高考数学一轮总复习 第九章 平面解析几何课时训练 理-人教版高三数学试题

第九章平面解析几何第1课时直线的倾斜角与斜率1.直线xsineq\f(π,7)＋ycoseq\f(π,7)＝0的倾斜角α是____________．答案：eq\f(6,7)π解析：tanα＝－eq\f(sin\f(π,7),cos\f(π,7))＝－taneq\f(π,7)＝taneq\f(6,7)π，∵α∈[0，π)，∴α＝eq\f(6,7)π.2.(原创)若直线l沿x轴的负方向平移2个单位，再沿y轴的正方向平移3个单位后，又回到原来的位置，则直线l的斜率为____________．答案：－eq\f(3,2)解析：设直线上任一点为(x，y)，按题意平移后的点为(x－2，y＋3)，利用斜率公式得直线l的斜率为－eq\f(3,2).3.若三点A(－2，3)、B(3，－2)、Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))共线，则实数m＝________．答案：m＝eq\f(1,2)解析：由A、B、C三点共线，则kAB＝kAC.∴eq\f(－2－3,3＋2)＝eq\f(m－3,\f(1,2)＋2)，解得m＝eq\f(1,2).4.如果图中的三条直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3从小到大的排列顺序为__________．答案：k3<k1<k2解析：由图知，k1<0，k2>0，k3<0.另外，tanα1＝k1<0，α1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tanα3＝k3<0，α3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，而α3<α1，正切函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增，所以k3<k1.综上，k3<k1<k2.5.过点P(－1，－1)的直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，则直线l的斜率和倾斜角分别为________，________．答案：－1135°解：设A(a，0)，B(0，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a＋0,2)＝－1，,\f(0＋b,2)＝－1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－2.))即A(－2，0)，B(0，－2)，∴kAB＝eq\f(－2－0,0－（－2）)＝－1，故直线l的倾斜角为135°.6.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，则k的取值范围是____________．答案：[－eq\r(3)，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))解析：当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))时，k＝tanα∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))；当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))时，k＝tanα∈[－eq\r(3)，0)．综上k∈[－eq\r(3)，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).7.(2014·郑州质检)直线l1：3x－y＋1＝0，直线l2过点(1，0)，且它的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为____________．答案：y＝－eq\f(3,4)(x－1)解析：由tanα＝3可求出直线l2的斜率k＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4)，再由l2过点(1，0)即可求得直线方程为y＝－eq\f(3,4)(x－1)．8.(2014·贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是__________．答案：(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－eq\f(2,k)，令－3＜1－eq\f(2,k)＜3，解得k＜－1或k＞eq\f(1,2).9.已知α、k分别是直线l的倾斜角和斜率．(1)当sinα＝eq\f(3,5)时，求k的值；(2)当cosα＝eq\f(3,5)时，求k的值；(3)当cosα＝－eq\f(3,5)时，求k的值．解：(1)当sinα＝eq\f(3,5)时，∵α∈[0，π)，∴cosα＝±eq\f(4,5)，∴k＝tanα＝±eq\f(3,4).(2)当cosα＝eq\f(3,5)时，∵α∈[0，π)，∴sinα＝eq\f(4,5)，∴k＝tanα＝eq\f(4,3).(3)当cosα＝－eq\f(3,5)时，∵α∈[0，π)，∴sinα＝eq\f(4,5)，∴k＝tanα＝－eq\f(4,3).10.(2014·莱芜模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1，1)、(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的取值范围．解：(解法1)直线x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，kAP＝eq\f(－1－1,0＋1)＝－2，kAQ＝eq\f(－1－2,0－2)＝eq\f(3,2)，则－eq\f(1,m)≥eq\f(3,2)或－eq\f(1,m)≤－2.∴－eq\f(2,3)≤m≤eq\f(1,2)且m≠0.又m＝0时，直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，∴所求m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,2))).(解法2)过P、Q两点的直线方程为y－1＝eq\f(2－1,2＋1)(x＋1)，即y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(4,3)，代入x＋my＋m＝0，整理得x＝－eq\f(7m,m＋3)，由已知－1≤－eq\f(7m,m＋3)≤2，解得－eq\f(2,3)≤m≤eq\f(1,2).即m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,2))).11.已知两点A(－1，2)，B(m，3)．(1)若直线AB的倾斜角为eq\f(3π,4)，试求实数m的值；(2)已知实数m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，求直线AB的倾斜角α的取值范围．解：(1)由直线AB的倾斜角为eq\f(3π,4)知直线AB的斜率为－1，∴eq\f(3－2,m＋1)＝－1，解得m＝－2.(2)①当m＝－1时，α＝eq\f(π,2)；②当m≠－1时，m＋1∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))∪(0，eq\r(3)]，∴k＝eq\f(1,m＋1)∈(－∞，－eq\r(3)]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))).综合①②知，直线AB的倾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))).12.已知直线kx＋y－k＝0与射线3x－4y＋5＝0(x≥－1)有交点，求实数k的取值范围．解：kx＋y－k＝0k(x－1)＋y＝0，直线系过定点(1，0)斜率k′＝－k，可画图看出k′∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))，∴k∈(－∞，－eq\f(3,4))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)).