人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷检测试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试综合卷检测试卷

一、选择题

1.如图，中，AB=8C=4,NA=60。，连接60,将BCD绕点、B旋转,当

BD（即6。'）与AD交于一点E，BC（即8C）与CO交于一点尸时，给出以下结

论：①AE=D/；②NB£E=60°；③ZDEB=ZDFB：④。石尸的周长的最小值是

4+2省.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A落在y轴上，点C落在x轴上，

随着顶点C由原点。向x轴正半轴方向运动，顶点A沿y轴负半轴方向运动到终点。，在

运动过程中8的长度变化情况是（）

o|c-----------

A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减少

3.如图，正方形ABC。的边长为定值，E是边CO上的动点（不与点C,D重合）,AE

交对角线80于点F,FG_LA£交BC于点G,6”_1_8。于点叽连结AG交6。于点

N.现给出下列命题：①AF=EG；②DF=DE：③FH的长度为定值；

④GE=BG+DE；⑤BN?+DF2=NF?.真命题有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.如图，菱形ABCD的周长为24,对角线AC、8。交于点O,ZDAB=60°,作于

点H,连接0H,则0H的长为（）

D.

A.2B.3C.26D.473

5.如图所示，E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC,AE交CD于点F,那

6.如图，在平行四边形4BCD中，NC=120°,AD=4,AB=2,点E是折线

5C—CD—ZM上的一个动点（不与A、3重合）.则八钻石的面积的最大值是（）

A.B.1C.3五D.26

7.如图，在矩形A8CD中，AB=6,8c=8,E是8c边上一点，将矩形沿AE折叠，点B落

在点9处，当是直角三角形时，BE的长为（）

A.2B.6C.3或6D.2或3或6

8.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8,点E，F分别在AO，BC

上，将纸片ABCO沿直线EE折叠，点C落在AO上的一点”处，点。落在点G处，有

以下四个结论：

①四边形CEWE是菱形；②EC平分NDCH；③线段的取值范围为3WB户W4；④

当点〃与点A重合时，EF=2A/5.

以上结论中，你认为正确的有（）个.

9.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE,连接

DF,则DF的长度是()

5555

10.如图，将边长为8cm的正方形A8CD折叠，使点。落在BC边的中点E处，点A落在

点F处，折痕为MN,则折痕MN的长是()

A.S&cmB.S亚cmC.cmD.4旧cm

二.填空题

11.在平行四边形ABCD中，NA=30°,AO=2g,8O=2,则平行四边形ABCD的面积

等于.

12.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,对角线长为1cm,过点。任作一条直线分

别交AD,BC于E,F,则阴影部分的面积是.

13.如图，菱形ABC。的BC边在X轴上，顶点。坐标为(—3,0),顶点。坐标为

(0,4),点E在y轴上，线段Eb//x轴，且点尸坐标为(8,6),若菱形ABCO沿x轴左

右运动，连接4E、DF,则运动过程中，四边形ADKE周长的最小值是.

14.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,E为BC边上一动点，作EF_LAE,且EF=

AE.连接DF,AF.当DF_LEF时，Z\ADF的面积为.

15.如图，正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在边AD、BC上.将该纸片沿EF折叠，

使点A的对应点G落在边0C上，折痕EF与AG交于点Q,点K为GH的中点，则随着折

痕EF位置的变化，AGQK周长的最小值为.

16.如图,在平面直角坐标系中，直线y=gx+l与x轴、y轴分别交于A,B两点，以AB为

边在第二象限内作正方形ABCD,则D点坐标是；在y轴上有一个动点M,当

△MDC的周长值最小时，则这个最小值是.

17.如图，QABCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则2PB+PD

的最小值等于.

18.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E,若NCBF=20。，则

NAED等于_度.

19.己知：一组邻边分别为6。篦和10cm的平行四边形ABC。，NZXB和NABC的平分

线分别交。。所在直线于点E，F,则线段EF的长为cm.

