吉林大学计算方法第七章课后习题答案

未知驱动探索，专注成就专业吉林大学计算方法第七章课后习题答案7.1课后习题答案1.试用追赶法求解3×3三对角线方程组给定方程组为：a1*x1+b1*x2+0*x3=d1

c1*x1+a2*x2+b2*x3=d2

0*x1+c2*x2+a3*x3=d3其中，a1,a2,a3分别为三对角线上的主对角元素，b1,b2为上对角元素，c1,c2为下对角元素，d1,d2,d3为各个方程的右端常数项。追赶法的基本思想是将原始方程组转化为追梯形方程组，然后通过回代求解。以下是使用追赶法求解的计算过程：矩阵求解：首先通过追赶法将原始方程组转化为追梯形方程组，计算过程如下：p1=-b1/a1

q1=d1/a1

c1'=c1

q1'=d1

a2'=a2+p1*c1'

p2=-b2/a2'

q2=(d2-p1*q1')/a2'

c2'=c2

q2'=d3-p1*q2'

a3'=a3+p2*c2'

此时的追梯形方程组为：

a1*x1+b1*x2+0*x3=d1(1)

0*x1+a2'*x2+b2*x3=d2'(2)

0*x1+c2'*x2+a3'*x3=d3'(3)回代求解：通过回代求解追梯形方程组，即从最后一行开始依次求解x3,x2,x1的值。x3=(d3'-c2'*x2)/a3'

将x3的值代入方程(2)中，可以得到x2的值：

x2=(d2'-b2*x3)/a2'

最后，将x2和x3的值带入方程(1)中，可以得到x1的值：

x1=(d1-b1*x2)/a1这样，就可以得到方程组的解。2.列主元消去法和高斯消去法有什么区别？列主元消去法和高斯消去法都是求解线性方程组的常用方法，但它们在选取主元的方式上有所不同。高斯消去法是通过选取矩阵中的第一个非零元作为主元，然后利用矩阵的行变换将主元所在的列的其他元素消去，使得矩阵转化为上三角矩阵。然后通过回代求解上三角矩阵得到方程组的解。而列主元消去法则是在每一列中选取绝对值最大的元素作为主元，并通过行变换将主元所在的行和列的其他元素消去，使得矩阵转化为对角矩阵。与高斯消去法相比，列主元消去法选取主元的方式更加合理，可以减小误差的传播。然而，列主元消去法的计算量较高，需要对矩阵进行全局搜索以找到绝对值最大的元素作为主元。因此，列主元消去法相对于高斯消去法来说，求解效率较低，但得到的结果更为准确。7.2课后习题答案1.编写一个Python函数，使用追赶法求解三对角矩阵方程组。以下是使用Python编写的求解三对角矩阵方程组的追赶法函数：deftridiagonal_matrix_algorithm(a,b,c,d):

n=len(d)

#利用追赶法消元

foriinrange(1,n):

m=a[i]/b[i-1]

b[i]=b[i]-m*c[i-1]

d[i]=d[i]-m*d[i-1]

#回代求解方程组的解

x=[0]*n

x[n-1]=d[n-1]/b[n-1]

foriinrange(n-2,-1,-1):

x[i]=(d[i]-c[i]*x[i+1])/b[i]

returnx使用该函数可以方便地求解任意大小的三对角矩阵方程组。2.写一个Python函数，使用列主元消去法求解线性方程组，并输出方程组的解。以下是使用Python编写的求解线性方程组的列主元消去法函数：importnumpyasnp

defgaussian_elimination(A,b):

n=len(b)

x=np.zeros(n)

#消元过程

foriinrange(n):

pivot=np.abs(A[i:,i]).argmax()+i

A[[i,pivot]]=A[[pivot,i]]

b[[i,pivot]]=b[[pivot,i]]

forjinrange(i+1,n):

ratio=A[j,i]/A[i,i]

A[j,i:]=A[j,i:]-ratio*A[i,i:]

b[j]=b[j]-ratio*b[i]

#回代求解

x[n-1]=b[n-1]/A[n-1,n-1]

foriinrange(n-2,-1,-1):

x[i]=(b[i]-np.dot(A[i,i+1:],x[i+1:]))/A[i,i]

returnx使用该函数可以