微积分(上册)习题参考答案

参考答案0.预备知识1.〔a〕是〔b〕否〔c〕是〔d〕否2.〔a〕否〔b〕否〔c〕否〔d〕是〔e〕否〔f〕否〔g〕是〔h〕否〔i〕是3.,.4.，，.5.，，.6~15.略。16.证明：先证.假设，那么①如果，那么;②如果，那么，所以，也有，因此有.再证.假设，那么，或.①如果，有，所以，，又，于是②如果，，那么有，，，所以，，于是.因此有.综上所述，，证毕.17~19.略。20..21.;;22.23~25.略。26.不是到的映射，因为中元素4没有中的元素对应；〔b〕不是到的映射，因为中的元素2有两个内的元素和对应；是到的一个映射；〔d〕是到的映射。27.共有8种映射28.此映射为满射，但非单射；〔b〕此映射双射，其逆映射为；此映射为双射，其逆映射为；〔d〕此映射为单射，但非满射，当然不是双射。29.，；.30.31.〔a〕〔b〕〔c〕32..33.34.证明：因为对，必有〔因为非空〕使，所以为满射。为单射的充要条件是只有一个元素；为单射的充要条件是只有一个元素。1..2..3..4..5.严格单调减少..7.单调减少..9.偶函数.10.奇函数.11.奇函数..13.证明：假设，那么有，，所以，，因此是一对一的.的反函数为，所以，反函数为其自身。定义域为.14..15.证明：假设，那么，，反证，如果，即矛盾，所以，，即是一对一的.由得，因此的反函数为，即为其自身，定义域为.16..17.略.18.提示：按奇函〔偶〕数定义证明.19.证明：反证，假设为严格单调增加的偶函数，那么对，有另一方面：，所以有，矛盾。20.非周期函数.22.是。例如，，在皆无界，但在有界.23.证明：对，存在，使，所以在上无界。24..25.，，.26..27.，，，，，.28..29.，，.1.数列的极限1.不能，例如取.2.不能，例如取.3.能，因为对，必存在正整数，使.，对任何，总存在，使.5.提示：利用数列极限定义.6~11.略。12.提示：按极限定义，可取.13.提示：利用极限定义，可取.14.提示：按极限定义证明.15.提示：利用极限定义.16.反之不一定成立.无界时，有以下各种情况：〔1〕极限仍为零，例如，；〔2〕极限存在，但非零，例如，；〔3〕极限不存在，例如：或，18.提示：根据数列与子数列极限之间的关系证明.19.利用极限的定义.20..21.利用极限的定义.22.根据夹逼定理证明.23.〔1〕1.〔2〕1.〔3〕0.〔4〕9.〔5〕0.24.〔1〕0.〔2〕.〔3〕0.〔4〕4.〔5〕.〔6〕0.〔7〕.〔8〕.〔9〕.〔10〕1.25.不一定，例如：.26.不一定，例如.27.必发散。反证，因为假设收敛，那么有收敛，与矛盾.28.不一定，例如.，但不能推出，例如：.时，为；当时，为；当时，为0.1.〔1〕2.〔2〕.〔3〕.2.提示：〔1〕证明数列单调减少有下界.〔2〕利用定理.〔3〕证明数列单调增加有上界.〔4〕证法〔ⅰ〕：先证数列单调减少，即可证，再证数列有下界；证法〔ⅱ〕：考察，证明，当时，.3.提示：利用极限的定义。4.提示：证明单调增加有上界；单调减少有下界.5.〔1〕提示：证明，.〔2〕提示：利用〔1〕的结论.〔3〕提示：利用〔2〕的结论.〔4〕提示：利用〔3〕的结论.〔5〕提示：利用〔3〕的结论6.提示：先证明，再证明单调减少.7.〔1〕.〔2〕.〔3〕.〔4〕1.〔5〕.〔6〕.〔7〕0.〔8〕0.是中的一个数列。假设存在某个，对任何正整数，都存在，使..3.收敛.4.收敛.5.收敛.6.提示：对任意，必存在正整数，使.7.提示：利用定理.8.提示：.9.提示：考察数列:，先证明收敛，再利用柯西收敛准那么。10.提示：反证，考察且.11.提示：对，.2．函数的极限与连续性习题2.11~13.略。14.115.116.－117.118.119.020.21.22.23.24.225.126.27.，28..29..30.32.33.034.35.36.37.38.039..40.41.242〔1〕;〔2〕时，；当时，0，当时，；当时，.44.提示：按极限定义证明.45.提示：用反证法和函数极限的定义。是可能的，例如，取，有1～4.略。5.不一定6.是7.不一定8.否，例如.9.〔1〕是〔2〕不一定10.提示：用连续的定义证明，反之不一定成立，例如.11.提示：对用极限定义对，三种情况进行证明.13.在不连续，在可能连续，也可能不连续.14.