小学数学小升初冲刺-数论解析

数论

难点一、数的整除特征

1.（长沙县）下面哪些数能被11整除（）

A.323532B.38380C.978768

2.（长沙）有一个号码是六位数，前四位是2857,后两位

记不清，即2857口口.但是我记得，它能被11和13整除，

那么这个号码是.

3.（长沙县）一个四位数11—既能被25整除，又能被

9整除.

4.（武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15

的倍数，它减去3之后是38的倍数.把它的各数位上的数

字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这

个四位数是多少？

难点二、带余除法

5.（岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3

个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4

个，这堆苹果最少有（）个.

A.13B.19C.61D.121

6.（广州）所有被4除余1的两位数的和为（）

A.1200B.1208C.1210D.1224

E.1229

7.（济南）一个自然数被3除余1,被5除余2,被7除

余3,这个自然数最小是.

8.（西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天

读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不

完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）

天读完，这本书是一页.

9.一个两位数去除251,得到余数是21,这个两位数

日

7^.

10.（长沙）一个数被a除，商是6余5,这个数

日

11.（浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17,

乙数的10倍除以甲数商3余45.求甲、乙二数.

难点三、数字问题

12.（广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员.分别给

他们1〜100的号码布，号码布上有数字7的运动员有

（）名.

A.19B.20C.18D.21

13.（长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求

和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149,那么多加

的这个数是（）

A.13B.14C.15D.16

14.（长沙）把四位数扩大3倍后便成了另一个四位数

^bc8,求二.

15.（岳麓区）在1、2、3...399、400中，数字2—

共出现了次.

16.（长沙）有五个连续的偶数A、B、C、D、E,已知C

比A、E的和的四分之一多18,这五个偶数的和是多少？

难点四、同余定理

17.（郑州）一个两位数，除以3余1,除以5余3,这个

两位数最大是（）

A.78B.88C.98D.90

难点五、约数个数与约数和定理

18.（黎平县）105可以分解成105=3x5x7,它的约数共

有（）

A.4个B.6个C.8个D.10个

19.（东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3

个因数..（判断对错）

20.（湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因

数两两求和得到一组新数，其中最小的为4,最大的为

196,N有个因数.

难点六、位值原则

21.（成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字

交换以后，所得到的两位数比原来小27,则满足条件的两

位数共有（）

A.3B.4C.5D.6

22.（慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字

的2,把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数

3

大18.则原来这个两位数个位与十位上数字的和是

（）

A.12B.10C.8D.21

23.（长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以

得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，

这两个三位数相差666.原来的两位数是.

24.（成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对

调，得到的数比原来的数大27,这样的两位数是—.

25.（长沙）一个三位数的各位数字之和是17.其中十位

数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位

数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位

数大198,求原数.

26.（吴中区）有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、

五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原来的六位数

的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数.

27.（广州）一个两位数，它的十位数与个位数之和是

12,如果这个两位数减去54,则这个两位数的数字交换了

位置，求原来的两位数.

难点七、数字和问题

28.（汕头）5个连续自然数的和是315,那么紧接在这5

个自然数后面的5个连续自然数的和是（）

A.360B.340C.350D.无法求出

29.（岳麓区）将100个苹果分给10个小朋友，每个小

朋友的苹果个数互不相同.分得苹果个数最多的小朋友，

至少得到几个苹果？

30.（温江区）从1开始的若干个连续奇数：1,3,5,

7,…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008,

擦去的奇数是多少？

难点八、整除性质

31.（广东校级自主招生）1米平均分成（）份，每

3

份是米.

A.18B.54C.6

32.（无锡）三个连续自然数的和一定是3的倍

数.—.（判断对错）

难点九、奇偶性问题

33.（成都）已知m是奇数，n是偶数,x=p,y=q,能使

x-1998y=n和199x+3y=m同时成立，则（）

A.p,q都是偶数B.p,q都是奇数C.p是奇数,

q是偶数D.p是偶数，q是奇数

34.（威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2,3）

表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格（如

图所示），问：（19,93）这一格的颜色是色.

35.（广州校级自主招生）算式：（121+122+…+170）-

（41+42+…+98）的结果是（填奇数或偶数）.

36.（武汉自主招生）如图是某一个浅湖泊的平面图，图

中曲线都是湖岸.

（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？

（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.若有一

点B,他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸

上还是水中？说明理由.

难点十、质数与合数问题

37.（长沙）从1-9九个数中选取六个数，组成三个两

位数的质数，并使这三个质数的和也是质数，并且和要尽

可能小，这三个质数的和是.

38.（长沙）有三张卡片，在它们上面各写有一个数字

2、3、7,从中至少取出一张组成一个数，其中有几个质

数？请将它们写出来.

39.（成都）在九个连续的自然数中，至多有多少个质

数？

难点十一、公约数与公倍数问题

40.（长沙）某班学生人数在40人到50人之间，男生和

女生人数的比是5：6,这个班有男生—人，女生—

人.

