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文档简介

第21讲“三向”行程问题

0学习目标

W、*

京熟练掌握“路程和=速度和X时间”这一公式并能利用其解决相向行程问题(相

遇问题)、同向行程问题(追及问题)、背向行程问题(相离问题)。

0知识梅里

警*

一、相向行程问题(相遇问题)

甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了A,B之间这

段路程,如果两人同时出发,那么

丁:甲一乙

A、BAB

。时刻准备出发时间t后相遇

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇时间+乙的速度X相遇时间

=(甲的速度+乙的速度)X相遇时间

=速度和1X相遇时间.

一般地,相遇问题的关系式为:速度和X相遇时间=路程和,即S利=0t

二、同向行程问题(追及问题)

有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.

这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计

算两人走的路程之差(追及路程).如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间(追及时间)内:

追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及时间-乙的速度X追及时间

=(甲的速度-乙的速度)X追及时间

=速度差X追及时间.

一般地,追击问题有这样的数量关系:追及路程=速度差X追及时间,即与=%t

例如:假设甲乙两人站在100米的跑道上,甲位于起点(0米)处,乙位于中间5米处,经过时间r后甲乙同

时到达终点,甲乙的速度分别为。和也,那么我们可以看到经过时间/后,甲比乙多跑了5米,或者可以

说,在时间f内甲的路程比乙的路程多5米,甲用了时间f追了乙5米

o米5米100米100

三、背向行程问题(相离问题)

相离问题:“两物体从同一地点出发,相背而行”,注意对“速度和”的理解,注意时间的因素

图示:

f出发点乙

**------------------------------------------------------<3------------------------------------------------------------------->

A'B

关系式:相离距离=速度和X相背而行的时间.

典例分析

考点一:相向行程问题(相遇问题)

例1、一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千

米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米?

例2、大头儿子的家距离学校3000米,小头爸爸从家去学校接大头儿子放学,大头儿子从学校回家,他们

同时出发,小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米,50分钟后两人相遇,那么大头儿子的速度是每分钟走多

少米?

例3、甲、乙两辆汽车分别从A、8两地出发相对而行,甲车先行1小时,甲车每小时行48千米,乙车每小

时行50千米,5小时相遇,求A、3两地间的距离.

例4、甲、乙两辆汽车分别从A、3两地出发相向而行,甲车先行3小时后乙车从8地出发,乙车出发5小

时后两车还相距15千米.甲车每小时行48千米,乙车每小时行50千米.求A、3两地间相距多少千米?

例5、甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行.出发2小时后,两人相距54千米;出发5小时后,

两人还相距27千米.问出发多少小时后两人相遇?

例6、两列城铁从两城同时相对开出,一列城铁每小时走40千米,另一列城铁每小时走45千米,在途中每

列车先后各停车4次,每次停车15分钟,经过7小时两车相遇,求两城的距离?

例7、两地相距3300米,甲、乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行82米,乙每分钟行83米,已经行

了15分钟,还要行多少分钟两人可以相遇?

例8、甲、乙二人同时从A地去5地,甲每分钟行60米,乙每分钟行90米,乙到达5地后立即返回,并与

甲相遇,相遇时,甲还需行3分钟才能到达8地,A、8两地相距多少米?

考点二:同向行程问题(追及问题)

例1、甲、乙两地相距240千米,一列慢车从甲地出发,每小时行60千米.同时一列快车从乙地出发,

每小时行90千米.两车同向行驶,快车在慢车后面,经过多少小时快车可以追上慢车?(火车长度忽略不

ii)

例2、甲、乙两列火车同时从A地开往8地,甲车8小时可以到达,乙车每小时比甲车多行20千米,比甲

车提前2小时到达.求4、8两地间的距离.

例3、军事演习中,“我”海军英雄舰追及“敌”军舰,追到A岛时,“敌”舰已在10分钟前逃离,“敌”舰每分钟

行驶1000米,“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米,在距离“敌”舰600米处可开炮射击,问“我”海军英雄舰

从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?

例4、龟、兔进行1000米的赛跑.小兔斜眼瞅瞅乌龟,心想:“我小兔每分钟能跑100米,而你乌龟每分钟

只能跑10米,哪是我的对手比赛开始后,当小兔跑到全程的一半时,发现把乌龟甩得老远,便毫不介

意地躺在旁边睡着了.当乌龟跑到距终点还有40米时,小兔醒了,拔腿就跑.请同学们解答两个问题:它

们谁胜利了?为什么?