20.如图所示，己知AB=6,点C,。在线段AB上，AC=DB=1,P是线段CD上的动

点，分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边连接EF,设EF的中

点为G,当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是.

21.如图，AA8C是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜边8c的中点，民产分别是

AB,AC边上的点，且DE1DF，若BE=12,CF=5,求线段EF的长.

22.如图，平行四边形ABCO的对角线AC、BD交于点、0,分别过点C、。作

CF//BD,DF//AC,连接Bb交AC于点£.

⑴求证：FCE^BOE；

⑵当NAOC等于多少度时，四边形。CFD为菱形?请说明理由.

23.如图，平行四边形ABC。中，AB=3cm,BC=5cm,N8=6O，G是CE）的中

点，E是边上的动点，EG的延长线与8C的延长线交于点尸，连接CE,DF.

（1）求证：四边形CEDR是平行四边形；

（2）①当AE的长为多少时，四边形CEDR是矩形；

②当AE=。机时，四边形CEL正是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）.

24.已知正方形ABCD.

（1）点P为正方形ABCD外一点，且点P在AB的左侧，ZAPB=45°.

①如图（1）,若点P在DA的延长线上时，求证：四边形APBC为平行四边形.

②如图（2）,若点P在直线AD和BC之间，以AP,AD为邻边作OAPQD,连结AQ.求

ZPAQ的度数.

（2）如图（3）,点F在正方形ABCD内且满足BC=CF,连接BF并延长交AD边于点E,过

AJ71

点E作EH_LAD交CF于点H,若EH=3,FH=1,当==；时.请直接写出HC的长

CF3

25.如图，在平行四边形ABCD中，AB±AC,对角线AC,BD相交于点0,将直线AC绕点

。顺时针旋转一个角度a（0。＜g90。），分别交线段BC,AD于点E,F,连接BF.

（1）如图1,在旋转的过程中，求证：0E=0F；

（2）如图2,当旋转至90。时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论;

（3）若AB=1,BC=&\且BF=DF,求旋转角度a的大小.

26.在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点，连接AE,过点3作3AE于

F,交AD于

（1）如图1,过点。作他于G.求证£）G=FG；

（2）如图2,点E为。。的中点，连接试判断存在什么数量关系并说

明理由；

（3）如图3,AB=1，连接EH,点P为即的中点，在点E从点。运动到点C的过程

中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长.

27.已知，如图，在三角形ZVLBC中，AB^AC=20cm,于。，且

3£>=16c7n.点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4c，“/s；同时点P由3

点出发，沿84方向匀速运动，速度为lcvn/s,过点P的动直线PQ//AC,交8c于点

Q,连结PM，设运动时间为f(s)(0<t<5),解答下列问题：

备用图

(1)线段AD=cm；

(2)求证：PB=PQ-

(3)当f为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形？

28.(1)问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB//CD,E是BC的中点，AE是NBAD

的平分线，则线段AB,AD,DC之间的等量关系为；

(2)方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB//CD,AF与DC的延长线交于点F,E是

BC的中点，AE是/BAF的平分线，试探究线段A8,AF,CF之间的等量关系，并证明你的

结论;

(3)联想拓展：如图③，AB//CF,E是BC的中点，点。在线段AE上，NEDF=NBAE,

试探究线段A8,DF,CF之间的数量关系，并证明你的结论.

图①图②图③

29.如图，四边形A8C£>为正方形.在边上取一点E，连接8E,使NA£B=60°.

（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点3、。为圆心，BC长为半径作弧交正

方形内部于点T,连接BT并延长交边AD于点E，则NA£3=60°；

（2）在前面的条件下，取8E中点M，过点M的直线分别交边A3、CD于点P、Q.

①当PQL3E时，求证：BP=2AP；

②当PQ=8E时，延长BE,CD交于N点、,猜想NQ与"Q的数量关系，并说明理由.

