扇形面积计算公式强化练习2

扇形面积计算公式强化练习2

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.如图，正六边形A88EF的边长为2,以A为圆心，AC的长为半径画弧，得

EC，连接AC,AE,则图中阴影部分的面积为（）

AGDAcn2\/3

A.2兀B.4万C.—TCD.----冗

33

2.如图，已知的内接正六边形A3CDE厂的边心距QM是G，则阴影部分的面积

是（）.

I32

A.—B.—7r—y/3C.3^—65/3D.44一6G

3.如图，点C为扇形054的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点。恰好落在

32

AB匕的点。处，且AO:OB=3:1，若此扇形0AB的面积为百■乃，则AB的长为

()

c

B

8c32

A—71D.—71

-19C.台9

4.如图，在边长为2的正方形ABC。中，是以8c为直径的半圆的切线，则图中

阴影部分的面积为（）

B

CED

▲3+汗、5—4

A.------B.万一2C.1D.------

22

5.如图，A8和。。是。。的两条互相垂直的弦，若A£>=4,BC=2,则阴影部分的面

积是（）

C

D

A.2n-1B.-71-4C.5n-4D.5兀-8

2

6.如图，在Rt^ABC中，NC=90。，点。在A8上，以点。为圆心，04长为半径作

半圆0,与边8C相切于点。，与边AB的另一个交点为E,与边AC相交于点凡连

接A。.若BE=AO=2,则图中阴影部分的面积为（）

c

7.如图，。。的半径为3,边长为2的正六边形48CQEF的中心与0重合，M、N分

别是AB、吊的延长线与。。的交点，则图中阴影部分的面积是()

-6

V2442

8.如图，A3是。。的直径，弦CDLA3于点E,且E为03的中点，ZCDB=30°,

CD=4百,则阴影部分的面积为()

0

4-16

A.nB.4万C.—nD.—n

33

二、填空题

9.如图，RtZ\ABC中，NACB=90°,ZA=30°,8c=2,点。为斜边A8上一点,

以。为圆心，08长为半径作圆,交AC于点C,若点。是AC的中点，连接BO,则

图中阴影部分的面积为_____.

A

0

10.如图，矩形ABC。中，AB=2,点E在AO边上，以E为圆心，E4长为半径的

4

（DE与BC相切，交8于点F,连接EF.若扇形EAF的面积为§万，则BC的长是

11.如图，半径为2的。。与正六边形A8CQEF相切于点C,F,则图中阴影部分

的面积为—.

12.如图，在菱形ABC。中，对角线4c=12,BD=16,分别以点A,B,C,。为圆

心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为

.（结果保留》）

13.图，方格纸中2个小正方形的边长均为1,图中阴影部分均为扇形，则这两个小

扇形的面积之和为（结果保留兀）.

14.如图，在扇形A08中，乙408=90。，半径OA=6,将扇形AO8沿过点B的直线

折叠，点。恰好落在弧AB上点力处，则整个阴影部分的面积为.（用含兀的式

子表示）

15.如图，已知点C、。是以为直径的半圆的三等分点，CD的长为竽，连接

OC、AD,则图中阴影部分的面积为.

16.如图，在半径为6的。。中，点A,8,C都在。O上，四边形0WC是平行四边

形，则图中阴影部分的面积为.

17.如图：在平面直角坐标系中，已知。M经过坐标原点，与x轴，）'轴分别交于

A、B两点，点B的坐标为（0,2石），0c与。”相交于点C,且NOC4=30。，求图

中阴影部分的面积.

18.如图1,在正方形48C。中，AB=10,点0,E在边CO上，且CE=2,。0=3,

以点。为圆心，0E为半径在其左侧作半圆0,分别交AO于点G,交CO的延长线于

点F.

(2)如图2,将半圆。绕点E逆时针旋转a(0。<0(<180。)，点。的对应点为0、点尸

的对应点为尸，设M为半圆。，上一点.

①当点F'落在A。边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；

②当半圆。'交BC于尸，R两点时，若丽的长为(兀，求此时半圆0,与正方形A8C。

重叠部分的面积；

③当半圆。'与正方形ABCQ的边相切时，设切点为N,直接写出tanNEM)的值.

19.如图，直线AB经过上的点C,直线B。与。。交于点F和点。，与。。交

于点E,与DC交于点G,OA=OB,CA=CB.

(1)求证：A8是。。的切线：

(2)若FCUOA,8=6,求图中阴影部分面积.

