图形的相似（解析版）2021年中考数学

2021年中考数学一轮复习过关训练汇编

专题18图形的相似

一、选择题

1.若q=一，且8=14,则2a—b的值是（）

b4

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】

由题意可得。、6的值，从而得到2个6的值.

【详解】

解：由题意可得a=0.75b,

代入“+6=14可得：1.756=14,

勖=8,

0a=8xO.75=6,

02a-/?=2x6-8=4,

故选艮

【点睛】

本题考查比例的性质与代数式求值的综合应用，熟练求解二元•次方程组是解题关键.

2.如图，在DABC中，DEHBC,若AD=4,D5=8,DE=3,则长为（）

A.6B.8C.9D.12

【答案】C

【分析】

由DE//可得到aW£03zlBC,然后利用相似三角形对应变成比例计算BC即可.

【详解】

解：0DEHBC,

^ADE^BABC,

ADDE,4_3

a—=—即

ABBC4+8-BC

0BC=9.

故选：C

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据平行得到相似三角形是解题的关键.

AC

3.如图，在中，N4C3=90°,CO是高，若AO=43D,则一的值为（）

A.y[3B.75C.2D.72

【答案】C

【分析】

首先利用己知条件可以证明囿"）。3回CQ8,然后利用相似三角形的性质即可表示出CD,根据勾股定理即可

Ar

表示出相关的量，求出行的值

BC

【详解】

的4。8=90°

WACD+^BCD=90°

团CQ是高

回酎。C=aCQ8=90°,鲂+国8cD=90°

^\B^ACD

^ACD^CBD

ADCD

a—=—

CDBD

田AD=4BD

团设BOE,AD=4X

^CD12=ADVBD=4xz

即CD=2X

在Rt&ADC和RtQBDC中

AC2=AD2+DC2=(4x)2+(2x)2=20x2

BC2=BCr+DC2=£+(2x>=5x2

.AC220x2

12]-------=.......-=4

BC25x2

13——AC=2三

BC

故选C

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及勾股定理的运用，熟练掌握相似三角形的判定和性质，熟

记勾股定理是解题的关键

4.如图，在□ABC中，两条中线BE、CD相交于点O,则与的比值为（）

11

A.-B.一C.—D.—

4332

【答案】A

【分析】

因为BE、CO是GW8C中的两条中线，可知力E是助8c的中位线，于是。硼8C,得出0DO£®1CO8,再根

据相似比即可求出面积比.

【详解】

解：回8£、S是0//8C中的两条中线,

BIDE是创8c的中位线,

于是。DE=—BC

2

mDOE^iCOB,

匹2=)

SCOBBC4

故选：A.

【点睛】

本题考查的是相似：角形的判定与性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关犍.

5.如图，己知。是三角形ABC中的边8C上的一点，ABAD=ZC,NA8C的平分线交边AC于E,

交A。于尸，那么下列结论中错误的是()

A.三角形相似于三角形B.三角形8必相似于三角形BEC

C.三角形相似于三角形BECD.三角形84c相似于三角形8DA

【答案】C

【分析】

如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，据此逐项分析即可解题.

【详解】

解：A.-ZBAD^ZC

：.ZBDA=NC+ZDAC=ABAD+ADAC=ZBAE,

又...AE平分NA8C

/.ZABE=NEBC

:.UBDF[][JBAE

故/不符合题意;

NABE=NEBC

又NBAD=NC

.■GBFAWBEC

故B不符合题意;

C.三角形5D尸与三角形BEC,仅有一个公共角NE8C,不能证明相似，故C错误，符合题意:

D,-：/BAD=ZC,ZABC=ZABC

：OBAC[]CBDA

故。不符合题意，

故选：C.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

6.如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与史钻。相似的是（）

B

【答案】C

【分析】

根据网格中的数据求出力8,AC,8。的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可.

【详解】

根据题意得：AC=V12+12=72-80=2，A8=V32+12=710-

0AC:BC:AB=V2:2：V1O=1：V2：V5.

4、图中的三角形（阴影部分）三边之比为1：石：2及，故与EW8C不相似；

B、图中的三角形（阴影部分）三边之比为0：石：3,故与加3（;不相似；

C、图中的三角形（阴影部分）三边之比为1：、历：石，故与EW8c相似；

力、图中的三角形（阴影部分）三边之比为2：、后：内，故与EW8C不相似.

故选：C.

【点睛】

考查相似三角形的判定，掌握三边对应成比例的两三角形相似是解题的关键.

