高三第一轮复习-3.1任意角与弧度制

第三章三角函数第1讲任意角与弧度制及任意角三角函数第一课时任意角考纲要求考纲研读1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.任意角α的三角函数只与角α的大小有关．2．能根据三角函数的定义求三角函数值．3．能判断不同三角函数在各个象限的符号.一、任意角1、角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2、角的分类：〔1〕按角的旋转方向，可分为：①正角：射线按逆时针旋转所形成的角②负角：射线按顺时针旋转所形成的角③零角：射线没有任何旋转，形成的图形〔2〕按终边位置，可分为：①象限角：置角的顶点为____，角的始边为____，那么角的终边落在第几象限就是第几象限角。

xyo始边终边

终边终边终边1)置角的顶点于原点终边落在第几象限就是第几象限角2)始边重合于X轴的正半轴终边

ⅠⅡ

ⅢⅣ①象限角〔引例推导〕①象限角：A、第一象限角表示的集合为：B、第二象限角表示的集合为：C、第三象限角表示的集合为：D、第四象限角表示的集合为：②象限界角：假设角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它称为象限界角。A1、终边落在x正半轴的角的集合为：A2、终边落在x负半轴的角的集合为：A3、终边落在x轴的角的集合为：B1、终边落在y正半轴的角的集合为：B2、终边落在y负半轴的角的集合为：B3、终边落在y轴的角的集合为：C、终边落在坐标轴的角的集合为：3、终边相同的角：终边与角α相同的角，可写成S＝________

{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}xyo3003900-33003900=300+3600－3300=300－3600=300+1x3600

=300－1x3600

300==300+0x3600300+2x3600,300－2x3600

300+3x3600,300－3x3600…,…,与300终边相同的角的一般形式为300＋KX3600，K∈Z与ａ终边相同的角的一般形式为ａ＋Kｘ3600，K∈ZS={β|β=

