因为|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,所以a2=(2e1-e2)2=5,b2=1,a·b=(2e1-e2)·e2=-1,所以(a+2b)2=a2+4a·b

+4b2=5-4+4=5,所以|a+2b|=

.4.(2019四川高三部分重点中学联考五,9)如图,△AOB为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边AB

上的高,P为线段OC的中点,则

·

=

()

A.-1

B.-

C.-

D.-

答案

D解法一:由已知得,|

|=

|

|=

×

=

,|

|=1,∠AOP=

,则

·

=(

-

)·

=

-

·

=

-|

||

|cos

=

-

=-

.故选D.解法二:建立如图所示的直角坐标系,

则A(0,1),B(1,0),C

,P

,∴

=

,

=

,∴

·

=

·

=

-

=-

.故选D.5.(2019西藏拉萨中学高三第五次月考,11)若|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为60°,当|a-xb|取得最小

值时,实数x的值为

()A.2

B.-2

C.1

D.-1答案

C(a-xb)2=a2-2xa·b+x2b2=4-2xa·b+x2=x2-2x+4=(x-1)2+3,可知当x=1时,|a-xb|取得最小值

,所以实数x的值为1.6.(2019云南师范大学附属中学高三上月考,4)已知正三角形ABC的边长为2

,重心为G,P是线段AC上一点,则

·

的最小值为

()A.-

B.-2

C.-

D.-1答案

C取BC的中点为D,连接AD,因为△ABC为正三角形,所以△ABC的重心G在AD上,且AG=

AD,则

=

=

×

(

+

)=

(

+

).因为P是AC上一点,设

=t,t∈[0,1],则

=t

,则

=

-

=t

-

(

+

)=-

+

,则

·

=

·t

=-

·

+t

·

=-

|

||

|cos∠BAC+t

|

|2=-

×2

×2

×

+

×(2

)2=12t2-6t.因为t∈[0,1],所以当t=-

=

时,

·

取得最小值,且12×

-6×

=-

.故选C.7.(2019四川资阳高三二诊,14)若向量a=(1,1),b=(2,3),c=(3,x),若满足条件(2a+b)·c=2,则x=

.答案-2解析(2a+b)·c=(4,5)·(3,x)=2,即12+5x=2,解得x=-2.1.(2019广西百校高三大联考,5)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量是单位向量的

是

()A.a+bB.a-

bC.a+

bD.a-b考点二数量积的综合应用答案

D∵(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2=1-2×1×1×cos60°+1=1,∴|a-b|=1,∴a-b是单位向量,故选D.2.(2019四川成都石室中学高三上月考,3)已知向量b在向量a方向上的投影为-2,且|a|=1,则a·b=

()A.-1

B.1

C.-2

D.2答案

C∵|b|cos<a,b>=-2,|a|=1,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=-2,故选C.3.(2019四川成都七中高三周考,7)已知向量

,

满足|

|=|

|=1,

·

=0,

=λ

+μ

(λ,μ∈R),若M为AB的中点,并且|

|=1,则点(λ,μ)的轨迹方程是

()A.

+

=1

B.

+(μ+1)2=1C.(λ-1)2+(μ-1)2=1

D.

+

=1答案

D∵M是AB的中点,∴在△ABO中,

=

(

+

),∴|

|=|

-

|=

=1,∴

=1,∴

+

=1,故选D.4.(2019四川达州一诊,11)扇形OAB的半径为1,圆心角为90°,P是

上的动点,则

·(

-

)的最小值是

()A.0

B.-1

C.-

D.

答案

B根据题意建立平面直角坐标系,如图所示,

设点P(x,y),则

∴

=(x,y),

=(1,0),

=(0,1),∴

·(

-

)=x-y,易知当x=0,y=1时,x-y取得最小值-1,故

·(

-

)的最小值是-1.故选B.5.(2019云南昆明高三测试,13)已知向量a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,则t=

.答案2解析已知向量a=(-1,3),b=(1,t),所以a-2b=(-3,3-2t).由(a-2b)⊥a,得(a-2b)·a=(-3,3-2t)·(-1,3)=3+9-6t=0,解得t=2.故答案为2.6.(2019四川绵阳南山中学一诊,15)平面向量a,b,c两两所成的角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|a+b+

c|=

.答案

或6解析∵平面向量a,b,c两两所成的角相等,∴两两所成的角为0°或120°,∵|a|=1,|b|=2,|c|=3,当所成角为120°时,a·b=1×2×cos120°=-1,a·c=1×3×cos120°=-

,b·c=2×3×cos120°=-3.则|a+b+c|=

=

=

.同理可得当所成角为0°时,|a+b+c|=6.故答案为

或6.7.(2019贵州遵义四中高三上第二次月考,15)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若

b·c=0,则实数t=

.答案2解析由题意得,a·b=|a||b|cos60°=

,因为b·c=0,即b·[ta+(1-t)b]=ta·b+(1-t)b2=

t+(1-t)=1-

t=0,解得t=2.故答案为2.B组

2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:30分钟分值:50分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018四川雅安三诊,5)已知向量a=(2,-1),b=(1,3),且a⊥(a+mb),则m=

()A.1

B.5

C.-1

D.-5答案

B

a+mb=(2,-1)+m(1,3)=(2,-1)+(m,3m)=(m+2,3m-1),因为a⊥(a+mb),所以a·(a+mb)=2(m+

2)+(-1)×(3m-1)=2m+4-3m+1=5-m=0,所以m=5.故选B.2.(2019四川高三部分重点中学联考四,9)在△ABC中,AB=AC=2,BC=2

,则

·

=

()A.-2

B.-2

C.2

D.2

答案

A在△ABC中,由余弦定理得cosA=

=

=-

,所以

·

=|

||

|cosA=2×2×

=-2,故选A.3.(2019贵州毕节高三上联考,6)已知两个单位向量e1,e2互相垂直,则下列选项中的两个向量的

夹角为45°的是

()A.e1-e2与e1+e2B.e2与e1-e2C.e1与e2-e1D.e1与e1+e2

答案

D∵(e1-e2)·(e1+e2)=

-

=1-1=0,∴e1-e2与e1+e2互相垂直,A错误,e2与e1-e2的夹角为135°,e1与e2-e1的夹角也为135°,故B,C错误,e1与e1+e2的夹角为45°,D正确.故选D.4.(2019四川成都七中高三上入学考试,5)若平面向量a,b满足(2a-b)⊥b,则下列各式恒成立的是

()A.|a+b|=|a|

B.|a+b|=|b|C.|a-b|=|a|

D.|a-b|=|b|答案

C∵(2a-b)⊥b,∴(2a-b)·b=0,即2a·b=b2,∴a2+b2-2a·b=a2,即(a-b)2=a2,则|a-b|=|a|.故选C.5.(2019贵州遵义航天高级中学高三五模,6)设四边形ABCD为平行四边形,|

|=6,|

|