7.如图，在因48c中，点。、£分别在/8、ACk,如果/E=2,EL4OE的面积为4,四边形

8C£»E的面积为5,那么边的长为（）

4

A.2.5B.3C.Vr5D.-

【答案】B

【分析】

可证明且可求得其面.积比，再利用面积比等于相似比的平方，可求得F，代入计算可求得

AB

AB.

【详解】

解：^AED=^B,且肛4£=I3C48,

^BADE^EACB,

田沁.=（空）2,

AB

回$3/1力，=4,S四边形BCDE=5,

团Sa46c=9,

4/2、2

0-=（--）,

9AB

0/18=3,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

二、填空题

8.如图，的6C沿4c平到的bC,AE交BC于点、D,若力。=6,。是8C的中点，则C'C=

A

B

B'

【答案】3

【分析】

证明A4'=CA=3,即可得出结论:

【详解】

由平移的性质可知：ADUIAB,

团。的为3C的中点,

0BD=CD,

EL4C=6,

回AA'-CA'=3>

0CC'=AA=3,

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了平移的性质，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用知识点解决问题.

9.如图，正方形ABCQ的边长为1,点E为BC边上的一动点（不与8,C重合），过点E作EF_LAE,

交于尸.则线段CF长度的最大值为.

【分析】

由三角形相似，得出比例关系，构建二次函数，把函数式变换成顶点式，根据抛物线的性质得出答案.

【详解】

由题意知，ABC。是正方形，

S1NB=NC,ZBAE+ZBEA=90°,

13EF1AE.

0Zfi£A+ZCEF=9Oo,

国NBAE=NCEF,

31AABEsAECF,

ABBE

团---=----.

CECF

设BE=x,CF=y,正方形ABC。的边长为1,

贝iJCE=l-x,

(3y=-x2+x.

r(1

0y=-+—，

Ix——2j4

团可知抛物线的顶点为开口向下，

1ax=!时，函数有最大值，最大值为：y=L，

24

故答案为：

4

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，结合了三角形相似的性质，解题关键是通过相似三角形的性质列出二次函数

解析式.

10.如图，点C在NAOB的内部，回。。=回OC8,BO=26，NOCA与NA03互补，若AC=1.5,BC=2,

则OC=

o

【答案】6

【分析】

通过证明口4。。6口0。3,可得生=/，可求出.

AC0C

【详解】

解：团NOC4=NOC8,N0C4与NA03互补，

0ZOCA+ZAOB=180°,ZOCB+AAOB=180°,

0ZOCA+ZCOA+AOAC=180°,NOCB+Z.OBC+/COB=180°,

0ZAOB=ZCOA+ZOAC,NAOB=NOBC+NCOB,

0ZAOC=ZOBC,ZCOB=ZOAC,

WACO^QOCB9

「0。BC

团---=----，

ACOC

,3

0OC2=2X-=3,

2

00c=6

故答案为：出.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，证明口4。。6口。。5是本题的关键.

11.如图，在U48C中，0C=45°,49鲂C于。，F为AC上一点、,连接8F交/。于E,过F作MM3/喈交

历1延长线于〃，交BC于N,若点M恰在8N的垂直平分线上，且BN=1：7,SABD=\5,则S八在

［答案］—.

2

【分析】

过点尸作FMBN于G,先证84=，可证AABZ泾ABFG（A45）,再证ABDE电kFGN（A45）,可

得DE=GN,设EO=x,可得OE：8G=1:6,AD=BG=6x,

可证XFGNskBGF,可得BD=FG=《BGGN=娓X，山S柏。=15,可求x?=侦

6

由5AA郎=LB/>AE=£5/把％2=板代入计算即可.

AA8E226

【详解】

解：过点尸作/GI38N于G,

vAD1BC,

ZADC=90°,

ZC=45°,

Z£）AC=90°-ZC=45°,

•/BF工MN,

NFBN+NFNB=90。,

MB=MN,

ZABN=4FNB,

ZA8N+/BAO=90°,

/BAD=4FBN,

NAEB=2FBC+NC=/BAD+ADAC=NBAF,

BA=BF,

在A45。和ABbG中，

ZADB=NBGF

<ABAD=ZFBG,

AB=BF

AAB£>^ABFG(A4S),

BD=FG,AD=BG,

•//BED+NBED=90°,ZBAD+ZABD=90°,

4BED=NABD=NFNG,

在ABOE和AKSN中，

ZBDE=4FGN

<ABED=&NG,

BD=FG

ABDE^i^FGN(AAS),

DE=GN,

•;DE：BN=1:7,

：.GN：BN=1:7,

设ED=x,

DE：BG=1:6,

AD=BG=6x»