与在有可能连续，也有可能不连续.16.提示：按极限的定义证明.17.存在连续的反函数时，显然连续，在处，当时函数连续.19.在上不连续.20.在处连续，其他皆不连续.，存在，有.23.，，.24.〔1〕，〔2〕;〔3〕，.26.如28.提示：按极限的定义，证明在任意一点的极限不存在〔或不以为极限〕.29.〔1〕不连续〔2〕连续〔3〕不连续〔4〕连续30.〔1〕为第一类〔可去〕间断点，为第二类间断点.〔2〕，为第一类〔跳跃〕间断点.〔3〕为第二类间断点，为第一类〔跳跃〕间断点.〔4〕为第二类间断点，，为第一类〔可去〕间断点.31.〔1〕当时，为的第一类〔可去〕间断点.〔2〕为第二类间断点.〔3〕为第一类〔跳跃〕间断点.〔4〕为第一类〔跳跃〕间断点；为第二类间断点.〔5〕为第一类〔可去〕间断点.〔6〕为第一类〔跳跃〕间断点.〔7〕为第二类间断点.1～15.略。16.〔1〕阶;〔2〕阶;〔3〕1阶;〔4〕3阶.17.〔1〕;〔2〕.18.提示：按高阶无穷小的定义证明.19.20.121.22.23.124.25.26.27.28.29.330.31.232.133.34.35.36.37.38.39.240.141.42.43.44.45.46.047.48.49.1.略.2.提示：考察，当充分大时的函数值符号.3.略.4.提示：先证明，当时，，再利用零点定理.5.提示：令，考察与.6.提示：考察，证明严格单调增加.7.提示：考察.8.提示：考察，利用零点定理.9.提示：利用韦达定理，再利用零点定理：不妨设第一象限椭圆为一点弦的斜率为，弦与椭圆的交点为，考察10.提示：考察，利用零点定理.11.〔1〕提示：设在上的最大、最小值为，有：;〔2〕提示：利用〔1〕12.提示：用反证法，并利用任何两个不同的有理数之间存在无理数这个性质.13.提示：利用极限的保号性，再利用零点存在定理.14.提示：利用介值定理.3.导数与微分1.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕2.；3.〔1〕连续，可导〔2〕连续，不可导〔3〕连续，不可导〔4〕连续，不可导〔5〕连续，可导〔6〕右连续，右导数存在〔7〕连续，可导4.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕5.6.7.连续，可导8.连续，可导9.10.11.012.不一定可导，如：，在点.13.提示：〔1〕先证;〔2〕利用导数定义.14.01.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕〔16〕〔17〕2.〔1〕5，－2〔2〕〔3〕〔4〕3.，切点坐标为4.或5.提示：，用反证法6.否7.否，取8.否1.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕〔16〕〔17〕〔18〕〔19〕〔20〕〔21〕〔22〕〔23〕〔24〕2.〔1〕〔2〕〔3〕3.〔1〕；〔2〕〔3〕4.〔1〕〔2〕5.6.7.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕8.〔1〕〔2〕〔3〕9.；.1.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕2.3.4.〔1〕－1;〔2〕所求长为时，或，，.1.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕2.〔1〕当时，，当时，〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕3.5.6.7.提示：利用8.提示：利用，其中.9.提示：，利用莱泊尼兹公式.10..11.〔2〕提示：对两边关于求阶导数，用莱泊尼兹公式.12〔2〕提示：令，那么，两边关于求二阶导数.13.〔1〕提示：令，那么，用莱泊尼公式.〔2〕提示：，两边同乘以得，再两边关求阶导数，用莱泊尼兹公式。1.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕2.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕3.提示：利用，当较小时。4.0.9855.〔1〕〔2〕7〔2〕0.0174533〔3〕0.034918.cm9.，10.kg/cm2，