20.如图，线段A8为。O的直径，点C、点。为半圆AB的三等分点，点尸为线段

AB延长线上一点，且。8=8凡

(1)求证：直线。F是。。的切线;

(2)。。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

21.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，AABC的顶点都在格点

上，请完成下列任务(在网格之内面图)：

⑴请画出AABC绕点C按顺时针方向旋转90。后得到的；线段AC旋转到AC

的过程中，所扫过的图形的面积是；

(2)以点O为位似中心，位似比为2,将△A4G放大得到

22.如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°,。。与BC,AC分别相切于点E,F,BO

平分ZA8C,连接Q4.

(1)求证：AB是。。的切线；

(2)若8E=AC=3,的半径是1,求图中阴影部分的面积.

23.如图，的直径45=2百，点C为0。上一点，C尸为。。的切线，0ELA8于

点。，分别交AC,CF于。，E两点.

(1)求证：ED=EC；

(2)若/A=30°,求图中两处(点C左侧与点C右侧)阴影部分的面积之和.

24.如图，AB.CN为的直径，弦CD_LO3于点E,点尸在AB延长线上，CN

交弦AZT于点M,E为。F的中点，sinZAD(9=-.

2

(1)求证：CF为的切线；

(2)求CE=6,求图中阴影部分的面积.

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可.

【详解】

解：过8点作AC垂线，垂足为G,

根据正六边形性质可知，ZCAB=ZBCA=30°,

2

AC=2AG=2X-JAB-GH2=2XV22-I2=2百，

.„_60x(20尸xn

,,＞扇行TTT=2乃，

JoO

故选：A.

【点睛】

本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键.

2.D

【解析】

【分析】

连接正六边形的相邻的两个顶点与圆心，构造扇形和等边三角形，则可得到弓形的面积,

阴影部分的面积等于弓形的6倍.

【详解】

解：连接。力、0E,

答案第1页，共30页

B

OM=百，。。的内接正六边形ABCDEF,

;.NDOE=6()o,OD=OE,

...△QOE是等边三角形，

二ZDOM=30°,

设用。=x,则OD=2x

:.x2+3=4/，

解得：x=l,

:.OD=2,

根据图可得：S阴影格价=6(S；g舷曲-S"：二角柩oo£),

=44-6G

故选：D.

【点睛】

本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算，解题的关键是知道阴影部分的面积等于三

个弓形的面积.

3.C

【解析】

【分析】

连接00，易证△OAD是等边三角形，由弧长的比等于圆心角的比，可得扇形。54的圆心

角的度数，根据面积可得半径，由弧长公式可得答案.

答案第2页，共30页

【详解】

解：连接0。，则0£>=04,

由折叠的性质可得0A=DA,

/\0AD是等边三角形，

二400=60。，

由40：。8=3:1，

可得NAOD:N3OD=3:1

ZBOD=20°,

：./4OB=80。，

f_802_32

又无形<MB=砺内=飞兀，

解得，=4,

―8016

AB=---仃=——n,

1809

故选C

【点睛】

本题考查扇形的弧长和面积公式，根据题意正确添加辅助线是解题的关键.

4.D

【解析】

【分析】

取8C的中点O,设4E与。。的相切的切点为凡连接OF、OE、OA,由题意可得

OB=OC=OA=l,ZOFA=ZOFE=90°,由切线长定理可得AB=AF=2,CE=CF,然后根据割

补法进行求解阴影部分的面积即可.

【详解】

答案第3页，共30页

解：取BC的中点0,设AE与。。的相切的切点为F,连接OF、OE、04,如图所示:

;四边形A5CD是正方形，且边长为2,

：.BC=AB=2f^ABC=^BCD=90°,

•・,AE是以8C为直径的半圆的切线，

/.OB=OC=OF=1,ZOFA=ZOFE=900,

：.AB=AF=2fCE=CFt

9：OA=OA,

:.RiXABO义R3AFO(HL),

同理可证4OCE9XOFE,

JZAOB=ZAOF,Z.COE=ZFOE,

:.ZAOB+ZCOE=90°=ZAOB+ZBAO,

:./COE=4BAO,

：.AABO^AOCE,

・PCCE

•・下一丽’

:.CE=-

2t

S阴影=S四边形A8CE_S半g,=2SJBO+2sqeE_S半圆=2+—-—=D;

故选D.

【点睛】

本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，

熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题

的关键.