例5、小明步行上学,每分钟行70米.离家12分钟后,爸爸发现小明的明具盒忘在家中,爸爸带着明具盒,

立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明?当爸爸追上小明时他们离

家多远?

例6、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞,向同一方向飞行,甲机每小时行300千米,乙机每小时行340千

米,飞行4小时后它们相隔多少千米?这时候甲机提高速度用2小时追上乙机,甲机每小时要飞行多少千

米?

例7、王芳和李华放学后,一起步行去体校参加排球训练,王芳每分钟走110米,李华每分钟走70米,出发

5分钟后,王芳返回学校取运动服,在学校又耽误了2分钟,然后追赶李华.求多少分钟后追上李华?

例8、甲、乙二人分别从A、8两地同时出发,如果两人同向而行,甲26分钟赶上乙;如果两人相向而行,

6分钟可相遇,又已知乙每分钟行50米,求A、8两地的距离.

考点三、背向行程问题(相离问题)

例1、两列火车从相距80千米的两城背向而行,甲列车每小时行40千米,乙列车每小时行42千米,5小

时后,甲、乙两车相距多少千米?

例2、小强每分钟走70米,小季每分钟走60米,两人同时从同一地点背向走了3分钟,小强掉头去追小季,

追上小季时小强共走了多少米?

例3、甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出,4小时后两车相遇,然后各自继续行驶3小时,此时甲车

距8地10千米,乙车距A地80千米.问:甲车到达B地时,乙车还要经过多少时间才能到达A地?

例4、甲、乙两车同时从A地向3地开出,甲每小时行38千米,乙每小时行34千米,开出1小时后,甲车

因有紧急任务返回A地;到达A地后又立即向8地开出追乙车,当甲车追上乙车时,两车正好都到达8地,

求A、B两地的路程.

实战演练

>课堂狙击

1、两地间的路程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千

米。甲、乙两车相遇时,各行了多少千米?

2、A、8两地相距90米,包子从A地到5地需要30秒,菠萝从8地到A地需要15秒,现在包子和菠萝从

A、8两地同时相对而行,相遇时包子与B地的距离是多少米?

3、甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行,甲车每小时行45千米,乙车每小时行41千米,乙车

先出发2小时后,甲车才出发.甲车行几小时后与乙车相遇?

4、妈妈从家出发到学校去接小红,妈妈每分钟走75米.妈妈走了3分钟后,小红从学校出发,小红每分钟

走60米.再经过20分钟妈妈和小红相遇.从小红家到学校有多少米?

5、甲、乙两辆汽车从A、3两地同时相向开出,出发后2小时,两车相距141千米;出发后5小时,两车

相遇.A、B两地相距多少千米?

6、两地相距400千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行40千米,乙车每小时比甲车多行5

千米,4小时后两车相遇了吗?为什么?

7、孙悟空在花果山,猪八戒在高老庄,花果山和高老庄中间有条流沙河,一天,他们约好在流沙河见面,

孙悟空的速度是200千米/小时.猪八戒的速度是150千米/小时,他们同时出发2小时后还相距500千

米,则花果山和高老庄之间的距离是多少千米?

8、两列货车从相距450千米的两个城市相向开出,甲货车每小时行38千米,乙货车每小时行40千米,同

时行驶4小时后,还相差多少千米没有相遇?

9、小明的家住学校的南边,小芳的家在学校的北边,两家之间的路程是1410米,每天上学时,如果小明

比小芳提前3分钟出发,两人可以同时到校.已知小明的速度是70米/分钟,小芳的速度是80米/分钟,求

小明家距离学校有多远?

10、小明每天早晨按时从家出发上学,李大爷每天早晨也定时出门散步,两人相向而行,小明每分钟行60米,

李大爷每分钟行40米,他们每天都在同一时刻相遇.有一天小明提前出门,因此比平时早9分钟与李大爷

相遇,这天小明比平时提前多少分钟出门?

11、哥哥和弟弟在同一所学校读书.哥哥每分钟走65米,弟弟每分钟走40米,有一天弟弟先走5分钟后,

哥哥才从家出发,当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校有多远?

12、小明以每分钟50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学

校1000米处追上小明,求小强骑自行车的速度.

13、小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影.小聪每分钟行60米,他出发后10分钟小明才出

发,结果俩人同时到达影院,小明每分钟行多少米?

