新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修二练习：模块素养检测（二）

模块素养检测(二)

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项符合题目要求的)

1.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=()

A.-4B.-2C.4D,2

选D.由题意得f(x)=3x2-12,

令P(x)=0,得Xi=-2,x2=2.

当x£(-8,-2),(2,+8)时,f(x)>0,则f(x)单调递增；

当x£(-2,2)时,f(x)<0,则f(x)单调递减,

所以f(x)的极小值点为a=2.

2.已知三个实数2,a,8成等比数列，则双曲线E=1的渐近

线方程为()

A.3x±4y=0B.4x±3y=0

C.y/3x±2y=0D.9x±16y=0

选A.由题意，三个实数2,a,8成等比数列，可得a2=16,即双曲

线54=1的渐近线方程为3x±4y=0.

3.在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，

每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为()

24

12

X

y

z

A.1B.2C.3D.4

选B.由表格知，第三列为首项为4,公比为;的等比数列，所以x=

1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5,1,故第四列

所成的等比数列的公比为;，

所以y=5x(；)3=|,同理z=6x(；)4=|,

所以x+y+z=2.

4.下列是函数f(x)在［a,b］上的图象,则f(x)在(a,b)上无最大值的

是()

选D.在开区间(a,b)±,只有D选项所示函数f(x)无最大值.

5.函数f(x)=1x-3-x2+a,函数g(x)=x2-3x,它们的定义域均为［1,

+oo)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取

值范围是()

A.(0,+co)B.(-oo,0)

选A.设h(x)=f(x)-g(x)=；x3-x2+a-x2+3x

则hz(x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),

所以当x01,3)时,h(x)单调递减；当xG(3,+s)时，h(x)单调递

增.

当x=3时，函数h(x)取得极小值也是最小值.

因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，

所以h(x)min>0,即h(3)=a>0,

所以a的取值范围是(0,+oo).

6.已知各项不为0的等差数列｛aQ满足皿-2a；+3a8=0,数列｛%｝

是等比数列，且b?=a?,则b3b8bio=()

A.1B.8C.4D.2

选B.设｛%｝的公差为d,则由条件式可得，

(a7-3d)-2a?+3(a7+d)=0,

解得a?=2或a?=0(舍去).

所以b3b8bio=b；=a?=8.

7.已知数列出｝是等比数列数列｛&｝是等差数列若aiwa”=3小，

b3+bg

b1+b6+bn=7TT,则tan的值是()

1-a4-a8

A.1B.乎C.-乎D.-A/3

选D.｛aJ是等比数列，｛%｝是等差数列，且ara6-aii=3V3,b]+b6

+bn=7几,

3

所以W=(5)-3b6=77r,

「7兀b3+b92bA

所以a6=仍,b6=-^，所以tan----------=tan-------=tan

°1-a4-a81-两

77r

23

一(小A

=tan(-田=tan(-2兀-2=-tan=-\[3.

8.已知f(x)=aInx+1x2(a>0),若对任意两个不相等的正实数X],

f(Xi)-f(x2)

X2,都有-------------->2恒成立,则a的取值范围为()

Xi-X2

A.(0,1]B.(1,+00)

C.(0,1)D.[1,+00)

f(Xi)-f(X2)

选D.对任意两个不相等的正实数x,,x2,都有------------—>2

X]-X2

恒成立,则当x>0时，f(x)>2恒成立，f(x)=+x>2在(0,+co)上

A.

2

恒成立，则a>(2x-x)max=1.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出

的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不

全的得2分，有选错的得0分）

9.数列｛an｝的前n项和为Sn，若数列｛%｝的各项按如下规律排列：;,

12123123412n-1

3;3z4z4z4z5;5z5z5znzn'…'n

以下运算和结论正确的是()

3

A.a24=g

B.数列ai,a2+as,JU+as+a6,a?+as+ag+a)o,...是等比数列

C.数列aj,a2+a3,34+35+06,a7+a8+a9+al0,...的前n项和为

n2+n

Tn=-4~

D.若存在正整数k,使Sk<10,Sk+]>10，则ak"

选ACD.以2到7为分母的数共有1+2+3+…+6=21个故a22=",

23

a23=g,a24=g,故A正确；

I?nn(n+1)

—+—+...+」一=4——n为等差数列，B错误；

n+1n+1n+12(n+1)2

fnln2+n

数列1才的前n项和为Tn=k，C正确；

62+6

可得T==10.5,

64

即S21=10.5>10；

216s

s2o=y-y<10,

此时a20=1,D正确.

