直角三角形-2021-2022学年八年级数学下学期期末考试好题汇编（北师大版）（解析版）

专题02直角三角形

考向一：直角三角形的判定与性质

考向二：勾股定理的应用二——翻折问题

餐经典基础题

一、直角三角形的判定与性质

1.（2022•江苏扬州•八年级期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.G，4，石B.2,3,4C.4,6,8D.6,8,10

【答案】D

【解析】

【分析】

根据勾股定理的逆定理逐项计算可得.

【详解】

选项A,后+G于后；

选项B,22+32*42；

选项C,42+6282；

选项D,62+82=102；

根据勾股定理的逆定理，只有选项D符合条件，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

2.（2022•福建泉州•八年级期末）在NBC中，BC=n2-t2,AC=2nt,AB=n2+t2（n,，是正整数，且〃>f）,则“BC

是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

利用完全平方公式变形证明BC2+AC2^AB\即可证明AABC是直角三角形.

【详解】

解：*.*AB2=（n2+/2）2>BC2-（n2-t2）2,AC2=2（2nt）2=4（nt）2,

BC2+AC2-（层-产）2+4（砌2=（n2+产）2=二炉,

.'.△ABC是直角三角形，

故选:B.

【点睛】

本题考查了完全平方公式，勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长“，b,C满足〃2+/;2=C2,那么这个

三角形就是直角三角形是解题的关键.

3.（2022•河南南阳•八年级期末）0C为/AOB的平分线，M为OB上一点，P为OC上一点，如果OM=3,

PM=2,OP=A，那么点尸到射线OA的距离为（）

A.1B.V13C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据勾股定理的逆定理，角平分线的性质即可解答.

【详解】

解：根据题意作图如下：

△OMP中，。产=⑶，OM=9,PM2=4,

OP2^OM2+PM2,

：.PMLOB,

由角平分线的性质可得：点P到射线OA的距离等于点P到射线OB的距离,

点尸到射线OA的距离为2,

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）；掌握其性质是解

题关键.

4.（2022.河南南阳•八年级期末）如图，在正方形4BCD中，AB=4,4E=2,DF=1,图中有（）个直

角三角形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分

根据正方形的性质和勾股定理的逆定理可判断结果.

【详解】

解：由题意知AEDF,△BCE分别有一个角为正方形的内角，是直角；

；ABC。是正方形，AB=4

二AB=AD=CD=BC=4

'：AE=2.DF=\

：.ED=AD-AE^2,CF=CD-DF=3

BE2=AB2+AE-=20.BF2=BC2+CF1=25.EF-=ED1+DF-=5

BF?=BE2+EF?

...ABEF也是直角三角形

.•.图中共有4个直角三角形

故选D.

【点睛】

本题考查了勾股定理及其逆定理.解题的关键在于根据题干条件求出相应线段的长度的平方.

5.（2022•陕西宝鸡•八年级期末）如图，BDLCF于点E,NA=38。，ZB=30°,则NC的度数（）

A.22°B.30°C.52°D.60°

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据三角形外角的性质求出NC0E的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可.

【详解】

解：：N4=38°,ZB=30°,

/.ZCD£=ZA+ZB=68°,

•：BD1CF,

二NOEC=90。，

，ZC=900-ZCD£=22°,

故选A.

【点睛】

本题主要考查了三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，熟知三角形外角的性质和直角三角形两锐角

互余是解题的关键.

6.（2022・上海・八年级期末）如图，在四边形48C。中，AD=2&，AB=2不，BC=10,8=8,ZBAD=90°,

【答案】2V14+24

【解析】

【分析】

连结8D,然后根据勾股定理求得8。的值和△8A。的面积，再根据勾股定理逆定理得到△8DC是直角三角

形，所以可以得到△5DC的面积，从而得到四边形ABC。的面积.

【详解】

解：如图，连结8。，

ZBAD=90°,

BD=yjAD2+AB2，

VAD=2y/2,AB=2y/l,

:.BD=6,

'：BD2=36,CD2=64,BC2=\00,BU+CgBC2,

ZBDC=90°,

S^ABD=-x2^2x2x/7=2714,SABDC=-X6X8=24,

22

二四边形ABCD的面积是=S^ABD+S&BDC=29+24

故答案为：2jiW+24.

【点睛】

本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中

考常考题型.