・・・ZBFG+ZGFN=ZBFG+/FBG=90°,

・•.ZGFN=ZFBG,

・•・/FGN=/BGF,

/.AFGTV00AfiGF,

•_B_G____F_G_

"FG~GN'

BD=FG=yjBGGN=y/6x，

AE=AD-ED=6x—x=5x,

团SABD=15,

•・S^BDA£>=g逐X・6X=15,

2_5V6

..x=------，

6

.c1nn4"1后<576257657625

■■SAABE=-BDAE=-y/6x-5x=-x=-^-x-^=—

【点睛】

本题考查等腰三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积，掌握等

腰三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积是解题关键.

12.如图，在DABC中，为8c边上中线，将△A3。沿/。翻折得到VAB'O,AB咬BC于点、H,连

接8'C,已知=3s△s,c//=6,AC=6,则B'到AC的距离是

B'

【答案T

【分析】

根据翻折的性质、中线的性质得到%/涧=5少%，推出AO//B'C,由此证明△AHDSAEHC，根据

一角形相似的性质可计算得S.CH，再根据三角形的面积公式列方程即可得解.

【详解】

解：设B'到AC的距离是从

由已知：S&J0H=6,S△CHB，---2»

由翻折性质，

-5AAy。=Sj^ABD，

由三角形中线性质，BD=CD,

一°ABD一°ADC'

SAAOB，=5AAz5c,

ADUB'C,

NADH=ZB'CH,NAHD=NB'HC,

△AHDS^B'HC

DH_S&ADH建皿;日

CHS”,§△86

S&CH=£=26'

SMCB=2+2A/3=；xACxh,

乂已知AC=6,

故答案为：2+2.

3

【点睛】

本题考查了用三角形面积公式建立一元一次方程，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角

形中线的性质，翻折变换的性质；掌握好相关的性质，进行面积的转化是本题的关键.

三、解答题

13.如图，在a48c中，AB=2,AC=y/5,点。在ZC边上，若0/48O=EIC,求AD的长.

【分析】

由皿18。=回C,m为公共角，可得即18。和如1C8相似，根据相似三角形的性质对应边成比例，得到含有力。

的比例式，解方程可得结论.

【详解】

解：0(?L4fiZ)=0C,EL4=EL4,

EEL48O〜GL4C8.

ABAD

回---=----.

ACAB

血48=2,/。=逐，

2AD

V52

9竽.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定和性质.根据相似三角形的性质得出比例式是解题的关键.

14.如图，在口ABC中，过点C作CD//AB,E是/C的中点，连接。E并延长，交AB于点、F,交C8的

延长线于点G,连接Z。，CF

(1)求证：四边形月尸。是平行四边形.

3

（2）若GB=3,BC=6.BF=—,求48的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)AB=6.

【分析】

(1)由E是4c的中点知AE=CE,由AB//CD知/AFE=/CDE,据此根据"44S"即可证口AEF倒

□CED,从而得AF=CD,结合AB//CD即可得证:

(2)证口GBF回口GCD得出=受，据此求得CD=-

由AF=CD及AB=AF+BF可得答案.

GCCD2

【详解】

（1）:E是4c的中点,

AE=CE,

AB//CD,

NAFE=NCDE,

在EJAEF和DCED中,

NAFE=NCDE

•/<ZAEF=ZCED,

AE=CE

.-.□AEF（30CED（AAS）,

:.AF=CD,

乂AB//CD,即AF//CD,

•••四边形AFCD是平行四边形;

⑵•.•AB//CD,

二.□GBF团GCD,

3

GBBF

即3一2

GC-CD

3+6CD

9

解得：CD=-,

2

•/四边形AFCD是平行四边形,

9

AF=CD=-,

2

93

AB=AF+BF=—+—=6.

22

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相

关的性质及定理是解题的关键.

15.如图，在锐角三角形Z8C中，点分别在边上,ZG38C于点于点F,^EAF^GAC.

(1)求证：EL4D5EEL4SC；

(2)若力。=3,A8=5,求叱的值.

AG

【分析】

(1)由于4G0SC,AF^DE,所以EL4FE=EL4GC=90。，从而可证明EL4E£»=EWC8,进而可证明ELWRZEWBC