14、小王、小李共同整理报纸,小王每分钟整理72份,小李每分钟整理60份,小王迟到了1分钟,当小王、

小李整理同样多份的报纸时,正好完成了这批任务.一共有多少份报纸?

15、东、西两镇相距69千米。张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行,6小时后二人分别到达东、西

两镇。已知张每小时比王多行1.5千米。二人每小时各行多少千米?出发地距东镇有多少千米?

16、甲、乙两地相距260千米,客车和货车分别从甲、乙两地同时相向而行,在距乙地95千米处相遇,相

遇后两车又继续前进,客车到乙地,货车到甲地后,都立即返回,两车又在距甲地多少千米处相遇?

17、在一环形跑道上,甲从A点,乙从B点同时反向而行,6分钟后两人相遇,再过4分钟甲到达B地,

又过8分钟两人再次相遇,甲、乙各行一周各需多少分钟?

>课后反击

1、聪聪和明明同时从各自的家相对出发,明明每分钟走20米,聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米,经

过20分钟后两人相遇,你知道聪聪家和明明家的距离吗?

2、甲、乙两车分别从相距360千米的A、3两城同时出发,相对而行,己知甲车到达3城需4小时,乙车

到达A城需12小时,问:两车出发后多长时间相遇?

3、甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行,甲车每小时行28千米,乙车每小时行22千米,乙车

先出发2小时后,甲车才出发.甲车行几小时后与乙车相遇?

4、甲乙两座城市相距530千米,货车和客车从两城同时出发,相向而行.货车每小时行50千米,客车每小

时行70千米.客车在行驶中因故耽误1小时,然后继续向前行驶与货车相遇.问相遇时客车、货车各行驶

多少千米?

5、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行,公共汽车每小时行40千米,小轿车每

小时行50千米,问几小时后两车相距90千米?

6、两列火车从相距480千米的两城相向而行,甲列车每小时行40千米,乙列车每小时行42千米,5小

时后,甲、乙两车还相距多少千米?

7、甲、乙两辆汽车同时从A地出发去8地,甲车每小时行50千米,乙车每小时行40千米.途中甲车出故

障停车修理了3小时,结果甲车比乙车迟到1小时到达8地.A、B两地间的路程是多少?

8、学校和部队驻地相距16千米,小宇和小宙由学校骑车去部队驻地,小宇每小时行12千米,小宙每小时

行15千米.当小宇走了3千米后,小宙才出发.当小宙追上小宇时,距部队驻地还有多少千米?

9、小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米,小强每分钟走70米,二人在途中的A处相

遇。若小红提前4分钟出发,但速度不变,小强每分钟走90米,则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相

距多远?

10、甲、乙两车从A,8两地同时出发,相向而行。如果甲车提前一段时间出发,那么两车将提前30分相

遇。已知甲车速度是60千米/时,乙车速度是40千米/时。问:甲车提前了多少分出发?

II、一辆慢车从甲地开往乙地,每小时行40千米,开出5小时后,一辆快车以每小时90千米的速度也从甲

地开往乙地.在甲乙两地的中点处快车追上慢车,甲乙两地相距多少千米?

12、六年级同学从学校出发到公园春游,每分钟走72米,15分钟以后,学校有急事要通知学生,派李老师

骑自行车从学校出发9分钟追上同学们,李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们?

13、下午放学时,弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后,哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行

回家,哥哥出发后,经过几分钟可以追上弟弟?(假定从学校到家有足够远,即哥哥追上弟弟时,仍没有回

到家).

14、甲地和乙地相距40千米,平平和兵兵由甲地骑车去乙地,平平每小时行14千米,兵兵每小时行17千米,

当平平走了6千米后,兵兵才出发,当兵兵追上平平时,距乙地还有多少千米?

15、上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气,于是向乌龟再次下战书,比赛之前,为了表示它的大度,它让乌

龟先跑10分钟,但是兔子不知道乌龟经过锻炼,速度已经提高到5倍,那么这一次谁将获得胜利呢?

16、从甲城到乙城的铁路线上每隔10千米有一个小车站。一列慢车上午9点以45千米/时的速度由甲城

开往乙城,另一列快车上午9点30分以60千米/时的速度也由甲城开往乙城。铁路部门规定,同方向前

进的两列火车之间相距不能少于8千米。问:这列慢车最迟应该在距甲城多远的小车站停车让快车超过?

17、哥哥由家向东到工厂去上班,每分钟走85米,弟弟同时由家往西到学校去上学,每分钟走75米。几

分钟后二人相距960米?