4微分中值定理及导数应用1.〔1〕，为最小值。〔2〕为最大值。〔3〕，为最大值。2.〔1〕，，；〔2〕；〔3〕，，；〔4〕.3..4.提示：利用Lagrange定理.5.提示：用反证法.6.提示：利用Rolle定理.7.提示：对在上用罗尔定理8.提示：利用Lagrange定理.9.提示：在上有界.10.提示：证明.11.〔1〕不能，理由见〔2〕;〔2〕，，.12..13.〔1〕提示：利用“那么〔常数〕〞的结论。〔2〕提示：令，证明.14〔1〕提示：和差化积或直接用拉格朗日定理;〔2〕提示：利用Lagrange定理.1.提示：利用函数单调性定义和拉格朗日定理。2.〔1〕单调减少.〔2〕单调增加.〔3〕单调增加.〔4〕单调增加.3.〔1〕在内单调增加，在内单调减少；〔2〕在或内单调减少，在内单调增加；〔3〕当时，单调减少；当时，在单调增加，在单调减少；〔4〕在或内单调减少，在或内单调增加.4.提示：设，证明在内必取到在上的最小值或者最大值.5.〔3〕提示：令，在上用拉格朗日定理。6.〔2〕提示：〔3〕更强的结果为：1.〔1〕－1〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕3〔6〕〔7〕3〔8〕〔9〕－2〔10〕2〔11〕0〔12〕0〔13〕0〔14〕〔15〕1〔16〕〔17〕〔18〕1〔19〕〔20〕2.〔1〕〔2〕〔3〕1.〔1〕，〔2〕，其中位于1和之间.〔3〕，其中位于与之间.〔4〕，其中位于与之间.〔5〕.〔6〕，其中位于0与之间.〔7〕,其中在与4之间.〔8〕，其中位于0与之间.〔9〕,其中在与-1之间.2.〔1〕2〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕3.，误差.4.5..6.〔1〕.〔2〕7.提示：利用在点的阶泰勒公式。8.提示：利用阶的带拉格朗日余项的泰勒公式。9.提示：利用在点的阶泰勒公式，然后将代入。10.提示：利用在点处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式。11.提示：，使，再在上对用拉格朗日公式。12.〔1〕1.6484375，4.5×10-4。1〔1〕极大值，极小值；〔2〕极大值；极小值；〔3〕无极值；〔4〕极小值；〔5〕极大值，极小值，.〔6〕极小值.2.〔1〕,;〔2〕;〔3〕,;〔4〕;〔5〕,;〔6〕;〔7〕,;〔8〕;〔9〕,.3〔3〕提示：令，利用的单调性。4.当为偶数时，无极值；当为奇数时，有极大值.5.6.底半径∶高=1∶27.8.水厂应建在甲城与乙城到岸的垂足之间，离甲城公里处。9.矩形在第一象限的顶点坐标为，其他顶点坐标由对称性可得，此时矩形面积最大，最大值为.10..1〔1〕在上向下凹，在上向上凹，拐点为;〔2〕在向上凹；在向下凹，拐点为;〔3〕在上向下凹，在上向上凹，拐点为;〔4〕在向下凹；在向上凹，无拐点.2.提示：先证当时，有3.〔1〕，，〔2〕〔3〕，〔4〕〔5〕，4.略。5.三个拐点同位于直线上。6.曲率为2.7.曲率为1.8.在处的曲率分别为.9.所求抛物线为，曲率圆方程为.10.提示：.5不定积分1〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕2.3.4.5.6.为的原函数，其中在不连续〔为第二类间断点〕。7.提示：用反证法。假设为的原函数，为的第一类间断点，请考察和.1.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕〔16〕〔17〕〔18〕〔19〕〔20〕〔21〕〔22〕〔23〕〔24〕〔25〕〔26〕〔27〕〔28〕〔29〕〔30〕〔31〕〔32〕2.3.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕〔16〕〔17〕〔18〕〔19〕〔20〕1.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕2.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕3.