41.（平坝县）（1）书架上存书的本数在60〜100本之

间，其中。是连环画，工是故事书，书架上存书本.

57--------

（2）小高家安装了分时段计价的电表，用电高峰时段的电

费单价为每千瓦时0.61元，用电低谷时段的电费单价为每

千瓦时0.30元，他家6月份的用电量为100千瓦时，如果

用电高峰时段用电x千瓦时，那么他家6月份需付电费—

元.（用含有x的式子表示）

42.（2006•沙县）一排路灯，原来每两盏之间的距离是

40米，现在改为60米，如果起点的一盏路灯不动，至少再

隔米又有一盏不必移动.

43.（仙游县）有三根细铁丝，长度分别是120厘米、

180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根

都不能有剩余，每小段最长一厘米，一共能截成—

段.

44.（仙游县）幼儿园买来一批苹果，平均分给每个小朋

友，每人分2个、3个或4个都恰好分完.已知苹果总数在

40〜50之间，一共买来个苹果.

45.（尚义县）从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电

线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每

隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途

还有多少根不必移动？

难点十二、整数的裂项与拆分

46.（长沙）H个连续的自然数的和是154,最小的一个

自然数是.

47.（涪城区）小红有一张电影票，这张票的排数和座位

号数的乘积是391,而且排数比座位号数大6.小红的电影

票是—排.

难点十三、数的整除特征

48.（长沙县）有一个6位数112AA4能被9整除，求A.

难点十四、二元一次方程组的求解

49.（长沙）A、B两个港口的水路长360千米，一艘船从

A港开往B港顺水12小时到达，从B港返回A港，逆水18

小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？

50.（长沙）学校食堂第一次买6袋大米和3袋面粉，共

重330千克；第二次买同样的5袋面粉和6袋大米，共重

390千克.问：每袋大米和每袋面粉的重量.

51.（遂宁）一位父亲临终时，让几个儿子按如下方法分

遗产：首先大儿子取100克朗（货币单位）和剩下财产的

十分之一，接着二儿子取200克朗和剩下的十分之一，三

儿子取300克朗和剩下的十分之一…以此类推最后发现所

有儿子分得的财产恰好相等，问聪明的你：这位父亲有几

个儿子？有多少遗产？

难点十五、等量关系与方程

52.（海曙区）如图，在平衡架的左侧已挂上了4个硬

码，每个20克.在右边第5格处必须挂多少克硅码？才能

使平衡架平衡.

参考答案与试题解析

难点一、数的整除特征

1.（长沙县）下面哪些数能被11整除（）

A.323532B.38380C.978768

考点：数的整除特征.

专题：数的整除.

分析：能被11整除的数，奇数位(从左往右数)上的数

字和与偶数位上的数字和之差(大数减小数)能被11整

除，则该数就能被n整除.由此方法判定即可.

解答：解：A.(3+3+3)-(2+5+2)=0,能被11整除，

故A正确；

B.(8+8)-(3+3+0)=10,不能被11整除，故B错误；

C.(9+8+6)-(7+7+8)=2,不能被11整除，故C错

误.

故选：A.

点评：掌握被一个数整除数的特征，牢记判定方法是解决

问题的根本.

2.(长沙)有一个号码是六位数，前四位是2857,后两位

记不清，即2857口口.但是我记得，它能被H和13整除，

那么这个号码是285714.

考点：数的整除特征.

专题：数的整除.

分析：先设后二位数为00(最小值)，即285700,被11

与13的最小公倍143除，得商1997.90209.,将小数去

掉，在整数上加1,(不论小数多大，均加1,而非四拾五

入)得1998,再将1998乘143,得出答案.

解答：解：

先设后二位数为00（最小值），即285700,被n与13的

最小公倍143除，得商1997.90209.将小数去掉，在整数

上加1（不论小数多大，均加1,而非四舍五入）得1998,

再将1998乘143,得285714.

故答案为：285714.

点评：此题考查了数的整除性，本题关键是得到六位数的

取值范围为285700到285799之间.

3.（长沙县）一个四位数1125既能被25整除,又能

被9整除.

考点：数的整除特征.

专题：整除性问题.

分析：根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，据此求

出9、25的最小公倍数是：9x25二225；然后求出是225的

倍数的四位数，判断出满足题意的四位数是多少即可.

解答：解：根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，

9、25的最小公倍数是：9x25=225,

因为225x2=450,225x3=675,225x4=900,225x5=1125,

所以一个四位数1125既能被25整除，又能被9整除，

故答案为：25.

点评：此题主要考查了数的整除特征，解答此题的关键是

判断出满足题意的四位数是225的倍数.

4.（武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15

的倍数，它减去3之后是38的倍数.把它的各数位上的数

字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这

个四位数是多少？

考点：数的整除特征.

专题：整除性问题.

