2024届安徽省淮北师大学附属实验中学数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

2024届安徽省淮北师大学附属实验中学数学高二第二学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知下列说法：①对于线性回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；②甲、乙两个模型的分别为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好；③对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1．其中说法错误的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A．1 B．ln2 C．2 D．e4．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为（）A．n＋1 B．2n C． D．n2＋n＋15．函数的大致图象是（）A． B．C． D．6．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）A． B．C． D．7．若随机变量，且，则等于（）A． B． C． D．8．欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（）A． B． C． D．9．函数的最大值为（）A． B．1 C． D．10．已知为定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（）A． B．C． D．11．已知点P的极坐标是，则过点P且平行极轴的直线方程是A． B． C． D．12．已知抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=2，过点P作抛物线准线的垂线交准线于点Q，则|FQ|=（）A．1 B．2 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知复数，其中是虚数单位，则的模是__________．14．设，关于的不等式在区间上恒成立，其中，是与无关的实数，且，的最小值为1.则的最小值______.15．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和是16，则展开式中的含项的系数是_________．16．直线ax-ay-1=0与圆(x-2)2+y2=1交于A,B两点，过A,B分别作y轴的垂线与y轴交于C,D两点，若三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）当不等式的解集为时，求实数的取值范围.18．（12分）已知.(1)若,求.(2)设复数满足，试求复数平面内对应的点到原点距离的最大值.19．（12分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，求多面体的体积．20．（12分）如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中,为侧面的对角线的交点,分别为棱的中点.(1)求证:平面//平面；(2)求二面角的余弦值.21．（12分）已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，，是中点，求的长.22．（10分）证明：若a>0，则.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由，得，∴，设（为常数），∵，∴，∴，∴，∴，∴当x=0时，；当时，，故当时，，当时等号成立，此时；当时，，当时等号成立，此时．综上可得，即函数的取值范围为．故选B．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．2、B【解题分析】

根据回归分析、独立性检验相关结论来对题中几个命题的真假进行判断。【题目详解】对于命题①，对于回归直线，变量增加一个单位时，平均减少个单位，命题①错误；对于命题②，相关指数越大，拟合效果越好，则模型甲的拟合效果更好，命题②正确；对于命题③，对分类变量与，随机变量的观测值越大，根据临界值表，则犯错误的概率就越小，则判断“与有关系”的把握程度越高，命题③正确；对于命题④，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系的绝对值越接近于，命题④错误.故选：B.【题目点拨】本题考查回归分析、独立性检验相关概念的理解，意在考查学生对这些基础知识的理解和掌握情况，属于基础题。3、D【解题分析】

对函数进行求导，然后让导函数等于2，最后求出切点的横坐标.【题目详解】，由题意可知，因此切点的横坐标为e，故选D.【题目点拨】本题考查了导数的几何意义，考查了导数的运算法则，考查了数学运算能力.4、C【解题分析】1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.5、D【解题分析】

利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可．【题目详解】函数是偶函数，排除选项B，当x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限，排除A，C；故选D．【题目点拨】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．6、A【解题分析】

根据选项中的等高条形图看出共享与不共享时对企业经济活跃度差异大小，从而得出结论．【题目详解】根据四个等高条形图可知：图形A中共享与不共享时对企业经济活跃度的差异最大它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果．故选：A．【题目点拨】本题主要考查条形统计图的应用，考查学生理解分析能力和提取信息的能力，属于基础题.7、A【解题分析】

由正态密度曲线的对称性得出，由此可得出结果.【题目详解】由于，则正态密度曲线关于直线对称，所以，故选A.【题目点拨】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.8、C【解题分析】

先由题意得到，进而可求出结果.【题目详解】由题意可得：，所以虚部为.故选C【题目点拨】本题主要考查复数的应用，熟记复数的概念即可，属于常考题型.9、A【解题分析】

由题意求得导数，得到函数单调性，即可求解函数的最大值，得到答案.【题目详解】由题意，可得，当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减，所以函数的最大值为，故选A.【题目点拨】本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，其中解答中求得函数的导数，得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、A【解题分析】