5.B

【解析】

答案第4页，共30页

【分析】

如图，连接4C,连接4。并延长，交。。于E点，连接。E,根据垂径定理和圆周角定

理，即可求得NCA8=NE4O,得出CB=OE=2,将弓形8c旋转到弓形OE的位置，两

块阴影部分面积之和为半圆面积减去AAOE的面积，计算求解即可.

【详解】

解：如图，连接AC,连接AO并延长，交于E点，连接力E

'JABA.CD,

：.ZCAB+ZACD=90°,

是直径，

ZADE=90°,

：.ZAED+ZEAD=9Q°,

又ZACD^ZAED,

：.ZCAB=ZEAD,

：.CB=DE=2,

22

：.AE=yj4+2=2^>

将弓形BC旋转到弓形力E的位置，两块阴影部分面积之和为半圆面积减去AAOE的面

积，

g|Js=R_f_lx4x2=5£_4.

222

故选B.

【点睛】

本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形的面积，解题的关键与难点在于明确将弓形8c

旋转到弓形OE的位置，两块阴影部分面积之和为半圆面积减去AAOE的面积.

6.C

答案第5页，共30页

【解析】

【分析】

阴影部分的面积可理解为S第所SMBC-QOBD-SzAO尸—S厨形。。凡算出各边的长，代入

面积公式即可求解.

【详解】

如图，连接OF、OD.

由题意可知S阴后SAABC-SAOBD—SAAOF—S扇形DOF,

'：AO=BE=2,

：.DO=2,80=4.

由题意可得，三角形33为直角三角形，

BD=742-22=2>/3,

••SABOE^~x2x2>/3=.

根据RtA80。的三边关系，可知NBOD=60。，NB=30。,

NCAB=60。，

：.AC=^xAB=3,BC=3后,

...△40尸和4DOF均为等边三角形，

S』AOF=；x2x6=G,

••S峨=gx3x3^/3—2A/3—>/3--y

_3石27r

--2F'

故选C.

【点睛】

本题考查圆中的不规则图形面积的计算.不规则图形面积的计算，可以采取“割补”的方

答案第6页，共30页

式，解决本题的关键在于阴影部分的面积可以用大图形的面积减去小图形的面积.

7.B

【解析】

【分析】

连接OM,ON,设0M交AB于点P,ON交BC于点Q,得为必=548M°,根据

S阴影=S扇形OMN—2S4OBP求解即可

【详解】

连接OM,ON,设OM交A8于点P,ON交BC于点Q,如图，

由割补法原理可知S诩》=S&BMQ

又"•*S&OBP~S&OBQ

••S阴影=S扇形OMN-2SAOBP

.._60°x乃x32_3

.3南彩aww=360°=51

又,:OP=OBsin600=V3

,,StMBP=1X=等

•C3yf3_3rr

,,S阳影=-^--2x—=-^-V3

故选：B

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算，正六边形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

8.D

【解析】

【分析】

连接8C,由NCD8=30。，得N8OC=60。，又OB=OC,可得ABOC是等腰三角形，E为

答案第7页，共30页

08的中点，可得CELO8,由垂径定理得CE=26,在用ACEO中，可求得

C°=1了=4,然后由NA℃=120。，S扇用=叱即可求得答案.

sm60°扇形360

【详解】

解：如图，连接BC,

,?NC£>8=30°,

ZBOC=60°,

•；OB=OC,

...ABOC是等边三角形，

•••E为。8的中点，

CELOB,

：.CE=-CD=2^,

2

CE

在心△CEO中，sinZCOE=—,

ACO=-^—=4,

sin60°

,/ZAOC=180。一NBOC=120。，

._120景4?JS

.•与c影=36()=亍.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、解直角三角形和求扇

形面积等，熟练掌握相关定理和扇形面积公式是解题的关键.

9.—##~7T

33

【解析】

【分析】

连接。£),根据直角三角形的性质可得AB=2BC=4,再由OB=OC,可得NOBC=NOCB,

答案第8页，共30页

从而得至IJ0004再由点。是AC的中点，可得。。〃8。，从而得到久8°=S或"，进而

得到阴影部分面积等于S扇形热，即可求解.