a+kx3600,K∈Z}3、终边相同的角〔引例推导〕二、根底练习：1、〔1〕写出锐角的集合；〔2〕写出第一象限的集合；〔3〕锐角和第一象限角有何关系？第一象限角一定是锐角吗？反之，成立吗？〔4〕类比以上过程，说明钝角和第二象限角的关系？2、写出〔1〕终边落在直线ｙ＝ｘ上的角的集合。〔2〕终边落在直线ｙ＝-ｘ上的角的集合。3、给出以下四个命题，正确的个数有__个。①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．【题型一】：角的集合表示及象限角的判定【例1-1】：(1)写出与－1840°终边相同的角的集合M；(2)把－1840°的角写成k·360°＋α(0°≤α＜360°)的形式；(3)假设角α∈M，且α∈[－360°，360°]，求角α.【总结】在0°到360°范围内找与任意一个角终边相同的角时，可根据实数的带余除法进行．因为任意一个角α均可写成k·360°＋α1(0°≤α1＜360°)的形式，所以与α角终边相同的角的集合也可写成{β|β＝k·360°＋α1，k∈Z}．如此题M＝{β|β＝k·360°＋320°，k∈Z}．由此确定[－360°，360°]范围内的角时，只需令k＝－1和0即可．【例1-2】、假设α是第二象限的角,试分别确定2α,α/2,α/3的终边所在位置.解∵是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°〔k∈Z〕.〔1〕∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°〔k∈Z〕，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.〔2〕∵k·180°+45°＜α/2＜k·180°+90°〔k∈Z〕，当k=2n〔n∈Z〕时，n·360°+45°＜α/2＜n·360°+90°；当k=2n+1〔n∈Z〕时，n·360°+225°＜＜n·360°+270°.∴α/2是第一或第三象限的角.〔3〕∵k·120°+30°＜α/3＜k·120°+60°〔k∈Z〕，当k=3n〔n∈Z〕时，n·360°+30°＜α/3＜n·360°+60°；当k=3n+1〔n∈Z〕时，n·360°+150°＜α/3＜n·360°+180°；当k=3n+2〔n∈Z〕时，n·360°+270°＜α/3＜n·360°+300°.∴α/3是第一或第二或第四象限的角.【例1-3】、《三维设计》P53,例1〔2〕【例1-4】、《三维设计》P53,以题试法：1〔2〕四、总结〔一〕、今天讲了哪些内容？1、角的概念：2、角的分类：〔1〕按角的旋转方向，可分为：①正角：射线按逆时针旋转所形成的角②负角：射线按顺时针旋转所形成的角③零角：射线没有任何旋转，形成的图形〔2〕按终边位置，可分为：①象限角：A、第一象限角表示的集合为：②象限界角：3、终边相同的角：终边与角α相同的角，可写成S＝________〔二〕今天涉及到的思想方法有哪些？{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}五、作业一、交：〔一〕必做：1、写出终边落在直线y=-x的角的集合。2、假设α是第三象限的角,试分别确定2α,α/2的终边所在位置.二、不交：1、《三维设计》P53，考点一2、《课时跟踪检测》P235，12、复习《必修4》P6~15第二课时弧度制一、复习〔一〕、上一节课讲了哪些内容？1、角的概念：2、角的分类：〔1〕按角的旋转方向，可分为：①正角：射线按逆时针旋转所形成的角②负角：射线按顺时针旋转所形成的角③零角：射线没有任何旋转，形成的图形〔2〕按终边位置，可分为：①象限角：A、第一象限角表示的集合为：②象限界角：3、终边相同的角：终边与角α相同的角，可写成S＝________〔二〕上一节课涉及到的思想方法有哪些？{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}二、知识点1、1弧度的角：长度等于_____________所对的圆心角2、规定：正角的弧度数为_____，负角的弧度数为_____，零角的弧度数为____3、弧度制：用弧度作为单位来度量角的单位制。注意：弧度制的单位是弧度或rad，可以省略，比方1rad可写成1，但是角度制的单位是°，不能省略。4、角α的弧度数的绝对值：|α|＝__(其中l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r是圆的半径〕。5、角度制与弧度制的换算：1rad=_____°【根底训练1】把以下角度换算成弧度，或弧度换算成角度：〔1〕36°；〔2〕-150°；〔3〕1095°；〔4〕-7/6π〔5〕2/3180°＝___rad；π1°＝______rad≈0.01745rad；

π180半径长的弧正数负数零6、特殊角的弧度数与角度数的对照表〔要求：记住〕：7、弧长公式和扇形的面积公式：〔1〕弧长公式：l=_____(注意：单位制是_______)〔2〕扇形的面积公式：S=

0º30º45º60º90º180º270º

0

43223

|α|·r

弧度制

二、根底练习：1、〔见《三维设计》P52，小题能否全取：5〕弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为____,面积为____.三、题型二：扇形的弧长和面积公式【例2-1】〔见《三维设计》P54，例3〕〔1〕扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。〔2〕扇形周长是40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？(一)今天讲了哪些知识？1、1弧度的角：长度等于_____________所对的圆心角2、规定：正角的弧度数为_____，负角的弧度数为_____，零角的弧度数为____3、弧度制：4、角α的弧度数的绝对值：5、角度制与弧度制的换算：

半径长的弧正数负数零四、小结五、作业二、不交：1、《课时跟踪检测》P235，2,102、复习《必修4》第三课时任意角的三角函数(一)上节课讲了哪些知识？1、1弧度的角：长度等于_____________所对的圆心角2、规定：正角的弧度数为_____，负角的弧度数为_____，零角的弧度数为____3、弧度制：4、角α的弧度数的绝对值：5、角度制与弧度制的换算：

半径长的弧正数负数零一、复习二、新课〔任意角的三角函数〕1、三角函数的定义：设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么(1)比值—叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝____.(2)比值—叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝____.(3)比值—叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝_____.