(或者由两直线方程联立，消去y得x＝eq\f(4k－5,3＋4k)≥－1，即eq\f(4k－1,4k＋3)≥0k≥eq\f(1,4)或k<－eq\f(3,4))第2课时直线的方程1.过两点(－1，1)和(2，7)的直线在x轴上的截距为________．答案：－eq\f(3,2)解析：由两点式可得过已知两点的直线方程为2x－y＋3＝0，所以此直线在x轴上的截距为－eq\f(3,2).2.直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转eq\f(π,2)所得的直线方程是____________．答案：x＋2y＋4＝0解析：直线2x－y－2＝0过点(0，－2)且斜率为2，此直线绕点(0，－2)，逆时针旋转eq\f(π,2)所得直线的斜率为－eq\f(1,2)，故直线方程为y＝－eq\f(1,2)x－2，即x＋2y＋4＝0.3.已知A(3，0)，B(0,4)，P(x，y)是直线AB上一动点，则xy的最大值是________．答案：3解析：直线AB的方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，设P(x，y)，则x＝3－eq\f(3,4)y，∴xy＝3y－eq\f(3,4)y2＝eq\f(3,4)(－y2＋4y)＝eq\f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3.4.已知直线l过(2，1)，(m，3)两点，则直线l的方程为________．答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0解析：由两点式可得过两点的直线为eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－2,m－2)，即2x－(m－2)y＋m－6＝0.5.如图，点A是函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,2)))的图象与x轴的一个交点，点B(3，t)在函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,2)))的图象上，则直线AB的方程为______________．答案：x－y－2＝0解析：由y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,2)))＝0得A(2，0)，点B(3，t)在函数y＝tan(eq\f(π,4)x－eq\f(π,2))的图象上得t＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\f(π,2)))，解得t＝1，所以B(3，1)，由两点式得直线的方程为eq\f(y－1,0－1)＝eq\f(x－3,2－3)，整理得x－y－2＝0.6.已知过点(0，1)的直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝________．答案：1解析：依题意得，tanα＝2，tanβ＝－eq\f(1,3)，故tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1.7.(必修2P77习题10改编)已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都通过点P(2，3)，则经过两点M(a1，b1)，N(a2，b2)的直线方程是__________．答案：2x＋3y＋1＝0解析：∵直线过点P(2，3)，∴2a1＋3b1y＋1＝0，2a2＋3b2＋1＝0，∴点M、N的坐标为方程2x＋3y＋1＝0的解，由定义知直线2x＋3y＋1＝0过点M、N，故过两点M、N的直线的方程为2x＋3y＋1＝0.8.已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB、AC中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，所以这条直线的方程为eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x＋\f(1,2),\f(7,2)＋\f(1,2)).整理，得6x－8y－13＝0，化为截距式方程为eq\f(x,\f(13,6))－eq\f(y,\f(13,8))＝1.(2)因为BC边上的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为eq\f(y＋4,3＋4)＝eq\f(x－1,2－1)，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为eq\f(x,\f(11,7))－eq\f(y,11)＝1.9.已知△ABC的三个顶点为A(2，8)、B(－4，0)、C(6，0)，求过点B且将△ABC面积平分的直线方程．解：AC中点D的坐标D(4，4)，则直线BD即为所求，由直线方程的两点式得eq\f(y－0,4－0)＝eq\f(x＋4,4＋4)，即x－2y＋4＝0.10.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq\f(1,2)x上时，求直线AB的方程．解：由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－eq\f(\r(3),3)，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq\f(\r(3),3)x.设A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2))).由点C在y＝eq\f(1,2)x上，且A、P、B三点共线得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))．又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直线AB的方程为(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.11.已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1)证明：直线恒过定点M；(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．(1)证明：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0可化为(x－2y－3)m＝－2x－y－4.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y－3＝0，,－2x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))∴直线必过定点M(－1，－2)．(2)解：设直线的斜率为k(k＜0)，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，∴|OA|＝1－eq\f(2,k)，|OB|＝2－k，S△AOB＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,k)))(2－k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（k－2）2,－k))).∵k＜0，∴－k＞0，∴S△AOB＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（k－2）2,－k)))＝eq\f(1,2)[4＋(－eq\f(4,k))＋(－k)]≥4.当且仅当－eq\f(4,k)＝－k，即k＝－2时取等号，∴△AOB的面积最小值是4，此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即y＋2x＋4＝0.12.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．