分析：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5

的倍数，所以个位数字是4或9,又因为原数减去3后是

38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数

的个位数字只能是9,再从条件（3）可知：原数的个位数

字与千位数字之和是10,所以千位数字是10-9二1,设原

数为38m+3（m为自然数），则有1009S38m+3W1996,据此

可得26OS53,据此再进行分析即可解答.

解答：解：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必

是5的倍数，所以个位数字是4或9,

又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数

应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9,

再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是

10,所以千位数字是10-9=1,

设原数为38m+3（m为自然数），则有1009038n1+301996,

可得26<m<53,

因为原数38nl+3的个位数字是9,所以8m的个位数字是

6.从而m的个位数字是2或7,

在26到53之间，个位数字是2或7的数有27、32、37、

42、47、52,

又因为原数加上1后是15的倍数，则38m+3+l=38in+4是3

的倍数，则191n+2必定是3的倍数，

19m+2=3x6m+m+2,所以m+2是3的倍数，即m被3除余1,

在27、32、37、42、47、52中，只有37和52被3除余

1,

所以m=37或52,

所以38x37+3=1409,38x52+3=1979,

经检验正好满足题意，

答：所求的四位数是1409或1979.

点评：根据题干，明确四位数的个位数字和千位数字分别

是9和1,再根据被15整除的数的特征和偶数特征进行分

析即可解答.

难点二、带余除法

5.（岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3

个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4

个，这堆苹果最少有（）个.

A.13B.19C.61D.121

考点：带余除法.

专题：余数问题.

分析：2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4

个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1

的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1,再找

到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解.

解答：解：

所以2、3、4三个数的最小公倍数是2x3x2=12,

12x1+1=13,13不满足5个5个地数却少4个；

12x2+1=25,25不满足5个5个的数却少4个；

12x3+1=37,37不满足5个5个的数却少4个；

12x4+1=49,49不满足5个5个的数却少4个；

12x5+1=61,61满足5个5个的数却少4个.

答：这堆苹果最少有61个.

故选：C.

点评：此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公

倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出

最小公倍数，减去缺数，就是总数.

6.（广州）所有被4除余1的两位数的和为（）

A.1200B.1208C.1210D.1224

E.1229

考点：带余除法；等差数列.

专题：数的整除.

分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小

两位数是：12+1二13.除以4后余1的最大两位数是：

96+1:97.由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少

个？即所有除以4后余1的数组成的数列：

13+17+21+…+97的项数有多少?由题意知数列的公差是

4,那么计算项数得：（97-13）X+1=22.然后利用公式

求它们的和就行了.

解答：解：除以4后余1的最小两位数是：12+1二13,

除以4后余1的最大两位数是：96+1二97,

那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）-4+1=22

（个），

所有除以4后余1的两位数的和为：

13+17+21+…+97

二(13+97)X22+2

=110x11

=1210.

答：一切除以4后余1的两位数的和是1210.

故选：C.

点评：本题考查余数的性质与等差数列求和.本题的解题

关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两

位数是13,最大的两位数是97,是一个公差为4的等差数

列.

7.(济南)一个自然数被3除余1,被5除余2,被7除

余3,这个自然数最小是52.

考点：带余除法.

分析：由“一个自然数被3除余1,被5除余2,被7除余

3”可知，将这个自然数乘以2后得：被3除余2,被5除余

4,被7除余6；

由此可见将乘以2后的数加1就同时能被3,5,7整除；

进而进行解答即可.

解答：解：由题意可得：将乘以2后的数加1就同时能被

3,5,7整除；

3,5,7的最小公倍数为3x5x7=105,

（105-1）4-2=52,

答：这个自然数最小是52.

故答案为：52.

点评：此题较难，解答此题应先将这个自然数乘以2后，

进行分析，进而得出结论.

8.（西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天

读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不

完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）

天读完，这本书是324页.

考点：带余除法.

分析：设页数为x,①由“一本书如果每天读80页，那么4

天读不完，5天又有余”得320VxV400；②由“如果每天读

90页，那么3天读不完，4天又有余”得270VxV360；③

由①②得320Vx<360.满足上述条件的只有n=18.320<

18x18=32406.

解答：解：设页数为x,①320VxV400；

②270VxV360；

③由①②得：320VxV360,

满足上述条件的只有n=18.

320<18xl8=324<360.

故答案为：324.

点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能

力.

9.一个两位数去除251,得到余数是21,这个两位数是—

23或46.

考点：带余除法.

专题：数的整除.

分析：根据题意，可设除数是A,商是B,那么根据被除

数工商x除数+余数，可得到AB+2F251,然后再将AB的积分

解质因数，然后确定除数的个数即可.

解答：解：设除数是A,商是B,

AB+21=251,

AB二230,

230=2x5x23,

因为余数小于除数，

所以这个两位数的除数可能为：23或2x23=46；

即这个两位数的除数可能为：23或46；

故答案为：23或46.

点评：此题主要考查的知识点如下：1、在有余数的除数

算式中，余数小于除数；2、被除数二商x除数+余数；3、分

解质因数.