先用基本不等式求时函数的值域，然后利用函数奇偶性的性质即可得到整个函数的值域.【题目详解】当时，（当且仅当时取等号），又为奇函数，当x<0时，,则的值域为.故选：A.【题目点拨】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用基本不等式求函数最值问题，属于基础题.11、D【解题分析】分析：把点的极坐标化为直角坐标，求出过点且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．详解：把点的极坐标化为直角坐标为故过点且平行极轴的直线方程是，

化为极坐标方程为，

故选D．点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题．12、B【解题分析】

不妨设点P在x轴的上方，设P（x1，y1），根据抛物线的性质可得x1=，即可求出点P的坐标，则可求出点Q的坐标，根据两点间的距离公式可求出．【题目详解】不妨设点P在x轴的上方，设P（x1，y1），∵|PF|=2，∴x1+=2，∴x1=∴y1=，∴Q（-，），∵F（，0），∴|FQ|==2，故选B．【题目点拨】本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的性质，两点间的距离公式，属于基础题．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用,尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：分子分母同时乘以，化简整理，得出，再得模。详解：，所以。点睛：复数的除法运算公式。14、【解题分析】

化简，结合单调性及题意计算出，的表达式，由的最小值为1计算出结果【题目详解】因为，所以在上单调递增，又关于的不等式在上恒成立，所以，，因为的最小为1，所以，即，所以，当且仅当，即时取“”，即的最小值为.【题目点拨】本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力15、【解题分析】

先由二项式系数之和求出，再根据二项展开式的通项公式，即可求出结果.【题目详解】因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和是16，所以，即；所以，其二项展开式的通项为：，令得，所以，因此含项的系数是.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.16、1【解题分析】

利用圆心到直线的距离可求出d，再利用勾股定理求得答案.【题目详解】解：可得直线直线ax﹣ay﹣1＝0的斜率为1．圆心（2，0）到直线距离d=|2a-1|∵|CD|＝1，∴|AB|=2|CD|=∴21-d2=2故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度不大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)(Ⅱ)或【解题分析】

(Ⅰ)根据的范围得到分段函数的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到的最小值，则最小值大于，得到不等式，解不等式求得结果.【题目详解】(Ⅰ)时，当时，，即当时，，即当时，，无解综上，的解集为(Ⅱ)当，即时,时等号成立；当，即时,时等号成立所以的最小值为即或【题目点拨】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.18、（1）（2）【解题分析】

（1）复数相等时，实部分别相等，虚部分别相等；（2）由判断出对应的轨迹，然后分析轨迹上的点到原点距离最大值.【题目详解】解：（1），，(2)设，即，即在平面对应点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，【题目点拨】本题考查复数相等以及复数方程对应的轨迹问题，难度一般.以复数对应的点为圆心，以为半径的圆的复数方程是：.19、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解题分析】

（Ⅰ）平面得到，，得到平面.（Ⅱ）证明平面，平面，再计算得到答案.【题目详解】（Ⅰ）∵平面平面，，平面平面，∴平面，∴．在菱形中，，可知为等边三角形，为中点，∴．∵，∴平面．（Ⅱ）如图，取的中点为，连接，则．矩形和菱形所在的平面相互垂直，平面平面，故平面，平面，∴．【题目点拨】本题考查了线面垂直，几何体的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20、(1)证明见解析；(2).【解题分析】

（1）利用线线平行证明平面//平面，（2）以C为坐标原点建系求解即可．【题目详解】（1）证明分别为边的中点，可得,又由直三棱柱可知侧面为矩形，可得故有，由直三棱柱可知侧面为矩形，可得为的中点，又由为的中点，可得.由，平面，，平面，得平面，平面，，可得平面平面.（2）为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面的一个法向量为，取，有同样可求出平面的一个法向量，，结合图形二面角的余弦值为.【题目点拨】本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式求解二面角．21、（1）（2）【解题分析】

（1）通过正弦定理和余弦定理即可得到答案；（2）在中使用余弦定理即可得到的长.【题目详解】（1）因为所以由正弦定理得：由余弦定理得：又，所以（2）由，，，得：所以在中，，所以【题目点拨】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的实际应用，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度不大.22、见解析【解题分析】试题分析:用分析法证明不等式成立的充分条件成立,要证原命题,只要证,即只要证，进而展开化简,可得