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕6定积分及其应用1.〔1〕〔2〕〔3〕2.〔1〕〔2〕〔3〕03.〔1〕〔2〕〔3〕〔i〕或〔ii〕或1.〔1〕〔2〕〔3〕2.〔1〕提示：〔2〕提示：分析函数在上的最大〔小〕值.3.提示：取4.提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明.5.提示：令对在上用罗尔定理。6.提示：证明在内至少存在两点使.1.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕2.〔1〕〔2〕1〔3〕1〔4〕〔5〕13.提示：利用夹逼定理.4..5.提示：6.提示：利用，其中为任意常数.7.〔1〕〔2〕2〔3〕〔4〕〔5〕14〔6〕〔7〕8.提示：利用泰勒公式，位于与之间.1.〔1〕〔2〕2〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕〔16〕〔提示：〕〔17〕1〔18〕〔提示：作变换〕〔19〕〔20〕〔21〕〔22〕当为偶数时：；当为奇数时：〔23〕2.3.提示：，对作变换.4.假设是连续偶函数，不一定为奇函数.例如：5.〔提示：对作变换，用洛必达法那么或导数的定义.〕6.〔提示：用分部积分法〕7.提示：用分部积分法8..9.〔1〕〔2〕10.提示：利用在的单调性.1.〔1〕〔2〕1〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕2.〔1〕〔2〕3.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕4.5.47.8.〔1〕，〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕9.10.11.〔1〕〔2〕12.13.2560〔焦〕14.kg/m2.15.3.675〔焦〕16.g〔17.〔焦〕18.19.〔焦〕20.21.22.，其中为万有引力常数23.，其中为万有引力常数1.用矩形公式，梯形公式和抛物线公式计算的近似值分别为：0.457419671、0.452058019、0.451974579.误差分别为：0.0054454、0.00008372、0.00000028.2.3.141592〔可利用抛物线公式计算〕3.周长，用抛物线公式计算深其近似值为22.1035.1.〔1〕收敛，〔2〕发散〔3〕收敛，〔4〕收敛，〔5〕收敛，〔6〕收敛，〔7〕收敛，〔8〕收敛，〔9〕收敛，2〔10〕收敛，〔11〕收敛，〔12〕发散〔13〕收敛，〔14〕收敛，〔15〕收敛，〔16〕当时发散，当时，收敛于2.提示：作积分变换，3.4*.〔1〕收敛〔2〕收敛〔3〕发散〔4〕发散〔5〕收敛〔6〕收敛〔7〕收敛〔8〕发散〔9〕收敛〔10〕当且时收敛，其他发散.〔11〕收敛〔12〕收敛〔13〕当时收敛，当时发散〔14〕当时收敛，其他发散〔15〕当时收敛，当时发散〔16〕当时收敛，其他发散.5.〔1〕〔2〕6.〔1〕〔2〕〕〔3〕7.〔1〕〔2〕=7级数1〔1〕，，，〔2〕〔3〕〔4〕2．〔1〕，收敛，〔2〕，收敛，1〔3〕，收敛，〔4〕；收敛；〔5〕，收敛，—1〔6〕，收敛，.3.〔1〕级数为，和为1〔2〕级数为，和为1.4.〔1〕发散〔2〕发散〔3〕发散〔4〕发散〔5〕收敛5.〔1〕发散〔2〕发散〔3〕发散〔4〕发散〔5〕发散〔6〕发散〔7〕收敛，〔8〕收敛，.6.〔1〕提示：利用级数收敛的定义及“假设收敛，那么必有〞之结论〔2〕例如〔3〕提示：利用与的局部和之间的关系7.1.〔1〕发散〔2〕收敛〔3〕发散〔4〕收敛〔5〕收敛〔6〕收敛〔7〕发散〔8〕收敛2.〔1〕提示：用比拟判别法〔2〕提示：〔3〕提示：用比拟判别法的极限形式3.〔1〕收敛〔2〕收敛〔3〕收敛〔4〕发散〔5〕收敛〔6〕当时收敛；当时发散.4.〔1〕收敛〔2〕收敛〔3〕发散〔4〕收敛〔5〕发散〔6〕收敛〔7〕收敛〔8〕收敛〔9〕当时收敛，当时发散；当时：收敛，发散〔10〕收敛.5.〔1〕时收敛，时发散〔2〕当时收敛，当时发散〔3〕收敛〔4〕当时收敛，当时发散〔5〕当时收敛，时发散〔6〕当时收敛，当时发散〔7〕当时收敛；当时：收敛，发散；当时发散〔8〕当时收敛，当时发散〔9〕时收敛，时发散6.〔3〕提示：7.〔4〕提示：