10.（长沙）一个数被a除，商是6余5,这个数是—

6a+5

考点：带余除法.

专题：余数问题.

分析：根据被除数二除数x商+余数，即可求出这个数.

解答：解：依题意可知，这个数是ax6+5=6a+5.

故答案为：6a+5.

点评：考查了带余除法，关键是熟悉被除数二除数x商+余

数的知识点.

11.（浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17,

乙数的10倍除以甲数商3余45.求甲、乙二数.

考点：带余除法.

专题：余数问题.

分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数二除数x商

+余数.如果设乙数为x,则根据甲数除以乙数商2余

17,得甲数=2x+17.又根据乙数的10倍除以甲数商3余

45得10x=3(2x+17)+45,列出方程并解方程，即可得

解.

解答：解：设乙数为x,则甲数为2x+17

10x=3(2x+17)+45

10x=6x+51+45

4x=96

x=24

2x+17=2x24+17=65.

答：甲数是65,乙数是24.

点评：灵活应用余数的性质”被除数二除数x商十余数”来解决

实际问题.

难点三、数字问题

12.(广州)马拉松长跑比赛中有100个运动员.分别给

他们1〜100的号码布，号码布上有数字7的运动员有

()名.

A.19B.20C.18D.21

考点：数字问题.

专题：整数的分解与分拆.

分析：分别找出个位上是7的数字个数，和十位上是7的

数字个数，相加，再减去个位十位都是数字7的个数即可

求解.

解答：解：个位上是数字7的有：7,17,27,37,47,

57,67,77,87,97,一共有10个；

十位上有7的数字有：70,71,72,73,74,75,76,

77,78,79,一共是10；

其中77重复，所以一共有：

10+10-1=19（个）

答：号码布上有数字7的运动员有19名.

故选：A.

点评：解决本题关键是找出个位和十位数字是7的可能，

注意减去十位个个位都是7的数字.

13.（长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和

时，把其中一个数多加了一次，结果和为149,那么多加的

这个数是（）

A.13B.14C.15D.16

考点：数字问题.

专题：传统应用题专题.

分析：根据等差数列的求和公式可知，1、2、3、4、

5....n的和为n(n+。，然后通过试探，确定n的取值，

2

进而解决问题.

解答：解：1、2、3、4、5....n的和为n(n+1),

2

当n=16时，n(n+1)=16X17=136<149

22

当n=17时，n(n+l)=17X18=153>149,

22

因为多加了一个数，所以n=16,

多加的数就是：149-136=13.

故选：A.

点评：本题的关键在于讨论自然数的个数n所处的范围，

从而求解.

14.(长沙)把四位数应扩大3倍后便成了另一个四位数

abc8»求abcF2856.

考点：数字问题.

专题：传统应用题专题.

分析：一个四位数应扩大到3倍后，变成了篇通过分

析,设abc是x,则3(2000+x)=10x+8,据此解答即可.

解答：解：设abc是x,则有

3(2000+x)=10x+8

6000+3x=10x+8

5992=7x

x=856

所以这个四位数是2856.

故答案为：2856.

点评：找出题目突破口：设abc是x,找出等量关系式3

(2000+x)=10x+8是解题的关键.

15.(岳麓区)在1、2、3....399、400中，数字2—

共出现了180次.

考点：数字问题.

专题：传统应用题专题.

分析：此题应通过分类来解决：当百位为2时；当十位为

2时；当个位为2,其他各数位各有几种情况，进而解决问

题.

解答：解：由于0和400都没有出现2,可理解为0到

399一共有多少个2.

当百位为2时，十位有10种选择，个位也有10种选择，

共有10x10=100种;

当十位为2时，百位有4种选择，个位有10种选择，共有

4x10=40种；

当个位为2时，百位有4种选择，十位有10种选择，共有

4x10=40种；

所以共有100+40+40=180次.

答：在1、2、3....399、400中，数字2一共出现了180

次.

故答案为：180.

点评：本题通过分类，分别找出2在百位、十位和个位上

出现的次数，再相加即可.

16.(长沙)有五个连续的偶数A、B、C、D、E,已知C比

A、E的和的四分之一多18,这五个偶数的和是多少？

考点：数字问题.

专题：传统应用题专题.

分析：设中间为x,前面的数为：x-2,x-4,后面的数

为：x+2,x+4,五个连续自然数的和是：(x-2)+(x-

4)+x+(x+2)+(x+4),然后根据题意列方程解答即可.

解答：解：设中间为X,前面的数为：X-2,X-4,后面

的数为：x+2,x+4,

x-L(x-4)+(x+4)]xl=18

4

x-Ax-18

2

工x=36

2

x=36

(x-2)+(x-4)+x+(x+2)+(x+4)=5x=36x5=180

答：这五个偶数的和是180.

点评：根据题意列方程求出中间的数是解答此题的关键.