30.（问题情境）

在△ABC中，AB=AC,点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD_LAB,PEJ.AC,垂足

分别为D、E,过点C作CFJ_AB,垂足为F.当P在BC边上时（如图1）,求证：

PD+PE=CF.

图①图②图③

证明思路是：如图2,连接AP,由AABP与4ACP面积之和等于AABC的面积可以证得：

PD+PE=CF.（不要证明）

（变式探究）

当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并

说明理由.

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

（结论运用）

如图4,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点U处，点P为折痕EF

上的任一点，过点P作PG_1.BE、PHXBC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值；

（迁移拓展）

4

在直角坐标系中.直线/i：y=--x+4与直线"：y=2x+4相交于点A,直线公匕与x轴分别

3

交于点B、点c.点P是直线12上一个动点，若点P到直线h的距离为1.求点P的坐标.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据题意可证△48£空△8DF,可判断①②③，由△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+£F=4+EF,

则当EF最小时△OEF的周长最小，根据垂线段最短，可得8£11,4。时・，8£最小，即EF最

小，即可求此时ABDE周长最小值.

【详解】

解：'：AB=BC=CD=AD=4,ZA=ZC=60°

:.△ABD,△BCD为等边三角形，

ZA=ZBDC=60°,

•.•将△BCD绕点8旋转到△BCD'位置,

：.ZABD'=ZDBC',且AB=BD,ZA=ZDBC,

：.AABE公ABFD,

，AE=DF,BE=BF,NAEB=NBFD,

；.NBED+NBFD=180°,

故①正确，③错误；

VZABD=60°,NABE=NDBF,

：.ZEBF=60°,

故②正确

,/ADEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF,

...当EF最小时，;△DEF的周长最小.

VZEBF=60°,BE=BF,

...△BEF是等边三角形，

，EF=BE,

.,.当BE_LA。时，BE长度最小，即EF长度最小，

'：AB=4,ZA=60°,BEYAD,

，EB=25

ADEF的周长最小值为4+2后，

故④正确，

综上所述：①②④说法正确，

故选:8.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是

灵活运用这些性质解决问题.

2.D

解析：D

【分析】

根据运动开始，OD是正方形的边长CO,运动过程中8与。点重合时，是对角线，

在运动A与。点重合，8是边长A。，可得答案.

【详解】

从。离开。点到5到。点，8由边长到对角线在增大，由3离开。点到A到。点，

OD由正方形的对角线减少到正方形的边长.

故选£).

【点睛】

本题考查了正方形的性质，8由正方形的边长到正方形的对角线，再由正方形的对角线

到正方形的边长.

3.C

解析：c

【分析】

根据题意，连接CF,由正方形的性质，可以得到4ABF丝aCBF,则AF=CF,ZBAF=ZBCF,

由NBAF=/FGC=/BCF,得到AF=CF=FG,故①正确；连接AC,与BD相交于点0,由正方

形性质和等腰直角三角形性质，证明△AOFgZVHG,即可得到EH=A。，则③正确；把

△ADE顺时针旋转90。,得到ZkABM,则证明AMAG丝Z\EAG,得至!|MG=EG,即可得到

EG=DE+BG,故④正确；②无法证明成立，即可得到答案.

【详解】

解：连接CF,

在正方形ABCD中，AB=BC,ZABF=ZCBF=45°,

在AABF和ACBF中，

AB=BC

<ZABF=ZCBF=45°,

BF=BF

.,.△ABF^ACBF(SAS),

；.AF=CF,NBAF=/BCF,

VFG±AE,

.•.在四边形ABGF中，ZBAF+ZBGF=360o-90o-90o=180o,

XVZBGF+ZCGF=180",

/.ZBAF=ZCGF,

AZCGF=ZBCF

，CF=FG,

，AF=FG；①正确；

连接AC交BD于O.