(1)证明：将直线l的方程整理为y－eq\f(3,5)＝a(x－eq\f(1,5))，∴直线l的斜率为a，且过定点A(eq\f(1,5)，eq\f(3,5))，而点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限，∴直线l恒过第一象限．(2)解：要使直线l不经过第二象限，则直线l所在的区域介于AO和AB之间，如图，包含直线AO，但不包含直线AB.∴a≥3.第3课时直线与直线的位置关系1.(2014·镇江期末)点A(1，2)关于点P(3，4)对称的点的坐标为____________．答案：(5，6)解析：由中点公式知(2×3－1，2×4－2)＝(5，6)．2.“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋2＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直”的____________________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：当2m－1＝0，即m＝eq\f(1,2)时，两直线方程为x＝－4和3x＋eq\f(1,2)y＋3＝0，此时两直线不垂直．当m＝0时，两直线方程为y＝2和x＝－1，此时两直线垂直．当m≠0且m≠eq\f(1,2)时，两直线方程为y＝eq\f(m,1－2m)x＋eq\f(2,1－2m)和y＝－eq\f(3,m)x－eq\f(3,m)，两直线的斜率为eq\f(m,1－2m)，－eq\f(3,m)，要使两直线垂直，则有eq\f(m,1－2m)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,m)))＝－1，解得m＝－1，所以直线mx＋(2m－1)y＋2＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直，则有m＝－1或m＝0，所以m＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．3.(2014·武汉调研)已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0与x＋ay＝0上，且AB线段的中点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(10,a)))，则线段AB的长为____________．答案：10解析：由两直线垂直，得－eq\f(1,a)·2＝－1，解得a＝2.所以中点P的坐标为(0，5)．则OP＝5，在直角三角形中斜边的长度AB＝2OP＝2×5＝10，所以线段AB的长为10.4.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点________．答案：(0，2)解析：由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)．5.直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5，1)，则l的方程是________________．答案：x＋3y－8＝0解析：设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0，解得λ＝－4.l的方程为x＋3y－8＝0.6.已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．答案：[0，10]解析：由题意得，点到直线的距离为eq\f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq\f(|15－3a|,5).又eq\f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0，10]．7.若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________．答案：4解析：设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2.又(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝eq\f(|－10|,\r(42＋32))＝2，所以m2＋n2的最小值为4.8.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1、l2重合．解：(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3，故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．(2)当1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝eq\f(1,2)时，l1⊥l2.(3)当1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m＝－1时，l1∥l2.(4)当1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，即m＝3时，l1与l2重合．9.过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．解：当k不存在时B(3，0)，C(3，6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|.所以直线l的斜率存在．所以设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)．令y＝0，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,k)，0)).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＋1＝k（x－3），))得C点横坐标xC＝eq\f(1＋3k,k－2).若|BC|＝2|AB|，则|xB－xC|＝2|xA－xB|.所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋3k,k－2)－\f(1,k)－3))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,k))).所以eq\f(1＋3k,k－2)－eq\f(1,k)－3＝eq\f(2,k)或eq\f(1＋3k,k－2)－eq\f(1,k)－3＝－eq\f(2,k)，解得k＝－eq\f(3,2)或k＝eq\f(1,4).所以所求直线l的方程为3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.10.已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4，5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．∵kPP′·kl＝－1，即eq\f(y′－y,x′－x)×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×eq\f(x′＋x,2)－eq\f(y′＋y,2)＋3＝0.②由①②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(－4x＋3y－9,5)，③,y′＝\f(3x＋4y＋3,5).④))(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x、y，得关于l的对称直线方程为eq\f(－4x＋3y－9,5)－eq\f(3x＋4y＋3,5)－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.11.过点P(1，2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长AB＝eq\r(2)，求直线l的方程．