难点四、同余定理

17.(郑州)一个两位数，除以3余1,除以5余3,这个

两位数最大是(3

A.78B.88C.98D.90

考点：同余定理.

专题：余数问题.

分析：除以3余1,除以5余3,那么这个数不是3和5

的倍数；由此用排除法求解.

解答：解：除以3余1,除以5余3,那么这个数不是3

和5的倍数；

A、7+8=15；

15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；

D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是

0,那么是5的倍数，故D错误；

BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看

哪个数除以3余1即可.

88—3=29…1；

98—3=32...2；

88除以3余1,所以88符合要求.

故选：B.

点评：本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再

利用排除法进行求解.

难点五、约数个数与约数和定理

18.(黎平县)105可以分解成105=3x5x7,它的约数共有

()

A.4个B.6个C.8个D.10个

考点：约数个数与约数和定理.

专题：整除性问题.

分析：根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质

因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即

(1+1)x(1+1)x(1+1)=8个，然后解答可得出答案.

解答：解：105=3x5x7,

共有(1+1)X(1+1)x(1+1)=8(个)约数,

答：它的约数共有8个.

故选：C.

点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：

a二paxqPxd（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约

数共有（a+1）（P+1）（y+1）个约数.

19.（东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个

因数.x.（判断对错）

考点：约数个数与约数和定理.

专题：整除性问题.

分析：根据找一个数的因数的方法进行解答即可.

解答：解：因为a只有两个约数，那么a为质数，那么5a

最多有4个约数：1、a、5、5a；

故答案为：x.

点评：解答此题应根据题意，进行认真分析，找出5a的

所有约数，进而得出结论.

20.（湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因

数两两求和得到一组新数，其中最小的为4,最大的为

196,N有6个因数.

考点：约数个数与约数和定理.

专题：压轴题.

分析：因为N最小的因数是1,最大的因数是它本身，最

小的两个因数之和二4,则组成加法算式的另一个因数是4-

1=3；这说明N是3的整倍数.196=N+另一个因数，196不

能被3整除，说明另一个因数不是3的倍数.又另一个因

数是除N外最大的因数，那么另一个因数是鸟由此得出N+

3

氏196,求出N的值即可解决问题.

3

解答：解：因为N最小的因数是1,且最小的两个因数之

和是4,所以除了1之外最小的因数是：4-1=3,

由此可知：N是3的倍数，

因为N最大的因数是它本身，且最大的两个因数之和是

196,因为196不是3的倍数，所以除了N本身之外的最大

的因数不是3的倍数，所以这个最大的因数是：曳

3

所以：N+止196,

3

纲二196,

3

2147,

147=3x7x7,

所以147的因数有1、3、7、21、49、147,共有6个.

故答案为：6.

点评：根据题干，抓住最小的因数是1和最小的两个因数

之和是4,得出N是3的倍数，从而根据能被3整除的特

点，判断出除了它本身以外的最大的因数是其是解决本题

3

的关键.

难点六、位值原则

21.（成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字

交换以后，所得到的两位数比原来小27,则满足条件的两

位数共有（）

A.3B.4C.5D.6

考点：位值原则.

专题：整数的认识.

分析：设：原两位数的十位数为x,个位数为y,则原两

位数值为（10x+y）,交换后两位数的个位数为x,十位数

为y,数值为（10y+x）,x、y为小于10的正整数.因为

交换后的两位数比原来小27,所以：（10x+y）-

（10y+x）=27,进而得出x-y=3.然后对x、y进行取值,

解决问题.

解答：解：设原两位数的十位数为x,个位数为y,由题

意得：

（10x+y）-（10y+x）=27

10x+y-10y-x=27

9x-9y=27

x-y=3,

贝！］x-3=y,y+3=x,

因为X、y为小于10的正整数，

所以x=9,8,7,6,5,4；

对应的y=6,5,4,3,2,1

所以10x+y=96,85,74,63,52,41共有6个.

答：满足条件的两位数共有6个.

故选：D.

点评：对于位置原则问题，一般采取设未知数的方法，推

出关系式，进行取值，解决问题.

22.(慈溪市)一个两位数，十位上的数字是个位上数字

的N,把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数

3

大18.则原来这个两位数个位与十位上数字的和是

()

A.12B.10C.8D.21

考点：位值原则.

专题：压轴题；综合填空题.

分析：设原来数字个位上的数是x,那么十位上数字是2

3

X,原来的数是：2XX10+X=23X,把十位上的数字与个位上的

33

数字交换后，十位上数字是X,个位上数字是Nx,交换位置

3

后这个数是：10x+2x,然后根据新数-原数=18列方程解

3

答.

解答：解：设原来数字个位上的数是X,那么十位上数字

是2x,

3

则：（10x+2x）-（2xxlO+x）=18,

33

笆x-里x=18,

33

3x=18,

x=6,

十位是：6x2=4,

3

则原来这个两位数个位与十位上数字的和是：6+4=10；

故选：B.