•.,四边形ABCD是正方形，HGXBD,

；./AOF=NFHG=90°,

VZOAF+ZAFO=90°,ZGFH+ZAFO=90",

.".ZOAF=ZGFH,

VFA=FG,

.♦.△AOF之△FHG,

FH=OA=定值，③正确；

如图，把4ADE顺时针旋转90。,得至ijMBM,

；.AM=AE,BM=DE,NBAM=NDAE,

：AF=FG,AF_LFG,

•••△AFG是等腰直角三角形，

.".ZFAG=45",

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45",

ZMAG=ZFAG,

在AAMG和AAEG中，

AM=AE

<ZEAG=ZMAG=45°,

AG=AG

.".△AMG^AAEG,

；.MG=EG,

VMG=MB+BG=DE+BG,

.\GE=DE+BG,故④正确；

如图，AADE顺时针旋转90。,得到AABM,记F的对应点为P,连接BP、PN,

则有BP=DF,ZABP=NADB=45°,

,/ZABD=45°,

，NPBN=90°,

；.BP2+BN2=PN2,

由上可知AAFG是等腰直角三角形，NFAG=45°,

，ZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

AZMAG=ZFAG,

在AANP和AANF中，

AP=AF

-ZEAG=ZMAG=45°,

AN=AN

.♦.△ANP彩△ANF,

；.PN=NF,

.•.BP2+BN2=NF2,

即DF2+BN2=NF2,

故⑤正确；

根据题意，无法证明②正确，

二真命题有四个，

故选C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造

出等腰三角形和全等三角形.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

由菱形四边形相等、OD=OB,且每边长为6,再有NDAB=60。，说明△DAB为等边三角

形，由。可得AH=HB（等腰三角形三线合一），可得0H就是AD的一半，即可完

成解答。

【详解】

解：♦.•菱形A8C。的周长为24

.♦.AD=BD=24+4=6,OB=OD

由YNDAB=60°

.•.△DAB为等边三角形

又•:DH^AB

.：AH=HB

I

：.OH=-AD=3

2

故答案为B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形、三角形中位线的知识，考查知识点较多，提升了试

题难度，但抓住双基，本题便不难。

5.A

解析：A

【解析】

【分析】

根据等边对等角的性质可得/E=/CAE,然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角

形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出/E=22.5。，再根据三角形的一个

外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

【详解】

解：VCE=AC,

，NE=NCAE,

VAC是正方形ABCD的对角线，

ZACB=45°,

二/E+/CAE=45°,

：.ZE=-X450=22.5°,

2

在4CEF中，NAFC=NE+NECF=22.5°+90°=112.5°.

故答案为：A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对

角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是

解题的关键.

6.D

解析：D

【分析】

分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD

上时，4ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，^ABE的面积最大，根据三

角形的面积公式可得结论.

【详解】

解：分三种情况：

①当点E在BC上时，E与C重合时，4ABE的面积最大，如图1,

过A作AF_LBC于F,

•.•四边形ABCD是平行四边形,

；.AB〃CD,

ZC+ZB=180°,

VZC=120°,

，/B=60°,

RtZ\ABF中，NBAF=30°,

.\BF=yAB=l,AF=6,

此时AABE的最大面积为：,X4XG=2G；

2

②当E在CD上时，如图2,此时，4ABE的面积=LSSBCD=LX4XJ5=26；

22

③当E在AD上时，E与D重合时，4ABE的面积最大，此时，4ABE的面积=26,

综上，AABE的面积的最大值是26；

故选：D.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题.

7.C

解析：C

【分析】

分以下两种情况求解：①当点8,落在矩形内部时，连接AC,先利用勾股定理计算出AC

=10,根据折叠的性质得/A8'E=/8=90°,而当EC为直角三角形时，只能得到

ZEB'C=90°,所以点A、、C共线，即NB沿AE折叠，使点8落在对角线AC上的

点B'处，则EB=EB',AB=AB'=6,可计算出CB'=4,设BE=X,则EB'=X,CE=

8-x,然后在RtaCEB'中运用勾股定理可计算出x.

②当点夕落在AD边上时.此时四边形ABEB，为正方形，求出BE的长即可.