解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k，,4x＋3y＋1＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,3k＋4)，\f(－5k＋8,3k＋4)))；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k，,4x＋3y＋6＝0，))解得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－12,3k＋4)，\f(8－10k,3k＋4))).∵AB＝eq\r(2)，∴eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3k＋4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5k,3k＋4)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，整理得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－eq\f(1,7).因此，所求直线l的方程为7x－y－5＝0或x＋7y－15＝0.12.两条平行直线分别过点P(－2，－2)、Q(1，3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕着P、Q旋转并且保持互相平行．(1)求d的变化范围；(2)用d表示这两条直线的斜率；(3)当d取最大值时，求两条直线的方程．解：(1)(解法1)设过点P(－2，－2)的直线l1的方程为Ax＋By＋C1＝0，过点Q(1，3)的直线l2的方程为Ax＋By＋C2＝0，由于点P、Q在直线上，得－2A－2B＋C1＝0，A＋3B＋C2＝0，两式相减得C1－C2＝3A＋5B，两直线间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|3A＋5B|,\r(A2＋B2))，即(d2－9)A2－30AB＋(d2－25)B2＝0.(*)①当B≠0时，两直线斜率存在，有(d2－9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,B)))eq\s\up12(2)－30eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,B)))＋d2－25＝0.由d>0及Δ≥0，得(－30)2－4(d2－9)(d2－25)≥0，从而0<d≤eq\r(34)；②当B＝0时，两直线分别为x＝－2与x＝1，它们间的距离为3，满足上述结论．综上所述，d的取值范围是(0，eq\r(34)]．(解法2)两平行直线在旋转过程中，0<d≤PQ，而PQ＝eq\r(34)，故d的取值范围是(0，eq\r(34)]．(2)当B≠0时，两直线的斜率存在，从方程(*)中解得eq\f(A,B)＝eq\f(15±d\r(34－d2),d2－9)，直线的斜率k＝－eq\f(A,B)＝－eq\f(15±d\r(34－d2),d2－9).(3)当d＝eq\r(34)时，k＝－eq\f(A,B)＝－eq\f(3,5)，对应两条直线分别为l1：3x＋5y＋16＝0，l2：3x＋5y－18＝0.第4课时圆的方程1.已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是__________________．答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝13解析：由题意可知一条直径的两个端点分别为(4，0)和(0，－6)，则直径长为eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.2.(2014·银川模拟改)圆心在y轴上且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是__________．答案：x2＋y2－10x＝0解析：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，∵点(3，1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.3.已知点A是Rt△ABC的直角顶点，且A(a，2)，B(－4，a)，C(a＋1，1)，则△ABC的外接圆的方程是____________．答案：(x＋2)2＋y2＝5解析：kAB＝eq\f(a－2,－4－a)，kAC＝－1.∵AB⊥AC，∴kAB·kAC＝eq\f(a－2,－4－a)·(－1)＝－1，解得a＝－1.∴△ABC的外接圆是以B(－4，－1)，C(0，1)为直径的圆，∴所求圆的方程是(x＋2)2＋y2＝5.4.若圆的方程为x2＋y2＋kx－4y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为__________．答案：(0，2)解析：圆的方程为x2＋y2＋kx－4y＋k2＝0化为标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))eq\s\up12(2)＋(y－2)2＝4－eq\f(3k2,4)，∵r2＝4－eq\f(3k2,4)≤4，∴k＝0时r最大．此时圆心为(0，2)．5.(2014·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为__________．答案：6解析：圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，即－eq\f(m,2)＋3＝0，∴m＝6.6.(2014·湘潭二模改)过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为__________．答案：x－2y＋3＝0解析：若∠ACB最小，则CM⊥l，可知C(2，0)，∴kCM＝eq\f(2－0,1－2)＝－2，∴直线l的斜率为k＝eq\f(1,2)，∴直线l的方程为y－2＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0.7.已知两点A(0，－3)、B(4，0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为__________．答案：eq\f(11,2)解析：如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,－3)＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝eq\f(|3×0－4×1－12|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(16,5)，∴△ABP的面积的最小值为eq\f(1,2)×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)－1))＝eq\f(11,2).8.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．答案：10eq\r(2)解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是eq\r(10)，且点E(0，1)位于该圆内，故过点E(0，1)的最短弦长BD＝2eq\r(10－（12＋22）)＝2eq\r(5)(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC＝2eq\r(10)，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积为eq\f(1,2)AC×BD＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×2eq\r(5)＝10eq\r(2).9.已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD＝4eq\r(10).(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①∵直径CD＝4eq\r(10)，∴PA＝2eq\r(10)，∴(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2.))