18、甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发,相背而行。甲每小时行6千米,乙每小时行7千米。8小时后,

甲、乙二人相距多少千米?

19、甲、乙两辆汽车分别以不同的速度同时从A、B两地相对而行,途中相遇,相遇点距A地60千米。相

遇后两车以原速前进,到底目的地后,两车立即返回,在途中又第二次相遇,这时距A地40千米。问第一

次相遇点距B地多少千米?

旗直击赛场:

葡唠彗粒曼由俞ft1御侬毒盥辐榛声小时4千米牖度从相距3。千米的两地向对方的出发地

2、(迎春杯初试)小张和小王早晨8时整从甲地出发去乙地,小张开车,速度是每小时60千米。小王步行,

速度为每小时4千米。如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回,恰好在10时整遇到正在前往乙地

的小王。那么甲、乙两地之间的距离是千米。

3、(希望杯二试)甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行,各自前往8

地、4地。甲每小时行32千米,乙每小时行48千米。甲、乙各有一个对讲机,当他们之间的距离小于20

千米时,两人可用对讲机联络•问:

(1)两人出发后多久可以开始用对讲机联络?

(2)他们用对讲机联络后,经过多长时间相遇?

(3)他们可用对讲机联络多长时间?

4、(迎春杯初试)甲、乙两车同时从A城市出发驶向距离300千米远的8城市.已知甲车比乙车晚出发1个

小时,但提前1个小时到达B城市.那么,甲车在距离8城市千米处追上乙车.

5、(走美杯决赛)甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发,沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分,

下山的速度都是30米/分。甲到达山脚立即返回,乙到达山顶休息30分钟后返回,两人在距山顶480米处再

次相遇。山道长米。

6、(迎春杯)小张和小王早晨8点整同时从甲地出发去乙地,小张开车,速度是每小时60千米.小王步行,

速度为每小时4千米.如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回,恰好在10点整遇到正在前往乙地的

小王.那么甲、乙两地之间的距离是千米.

7、(明心奥数挑战赛)如下图,某城市东西路与南北路交会于路口A.甲在路口A南边560米的8点,乙在

路口A.甲向北,乙向东同时匀速行走.4分钟后二人距A的距离相等.再继续行走24分钟后,二人距A的

距离恰又相等.问:甲、乙二人的速度各是多少?

1.

8、(走美杯初赛)早晨,小张骑车从甲地出发去乙地.下午1点,小王开车也从甲地出发,前往乙地.下午

2点时两人之间的距离是15千米.下午3点时,两人之间的距离还是15千米.下午4点时小王到达乙地,

晚上7点小张到达乙地.小张是早晨_________出发.

天重点回顾

一、相向行程问题(相遇问题)

二、同向行程问题(追及问题)

三、背向行程问题(相离问题)

名师点拨

“三向”行程问题基本公式:

‘相遇路程=速度和x相遇时间

相遇问题,速度和=相遇路程+相遇时间

相遇时间=相遇路程+速度和

‘追及时间=追及路程+速度差

追及问题<追及路程=速度差x追及时间

速度差=追及路程+追及时间

'相离距离=速度和X相离时间

相离问题,相离时间=相离距离+速度和

速度和=相离距离+相离时间

旗学霸经验

「本节课我学到

>我需要努力的地方是

第21讲“三向”行程问题

筝?教学目标...

'熟练掌握“路程和=速度和X时间”这一公式并能利用其解决相向行程问题(相遇问题)、同

向行程问题(追及问题)、背向行程问题(相离问题)0

耍知识梅里;

一、相向行程问题(相遇问题)

甲从A地到8地,乙从B地到A地,然后两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了之间这

段路程,如果两人同时出发,那么

.:甲一乙

ABAB

。时刻准备出发时间t后相遇

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇时间+乙的速度X相遇时间

=(甲的速度+乙的速度)X相遇时间

=速度和X相遇时间.

一般地,相遇问题的关系式为:速度和X相遇时间=路程和,即5利=%/

二、同向行程问题(追及问题)

有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.

这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计

算两人走的路程之差(追及路程).如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间(追及时间)内:

追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及时间-乙的速度X追及时间

=(甲的速度-乙的速度)X追及时间

=速度差X追及时间.