【详解】

解：当aB'EC为直角三角形时，有两种情况：

①当点夕落在矩形内部时，如图1所示.连结AC,

在Rt"8C中，AB=6,BC=8,

•••AC=78WT6r=10，

沿AE折叠，使点B落在点8,处，

AZAB'E=NB=90",

当AB'EC为直角三角形时，得到/EB'C=90°,

...点A、B'、C共线，即NB沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点夕处，如图,

：.EB=EB',AB=AB'=6,

CB'=10-6=4,

设BE=x,则EB'=x,CE=8-x,

在RtZXB'EC中，

'：EB'2+CB'2=c。，

；.X2+42=(8-x)2,

解得x—3,

：.BE=3；

②当点B'落在A。边上时，如图2所示.

图2

此时A8EB'为正方形，

：.BE=AB^6.

综上所述，8E的长为3或6.

故选：C.

【点睛】

本题考查了折叠变换的性质、直角三角形的性质、矩形的性质，正方形的判定等知识；熟

练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.

8.C

解析：C

【分析】

①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH,然后根据邻边相等

的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；

②根据菱形的对角线平分一组对角线可得NBCH=/ECH,然后求出只有NDCE=30°时EC平

分NDCH,判断出②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的

最小值，点G与点D重合时，CF=CD,求出最大值BF=4,然后写出BF的取值范围，判断

出③正确；

④过点F作FM_LAD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判断出④正确.

【详解】

解：

①：FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分,

；.FH〃CG,EH〃CF,

.••四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得，CF=FH,

二四边形CFHE是菱形，（故①正确）；

②，NBCH=NECH,

，只有NDCE=30°时EC平分NDCH,（故②错误）；

③点H与点A重合时，此时BF最小,设BF=x,则AF=FC=8-x,

在RtZ\ABF中，AB2+BF2=AF2,

gp42+X2=（8-X）2,

解得x=3,

点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4,

；.BF=4,

...线段BF的取值范围为3WBFW4,（故③正确）；

过点F作FM1AD于M,

则ME=（8-3）-3=2,

由勾股定理得，

EF=4MF?+ME^=J42+2?=2#），（故④正确）：

综上所述，结论正确的有①③④共3个，

故选C.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱

形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合.

9.D

解析：D

【分析】

由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,由面积法可求

CH=3I,由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF=2EH=±四.

55

【详解】

解：如图，连接CF,交BE于H,

;在正方形ABCD中,AB=4,E是CD的中点,

ABC=CD=4,CE=DE=2,ZBCD=90°,

BE=y/BC2+CE2=716+4=275，

:将"CE沿BE翻折至ABFE,

・・・CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,

11

VSABCE=—xBExCH=—xBCxCE,

_46

----，

5

VCE=DE,FH=CH,

.•.DF=2EH=^^,

5

故选：D.

【点睛】

本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题

的关键.

10.D

解析：D

【分析】

连接。E,因为点D是中点，所以CE等于4,根据勾股定理可以求出。E的长，过点M作

/MG_LCD于点G,则由题意可知MG=8C=CD,证明△/WNG丝可以得到。E=/MN,

即可解决本题.

【详解】

由题意，在RtZ\OCE中，CE=4cm,CD—8cm,

由勾股定理得：DE=y]cE2+CD2=A/42+82=4A/5cm.

过点M作MGLCD于点G,则由题意可知MG=BC=CD.

连接DE,交MG于点/.

由折叠可知，OE_L/WN,：.ZNMG+MIE=90°,

VZD/G+ZEDC=90°,NMIE=/DIG(对顶角相等)，

：.NNMG=NEDC.

在/XMNG与△£)氐：中，

NNMG=NEDC

<MG=CD

NMGN=NDCE=90°

:.AMNGm/XDEC(.ASA).

MN=DE=4后cm.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等

的条件是解决本题的关键.