点评：根据十位上的数字是个位上数字的2,设原来数字

3

个位上的数是X,用未知数表示出十位上的数，进而表示出

这个数是解答本题的关键.

23.（长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以

得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，

这两个三位数相差666.原来的两位数是85.

考点：位值原则.

专题：探索数的规律.

分析：设这个两位数是x,这两个三位数的差是666,可

知较大的三位数大于666,因此将1放在该两位数后面得到

的三位数较大.

则有(10x+l)-(100+x)=666,解方程即可.

解答：解：设原来的两位数是x,由题意得：

(10x+l)-(100+x)=666,

9x=765,

x=85.

答：原来的两位数是85.

故答案为：85.

点评：此题属于数字问题，对于这类问题，一般用字母来

表示数字，通过列出等式来解决.

24.(成都)一个两位数，将它的十位数字和个位数字对

调，得到的数比原来的数大27,这样的两位数是14、

25、36、47、58、69.

考点：位值原则.

专题：传统应用题专题.

分析：此题可以设原数为AB,新数则为BA,A、B>1,根

据题意，得：BA-AB=10B+A-(10A+B)=9B-9A=9(B-

A)二127；推得B-A=3.即原来个位比十位大2的数均符合

题意，据此即可推出答案.

解答：解：设原数为AB,新数为BA,A、B>1,有

BA-AB

=10B+A-(1OA+B)

=9B-9A

二9(B-A)

=27；

推得B-A=3.即原来个位比十位大3的数均符合题意，

有：

14、25、36、47、58、69这6个.

故答案为：14、25、36、47、58、69.

点评：此题解答的关键是由后来的两位数，推出：个位数

字-十位数字=27:9=3.

25.(长沙)一个三位数的各位数字之和是17.其中十位

数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位

数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位

数大198,求原数.

考点：位值原则.

分析：设个位是a,十位a+1,百位17-a-a-1=16-

2a.根据题意列出方程：100a+10(a+1)+16-2a-100

(16-2a)-(10a+l)-a=198,解这个方程，求出个位

数字，然后再求十位与百位数字，解决问题.

解答：解：设原数个位为a,则十位为a+1,百位为16-

2a,

根据题意列方程100a+10(a+1)+16-2a-100(16-2a)

-(10a+l)-a=198,

解得a=6,则a+1=7,16-2a=4；

答：原数为476.

点评：解决位值问题，一般要用字母表示各位数字，通过

解方程求得.

26.(吴中区)有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、

五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原来的六位数

的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数.

考点：位值原则.

专题：压轴题.

分析：设这个六位数为x,因为它的6倍还是6位数，所

以其左边第一位一定为1;由于x的1〜6倍的数的数字原

来的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，所以1

肯定也在个位出现过，而只有个位为7的时候，其个位才

能出现1,所以x的个位为7,又7分别乘以1〜6,其个位

数分别为7、4、1、8、5、2.则这几个数在x的1〜6倍数

中个位肯定出现，则在其它位数也定出现，即这个六位数

及其它1〜6倍的数都是由7、4、1、8、5、2这六个数字

组成，只是顺序不一样.由此可得这六个数字在这六个六

位数中每位数上都出现过.1+2+4+5+7+8=27,根据位值原

则可知，这六个六位的和为

100000x27+10000x27+1000x27+100x27+27=2999997,即

x+2x+3x+4x+5x+6x=21x=2999997,x=142857.即这个六位

数为142857.

解答：解：设这个六位数为x,据题意可知其左边第一位

一定为1;

则只有个位为7的时候，其个位才能出现1,所以x的个位

为7；

又7分别乘以1〜6,其个位数分别为7、4、1、8、5、2；

7、4、1、8、5、这六个数字在这六个六位数中每位数上都

出现过，

1+2+4+5+7+8=27,根据位值原则可知，这六个六位的和

为：

100000x27+10000x27+1000x27+100x27+27=2999997,

即x+2x+3x+4x+5x+6x=21x=2999997,x=142857；

所以这个六位数为142857.

点评：完成本题的关健是先据条件分析出首尾两个数是

几，再逐步分析出其它数字，然后据位值原则进行解答.

27.(广州)一个两位数，它的十位数与个位数之和是

12,如果这个两位数减去54,则这个两位数的数字交换了

位置，求原来的两位数.

考点：位值原则.

专题：传统应用题专题.

分析：此题可设原来的两位数是ab,则有a+b=12,10a+b

-54=10b+a,由此即可推出a、b的值，进而解决问题.

解答：解：设原来的两位数是ab,则有：

a+b=12,①

10a+b-54=10b+a,②

由②得：

9(a-b)二54,

a-b=6,③

①+②得：

2a=18,

a=9,

则b=3.

因此，原来的两位数是93.

答：原来的两位数是93.

点评：此题采用了用字母代替数的方法，根据题意，列出

等式，通过化简，解决问题.