【详解】

A

在中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,

・"8=2804,/O8C+NA=90。，

•；0B=0C,

：.ZOBC=ZOCB,

,：ZOCB+ZACO=90°f

：.NA=NAC0,

・・・0C=0Af

・・・A3为以。为圆心，03长为半径的圆的直径，即。为A3的中点,

：.ZBOC=2ZA=60\03=2,

•・•点。是AC的中点，

：.0D//BC,

•q_c

•・°"CD~°JJOC，

.阴影部分面积等于S陶形故.=6°"x2"=红.

mwc3603

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的性质，求扇形面积，圆周角定理，三角形中位线定理，根据

题意得到阴影部分面积等于S豳形眼是解题的关键.

10.3

答案第9页，共30页

【解析】

【分析】

设/AEF=n。，先根据矩形的性质可得BC=AD、ZD=90°；过E作EGLBC垂足为G,证明

四边形AEGB是矩形可得AB=EG,扇形的性质得到AE=EF=EG,即AE=EF=EG=AB=2,再根

据扇形的面积求得n=120。，即NAEF=120。；然后在RsEFD中求出ED的长，进而求得

AB的长.

【详解】

解：设NAEF=n。，

•••四边形ABCD是矩形，

；.BC=AD,ZD=ZABC=ZBAC=90°,

♦.•以E为圆心，EA长为半径的。E与BC相切，

设切点为G,连接EG

则EG1BC,

/.四边形AEGB是矩形

，AB=EG

.•扇形E4F,

，.AE=EF=EG

AE=EF=EG=AB=2

4

扇形E4F的面积为

喘手，即n“。。

ZFED=60°,即/EFD=30°

ED=1EF=I

BC=AD=AE+ED=2+1=3.

答案第10页，共30页

故答案为3.

【点睛】

本题主要考查了切线的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形30度角性质等知

识，灵活运用所学知识是解答本题的关键.

..13647r

11.-----------

43

【解析】

【分析】

连接OF,OC,过点。作于点H,交尸C于点P,在四边形OCD”中，可求出

ZC6>//=60°,在四边形OFE”中，可求出NFO”=60。，由题意得。尸垂直平分FC,在

心0PC中，根据直角三角形的性质可得OP=1,根据勾股定理得尸c=石，则FC=26,

过点。作尸C,过点E作ENLfC,根据角之间的关系可得/用DC=30。，则

MC=^DC,NFEN=30。,贝FC=FN+NM+MC=2ED=26,又因为是正六

边形，Ph以ED=CD=EF=NM=6即可得MC=4^,根据勾股定理可得£>"=],则

22

PH=DM=3,用多边形OFEDC的面积减去扇形OFC的面积即可得阴影部分的面积.

【详解】

解：连接。F,OC,过点。作O//J.ED于点，，交FC于点P,

在四边形OCQH中，OC±CD,OHVHD,NCDH=120°,

：.ZOCD=90°,ZDHO=90°,

：.ZCOH=360°-Z.OCD-Z.CDH-ADHO=360°-90^-120°-90°=60°,

在四边形。尸中，OF1EF,OHVHD,NFEH=120。,

，NOFE=90°,Z£HO=90°,

ZFOH=3600-Z.OFE-AFEH-ZEHO=360°-90°-120°-90°=60°,

OC=OF,

答案第II页，共30页

；.0尸垂直平分FC,

在Rf0PC中，NOPC=90。，ZCOP=60°,OC=2,

：.Z.OCP=180°-ZOPC-Z.COP=180°-90°-6(F=30°,

OP=-OC=-^2=\,

22

PC=yl0C2-0P2=V22-12)

，FC=2PC=2x6=2百，

过点。作ZWLFC,过点E作EN，尸C,

ADMC=ZENF=90°,

：NOCD=90。，，ZOCP=30°,

Z.ZPCD=ZOCD-ZOCP=90°-30°=60°,

同理可得，NPFE=60°,

在RfQMC中，ZMDC=18(T-ZDMC-ZMCD=180°-90°-60°=30°,

MC=-DC,

2

在RtEFN中，NFEN=180°-ZE/W-ZENF=180°-90°-60°=30°,

，NF=-EF,

2

，FC=FN+NM+MC=2ED=2y/3,

•；EF=DE=CD=NM,

ED=CD=EF=NM=石,

MC=NF=-(FC-NM)=-x(2s/3-y/3)=—,

222

DM=y/CD2-MC2=J(y/3)2-(—)2=-,

V22

3

则PH=DM=—，

2

•**SOFM=S.OFC+SFEDC=；x2\/5xl+；x(G+2\/^)xg=^^^'

3Tl

SOFC=^-n.22=—9

2n3

・・・阴影部分的面积=SOFFDC-SOFC=^--—,

故答案为：世-生.