10.定义在(0,+8)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x+l)F(x)-f(x)

<x2+2x对x£(0,+8)恒成立.下列结论正确的是()

A.2f(2)-3f(l)>5

B.若f(l)=2,x>1,则f(x)>x?+；1

x+2

C•f(3)-2f(l)<7

D.若f(1)=2,0<x<1,则f(x)>x?+；x+g

f(X)-x2

选CD.设函数g(x)=F^

[f(x)-2x](x+1)-(f(x)-x2)

则g'(x)=

(X+1)2

(x+1)f(x)-f(x)-(x2+2x)

(x+1)2

因为(x+l)f(x)-f(x)<X2+2x,

所以gf(x)<0,

故g(x)在(0,+8)上单调递减，从而g(l)>g(2)>g(3),整理得2f(2)

-3f(l)<5,

f(3)-2f(l)<7,故A错误,C正确•

当0<X<1时，若f(l)=2,

因为g(x)在(0，+⑼上单调递减，

1f(X)-X21

所以g(x)>g(l)=2,即-----；—>2，

乙x+1”

即f(x)>X?+；X+1.故D正确，从而B不正确.

11.将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：

anai2a13..............ain

321a22H23...........a2n

331a32a33..............a3n

anlan2an3...........Snn

该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一

行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知au

2

=2,a13=a61+l,记这n个数的和为S.下列结论正确的有()

A.m=3

B.a67=17X37

C.ay=3(i-1)x3,i

D.S="n(3n+l)(3n-1)

选ACD.由题意，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的

等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，

且二2,313=+1/

可得a)3=anm2=2m2,=a”+5d=2+5m,

所以2m2=2+5m+1,

解得01=3或!11=(舍去)，所以选项A是正确的；

66

又由a67=a61m6=(2+5x3)x3=17x3,所以选项B不正确；

又由ay=aiiirP_1=[(an+(i-l)xm]xM-1=[2+(i-1)X3]X3J-1=(3i-

1)x3，]，所以选项C是正确的;

又由这II?个数的和为S,

则s=(an+aj2+...+ain)+(a2i+a22+a2n)+…+(ani+a*+•••+ann)

an(1-3n)ai(1-3n)a(1-3n)

—+2+.・・+nl

1-31-31-3

1(2+3n-1)n

---------2---------

n(3n+l)(3n-1),

所以选项D是正确的.

12.设函数f(x)=E，则下列说法正确的是()

illA.

A.f(x)定义域是(0,+oo)

B.x£(0,1)时,f(x)图象位于x轴下方

C.f(x)存在单调递增区间

D.f(x)在区间(1,2)上有最大值

afx>0,

选BC.由题意，函数f(x)=袅满足<

mxhnx^O,

解得x>0且x，l,

所以函数f(x)=A?的定义域为(0,1)U(1,4-00),所以A不正确；

0X

因为f(x);百q，当x£(0,1)时，lnx<0,

所以f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的图象都在x轴的下方，所以B正

确；

xfl

eInx--

因为F(X)=TTT，

所以f(x)>0在定义域上有解，

所以函数f(x)存在单调递增区间，所以C是正确的；

由g(x)=Inx-1,

A

得g，(x)=：+4(X>0),

A.A.

所以g，(x)>0,函数g(x)单调递增，

1

<o⑵2->o

g(In2

所以函数f(x)在(1,2)上先减后增，没有最大值，所以D不正确.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题

中的横线上)

13.函数y=一曲」的导数是_______.

1+sinx

cosx(1+sinx)-sinxcosx

F(x)=

(14-sinx)2

COSX

(1+sinx)2

生安——£2SX_

.(l+sinx)2

14.设曲线y=xn+】(n£N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标

为Xn,则log2015Xl+10g2015X2+…+10g2015X2014的值为•

因为yf|x=i=n+1,所以切线方程为y-1=(n+l)(x-1),令y=0,

得x=1--^―=—^―,即xn=-^―.

n+1n+1n+1

所以log2015X1+log2015X2+…+log2015X2014

=log2015(XrX2,...-X2014)

_fl22014)

=log2015l2'3，---2015j

=log20152Q]5=-1-

答案：-1

n

15.已知等比数歹l」｛aj的前n项和为Sn,且Sn=j+a.3,贝!=

等比数歹1」｛许｝的前n项和为S1」1--广一qYqWl),由已知S一,

1-q1-q乙

+a-3n,可知q=3,a=-|；

ai(1-q6)

1-q

答案：28

16.函数y=x2(x>0)的图象在点⑶,a；)处的切线与x轴的交点的横

坐标为ak+1,其中k£N*.若a,=16,则a,+a3+a5的值是________.