7.（2022•江苏扬州•八年级期末）如图，在4x4的网格中每个小正方形的边长都为1,AABC的顶点A、B、

C都在格点上，点。为A8边的中点，则线段CO的长为.

c

n

/yo

1--------------------

【答案】2.5

【解析】

【分析】

由勾股定理得4c2=20,8c2=5,”2=25,则AC2+BC2=AB2,再由勾股定理的逆定理证明AABC是直角三角

形，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案.

【详解】

解：由勾股定理得：AC2=22+42=20,8c2=口+22=5,AB2=42+32=25,

：.AC2+BC2=AB2,

.♦.△ABC是直角三角形，ZACB=90°,AB=5,

•••点。为AB边的中点，

：.CO=^AB=2.5,

故答案为：2.5.

【点睛】

本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和

勾股定理的逆定理是解题的关键.

8.（2020•浙江•八年级期末）如图，在△45c中，AC^BC,CD1AB,CD=5,AB-24.E是AB边上的

一个动点，点尸与点A关于直线CE对称，当A0为直角三角形时，的长为.

C

ADB

【答案】7或17

【解析】

【分析】

分当E在线段AO上时，当E在线段80上时分别求解即可.

【详解】

解：当E在线段A。上时，

连接。区作4关于CE的对称点凡连接AF,EF,CF,

F

,/ZAEF=90°,

3600-90°

:.ZAEC=ZFEC==135°,

2

JNCED=45°,

：.CD=ED=5,

AAE=AD-ED=12-5=7；

当E在线段BD上时，

连接CE,作A关于CE的对称点R连接Er，CF,AF,

・・•ZAEF=90°,

：.ZCEF=ZCEA=45°t

：.ED=CD=5,

：.AE=AD+DE=\7f

故答案为：7或17.

【点睛】

本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运

用数形结合的思想解决问题.

9.（2022・江苏盐城•八年级期末）如图，在AABC中，AB^AC,AD是中线，若NC=55。，则NCAO=

【答案】35°

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的三线合一得到NAOC=90。，根据宜角三角形两锐角互余求出答案.

【详解】

解：•.,A8=AC,AO是中线，

J.ADVBC,

：.ZADC=90°,

；NC=55。，

.,.ZC^D=90°-ZC=35°,

故答案为：35。.

【点睛】

此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记等腰三角形的性质是解题

的关键.

10.（202）贵州遵义•八年级期末）在AABC中，AB=AC,过点B作AC于点。，若NC=5ZABD,

贝|ZA=.

【答案】80°##80度

【解析】

【分析】

设=根据AB=AC,得出NABC=NC,根据NC=5ZABD,得出NC=5x,NDSC=4x,再根

据“BC+NC=90。，列出关于x的方程，解方程即可.

【详解】

-,-AB=AC,

ZABC=ZC,

设ZA8£>=x,则ZA8C=NC=5x,

ZDBC=ZABC-ZABD=4x,

■.■BD1AC,

.-.ZBDC=90°,

ZDBC+ZC=90°,

即4x+5x=90。，解得x=10。，

/.ZABC=ZC=5x=50°,

.•.ZA=180°-ZABC-ZC=80°.

故答案为:80°.

【点睛】

本本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，解题的关键是根据题目中角度的关系，得出

NASD的度数.

11.（2022・江苏盐城•八年级期末）图，在A48C中，AD±BC,垂足为。，AD=4,BD=2,CZ）=8.

（1）求证：N8AC=90°；

（2）用无刻度的直尺和圆规在AC边上求作点P（保留作图痕迹），使得尸£>=PC,求。P的值.

【答案】（1）见解析

⑵2石

【解析】

【分析】

（1）根据勾股定理可得钻;20,AC2=80.再由勾股定理逆定理，即可求解：

（2）作线段8的垂直平分线，可得到P£>=PC,然后过点P作P尸，4。于点尸，根据SjanSa2+S/e，

可得PE=2,再由勾股定理，即可求解.

(1)

解：VADA.BC,

：.ZADB^ZADC=90°,

VAD=4,BD=2,8=8,

/.AB2=20,AC2=80，

"：BC=BD+CD=\0,

：.BC2=IOO.

/.AB2+AC2=BC2,

，ZBAC=90°；

(2)

：如图，点P即为所求，

如图，过点^作^厂工人力于点尸，

根据作法得：PE垂直平分CD,

DE=-CD=4,

2

•“AAC。」AAP。，

：.-ADCD=-ADPF+-CDPE,BP-x4x8=-x4x4+-x8-P£,

222222

解得：PE=2,

:，DP=-JPE2+DE2=5/22+42=2石.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，线段垂宜

平分线的性质是解题的关键.