43

答案第12页，共30页

【点睛】

本题考查了多边形与圆，扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握

这些知识点和求出正多边形的边长.

12,9&25乃

【解析】

【分析】

先根据菱形的性质得出A8的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面

积和即可得出答案

【详解】

解：：四边形是菱形，AC=12,BD=16,

：.AC±BD,A0=6,8。=8；

•*-AB=ylOB2+OAi=10；

•..菱形ABCD的面积="CxM[>d2x]6=96

♦.•四个扇形的半径相等，都为348=5,且四边形的内角和为360。，

，四个扇形的面积=36°万义5)=25%,

360

.♦.阴影部分的面积=96-25乃；

故答案为:96-25%.

【点睛】

本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.

13.—##-^

44

【解析】

【分析】

根据题意可得这两个扇形可组合成一个大扇形，且这两个扇形的的圆心角的和为90。，再

根据扇形的面积公式，即可求解.

答案第13页，共30页

【详解】

解：根据题意得：两个扇形的半径相等均为1,

...这两个扇形可组合成一个大扇形，

♦.•这两个扇形的的圆心角正好是直角三角形的两个锐角，

.,.这两个扇形的的圆心角的和为90。，

这两个小扇形的面积之和为叫生=工.

3604

故答案为：y

【点睛】

本题主要考查了学生的观察能力及计算能力.理解求不规则的图形的面积，可以转化为几

个规则图形的面积的和或差来求是解题的关键.

14.9万-126##-126+9万

【解析】

【分析】

首先连接。Q，由折叠的性质，可得CQ=C。，BD=BO,ZDBC=NOBC,则可得△08。

是等边三角形，继而求得。C的长，即可求得△O8C与△BCQ的面积，又在扇形。48

中，ZAOB=90°,半径OA=6,即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积.

【详解】

解：连接OD

根据折叠的性质，CD=CO,BD=BO,ZDBC=ZOBC,

：.OB=OD=BD,

即△08。是等边三角形，

.•./。8。=60°,

；.NCBO=L/DBO=30。,

2

VZAOB=90°,

Z.OC=O8・tanNCBO=6X立=2后，

3

/.S2BDC=5AOBC=；X0BX0C=；X6X2G=65

90

S扇形AOB=--irX62=9ii,

答案第14页，共30页

...整个阴影部分的面积为：S^AOB-S/^BDC-SA0BC=9n-6^-6g=9n-12

故答案为：9TT-126.

【点睛】

本题考查折叠的性质和扇形的面积公式.分析图形找到阴影部分的面积等于S扇形AOB-

SZ\8£)C-SZ\08C是本题的关键.

"2兀6

32

【解析】

【分析】

连接0C,根据圆心角、弧、弦的关系定理得到NCOO=60。，根据弧长公式求得半径，利

用勾股定理求出。&DE,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案.

【详解】

•••点C是以A8为直径的半圆。的三等分点,

AZCOD=60°,

V。。的长为2乃年，

.60乃R2%

••=—,

1803

:.R=2,

：.00=2,

・・,点。是AO的中点,

答案第15页，共30页

・・・OC±ADf

：.NOOE=30。,

AOE=^-OD=lfDE=BoD=6,

22

••S阴影=S扇形co。-SqODE

=60"21\]xV

3602

百

--2-1--------

32

红_3

故答案为：

1r

【点睛】

本题考查的是扇形面积计算，弧长的计算，掌握勾股定理、扇形面积公式是解题的关键.

16.6万

【解析】

【分析】

连接。8,根据平行四边形的性质得到AB=OC,推出AAOB是等边三角形，得到

ZAOB=60°,根据扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：连接。8,

•・•四边形OABC是平行四边形,

：.AB=OC,

：.AB=OA=OBf

•,*/\AOB是等边三角形，

,NAOB=60。，

YOC//AB,

：.SAAOB=SAABC1

答案第16页，共30页

.•.图中阴影部分的面积=S扇/AOB=.6也6==6%,

360

故答案为：67r.

【点睛】

本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键.

17.2M-24

【解析】

【分析】

连接A8,可得A8是直径，再由圆周角定理可得NO84=NOC4=30。，然后根据点8的

坐标为(0,26)，可得OSuZG，从而得到圆的半径为2,再由S即=S用窗匝-S4Ao,,即可求

解.