∴圆心P(－3，6)或P(5，－2)．∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.10.(2014·连云港调研)已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值．解：(1)设圆心C(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)＋\f(b－2,2)＋2＝0，,\f(b＋2,a＋2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0，))则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.∵P在圆C上，故令x＝eq\r(2)cosθ，y＝eq\r(2)sinθ，∴eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝x＋y－2＝eq\r(2)(sinθ＋cosθ)－2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－2，∴eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值为－4.11.已知圆C通过不同的三点P(m，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP的斜率为－1.(1)试求圆C的方程；(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1、l2，且l1交圆C于E、F两点，l2交圆C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值．解：(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则C点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，且PC的斜率为－1，所以eq\f(－\f(E,2)－0,－\f(D,2)－m)＝－1.①因为圆C通过不同的三点P(m，0)，Q(2，0)，R(0，1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，②,4＋2D＋F＝0，③,m2＋Dm＋F＝0.④))联立①②③④，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝1，,E＝5，,F＝－6，,m＝－3.))所以圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(5,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,2).(2)圆心C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(5,2)))，圆心到l1、l2的距离设为d1、d2，则deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝OC2＝eq\f(13,2)，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(EF,2)))eq\s\up12(2)＋deq\o\al(2,1)＝eq\f(25,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(GH,2)))eq\s\up12(2)＋deq\o\al(2,2)＝eq\f(25,2)，两式相加，得EF2＋GH2＝74≥2EF·GH.所以S＝eq\f(1,2)EF·GH≤eq\f(37,2)，即(S四边形EGFH)max＝eq\f(37,2).第5课时直线与圆的位置关系1.(2014·丽水模拟)直线y＝x＋1被圆x2－2x＋y2－3＝0所截得的弦长为____________．答案：2eq\r(2)解析：题中的圆心坐标是(1，0)，半径是2，圆心(1，0)到直线x－y＋1＝0的距离等于eq\r(2)，因此所求的弦长等于2eq\r(22－（\r(2)）2)＝2eq\r(2).2.(必修2P106练习3(2)改编)过坐标原点且与x2＋y2－4x＋2y＋eq\f(5,2)＝0相切的直线的方程为________________.答案：y＝－3x或y＝eq\f(1,3)x解析：过坐标原点的直线为y＝kx与圆x2＋y2－4x＋2y＋eq\f(5,2)＝0相切，则圆心(2，－1)到直线的距离等于半径eq\f(\r(10),2)，即eq\f(|2k＋1|,\r(1＋k2))＝eq\f(\r(10),2)，解得k＝eq\f(1,3)或k＝－3，所以切线方程为y＝－3x或y＝eq\f(1,3)x.3.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是____________．答案：相交解析：由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，故直线与圆相交．4.过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则直线l的方程为__________．答案：5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1，2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有eq\f(|3k－2|,\r(k2＋1))＝3，∴k＝－eq\f(5,12).此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2eq\r(3)，则公共弦所在直线的方程为________．答案：y＝1解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为y＝eq\f(1,a)，画图可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(2)＋(eq\r(3))2＝22，解得a＝1.故公共弦所在直线的方程为y＝1.6.(2014·南通一模)在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程为______________．答案：y＝－eq\r(3)(x－1)＋1解析：由题意知直线HB的方程为y＝x－1，代入圆的方程，得x2＋(x－1)2＝2，解得x＝eq\f(\r(3)＋1,2)，从而得B点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(\r(3)－1,2)))，从而kAB＝eq\f(1－\f(\r(3)－1,2),1－\f(\r(3)＋1,2))＝－eq\r(3)，从而直线AB的方程为y＝－eq\r(3)(x－1)＋1.7.(2014·苏锡常镇一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为__________．答案：[3＋2eq\r(3)，3＋2eq\r(7))∪(3－2eq\r(7)，3－2eq\r(3)]解析：圆C的方程为(x－m)2＋(y－2)2＝32.圆心C(m，2)，半径r＝eq\r(32)＝4eq\r(2).S△ABC＝eq\f(1,2)r2sin∠ACB＝16sin∠ACB≤16，故当sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°时，S△ABC取得最大值．即当△ACB为等腰直角三角形时，面积取到最大值．故此时圆心到动直线的距离d＝r×eq\f(\r(2),2)＝4，从而d≤PC＜r，即16≤(m－3)2＋4＜32，解得m∈[3＋2eq\r(3)，3＋2eq\r(7))∪(3－2eq\r(7)，3－2eq\r(3)]．8.(2014·南京二模)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为______________．答案：(x－1)2＋y2＝1解析：∵当P在圆C上运动时∠APB恒为60°，∴圆M与圆C一定是同心圆，∴可设圆M的方程为(x－1)2＋y2＝r2.