12.(2022・四川达州•八年级期末)如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km,学

校C在他家A正北方向的4km处，公园O与地铁口B和学校C的距离分别5km和5应km.

(1)若N8D4=10。，求/4DC的大小；

(2)计算公园。与小明家A的距离.

【答案】(1)35。；

(2)公园。与小明家A的距离为屈km.

【解析】

【分析】

(1)根据勾股定理逆定理可得ABCD是等腰直角三角形，NCBD=9O。，从而得到4DC=45。，即可求解;

(2)过。作£>E_LA/J,交A8的延长线于证得ABOE合ACfiA,可得£>£=84=3痴，BE=CA=4km,

从而得到==再由勾股定理，即可求解.

(1)

解：由题意得：BD=5km,CD=5血km,ZBAC=9Q°,AB=3km,CA=4km,

/.BC=yjAB2+AC2=^32+42=5(初7),

BC=BD,

22222

,/BC+BD=5+5=50,CD=(5&『=50,

/.BC2+BD2=CD2,

二N3CD是等腰直角三角形，NCBD=90。，

48=45。，

ZADC=ZBDC-ABDA=45°-10°=35°；

(2)

解：过。作交AB的延长线于E,如图所示：

则/。曲=90°,

ZBDE+NDBE=90°,

由(1)得：ZCZ?D=90°,

NDBE+NCBA=90。,

：./BDE=NCBA,

在MDE和ACM中，

2DEB=NBAC=90。

-ZBDE=NCBA,

BD=CB

：.ABDE^ACBA(AAS),

DE=BA=3km,BE=CA=4km,

：.AE=BE+AB=】km,

­•AD=yjDE2+AE2=V32+72=辰km，

答：公园。与小明家A的距离为屈km.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的

性质是解题的的关键.

二、勾股定理的应用二一一翻折问题

1.（2022•江苏扬州•八年级期末）如图，在AABC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,点、D、E分别在

BC、AC边上.现将ADCE沿OE翻折，使点C落在点H处.连接A〃，则A”长度的最小值为（）

A.0B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

当，落在A8上，点。与B重合时，A”长度的值最小，根据勾股定理得到AB=10cm,由折叠的性质知，

BH=BC=6cm,于是得到结论.

【详解】

解：当H落在A8上，点。与8重合时，4H长度的值最小，

VZC=9O0,AC=8cm,8c=6cm,

.*.AB=10cm,

由折叠的性质知，BH=BC=6cm,

：.AH=AB-BH=4cm.

故选：C.

【点睛】

本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

2.（2020•陕西・铜川市耀州区教育体育局教学研究室八年级期末）如图，在放AABC中，ZC=90°,4=30。，

8c=3,点。是2c边上的一个动点（不与B、C重合），过点。作。EJ.BC交A8边于点E,将D8沿直线

OE翻折，点B落在射线BC上的尸处，连接AF,当AAEF为直角三角形时，BD的长为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

首先利用勾股定理求出三角形A8C的边长，分NE4F=90。和ZAFE=90。两种情况，利用30。角的性质列方程

求解.

【详解】

解：在直角AABC中，ZC=90°,ZB=30°,

：.AB^2AC,

根据勾股定理，得BG=A82一AGSCZ-AC^%

解得AC=75,AB=2AC=2j3,

设则用同样方法得匹二冥“,

3

・・・AE=AB-BE=2G-述%,EF=BE=空x,

33

FC=BC-FB=3-2x,

,：/AEF=NB+NEFB=60。,

当NEAQ90。，Z£M=30°,

:・EF=2AE,

有空x=2（26-亚x）,

33

解得x=2,

②当NAEE=90。时，AE=2EFf

有2x^8x=2序型x,

33

解得kI,

故选择C.

【点睛】

本题考查直角三角形的性质与折叠问题，解决问题的关键是确定折叠前后的对应关系.

3.(2022・上海・八年级期末)如图，A点坐标为(6,0),C点坐标为(0,1),将△OAC沿AC翻折得到△4PC,

则P点坐标为.

【答案】

【解析】

【分析】

过点尸作尸轴于点G,根据折叠的性质可得：/附0=60。，NG%=30。，AP=6,进而即可求解.

【详解】

如下图，过点尸作PGLx轴于点G,

,.Q=G,OC=1,

.,MC=7tt42+OC2=2，

Z.OC=-AC,

2

：.NCAO=30。，

/XAOC沿AC翻折得到AAPC,

：.^CAO=^PAC,

AZB4O=60°,ZGPA=3Q°,AP=5

：.AG=^-AP=—,PG=>JPA2-GA2=-

222

/.OG=AO-AG==

22

...点P的坐标为,I,

故答案为:

【点睛】

本题考查折叠的性质、含30。角的直角三角形及勾股定理，熟练掌握含30。角的直角三角形及勾股定理是解

题的关键.