【详解】

QZAOfi=90°,

AB是直径，

■:ZOC4=30°,

NO8A=NOC4=30°,

•点8的坐标为(0,26)，

/.OB=2也,

OA=OB-tanZABO=OBtan300=2y/3x^=2,

3

：.AB=2AO=4,

.••圆的半径为2,

5产SaKAOB-S^OB=噎苒Yx2x2/=2乃-.

3oU2

【点睛】

答案第17页，共30页

本题主要考查了求扇形面积，解直角三角形，圆周角定理，等知识，熟练掌握相关知识点

是解题的关键.

18.(1)6

(2)①1；②史1+史乃；③、或！

4395

【解析】

【分析】

(1)连接。G,如图1,先由正方形的边长与已知线段求得半径0E,再由勾股定理求得

DG,进而得4G；

(2)①如图2,过点。彳乍07/LBC于点H,交半圆O'于点反向延长40'交AQ于点

Q,由三角形的中位线求得0'。，进而由线段和差求得便可；

②由弧长公式求得/P。，。的度数，再根据等边三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算

便可；

③分两种情况：当半圆。'与正方形A3CD的边相切时；当半圆0'与正方形ABC。的边

AB相切时.分别求出结果便可.

(1)

连接。G,如图1,

•••正方形ABC。中，A8=10,

：.AD=CD=AB=\O,ZADC=90°,

,:CE=2,00=3,

：.OG=OE=CD-CE-00=10-2-3=5,

,,DG=-JOQ1—0D~=4，

：.AG=AD-DG=10-4=6,

故答案为：6；

⑵

答案第18页，共30页

①如图2,过点。，作O7/LBC于点H,交半圆O'于点反向延长"。'交AO于点Q,则

ZQHC=90°,

图2

根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，

•:ZC=ND=NQHC=90。,

，四边形Q"CO是矩形，

：.HQ=CD^\0,HQ//CD.

；点。'是E尸的中点，点Q是。尸的中点,

VDE=8,

O'Q=^DE=4,

，。7/=6,

VCE=2,DQ=3,

.,.O避=10-2-3=5,即半圆的半径为5,

即点”到8c的最短距离为I；

②由①可知半圆。的半径为5,如图3,设NPOK的度数为

图3

由题意得，嬴的长为=与"x5=：万,

1ol)3

/.NPO'R=60。，

・・・NFO，P+/EO'R=120°,

_J20<25

3扇形尸OP+3扇形冗x;

答案第19页，共30页

'：O'R=PO',

.•.△O'RP是等边三角形，

.c_256

,•'QPR~'

.•.此时半圆。'与正方形ABCD重叠部分的面积为生叵+竺万；

43

③当半圆。'与正方形ABCO的边BC相切时，如图4,过点。作£W，NE,与NE的延长线

交于点”，作EG_LOW于点G,则NG=CE=2,O'N=O'E=5,

，0'G=5-2=3,

:.CN=GE=d$_¥=4,

•*-DN=y/CN2+CD2=7116>

NE=dcN、CE。=2#>-

,:S-=*CN=*DH，

DECN8x416后

DH8

/.tanZEND==—；

NH9

当半圆。［与正方形ABC。的边A8相切时，如图5,此时N与尸重合，®ljEF1AB,

u：AB//CD9

:.EF'ICD,

答案第20页，共30页

EF'105

84

综上，tan/EN£)=§或

【点睛】

本题主要考查了圆的有关知识，矩形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，解直角三角

形，利用分类思想解决问题是本题的关键.

19.(1)见解析；(2)2兀—也

2

【解析】

【分析】

(1)连接0C,证明OCLA8即可;

(2)由已知条件得出NDOE=NAOC=N8OC=60。，利用特殊角锐角三角函数求出。/)、

OG的长度，再由扇形面积公式以及三角形面积公式求与物X>E即可.

【详解】

.(1)证明：连接OC.

VOA=OB,CA=CB.

：.OCLAB.

OC是G)O的半径，

，AB是。O切线.

(2)解：•••£>?是OO的直径,

ZDCF=90°,

FC//OA,

：.NDGO=NDCF=90°,

,DG=-CD=3,

2

•/OD=OC,

答案第21页，共30页

:.ZDOG=ZCOG,

OA=OB,AC=CB,

：.ZAOC="OC，

:.ZDOE=ZAOC=ZBOC=60°,

DG

在Rt")QG中，OD=

sinZDOG

，OG=ODcosZDOG=百，

2

,60x20--*3=2芭.