当点P坐标是(3，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MH＋HP＝2，MH＝eq\f(1,2)r，AB＝2×eq\f(\r(3),2)r，所以eq\f(1,2)r＋2×eq\f(\r(3),2)r×eq\f(\r(3),2)＝2，解得r＝1，所以所求圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.9.(2014·南京十二中质检)已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．解：(1)圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y－3)2＝eq\f(37－4m,4)，故有eq\f(37－4m,4)>0，解得m<eq\f(37,4).将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3＝0，,x2＋y2＋x－6y＋m＝0，))消去y，得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－x,2)))eq\s\up12(2)＋x－6×eq\f(3－x,2)＋m＝0，整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0.①∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解．故有Δ＝102－4×5(4m－27)<0，解得m>8.∴m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(37,4))).(也可用圆心到直线的距离大于半径求解)(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0.②由(1)及根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝eq\f(4m－27,5).③∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1y2＝eq\f(3－x1,2)×eq\f(3－x2,2)＝eq\f(1,4)[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．将③代入上式，得y1y2＝eq\f(m＋12,5)，④将③④代入②，得x1x2＋y1y2＝eq\f(4m－27,5)＋eq\f(m＋12,5)＝0，解得m＝3.代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.10.已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为eq\f(1,2)的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l的方程可化为y＝eq\f(m,m2＋1)x－eq\f(4m,m2＋1)，此时斜率k＝eq\f(m,m2＋1).因为|m|≤eq\f(1,2)(m2＋1)，所以|k|＝eq\f(|m|,m2＋1)≤eq\f(1,2)，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以斜率k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤eq\f(1,2)；圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2，圆心C到直线l的距离d＝eq\f(2,\r(1＋k2)).由|k|≤eq\f(1,2)，得d≥eq\f(4,\r(5))>1，即d>eq\f(r,2).若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于eq\f(2π,3)，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为eq\f(1,2)的两段圆弧．11.(2014·哈尔滨模拟)已知定点M(0，2)，N(－2，0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．(1)若点M、N到直线l的距离相等，求实数k的值；(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．解：(1)∵点M、N到直线l的距离相等，∴l∥MN或l过MN的中点．∵M(0，2)，N(－2，0)，∴kMN＝1，MN的中点坐标为C(－1，1)．∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过点D(2，2)，∴当l∥MN时，k＝kMN＝1，当l过MN的中点时，k＝kCD＝eq\f(1,3).综上可知，k的值为1或eq\f(1,3).(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心到直线l的距离大于半径，d＝eq\f(|－k－1－2k＋2|,\r(k2＋1))>eq\r(2)，解得，k<－eq\f(1,7)或k>1.故实数k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,7)))∪(1，＋∞)．12.(2014·江阴调研)平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－4)2＝4.(1)若直线l过点A(4，－1)，且被圆C1截得的弦长为2eq\r(3)，求直线l的方程；(2)是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C1和圆C2都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)－1，即kx－y－4k－1＝0，由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2)＝1，结合点到直线距离公式，得eq\f(|－3k－1－4k|,\r(k2＋1))＝1,化简得24k2＋7k＝0，所以k＝0或k＝－eq\f(7,24).故直线l的方程为y＝－1或y＝－eq\f(7,24)(x－4)，即y＝－1或7x＋24y－28＝0.(2)假设存在，设点P(a，b)，l的方程为y－b＝k(x－a)，即kx－y＋b－ak＝0.因为圆C1和圆C2的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以圆C1和圆C2的圆心到直线l的距离也相等，即eq\f(|－3k＋b－ak|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k－4＋b－ak|,\r(1＋k2))，整理得(14a－7)k2－(8a＋14b－32)k＋8b－16＝0.因为k的个数有无数多个，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(14a－7＝0，,8a＋14b－32＝0，,8b－16＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝2.))综上所述，存在满足条件的定点P，且点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).第6课时椭圆(1)1.已知椭圆的长轴长是8，离心率是eq\f(3,4)，则此椭圆的标准方程是________．答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1解析：∵a＝4，e＝eq\f(3,4)，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1.2.(2014·金陵中学模拟)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为__________．答案：eq\f(1,4)解析：由题意，eq\f(1,m)＝4，所以m＝eq\f(1,4).3.