4.（2022•江苏泰州•八年级期末）如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与8重合，折痕为EF,展

若C£/=lcm,贝BC=cm.

【答案】&

【解析】

【分析】

连接CC,证明△BCC是等边三角形，再由折叠的性质得到NHBC=NH8C=30。，利用含30度角的直角三角

形的性质求解即可解决问题.

【详解】

解：如图，连接CC,

由折叠的性质知，折痕为E尸是BC的垂直平分线,

又由折叠的性质知，BC=BC,ZHBC=ZHBC,

：.BC'=CC'=BC,

.♦•△3CC是等边三角形，

・♦・ZCBC=60°,

NHBC=NHBC'=30°,

在RmHBC中,ZHBC=30°,CH=lcm,

1・HB=2cm,

­■•^BH2-CH2=722-12=73（cm）,

故答案为：白.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质.

防优选提升遂

1.（2022•河南南阳•八年级期末）已知AABC中，a、b、c分别是一A、NB、NC的对边，下列条件中不

能判断AMC是直角三角形的是（）

A.NA：DB；ZC=3：4：5B.ZC=ZA-ZB

C.a2+b2=c2D.。：b：c=6：8：10

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角形内角和等于180度求出三角形每个度数，即可判定A、B；根据勾股定理的逆定理判定C、D即

可得出答案.

【详解】

解：A、当NA：Dfi：ZC=3：4：5时，则NC=180°x---=75。，同理可得NA=45。，ZB=60°,

3+4+5

则三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；

B、当NC=/4-/B时，可得NC+/8=NA,又•.•//1+Zfi+NC=180。，AZC=90°,则AABC是直角三

角形，故此选项不符合题意；

C、当不+从二。?时，则三.角形是直角三角形，故此选项不符合题意；

D、当a：b：c=6：8：10时，a2+b2=c2,则三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定，掌握直角三角形的判定方法：最大角等于90度和用

勾股定理的逆定理判定是解题的关键.

2.(2022・四川眉山•八年级期末)AABC的三边长分别为“，b,c,^a+h)(a-h)=c2,则()

A.AA8C是锐角三角形B.c边的对角是直角

C.是钝角三角形D.。边的对角是直角

【答案】D

【解析】

【分析】

把(a+6)(a-»=/整理即可.

【详解】

解：V(a+b)(a-b)=c2,

•"a--b=c>

a2=b2+C1，

.,.△ABC是直角三角形且。边的对角是直角，

故选：D

【点睛】

本题考查了勾股定理得逆定理，平方差公式，熟练掌握勾股定理的逆定理的特点是解题的关键.

3.(2022•江西九江•八年级期末)在“8C中，已知Afi=4,BC=5,AC="T，则下列说法正确的是()

A.aABC是锐角三角形B.AABC是直角三角形且NC=90

C.AABC是钝角三角形D.AABC是直角三角形且48=90。

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角形的三边边长平方的数量关系，利用勾股定理的逆定理对三角形的形状进行判断即可.

【详解】

解：由题意知，AB2=16,BC2-25,AC：=41,

AB2+BC2=AC2,

，AABC是直角三角形，fiZB=90°

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理.解题的关键在于熟练掌握勾股定理的逆定理.

4.（2022•广西钦州•八年级期末）如图，把一副三角板叠放在一起.则N1的大小为（）

A.105°B.115°C.120°D.125°

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据三角板的性质得出/4=45。，NE=30。，再由三角形内角和定理即可得出结论.

【详解】

解：如图

•.•图中是一副直角三角板,

：.ZA=45°,Z£=30°,

ZE+ZEGB=90°

：.NEGB=30。

：.ZAGD=ZEGB=30°

'：Z1=180°-ZA-ZAGD

Zl=180o-45°-30o=105°.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理、对顶角相等，互余的定义，熟知三角形内角和是180。是解答此题的关键.