,'S阴影=s扇形DOE-S^DOG=

【点睛】

本题主要考查切线的判定，锐角三角函数，扇形面积的计算等知识点，根据题意求出

/。。石=60。是解题关键.

20.⑴见解析

(2)图中阴影部分的面积为-整.

【解析】

【分析】

(1)连接0£),BD,推出△02。是等边三角形，得到/08。=60。，BD=OB,求得

NODF=90。,根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)根据已知条件。尸=4,根据勾股定理得到力尸的长，根据三角形和扇形的面积公式即

可得到结论.

(1)

证明：连接。。，BD,

•••AB为。。的直径，点。是半圆AB的三等分点,

答案第22页，共30页

ZBOD=-ZAOB=6Q°,

3

在△OBZ)中，OB=OD,ZBOD=60°,

.".△OB。是等边三角形，

.♦./080=60。，BD=0B,

,：0B=BF,BD=0B,

：.BD=BF,

:.NBDF=NF,

N0BD=NF+NBDF,

：.ZF=-ZBOD=30°,

2

VZF=30°,ZBOD=60°,

：.ZODF=90°,

J.ODLDF,

.点。在。。上，

直线。F是。。的切线；

⑵

解：V0B=0D=2,BF=0B,

：.。尸=4,

在心△(%＞尸中，由勾股定理得，DF=mp-OD2=2。

,：5A0DF=；0D・DF=；x2x2乖＞=2右,,S成形B0D==署，

,图中阴影部分的面积=26-会.

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，

正确地作出辅助线是解题的关键.

21.(1)图见解析；|万

(2)图见解析

【解析】

【分析】

(1)直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案，直接利用扇形面积求法得出扫过

答案第23页，共30页

的图形的面积；

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案.

（1）

解：如图所示：即为所求；

AC-yj\2+32=>/10

AC所扫过的图形的面积：s.9呵炯一5兀:

3602

⑵

本题考查了旋转变换以及位似变换和扇形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键.

53

22.（1）证明见解析；（2）乃.

28

【解析】

【分析】

（1）过点。作ODJ■他于点。，连接。E,先根据圆的切线的性质可得再根

据角平分线的定义可得N08E,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得

OD=OE,最后根据圆的切线的判定即可得证；

（2）设分别交。。于点M,N,连接。F,先根据圆的切线的性质、矩形的判定与

答案第24页，共30页

性质可得CE=O尸=1,从而可得BC=4,再利用勾股定理可得48=5,然后根据直角三

角形全等的判定定理与性质可得NOAO=NQ4F=：Z8AC,从而可得4408=135。，最后

根据图中阴影部分的面积等于-5第c即可得.

【详解】

证明：(1)如图，过点。作于点。，连接0E,

•e•8c与相切于点E,

:.0E±BC,

8。平分ZABC,

N0BD=NOBE=-ZABC,

2

，N0DB=N0EB=90。

在AQB力和△O8E中，<N0BD=N0BE,

0B=0B

:.qBD=K)BE(AAS),

：.OD=OE,

，O£)是。。的半径，

又

A8是。o的切线；

(2)如图，设。4,08分别交。。于点M,N,连接。尸，

••・。。的半径是1.

：.OD=OF=\,

•••AC与相切于点尸，

.-.OFrAC,

:.ZOFC=NOEC=90°=ZACB,

，四边形OECF是矩形，

,-.CE=OF=\,

•.•BE=4C=3,

:.BC=BE+CE=4,

AB=4AC2+BC2=5>

答案第25页，共30页

OA=OA

在Rt^OAD和Rt^OAF中,

OD=OF'

・•.RtJDAD=RtQAF(HL),

ZOAD=ZOAF=-ABAC,

2

NOBD+ZOAD」N48C+g/BAC=g(N48C+ABAC}=45°,

ZAOB=180°-(ZOBD+ZOAD)=135°,

则图中阴影部分的面积为SAOH-SmDN=-ABOD-I35%x『=3_3万.

【点睛】

本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、扇形的面积公式等知

识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键.

23.(1)证明见解析

⑵%一退

4

【解析】

【分析】

(1)连接。C,根据切线的性质定理确定NOCA+4CF=90。，根据等边对等角确定

ZOAC^ZOCA,根据OELAB确定NO4C+NOD4=90。，根据对顶角的性质确定

ZODA=ZEDC,