难点七、数字和问题

28.（汕头）5个连续自然数的和是315,那么紧接在这5

个自然数后面的5个连续自然数的和是（）

A.360B.340C.350D.无法求出

考点：数字和问题.

分析：根据“5个连续自然数的和是315”，先求出这5个连

续自然数，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然

数也就出来了，求和即可.

解答：解：5个连续自然数的和是315,那么中间的数是

315+5=63,这5个连续的数是61、62、63、64、65；

紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数分别是66、

67、68、69、70,和为：66+67+68+69+70=340.

故选：B.

点评：此题考查学生对连续自然数的求法，对于此类问题

一般应先求出中间数.

29.（岳麓区）将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋

友的苹果个数互不相同.分得苹果个数最多的小朋友，至

少得到几个苹果？

考点：数字和问题.

分析：本题可更理解为把100最多能分解为多少个不同加

数的和，就先找到10个小朋友平均每人分几个10070二10

个，因为10是偶数，所以中间两个是9和n,故

100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15,共有10个加数，每个小

朋友的苹果个数互不相同，所以分得苹果个数最多的小朋

友，至少得到15个苹果.

解答：解：100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15,

因为共有10个不同的加数.

所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果.

答：分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果.

点评：完成本题要注意抓住“苹果个数互不相同”就可以看

作是几个不同加数的和，来进行分析解答.

30.（温江区）从1开始的若干个连续奇数：1,3,5,

7,…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008,

擦去的奇数是多少？

考点：数字和问题.

专题：压轴题.

分析：从1开始的若干个连续的奇数为等差数列，因为擦

去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为2008,则

此等差数列的和为奇数，奇数数列从1加到2n-l的和据

高斯求和公式可表示为：（l+2n-1）xn：2=1?>2008,又因

为442:1936<2008,45=2025>2008；所以n=45,擦去的

奇数是2025-2008=17.

解答：解：奇数数列从1加到2n-1的和为：

2

（l+2n-1）xn^2=n>2008,

又因为442=1936V1998,45=2025>2008；

所以n=45,擦去的奇数是2025-2008=17.

答：擦去的奇数是17.

点评：考查了数字和问题，本题要在了解高斯求和公式的

基础分析完成.

难点八、整除性质

31.（广东校级自主招生）▲米平均分成（）份，每份

3

是。米.

18

A.18B.54C.6

考点：整除性质.

专题：压轴题.

分析：根据题意，就是求工米里面有几个。米，由此列式解

318

答并作出选择.

解答：解：*上6（份）.

318

故选：c.

点评：此题关键是理解题意，就是求一个数里面有几个另

一个数，用除法计算.

32.(无锡)三个连续自然数的和一定是3的倍数.

确.(判断对错)

考点：整除性质.

专题：压轴题.

分析：设三个连续自然数中的第一个为a,由这三个连续

的自然数可表不为a、a+1,a+2.其和为：a+(a+1)+

(a+2)=3x(a+1),所以三个连续自然数的和一定是3的

倍数.

解答：解：设三个连续自然数中的第一个为a,则三个连

续自然数的和为：

a+(a+1)+(a+2)-3x(a+1).

所以，所以三个连续自然数的和一定是3的倍数.

故答案为：正确.

点评：本题是根据相邻的两个自然数相差1的特点从而求

出个连续自然数的和是3的倍数的.

难点九、奇偶性问题

33.（成都）已知m是奇数，n是偶数，x=p,y=q,能使x

-1998y=n和199x+3y=m同时成立，则（）

A.p,q都是偶数B.p,q都是奇数C.p是奇数，

q是偶数D.p是偶数，q是奇数

考点：奇偶性问题.

专题：奇数偶数问题.

分析：由于偶数x奇数二偶数，偶数x偶数二偶数，奇数x奇

数二奇数，1998是偶数，则1998y是偶数，199与3是奇

数，又偶数士偶数二偶数，奇数土奇数二偶数，奇数+偶数二奇

数，n是偶数，又x-l998y=n,所以x一定是偶数，所以

199x是偶数，199x+3y=m,又m奇数，199x是偶数，所以

3y是奇数，则y是奇数.

解答：解：由于1998y一定是偶数，

又n是偶数，x-1998y=n,

所以x是偶数.

由于199x是偶数，m奇数，

又199x+3y=m,

所以3y是奇数，则y是奇数.

又x二p,y-q»

所以P是偶数，q是奇数.

故选：D.

点评：本题考查了学生对于数的奇偶数的理解与应用.

34.（威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2,3）

表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格（如

图所示），问：（19,93）这一格的颜色是黑色.

考点：奇偶性问题.

专题：压轴题.

分析：根据此黑白相间的方格纸，知道：“行数+列数二奇

数''时为白色，“行数+列数二偶数”时为黑色，而19+93为偶

数，由此即可得出答案.

解答：解：因为，行数+列数二奇数时，方格为白色，

行数+列数二偶数时，方格为黑色，

而19+93=112,112为偶数,

所以（19,93）这一格是黑色；

故答案为：黑.