因为y'=2x,所以过点⑸,a：)处的切线方程为y-a；=2ak(x-ak),

又该切线与x轴的交点为(ak+i,0),所以ak+i=；ak,

即数列｛ak｝是等比数列，首项a.=16,其公比q=1,

所以a3=4,a5=1,所以ai+a3+a5=21.

答案：21

四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说

明、证明过程或演算步骤)

n

17(10分)在数列｛aj中向=1^=2^an+2-an=1+(-l)(nGN*),

求ai+a?+...+a5i的值•

利用分组求和法求解.

当n为正奇数时，an+2-an=0,又a1=1,

则所有奇数项都是1；

当n为正偶数时,an+2-an=2,又a?=2,

则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，

所以ai+a2+...+a5i=(ai+a3+...+a5i)+(a2+如+...+a50)=26al+

25x24

25a2+-2-x2=676.

18.(12分)设函数f(x)=2x3-3(a+l)x2+6ax+8，其中a£R.已知f(x)

在X=3处取得极值.

⑴求f(x)的解+析式；

⑵求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.

(l)f(x)=6x2-6(a+l)x+6a.

因为f(x)在x=3处取得极值，

所以f(3)=6x9-6(a+1)x3+6a=0,解得a=3.

所以f(x)=2x3-12x2+18x+8.

(2)A点在f(x)±,由⑴可知f(x)=6x2-24x+18,f(l)=6-24+18

=0,所以切线方程为y=16.

19.(12分)已知公差大于零的等差数列｛aj的前n项和为Sn，且满足：

a3-a4=117,a2+as=22.

⑴求数列｛an｝的通项公式an；

⑵若数列｛bj是等差数列，且bn=工,求非零常数C.

n+c

⑴｛an｝为等差数歹」，

因为a3+a4=a2+a5=22,

又a3-a4=117,

2

所以a3,只是方程x-22x+117=0的两个根.

又公差d>0,所以a3<a4,

所以a3=9,a4=13.

fai+2d=9,

所以

ai+3d=13,

ai=1,

所以

d=4.

所以“=4n-3.

n(n-1)

2

(2)由(1)知，Sn=n-1+------------4=2n-n,

2n2-n

所以bn*

n+c

所以b=7^-,b2=7^^,b3=-^-,

1+c2+c3+c

因为｛%｝是等差数列，所以2b2=b]+b3,

所以2c2+c=0,所以c=-1(c=0舍去).

20.(12分)数列㈤｝的前n项和为Sn,数列｛%｝中,bi=ai,bn=an-

an-i(n>2)，若an+Sn=n,品=an-1.

⑴求证：数列｛Cn｝是等比数列；

(2)求数列｛bn｝的通项公式.

⑴因为ai=Si,an+Sn=n，①

所以a1+Si=1,得ai=；.

又an+1+Sn+1=n+1,②

由①②两式相减得2(an+i-l)=an-1,

an+i-11

即F=5

也即y,故数列｛Cj是等比数列.

On乙

(2)因为C)=ai-1=-,

所以Cn=4,an=cn+1=1-,an-1=

-=

故当n>2时，bn=an-an-1=2"2"

又bi=a1=],BPbn=.

21.(12分)(202。全国II卷)已知函数f(x)=21nx+L

⑴若f(x)<2x+c,求c的取值范围；

f(x)-f(a)

⑵设a>0时，讨论函数g(x)=--------------的单调性.

x-a

⑴函数f(x)的定义域为(0,+8),

f(x)<2x+c=f(x)-2x-cS0=21nx+1-2x-c<0(*),

设h(x)=21nx+1-2x-c(x>0),

22(1-x)

贝!J有h，(x)=--2=---------,

AA

当x>1时，h(x)<0,h(x)单调递减，

当0<x<1时，hr(x)>0,h(x)单调递增,

所以当x=1时，函数h(x)有最大值，

即h(x)max=h(l)=21n1+1-2x1-c=-1-c,

要想不等式(*)在(0，+⑹上恒成立,

只需h(X)max<0=»-1-C<0=>C>-1.

21nx+1-(21na+1)2(Inx-Ina)_

(2)g(x)==(x>0且x，a),

x-ax-a

2(x-a-xlnx+xIna)

因此g'(x)=

x(x-a)2

设m(x)=2(x-a-xlnx+xlna),

则有m'(x)=2(lna-Inx),

当x>a时，Inx>Ina,所以m<x)<0,m(x)单调递减，

因此有m(x)<m(a)=0,