二、填空题

11.4百或2百

【分析】

分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边

形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：过。作于E,

在RtAADE中，ZA=30°.AD=26，

:.DE=-AD=yii,AE=£AD=3,

22

在中，BD=2,

：.BE=y/BD2-DE2=422-电丫=1)

：.AB=4,

二平行四边形ABC。的面积=4?£>E=4xa=46，

如图2,

D

AB=2,

，平行四边形ABC。的面积=A8DE=2x6=2/，

在RtAABE中，设AE=尤，贝IJOE=26-X，

ZA=30°,B£=—x.

3

在RtZ\5DE中，BD=2,

22=(y-x)2+(2^-x)2,

x=V3.x=26(不合题意舍去)，

；.BE=1,

■.平行四边形ABC。的面积=AOBE=1x26=26，

如图4,

当ADL8O时，平行四边形ABC。的面积=A£>80=46，

故答案为：4G或.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性

质，根据题意作出图形是解题的关键.

12.-cm"

8

【分析】

根据正方形的性质可以证明△AEO&CFO,就可以得出SAAEO=SACFO，就可以求出AAOD面积

等于正方形面积的L,根据正方形的面积就可以求出结论.

【详解】

解：如图:

・・•正方形ABCD的对角线相交于点。，

/.△AEO与△CFO关于0点成中心对称，

.'.△AEO^CFO,

SAAEO—SACFO,

SAAOD—SADEO+SACFO,

・・•对角线长为lcm,

・1-1,

­•S正方形ABCD=-x1x1=—cm2,

22

2

.*.SAAOD=-cm,

8

...阴影部分的面积为:cm?.

o

故答案为：1cm2.

o

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形

的面积公式的运用，在解答时证明△AEOgCF。是关键.

13.18

【分析】

由题意可知AD、EF是定值，要使四边形ADFE周长的最小，AE+DF的和应是最小的，运

用"将军饮马"模型作点E关于AD的对称点Ei,同时作DF〃AFi,此时AE+DF的和即为

EiFi,再求四边形4DEE周长的最小值.

【详解】

在Rt/XCOD中，0C=3,0D=4,

CD=7OC2+OD2=5'

ABC。是菱形，

.".AD=CD=5,

,/F坐标为(8,6),点E在轴上，

；.EF=8,

作点E关于AD的对称点Ei,同时作DF〃AFi,

贝ljEi(0,2),Fi(3,6),

则EiFi即为所求线段和的最小值，

在RtAAEiFi中，E1F1=jEE：+EFj2=J(6-2)2+(8-5)2=5，

四边形ADFE周长的最小值=AD+EF+AE+DF=AD+EF+EiFi=5+8+5=18.

本题考查菱形的性质、"将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大.

14.3一逑

2

【分析】

作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的

长，设AE=x,证明△ABEW^EQF(AAS),得FQ=BE=0,最后根据三角形面积公式

可得结论.

【详解】

解：如图，过D作DHJ_AE于H,过E作EM_LAD于M,连接DE,

VEF±AE,DF1EF,

NDHE=/HEF=NDFE=90°,

四边形DHEF是矩形，

；.DH=EF=AE,

•..四边形ABCD是矩形，

NB=NBAD=90°,

VZAME=90",

，四边形ABEM是矩形，

，EM=AB=2,

设AE=x,

则SAADE=-ADEM=-AEDH,

22

.•.3X2=X2,

.*.X=±y/6，

Vx>0,

**-X—，

即AE=娓,

由勾股定理得：BE=J(遥)2—2?=丘,

过F作PQ〃CD,交AD的延长线于P,交BC的延长线于Q,

AZQ=ZECD=ZB=90°,ZP=ZADC=90°,

,/ZBAE+ZAEB=NAEF=NAEB+NFEQ=90°,

NFEQ=NBAE,

；AE=EF,/B=NQ=90°,

.二△ABE空ZXEQF(AAS),

-,.FQ=BE=V2>

；.PF=2-72，

.,.SAADF=-ADPF=-X3X(2->/2)=3-逑.