一般地,追击问题有这样的数量关系:追及路程=速度差X追及时间,即%=%t

例如:假设甲乙两人站在100米的跑道上,甲位于起点(0米)处,乙位于中间5米处,经过时间,后甲乙同

时到达终点,甲乙的速度分别为师和以,那么我们可以看到经过时间f后,甲比乙多跑了5米,或者可以

说,在时间f内甲的路程比乙的路程多5米,甲用了时间,追了乙5米

。米5米100米100

三、背向行程问题(相离问题)

相离问题:“两物体从同一地点出发,相背而行”,注意对“速度和”的理解,注意时间的因素

图示:

甲出发点乙

'--------------------C---------------------->

AB

关系式:相离距离=速度和X相背而行的时间.

典例分析

考点一:相向行程问题(相遇问题)

例1、一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千

米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米?

【解析】本题是简单的相遇问题,根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为:

(46+48)x3.5=94x3.5=329(千米).

例2、大头儿子的家距离学校3000米,小头爸爸从家去学校接大头儿子放学,大头儿子从学校回家,他们

同时出发,小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米,50分钟后两人相遇,那么大头儿子的速度是每分钟走多

少米?

【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和:3000+50=60(米/分钟),小头爸爸的速度:(60+24)+2=42(米/

分钟),大头儿子的速度:60-42=18(米/分钟).

例3、甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行,甲车先行1小时,甲车每小时行48千米,乙车每小

时行50千米,5小时相遇,求A、3两地间的距离.

【解析】这题不同的是两车不“同时

(法1)求A、8两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和.这样可以充分别求出甲车、乙车所行的

路程,再把两部分合起来.48x(l+5)=288(千米),50x5=250(千米),288+250=538(千米).

(法2)还可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和,再加上甲车1小时所行的路程.(48+50)x5=490(千

米),490+48=538(千米).

例4、甲、乙两辆汽车分别从4、3两地出发相向而行,甲车先行3小时后乙车从B地出发,乙车出发5小

时后两车还相距15千米.甲车每小时行48千米,乙车每小时行50千米.求A、8两地间相距多少千米?

【解析】题目中写的“还'’相距15千米指的就是最简单的情况。画线段图如下:

甲行驶5小时乙行驶5小时

甲先行驶3小时15T米

由图中可以看出,甲行驶了3+5=8(小时),行驶距离为:48*8=384(千米);乙行驶了5小时,

行驶距离为:50x5=250(千米),此时两车还相距15千米,所以A、8两地间相距:384+250+15=649(千

米)也可以这样做:两车5小时一共行驶:(48+50)x5=490(千米),A、B两地间相距:490+48x3

+15=649(千米),所以,A>8两地间相距649千米.

例5、甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行.出发2小时后,两人相距54千米;出发5小时后,

两人还相距27千米.问出发多少小时后两人相遇?

【解析】根据2小时后相距54千米,5小时后相距27千米,可以求出甲、乙二人3小时行的路程和为

(54-27)♦千米,即可求出两人的速度和:(54-27)+(5-2)=9(千米),根据相遇问题的解题规律;相隔距

离+速度和=相遇时间,可以求出行27千米需要:5+27+9=5+3=8(小时).

例6、两列城铁从两城同时相对开出,一列城铁每小时走40千米,另一列城铁每小时走45千米,在途中每

列车先后各停车4次,每次停车15分钟,经过7小时两车相遇,求两城的距离?

【解析】每列车停车时间:15x4=60(分尸1(小时),两列车停车时间共2小时,共同行驶时间:7-1=6小时,速

度和:40+45=85(千米),两城距离:85x6=510(千米).

例7、两地相距3300米,甲、乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行82米,乙每分钟行83米,已经行

了15分钟,还要行多少分钟两人可以相遇?

【解析】根据题意列综合算式得到:3300+(82+83)-15=5(分钟),所以两个人还需要5分钟相遇。

例8、甲、乙二人同时从A地去3地,甲每分钟行60米,乙每分钟行90米,乙到达B地后立即返回,并与

甲相遇,相遇时,甲还需行3分钟才能到达8地,A、8两地相距多少米?

【解析】相遇时甲走了回距离减去60x3=180(米),乙走了43距离加上180米,乙比甲多走了360米,这

个路程差需要360+(90-60)=12(分钟)才能达到,这12分钟两人一共行走了12x(90+60)=1800米.所以

A3距离为1800+2=900米.