点评：解答此题的关键是，根据所给出的数表，找出方格

纸的黑、白相间的规律，利用奇偶性即可解答.

35.(广州校级自主招生)算式：(121+122+…+170)-

(41+42+…+98)的结果是偶数(填奇数或偶数).

考点：奇偶性问题.

分析：据题意可知，在121+122+…+170中共有奇数

(170+1-121)-2=25(个)，所以121+122+…+170是25

个奇数之和再加上一些偶数，其和为奇数，同理可求出在

41+42+…+98中共有奇数29个，其和为奇数，所以奇数减

奇数，其差为偶数.

解答:解:在121+122+…+170中共有奇数(170+1-

121)42=25(个),

所以121+122+…+170,其和为奇数；

在41+42+…+98中共有奇数(98+1-21)*29(个),其

和为奇数.

故答案为：偶数.

点评：本题关健是先求出式中两括号中数据的和是偶数还

是奇数之后才能确定它们的差的奇偶性.

36.(武汉自主招生)如图是某一个浅湖泊的平面图，图

中曲线都是湖岸.

(1)若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？

(2)某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.若有一

点B,他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸

上还是水中？说明理由.

考点：奇偶性问题.

专题：压轴题.

分析：(1)本题可据数的奇偶性进行分析，如图从P点

到A点的空白处标上数字可发现，奇数都处于岸上，偶数

都处于水中，A点为6,是偶数，所以A点处于水中.

(2)某人进入水中时脱鞋，上岸时穿鞋，从每从水中到岸

上，脱鞋与穿鞋次数和为2,即脱鞋与穿鞋次数相加为偶数

时，某人一定在岸上，脱鞋与穿鞋次数相加为奇数时，某

人一定在水中，在B点他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇

数，所以B点一定在水中.

解答：解：（1）如图，由于点P处于岸上且为1,所以奇

数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6,是偶数，所以

A点处于水中.

答：A点处于水中.

（2）由于从进入水中再到岸上，脱鞋与穿鞋次数和为2,

即脱鞋与穿鞋次数相加为偶数时，某人一定在岸上；

脱鞋与穿鞋次数相加为奇数时，某人一定在水中；

在B点他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，

所以B点一定在水中.

答：B点一定在水中.

点评：本题主要考查了通过数的奇偶性判断位置的能力.

难点十、质数与合数问题

37.（长沙）从1-9九个数中选取六个数，组成三个两位

数的质数，并使这三个质数的和也是质数，并且和要尽可

能小，这三个质数的和是89.

考点：质数与合数问题.

专题：数性的判断专题.

分析：先找到两位数的质数，要想三个质数的和最小，那

么我们在选择质数时也要尽可能选择小进行分析：①三个

质数十位分别是1、2、3；②三个质数十位分别是1、2、

4；依此排查即可求解.

解答：解：两位数的质数有：H,13,17,19,23,29,

31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,

83,89,97.

要想三个质数的和最小，那么我们在选择质数时也要尽可

能选择小：

①三个质数十位分别是1、2、3,这样个位就不能选1、

2、3这三个数字，那么只能选17、29,但此时31、37、都

出现了之前选过的数字，所以找不到满足条件的；

②三个质数十位分别是1、2、4,这样个位就不能选1、

2、4这三个数字，那么可以选13、17（与13不能同时

选）、23（与13不能同时选）、29、43（与13、23不能

同时选）、47（与17不能同时选），所以有13、29、47

或者17、29、43这两种选择,由于13+29+47=89,

17+29+43=89,89是质数,满足条件.

综上所述，这三个质数的和是，这三个质数分别为13、

29、47或者17、29、43.

故答案为：89.

点评：考查了质数与合数问题，关键是巧记100以内的质

数：2,3,5,7又11；13和17；19,23,29；31和37；

41,43,47；53,59,61；67和71；73,79,83；89和

97.

38.（长沙）有三张卡片，在它们上面各写有一个数字2、

3、7,从中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？

请将它们写出来.

考点：质数与合数问题.

专题：数的整除.

分析：①从三张卡片中任抽一张，有三种可能，即一位数

有三个，分别为2、3、7,2、3、7都是质数；

②从三张卡片中任抽二张，组成的两位数共六个，但个位

数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的

两位数，都不是质数；所以，两位数的质数只有23,37,

73；

③因为2+3+7=12,12能被3整除，所以由2、3.7按任意

次序排起来所得的三位数，都不是质数；

故满足要求的质数有2、3、7、23、37、73这五个.

解答：解：有6个质数，分别是2、3、7、23、37、73.

答：其中有5个质数：2、3、7、23、37、73.

点评：本题采用边列举、边排除的策略求解.在抽二张卡

片时，也可将得到六个两位数全部列举出来：23,27,

32,37,72,73.再将三个合数27,32,72排除即可.

39.（成都）在九个连续的自然数中，至多有多少个质

数？

考点：质数与合数问题.

专题：