222

【点睛】

此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助

线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题.

15.3+3石.

【分析】

取AB的中点M,连接DQ,QM,DM.证明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解决问题.

【详解】

取AB的中点M,连接DQ,QM,DM.

,四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB=6,NOAM=NADG=90",

；A/W=8M=3,

DM=>JAB2+AM2-46?+3?=3逐，

,:GK=HK,AB,GH关于EF对称，

AQM=QK,

VZADG=90°,AQ=QG,

：.DQ=AQ=QG,

；△QGK的周长=GK+QG+QJ=3+DQ+QM.

又：DQ+QMNDM,

：.DQ+QM^3y/5，

△QGK的周长的最小值为3+3亚，

故答案为3+34.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中

点M,确定QG+QK=QD+QM,属于中考常考题型.

16.(-3,2)75+V17

【分析】

如图(见解析)，先根据一次函数的解析式可得点A、B的坐标，从而可得OA、OB、AB

的长，再根据正方形的性质可得44£>=90。，DA=AB，然后根据三角形全等的判定定

理与性质可得AE=OB,DE=OA,由此即可得出点D的坐标；同样的方法可求出点C的

坐标，再根据轴对称的性质可得点C的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短

得出△MDC的周长值最小时，点M的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周

长公式即可得.

【详解】

如图，过点D作OEJ_x轴于点E,作点C关于y轴的对称点C,交y轴于点F,连接

C'D,交y轴于点M'，连接C'M，则轴

对于y=gx+1

当y=0时，gx+i=o,解得％=一2,则点A的坐标为A(—2,0)

当x=0时，y=l,则点B的坐标为8(0,1)

OA=2,OB=1,AB=yJO^+OB2=逐

四边形ABCD是正方形

.-.ZS4D=90°,CD=DA=AB=y/5

：.ZDAE+ZOAB=ZABO+ZOAB=90°

ZDAE=ZABO

ZAED=NBOA=90°

在ADE和BAO中，,=

DA=AB

ADE=BAO(AAS)

，AE=Q8=1,OE=OA=2

：.OE=OA+AE=2+i=3

则点D的坐标为。(—3,2)

同理可证：CBF=BAO

.-.CF=OB=\,BF=OA=2

;.OF=OB+BF=l+2=3

则点C的坐标为C(—1,3)

由轴对称的性质得：点C'的坐标为C'(l,3),且。0=C'N

：./\MDC的周长为CO+OM+CM=6+OM+C'M

由两点之间线段最短得：当点M与点M'重合时，DM+CM取得最小值DC

0(-3,2),C(1,3)

DC=7(-3-1)2+(2-3)2=V17

则^MDC的周长的最小值为75+0^=75+717

本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称

的性质等知识点，正确找出的周长最小时，点M的位置是解题关键.

17.6

【分析】

过点P作PELAD交AD的延长线于点E,根据四边形ABCD是平行四边形，得至ljAB〃CD,

推出PE=^PD,由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条

2

直线上，利用NDAB=30°,/AEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=工AB=3,得到2PB+

2

PD的最小值等于6.

【详解】

过点P作PE±AD交AD的延长线于点E,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,

AZEDC=ZDAB=30°,

1

，PE=—PD,

2

V2PB+PD=2(PB+JPD)=2(PB+PE),

.•.当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上,

VZDAB=30°,/AEP=90°,AB=6,

.".PB+PE的最小值=工人8=3,

2

.♦.2PB+PD的最小值等于6,

故答案为：6.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30。角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化

为三点共线的形式是解题的关键.

18.65

【分析】

先由正方形的性质得到NABF的角度，从而得到/AEB的大小，再证△AEBgZ\AED,得到

ZAED的大小

【详解】

•四边形ABCD是正方形

ZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45°,ZABC=90°,AB=AD

VZFBC=200,.\ABF=70o

.,.在△ABE中，ZAEB=65°

在aABE与AADE中

AB=AD

<NBAE=NEAD=45°

AE^AE

.".△ABE^AADE

.,.ZAED=ZAEB=65°

故答案为:65°

【点睛】

本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出

ZAEB的大小.