考点二:同向行程问题(追及问题)

例1、甲、乙两地相距240千米,一列慢车从甲地出发,每小时行60千米.同时一列快车从乙地出发,

每小时行90千米.两车同向行驶,快车在慢车后面,经过多少小时快车可以追上慢车?(火车长度忽略不

计)

【解析】追及路程即为两地距离240千米,速度差90-60=30(千米),所以追及时间240+30=8(小时)。

例2、甲、乙两列火车同时从A地开往3地,甲车8小时可以到达,乙车每小时比甲车多行20千米,比甲

车提前2小时到达.求4、8两地间的距离.

【解析】这道题的路程差比较隐蔽,需要仔细分析题意,乙到达时,甲车离终点还有两小时的路程,因此

路程差是甲车两小时的路程.

方法一:如图:

甲车6小时120千米

,__________/A__________、

乙车6小时

甲车8小时可以到达,乙车比甲车提前2小时到达,因此,乙车到达时用了:8-2=6(小时),此

时路程差为:20x6=120(千米),此时路程差就是甲车2小时的路程,所以甲车速度为:

120+2=60(千米/小时),A、8两地间的距离:60x8=480(千米)

方法二:如图:

假设两车都行了8小时,则甲车刚好到达,乙车则超出了:20x8=160(千米),这段路程正好是乙

车2小时走的,因此乙车速度:160+2=80(千米/小时),乙车到达时用了:8-2=6(小时),A、B

两地间的距离:80x6=480(千米)。

例3、军事演习中,“我”海军英雄舰追及“敌”军舰,追到A岛时,“敌”舰已在10分钟前逃离,“敌”舰每分钟

行驶1000米,“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米,在距离"敌''舰600米处可开炮射击,问“我”海军英雄舰

从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?

【解析】“我”舰追到A岛时,“敌”舰已逃离10分钟了,因此,在A岛时,“我”舰与“敌”舰的距离为10000

米(=1000x10).乂因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击,即“我”舰只要追上“敌’'舰9400(=10000米

-600米)即可开炮射击.所以,在这个问题中,不妨把9400当作路程差,根据公式求得追及时

间.(1000x10-600)+(1470-1000)=(10000-600)+470=9400+470=20(分钟),经过20分钟可开炮射击“敌”舰.

例4、龟、兔进行1000米的赛跑.小兔斜眼瞅瞅乌龟,心想:“我小兔每分钟能跑100米,而你乌龟每分钟

只能跑10米,哪是我的对手比赛开始后,当小兔跑到全程的一半时,发现把乌龟甩得老远,便毫不介

意地躺在旁边睡着了.当乌龟跑到距终点还有40米时,小兔醒了,拔腿就跑.请同学们解答两个问题:它

们谁胜利了?为什么?

Iooo米

A__

兔子

起点k

丫____________________________J

500米40米

⑴乌龟胜利了.因为兔子醒来时,乌龟离终点只有40米,乌龟需要40—10=4(分钟)就能到达终点,而兔

子离终点还有500米,需要500+100=5(分钟)才能到达,所以乌龟胜利了.

⑵乌龟跑到终点还要40+10=4(分钟),而小兔跑到终点还要1000―2+100=5(分钟),慢1分钟.当胜利者

乌龟跑到终点时,小兔离终点还有:100x1=100(米).

例5、小明步行上学,每分钟行70米.离家12分钟后,爸爸发现小明的明具盒忘在家中,爸爸带着明具盒,

立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明?当爸爸追上小明时他们离

家多远?

【解析】

小明12分钟走的路程

_人70米/分

200米/分

当爸爸开始追小明时,小明已经离家:70x12=840(米),即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与

小明的距离是840米,我们把这个距离叫做“路程差”,爸爸出发后,两人同时走,每过1分,他们之间的距

离就缩短280-70=210(米),也就是爸爸与小明的速度差为280-70=210(米/分),爸爸追及的时间:

840+210=4(分钟).当爸爸追上小明时,小明已经出发12+4=16(分钟),此时离家的距离是:

70x16=1120(米)

例6、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞,向同一方向飞行,甲机每小时行300千米,乙机每小时行340千

米,飞行4小时后它们相隔多少千米?这时候甲机提高速度用2小时追上乙机,甲机每小时要飞行多少千

米?

【解析】①4小时后相差多少千米:(340-300)x4=160(千米).②甲机提高速度后每小时飞行多少千米:

160+2+340=420(千米).

例7、王芳和李华放学后,一起步行去体校参加排球训练,王芳每分钟走110米,李华每分钟走70米,出发

5分钟后,王芳返回学校取运动服,在学校又耽误了2分钟,然后追赶李华.求多少分钟后追上李华?