y r x r y x【根底练习1】角α的终边上任意一点P(-3，4),sinα,cosα,tanα∴sinα

=4/5,cosα=-3/5,

tanα=-3/4其中r=【题型三】三角函数的定义【例1-1】角α的终边在直线3x+4y=0上，sinα,cosα,tanα的值。总结：角α的终边所在直线方程，那么可①先设终边上一点的坐标，②再求出词典到原点的距离r，③最后根据三角函数的定义求相关问题。注意：假设角α的终边落在一直线上，一般要分类讨论。【例1-2】(11江西)(《三》P54,高)角α终边上一点P〔4，y〕,且，那么y=______.【变式1-1】见《三维设计》P54,以题试法2；P55，针对训练【例1-3】(11课标)角α终边在直线y=2x上，那么cos2α=____2、三角函数在各象限的符号：(1)、根据三角函数的定义，在()内判断对应的三角函数值在各象限的符号：(2)、总结：三角函数正值口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(3)、根底练习：〔见下页〕()()()()sinα=()+-+-()()()()cosα=()+-+-()()()()tanα=()+-+-在第一象限内，r_0,x_0,所以sinα_0。同理可得，其它象限的符号

2、三角函数在各象限的符号：3、终边相同的角的各三角函数之间的关系：〔1〕与角α终边相同的角可表示为________由三角函数的定义，其三角函数值________，即公式：〔2〕公式：cos(2kπ+α)=_____sin(2kπ+α)=_____tan(2kπ+α)=_____〔3〕结论：终边相同的角的同名三角函数______〔4〕作用：利用此公式，可以将求任意角的三角函数值，转化为求0~2π〔或0°~360°〕的角的三角函数。比方：求tan(-672°〕，可以转化为tan______?〔5〕【根底训练】求值：①sin(-660°)；②cos(7π/3)cos

αβ＝α＋k·360°，k∈Z不变sin

αtan

α50°相等终边相同点的坐标相同同一函数值相同原因：4.几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度数sinαcosαtanα〔要求：默写并懂得使用〕第四课时单位圆与三角函数线理解角α的正弦线､余弦线､正切线,可以用有向线段来表示角α的三角函数值,会作出角的三角函数线.一、复习导入1、三角函数的定义：设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么(1)比值—叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝____.(2)比值—叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝____.(3)比值—叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝_____.

y r x r y x特别的，当r=1时，sinα=___;cosα=___;tanα=___;其中r=2、单位圆：一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆此时，点P的坐标为(__,__)3.有向线段的概念：带有方向的线段叫有向线段；有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3有向线段=3有向线段OB=3二、三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为，即，其中cosα＝，sinα＝，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，那么tanα＝.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的、、.(cosα，sinα)P(cosα，sinα)OMMPAT余弦线正弦线正切线P(cosα，sinα)P(x,y)P(x,y)对于三角函数线,要结合以下图弄清以下几点:1.三角函数线的位置:正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段,余弦线在x轴上;正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上.三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外.

2.三角函数线的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点,余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向与α终边或其反向延长线的交点.

3.三角函数值的正负:三条有向线段与x轴或与y轴同向那么为正值,与x轴或与y轴反向那么为负值.

如果角α的终边在坐标轴上,就要注意考虑特殊情况.1.分别作出、、的正弦线、余弦线、正切线。三、根底练习2-1、MP,OM,AT分别是60°角的正弦线,余弦线,正切线,那么一定有()

A.MP<OM<ATB.OM<MP<AT

C.AT<OM<MPD.OM<AT<MP

解析:作图易知.

答案:B

2-2、〔10天津〕比较a=sin5π/7，b=cos2π/7，c=tan2π/7的大小：_____<______<_______

3、〔09重庆〕比较a=sin11°，b=cos10°，c=sin168°的大小：_____<______<_______

题型二求角α的范围

4、在单位圆中画出适合以下条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合.

(1)sinα≥

(2)cosα≤分析:先作出sinα 和cosα 时角α的终边,然后结合图形解不等式.解:(1)作直线 交单位圆于A､B,连结OA､OB,那么OA与OB围成的区域(阴影局部)即为角α的终边的范围.

故满足条件的角α的集合为

{α|2kπ ≤α≤2kπ k∈Z}.

(2)作直线x=-交