5.（2020•河南郑州•八年级期末）如图，一张三角形纸片A8C,其中NC=90。,3c=8,A8=10,小美同学将

纸片做三次折叠，第一次使得点力和点C重合，折痕长为x；将纸片展平后做第二次折叠，使得点B和点C

重合，折痕长为y；再将纸片展平后做第三次折叠，使得点A和点B重合，折痕长为z,则x,y,z的大小关

A.z>x>yB.z>y>xC.y>x>zD.x>z>y

【答案】D

【解析】

【分析】

由图1,根据折叠得：OE是线段AC的垂直平分线，由中位线定理的推论可知：OE是ZA3C的中位线，得

出OE的长，即x的长；由图2,同理可得：MN是/ABC的中位线，得出A/N的长，即y的长；由图3,

根据折叠得：G”是线段AB的垂直平分线，得出8G的长，再利用两角对应相等证△ACBS///GB,利用

比例式可求GH的长，即z的长；再比较大小即可求解.

【详解】

由勾股定理得：ACZAB'2_BC?=6,第一次折叠如图1，折痕为力£

由折叠得：AE=EC=AC=1x6=3,DEVAC,

2

ZACB=90°

：.DEIIBC,

.\X=DE=1BC=^X8=4：

第二次折叠如图2,折痕为

BC=1X8=4,

MN工BC,

—0。,

■:MNHAC,

/.y=MN=gAO；x4=3；

第三次折叠如图3,折痕为G”,

GHLAB,

JZAG/7=90°,

:・NB=NB,NBGH=NACB,

・・・4ACB八HGB,

.ACCB

'GB

6_8

~HG~~5

15

：.GH=—即z=­

44

15

4>—>3

4

.\x>z>y

故选：D

【点睛】

本题考查了折叠的问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变

化，对应边和对应角相等.本题的关键是明确折痕是所折线段的垂直平分线，准确找出中位线，利用经过

三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边这一性质得出对应折痕的长，没有中位线的可以考虑用

三角形相似来解决.

6.（202卜河南郑州•八年级期末）如图，把等边△钻C沿着OE折叠，使点B恰好落在AC边上的点B'处，

且OB'_LAC,若3'C=6cm,则AE=cm.

【答案】3&+3

【解析】

【分析】

先根据30。直角三角形的特点求出CD、B'D,再根据折叠求出BC的长，最后证明"班=900即可利用30。

直角三角形的特点求出AE.

【详解】

;等边三角形AA8C

AZA=ZB=ZC=60°,AC=BC

VDB'IAC,B'C=6cm

：.ZffDC=30°

：.CD=2B'C=\2

DB'=ylaf+B'C2=6拒

•.•折叠

/.?£??£W60?.DB'=BD=6C

：.ZAB'E=3O°,AC=BC=DC+BD=12+()y/3

：.ZffEA=180-ZA-AAB'E=90°,AB'=AC-B'C=6+6y/3

：.AE=-AB'=3+3»/3.

2

故答案为：3+3G.

【点睛】

本题考查折叠的性质、勾股定理、30。的直角三角形的性质、等边三角形的性质，证明NEE4=90。是解题的

关键.

7.（2022•全国•八年级期末）如图所示，每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点，则乙4BC

【答案】450

【解析】

【分析】

如图，连接AC,根据勾股定理即可得到A8,BC,4c的长度，勾股定理的逆定理判断AABC的形状，进而

可得出N48C的度数.

【详解】

由勾股定理得：AC=BC=亚,AB=Ji6，

•.・同+同=（阿，

...AC2+BC2=AB2,

/.△ABC是等腰直角三角形，

/.N4BC=45°,

故答案为：45°.

【点睛】

本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质.解题的关键在于判断A4?C的形状.

8.（2022.福建•福州三牧中学八年级期末）如图，长方形A8CD中，AB=3cm,A£>=9cm将此长方形折

叠，使点8与点。重合，则A4BE■的面积为cm2.

【解析】

【分析】

根据折叠的条件可得：BE=ED,在直角AABE中，利用勾股定理就可以求解.

【详解】

解：••,将此长方形折叠，使点B与点。重合，

BE=ED，

AD=9=AE+DE=AE+BE,

，BE=9—AE,

在用AABE中，根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2>

:.32+AE2=（9一AE）?.

解得：A£=4,

r.AABE的面积为：—x3x4=6（cm2）.

2

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考查折叠的性质以及勾股定理，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键.

9.（2020・浙江•八年级期末）如图，々"=60。，点A是B。延长线上的一点，0/1=10cm,动点P从点A

出发沿AB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以lcm/s的速度移动，如果点P，。同时出发，用

«s）表示移动的时间，当7s时，△PO。是等腰三角形；当仁s时，aPOQ是直角三

角形.