【解析】已知二人出发5分钟后,王芳返回学校取运动服,这样用去了5分钟,在学校又耽误了2分钟,王

芳一共耽误了5x2+2=12(分钟).李华在这段时间比王芳多走:70x12=840(米),速度差为:110-70=40(米

/秒),王芳追上李华的时间是:840+40=21(分钟)。

例8、甲、乙二人分别从A、8两地同时出发,如果两人同向而行,甲26分钟赶上乙;如果两人相向而行,

6分钟可相遇,又已知乙每分钟行50米,求4、B两地的距离.

【解析】先画图如下:

若设甲、乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为。,则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从4到力则用

26分钟,因此,甲走C到。之间的路程时,所用时间应为:(26-6)=20(分)。同时,由上图可知,C、。间

的路程等于BC加3D即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和,为50x(26+

6)=1600(米).所以,甲的速度为1600+20=80(米/分),由此可求出4、B间的距离。50x(26+6)+(26-6)=50x32-20

=80(米/分),(80+50)x6=130x6=780(米)

考点三、背向行程问题(相离问题)

例1、两列火车从相距80千米的两城背向而行,甲列车每小时行40千米,乙列车每小时行42千米,5小

时后,甲、乙两车相距多少千米?

【解析】因为是背向而行,所以每过1小时,两车就多相距40+42=82(千米),则5小时后两车相距是:

(40+42)x5+80=490(千米).

例2、小强每分钟走70米,小季每分钟走60米,两人同时从同一地点背向走了3分钟,小强掉头去追小季,

追上小季时小强共走了多少米?

【解析】小强走的时间是两部分,一部分是和小季背向走的时间,另一部分是小季追他的时间,要求追及

时间,就要求出他们的路程差.路程差是两人相背运动的总路程:(60+70)x3=390(米)追及时间为:

390+(70-60)=39(分钟)小强走的总路程为:70xG9+3)=2940侏).

例3、甲乙两车分别从A、8两地同时相向开出,4小时后两车相遇,然后各自继续行驶3小时,此时甲车

距8地10千米,乙车距A地80千米.问:甲车到达B地时,乙车还要经过多少时间才能到达4地?

【解析】由4时两车相遇知,4时两车共行A,8间的一个单程.相遇后又行3时;剩下的路程之和10+80

=90(千米)应是两车共行4—3=1(时)的路程.所以A,B两地的距离是(10+80)+(4—3)x4=360(千米)。因为

7时甲车比乙车共多行80—10=70(千米),所以甲车每时比乙车多行70+7=10(千米),又因为两车每时共行

90千米,所以每时甲车行50千米,乙车行40千米.行一个单程,乙车比甲车多用360^40-360-50=9-7.2

=1.8(时)=1时48分.

例4、甲、乙两车同时从A地向3地开出,甲每小时行38千米,乙每小时行34千米,开出1小时后,甲车

因有紧急任务返回A地;到达A地后又立即向3地开出追乙车,当甲车追上乙车时,两车正好都到达3地,

求A、B两地的路程.

【解析】根据题意画出线段图:

?千米

,___________________________

B

乙2小时行

从图中可以看出,当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程,那么根据追及路程和速

度差可以求出追及时间,而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间,由此可以求出A、8两地的路

程,追及路程为:34x2=68(千米),追及时间为:68+(38-34)=17(小时),A、B两地的路程为:38x17=646(千

米).

工实战演练

>课堂狙击

1、两地间的路程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千

米。甲、乙两车相遇时,各行了多少千米?

【解析】根据相遇公式知道相遇时间是:255+(45+40)=255+85=3(小时),所以甲走的路程为:45x3=135(千

米),乙走的路程为:40x3=120(千米).

2、4、8两地相距90米,包子从A地到3地需要30秒,菠萝从3地到A地需要15秒,现在包子和菠萝从

A、3两地同时相对而行,相遇时包子与8地的距离是多少米?

【解析】包子的速度:90+30=3(米/秒),菠萝的速度:90+15=6(米/秒),相遇的时间:

90+(3+6)=10(秒),包子距3地的距离:90-3x10=60(米).

3、甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行,甲车每小时行45千米,乙车每小时行41千米,乙车

先出发2小时后,甲车才出发.甲车行几小时后与乙车相遇?

【解析】甲、乙两车出发时间有先有后,乙车先出发2小时,这段时间甲车没有行驶,那么乙车这2小时所

行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程,所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程,再除以速

度和,才是甲、乙两车同时相对而行的时间.乙车先行驶路程:41x2=82(千米),甲、乙两车同时相对而

行路程:770-82=688(千米),甲、乙两车速度和:45+41=86(千米/时),甲车行的时间:688+86=8(小

时).