19.2或14

【分析】

利用当AB=10cm,AD=6cm,由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分NBAD,由此

可以推出所以NBAE=/DAE,则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm,而EF=CF+DE-DC,

由此可以求出EF长：同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长

【详解】

解：如图如当AB=10cm,AD=6cm

1.,AE平分NBAD

ZBAE=ZDAE,

又ADIICB

ZEAB=ZDEA,

ZDAE=ZAED,则AD=DE=6cm

同理可得：CF=CB=6cm

•/EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

如图2,当AD=10cm,AB=6cm,

AE平分nBAD,

ZBAE=ZDAE

XVADIICB

ZEAB=ZDEA,

ZDAE=ZAED贝AD=DE=10cm

同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14(cm)

故答案为：2或14.

图1图2

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行

四边形的不同可能性进行分类讨论.

20.2

【分析】

分别延长AE,BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则

G的运动轨迹为aHCD的中位线MN,再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长

度即可.

【详解】

解：如图，分别延长AE,BF交于点H,

：NA=NFPB=60°,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=600,

ABHIIPE

，四边形EPFH为平行四边形，

，EF与HP互相平分，

；点G为EF的中点，

...点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，

：.G的运动轨迹为△«口的中位线MN,

VCD=6-1-1=4,

.•.MN=-CD=2,

2

，点G移动路径的长是2,

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得

出G的运动轨迹为aHCD的中位线MN.

三、解答题

21.EF=13.

【分析】

首先连接AD,由aABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，可得：AD=DC,

ZEAD=ZC=45°,AD±BC,g|JZCDF+ZADF=90°,又DE_LDF,可得：ZEDA+ZADF=90°,故

ZEDA=ZCDF,从而可证：AAED丝Z\CFD；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5,进而得

出BE=AF=12.然后在RtZ\AEF中，运用勾股定理可将EF的值求出；

【详解】

解：连接4。

B

・「△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜边8c的中点，

/.AD=DC=DB,AD±BCf

/.ZBAD=NC=45°,

ZEDA+NADF=90°,

又:ZCDF+NADF=90°,

ZEDA=Z.CDF.

在小AED与4CFD中，

NEDA=ZFDC

<AD=CD,

NEAD=ZC

△AED^△CFD(ASA).

AE=CF=5.

AB=AC,

：.BE=AF=12.

在RtAAEF中，

ZEAF=90°,

EF2=AE2+AF2=52+122=169-

EF=13.

【点睛】

本题考查等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形“三线合一”的性

质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质为解题关键.

22.(1)见解析；(2)当ADC满足NADC=90°时，四边形OCED为菱形，证明详

见解析

【分析】

(1)证明四边形OCFD是平行四边形，得出OD=CF,证出OB=CF,再证明全等即可(2)

证出四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得出OC=OD,即可得出四边形OCFD为菱形.

【详解】

(1)证明:CFHBD,DFIIAC,

四边形OCFD是平行四边形，NOBE=ZCFE,

OD=CF,

•Z四边形ABC。是平行四边形，

/.OB=OD,

OB=CF,

ZOBE=ZCFE

在△/CE和ABQE中，＜NBEO=ZFEC,

OB=CF

：.FCE^BOE(AAS).

⑵当AOC满足NA£)C=90°时，四边形OCRD为菱形.理由如下：

•••NAOC=90°,四边形ABC。是平行四边形，

...四边形ABCO是矩形

/.OA=OC,OB=OD,AC=BD,

...OC=OD,

四边形OCED为菱形

【点睛】

本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行

四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.

23.(1)证明见解析；(2)①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形；②2

【分析】

(1)证明△FCGWz^EDG(ASA),得到FG=EG即可得到结论；

(2)①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.过A作AM_LBC于M,求出BM=1.5,根据

平行四边形的性质得到N