C,

0/

60°

B

【答案】|■或54或10

【解析】

【分析】

根据AP。。是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点尸在A。上，或点P在5。上；根据APOQ是直角三角

形，分两种情况进行讨论：R2_LAB,或PQLOC,据此进行计算即可.

【详解】

解：如图，当尸O=QO时，AP。。是等腰三角形，

解得r=|；

.•.当PO=QO时，3/-10=r,

解得f=5：

如图，当时，AP。。是直角三角形，且。。=2。尸,

■.■PO=AP-AO=3t-\0,OQ=t,

.•.当QO=2QP时，Z=2x(3z-10),

解得f=4；

如图，当PQ_LOC时，AP。。是直角三角形，且2。。=。2,

.•.当2Q0=0P时，2/=3f-10,

解得：t=10.

故答案为：|■或5；4或10.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意

不能遗漏，也不能重复.

10.（2022•山东淄博•八年级期末）如图，将绕斜边AB的中点尸旋转到VA5G的位置，使得AC'//BC,

则旋转角等于.

【答案】90°

【解析】

【分析】

先由平行线的性质得到ZAFA=ZABC,再由直角三角形两锐角互余得到ZAFA+ZA=90°,再由旋转的性

质推出ZAFA'+ZA'=9Q°,即可得到ZAPA'=90°.

【详解】

解：设A'C'与A8交于点F,

,/A'C//BC,

ZAFA'^ZABC,

•.•在放△ABC中，AB是斜边,

N4+NB=90。，

/A川+4=90°,

由旋转的性质可得NA'=NA，

/AK4'+/A'=90。，

二ZFPA=90°,

,NA/W=90°,

.••旋转角为90。，

故答案为：90°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键.

II.（2022.陕西•西安湖滨中学八年级期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,B4=8cm,

现将直角边A8沿直线B。对折，使点A恰好落在斜边BC上，且与43重合，求BD的长.

C.

【答案】jViOcm

【解析】

【分析】

根据勾股定理得到BC=JAC?+AB2=10(cm),根据折叠的性质得到A'3=AB=8cm,

?BA4?A1DAC90?,4)=AO，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】

解：VZA=90°,A8=8cm,AC=6cm,

•*-BC^\IAC2+AB2=10(cm),

•••将直角边A8沿直线BD进行对折，使点A刚好落在斜边8c上，

AA'B=AB=Scm,?8A为？A?DAC90?,AD=AD^

A'C=10-8=2(cm),

■:CD2=AV：2+AD2,

:.(6-AD)2=22+AD2,

.,.AD=—,

3

:.BD=4AD2+AB。=/：壬+82(cm),

故BD的长为|\/10cm.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键.

12.(2022・上海•八年级期末)如图，已知四边形ABC。中，ZB=90°,AB=\5,BC=20,AD=24,8=7,求

四边形ABC。的面积.

【答案】234

【解析】

【分析】

连接AC,根据已知条件运用勾股定理逆定理可证AABC和△ACO为宜角三角形，然后代入三角形面积公式

将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形A8CD的面积.

【详解】

解：连接4C,如图，

,/NB=90°,AB=15,BC=20,

­■­AC=y)AB2+BC2=V152+202=25，

AD2+CZ)2=242+72=625,AC2=252=625,

.,.AD^C^AC2,

.♦./庆90。，

S^ABCD=S^ABC+SAACD=；x15x20+；x24x7=150+84=234.

【点睛】

本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键.

13.(2022•浙江金华・八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线AB与x轴、)，轴分

别交于点A、B.过点8的直线产-x+b与x轴交于点C.已知A(-4,0)、C(3,0),点。为x轴上一动点，

将AAB。沿8。折叠得到AEBD,直线8E与x轴交于点F.

(1)求直线AB、8c的函数解析式；

(2)若点。在线段4。上，且△力EF与ABFC的面积相等，求线段BZ)的长；

(3)在点。的运动过程中，尸能否成为直角三角形？若能，请求出点。的坐标：若不能，请说明理由.

【答案】⑴直线48解析式为：)，=》+3；直线AC解析式为：y=-x+3

4

⑵遮

2

(3)能；(-3,0)、(一|,0)、(3,0)、(6,0)

【解析】

【分析】

(1)将C(3,0)代入直线8c解析式即可得到8c解析式，然后通过解析式求出点8的坐标，通过4、B

两点的坐标即可求出直线AB的函数解析式；

(2)根据面积相等以及折叠的性质先证4)=8,然后用勾股定理先求出CO的值，再用勾股求出8。的

值即可；

(3)分类讨论，分为ZDF