4、妈妈从家出发到学校去接小红,妈妈每分钟走75米.妈妈走了3分钟后,小红从学校出发,小红每分钟

走60米.再经过20分钟妈妈和小红相遇.从小红家到学校有多少米?

【解析】妈妈先走了3分钟,就是先走了75x3=225(米).20分钟后妈妈和小红相遇,也就是说妈妈和小红

共同走了20分钟,这一段的路程为:(75+60),x2()=A2700(米),这样妈妈先走的那一段路程,加上后来妈

妈和小红走的这一段路程,就是小红家到学校的距离.即(75x3)+(75+60)x20=2925(米).

5、甲、乙两辆汽车从A、5两地同时相向开出,出发后2小时,两车相距141千米;出发后5小时,两车

相遇.A、8两地相距多少千米?

【解析】公式“相遇时间=路程和十速度和''中,对于速度不变的两车,“相遇时间''与“路程和''是一一对应

的.如图所示

5小时的相遇时间与A、B两地的距离相对应,(5-2)小时的相遇时间与141千米相对应.两车的速

度之和是:141+6-2)=47(千米/时).A、8两地相距:47x5=235(千米)

6、两地相距400千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行40千米,乙车每小时比甲车多行5

千米,4小时后两车相遇了吗?为什么?

【解析】40+5=45(千米),(40+45)x4=340(千米),340千米<400千米,因为两车4小时共行340千米,

所以4小时后两车没有相遇.

7、孙悟空在花果山,猪八戒在高老庄,花果山和高老庄中间有条流沙河,一天,他们约好在流沙河见面,

孙悟空的速度是200千米/小时.猪八戒的速度是150千米/小时,他们同时出发2小时后还相距500千

米,则花果山和高老庄之间的距离是多少千米?

【解析】注意:"还相距''与“相距”的区别.建议教师画线段图.可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程:

(200+150)x2=700(千米),又因为还差500米,所以花果山和高老庄之间的距离:700+500=1200(千米).

8、两列货车从相距450千米的两个城市相向开出,甲货车每小时行38千米,乙货车每小时行40千米,同

时行驶4小时后,还相差多少千米没有相遇?

【解析】所求问题=全程一4小时行驶的路程和.路程和:38x4+40x4=312(千米),

450-312=138(千米).

9、小明的家住学校的南边,小芳的家在学校的北边,两家之间的路程是1410米,每天上学时,如果小明

比小芳提前3分钟出发,两人可以同时到校.已知小明的速度是70米/分钟,小芳的速度是80米/分钟,求

小明家距离学校有多远?

【解析】小明比小芳提前3分钟出发,则多走70x3=210(米).两家之间的所剩路程是1410-210=1200(米),

两人的速度和是70+80=150(米),所剩路程需:1200+(70+80)=8(分钟)走完.小明家距离学校

70x(8+3)=770(米).

10、小明每天早晨按时从家出发上学,李大爷每天早晨也定时出门散步,两人相向而行,小明每分钟行60米,

李大爷每分钟行40米,他们每天都在同一时刻相遇.有一天小明提前出门,因此比平时早9分钟与李大爷

相遇,这天小明比平时提前多少分钟出门?

【解析】因为提前9分钟相遇,说明李大爷出门时,小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路,即多走了

(60+40)x9=900(米),所以小明比平时早出门900+60=15(分).

11、哥哥和弟弟在同一所学校读书.哥哥每分钟走65米,弟弟每分钟走4()米,有一天弟弟先走5分钟后,

哥哥才从家出发,当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校有多远?

【解析】哥哥出发的时候弟弟走了:40x5=200(米),哥哥追弟弟的追及时间为:200+(65-40)=8(分钟),

所以家离学校的距离为:8x65=520(米).

12、小明以每分钟50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学

校1000米处追上小明,求小强骑自行车的速度.

【解析】小强出发的时候小明走了50x12=600(米),被小强追上时小明又走了:(1000-600)+50=8(分钟),

说明小强8分钟走了1000米,所以小强的速度为:1000+8=125(米/分钟).

13、小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影.小聪每分钟行60米,他出发后10分钟小明才出

发,结果俩人同时到达影院,小明每分钟行多少米?

【解析】要求小明每分钟走多少米,就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间;要求小明所用的时

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