已知F1、F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为____________．答案：6解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.4.椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________．答案：2120°解析：∵a2＝9，b2＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－2)＝eq\r(7)，∴|F1F2|＝2eq\r(7).又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2.又由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(22＋42－（2\r(7)）2,2×2×4)＝－eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°.5.(2014·广州模拟)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq\f(4,5)，则k的值为____________．答案：－eq\f(19,25)或21解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝eq\r(5－k)，由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\r(5－k),3)＝eq\f(4,5)，解得k＝－eq\f(19,25)；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝eq\r(k－5)，由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq\f(4,5)，解得k＝21.6.设F1、F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝eq\f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．答案：eq\f(3,4)解析：由题意可得PF2＝F1F2，∴2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a－c))＝2c，∴3a＝4c，∴e＝eq\f(3,4).7.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点，且eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BF,\s\up6(→))，则此椭圆的离心率为__________.答案：eq\f(\r(5)－1,2)解析：∵AB＝eq\r(a2＋b2)，BF＝a，AF＝a＋c，又eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BF,\s\up6(→))，∴AB2＋BF2＝AF2，即2a2＋b2＝a2＋c2＋2ac，∴c2＋ac－a2＝0，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)－1,2).所求的离心率为eq\f(\r(5)－1,2).8.已知椭圆C1：eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：eq\f(x2,aeq\o\al(2,2))＋eq\f(y2,beq\o\al(2,2))＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2.给出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)；③eq\f(a1,a2)＞eq\f(b1,b2)；④a1－a2＜b1－b2.其中，所有正确的结论是________．(填序号)答案：①②④解析：由已知条件可得aeq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,2)－beq\o\al(2,2)，可得aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)，而a1＞a2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)，知②正确；由aeq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,2)－beq\o\al(2,2)，可得aeq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，eq\f(a1,a2)＞eq\f(b1,b2)不正确，即③不正确；∵a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，∴a1＋a2＞b1＋b2＞0，而又由(a1＋a2)·(a1－a2)＝(b1＋b2)·(b1－b2)，可得a1－a2＜b1－b2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.9.如图，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，求椭圆的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝eq\r(2)c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，解得x＝eq\f(3,2)，y＝－eq\f(b,2).代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1.即eq\f(9,4a2)＋eq\f(1,4)＝1，解得a2＝3.所以椭圆方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.10.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1，A1、A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1、A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2(1)解：由题意可知A1(－eq\r(6)，0)，A2(eq\r(6)，0)，椭圆C1的离心率e＝eq\f(\r(2),2).设椭圆C2的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则b＝eq\r(6).因为eq\f(b,a)＝eq\r(1－e2)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝2eq\r(3).所以椭圆C2的方程为eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝1.(2)证明：设P(x0，y0)，y0≠0，则eq\f(yeq\o\al(2,0),12)＋eq\f(xeq\o\al(2,0),6)＝1，从而yeq\o\al(2,0)＝12－2xeq\o\al(2,0).将x＝x0代入eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1，得eq\f(xeq\o\al(2,0),6)＋eq\f(y2,3)＝1，从而y2＝3－eq\f(xeq\o\al(2,0),2)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),4)，即y＝±eq\f(y0,2).因为P、H在x轴的同侧，所以取y＝eq\f(y0,2)，即Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(y0,2))).所以kA2P·kA1H＝eq\f(y0,x0－\r(6))·eq\f(\f(1,2)y0,x0＋\r(6))＝eq\f(yeq\o\al(2,0),2（xeq\o\al(2,0)－6）)＝eq\f(12－2xeq\o\al(2,0),2（xeq\o\al(2,0)－6）)＝－1，从而A2P⊥A1H.又PH⊥A1A2，所以H为△PA1A11.(2014·新课标全国Ⅱ)设F1、F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a、b.解：(1)根据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\f(b2,2ac)＝eq\f(3,4)，即2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的离心率为eq\f(1,2).(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（－c－x1）＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②将①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9（a2－4a）,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1，解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).第7课时椭圆(2)1.已知椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍，则椭圆离心率为______________．答案：eq\f(\r(2),2)解析：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，则椭圆的两条准线间的距离为eq\f(2a2,c)，依题意eq\f(2a2,c)＝4c，即a2＝2c2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).2.设一个椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列，则此椭圆的离心率e＝____________．答案：eq\f(4,5)解析：由a＋b＝2c,a2－b2＝c2,两式相除得a－b＝eq\f(1,2)c,与a＋b＝2c相加得2a＝eq\f(5,2)c，从而e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5).3.(2014·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝____________．答案：3解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＝4c2，))∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，∴b＝3.4.(2014·海门中学检测)已知半椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(y≥0，a>b>0)和半圆x2＋y2＝b2(y≤0)组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A、B，交y轴于点G、H，点M是半圆上异于A、B的任意一点，当点M位于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，－\f(\r(3),3)))时，△AGM的面积最大，则半椭圆的方程为______________．答案：eq\f(y2,2)＋x2＝1(y≥0)解析：由点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，－\f(\r(3),3)))在半圆上，所以b＝1，而当点M位于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，－\f(\r(3),3)))时，△AGM的面积最大可知，OM⊥AG，即kOM·kAG＝－1，a＝eq\r(2)，所以半椭圆的方程为eq\f(y2,2)＋x2＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y≥0)).5.已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的两焦点为F1、F2，点M在椭圆上，eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，则M到y轴的距离为________．答案：eq\f(2\r(6),3)解析：由条件知，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆方程得eq\f(x2,4)＋3－x2＝1，解得x2＝eq\f(8,3)，则|x|＝eq\f(2\r(6),3)，即点M到y轴的距离为eq\f(2\r(6),3).6.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e.若椭圆上存在点P，使得eq\f(PF1,PF2)＝e，则该椭圆离心率e的取值范围是________．答案：[eq\r(2)－1，1)解析：∵eq\f(PF1,PF2)＝e，∴PF1＝ePF2＝e(2a－PF1)，PF1＝eq\f(2ae,1＋e).又a－c≤PF1≤a＋c，∴a－c≤eq\f(2ae,1＋e)≤a＋c，即a(1－e)≤eq\f(2ae,1＋e)≤a(1＋e)，亦即1－e≤eq\f(2e,1＋e)≤1＋e，解得e≥eq\r(2)－1.又0＜e＜1，∴eq\r(2)－1≤e<1.7.(2014·潍坊模拟)已知椭圆：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是__________．答案：eq\r(3)解析：由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(3,2)))，B(－c，－eq\f(3,2))，代入椭圆方程得eq\f(c2,4)＋eq\f(9,4b2)＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以eq\f(4－b2,4)＋eq\f(9,4b2)＝1，即1－eq\f(b2,4)＋eq\f(9,4b2)＝1，所以eq\f(b2,4)＝eq\f(9,4b2)，解得b2＝3，所以b＝eq\r(3).8.以O为中心，F1、F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足|eq\o(MF1,\s\up6(→))|＝2|eq\o(MO,\s\up6(→))|＝2|eq\o(MF2,\s\up6(→))|，则该椭圆的离心率为________．答案：eq\f(\r(6),3)解析：不妨设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点．过点M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，0))，并设|eq\o(MF1,\s\up6(→))|＝2|eq\o(MO,\s\up6(→))|＝2|eq\o(MF2,\s\up6(→))|＝2t，根据勾股定理可知，|eq\o(MF1,\s\up6(→))|2－|eq\o(NF1,\s\up6(→))|2＝|eq\o(MF2,\s\up6(→))|2－|eq\o(NF2,\s\up6(→))|2，得到c＝eq\f(\r(6),2)t，而a＝eq\f(3t,2)，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).9.已知椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A、B分别在椭圆C1和C2上，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，求直线AB的方程．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,4)＝1(a>2)，其离心率为eq\f(\r(3),2)，故eq\f(\r(a2－4),a)