湖北省黄冈市黄冈中学2024届数学高二下期末教学质量检测试题含解析

湖北省黄冈市黄冈中学2024届数学高二下期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱2．函数的一个零点所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)3．若焦点在轴上的双曲线的离心率为，则该双曲线的一个顶点到其中一条渐近线的距离为()A． B． C． D．4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程至多有一个实根”时，则下列假设中正确的是（）A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根C．方程恰好有两个实数根 D．方程至多有两个实根5．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．若对任意实数，有，则（）A． B． C． D．7．空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：0～5051～100101～150151～200201～300300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（）A．整体上看，这个月的空气质量越来越差B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C．从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D．从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值8．执行如图所示的程序框图，则输出的（）A． B． C． D．9．有个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A． B． C． D．10．设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：①若，则②若，，则③若，，则④若，，则.其中真命题的序号为（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④11．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A． B．C． D．12．已知集合，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若的展开式中含项的系数为，则__________．14．若抛物线上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则的值为___.15．命题“”为假命题，则实数的取值范围是.16．如图，矩形的四个顶点坐标依次为，记线段以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域的概率为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）求满足不等式的实数的取值范围.18．（12分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．19．（12分）如图，菱形的对角线与相交于点，，，点分别在，上，，交于点.将沿折到的位置，.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.20．（12分）（1）设：实数x满足|x﹣m|＜2，设：实数x满足＞1；若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围（2）已知p：函数f（x）＝ln（x2﹣ax+3）的定义城为R，已知q：已知且，指数函数g（x）＝（a﹣1）x在实数域内为减函数；若￢p∨q为假命题，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求点D到平面PBC的距离；(2)设Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求二面角B-CQ-D的余弦值．22．（10分）已知函数（且）的图象过定点P，且点P在直线（，且）上，求的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

试题分析：球的三视图都是圆，如果是同一点出发的三条侧棱两两垂直，并且长度相等的三棱锥（一条侧棱与底面垂直时）的三视图是全等的等腰直角三角形，正方体的三视图可以都是正方形，但圆柱的三视图中有两个视图是矩形，有一个是圆，所以圆柱不满足条件，故选D.考点：三视图2、C【解题分析】

根据函数零点的判定定理进行判断即可【题目详解】是连续的减函数，又可得f（2）f（3）＜0，∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是(2,3)故选C【题目点拨】本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题．3、C【解题分析】

先由双曲线的离心率的值求出的值，然后求出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求出结果【题目详解】解：因为焦点在轴上的双曲线的离心率为，所以，解得，所以双曲线方程为，其顶点为，渐近线方程为由双曲线的对称性可知，只要求出其中一个顶点到一条渐近线的距离即可不妨求点到直线的距离故选：C【题目点拨】此题考查了双曲线的有关知识和点到直线的距离公式，属于基础题4、C【解题分析】

由二次方程实根的分布，可设方程恰好有两个实根．【题目详解】证明“设a，b为实数，则方程至多有一个实根”，由反证法的步骤可得第一步假设方程恰好有两个实根，故选：C．【题目点拨】本题考查反证法的运用，注意解题步骤，以及假设及否定的叙述，考查推理能力，属于基础题．5、D【解题分析】

求出函数的导数，由题意可得恒成立，转化求解函数的最值即可．【题目详解】由函数，得，故据题意可得问题等价于时，恒成立，即恒成立，函数单调递减，故而，故选D.【题目点拨】本题主要考查函数的导数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，函数恒成立的等价转化，属于中档题.6、B【解题分析】分析：根据，按二项式定理展开，和已知条件作对比，求出的值，即可求得答案.详解：，且，.故选：B.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数.7、C【解题分析】

根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【题目详解】从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确．故选C．【题目点拨】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.8、B【解题分析】

模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化即可得到答案.【题目详解】由题意，输入值，，第一次执行，，，不成立；第二次执行，，，不成立；第三次执行，，，不成立；第四次执行，，，不成立；第五次执行，，，成立，输出.故选：B【题目点拨】本题主要考查循环框图的应用，按照框图的程序运行即可得出正确答案，属于基础题.9、C【解题分析】总排法数为，故选C．点睛：本题是排列中的相邻问题，用“捆绑法”求解，解决此问题分两步，第一步把要求相邻的三人捆绑在一起作为一个人，和其他3人看作是4人进行排列，第二步这三人之间也进行排列，然后用乘法原理可得解．10、D【解题分析】

由题意结合立体几何的结论逐一考查所给的说法是否正确即可.【题目详解】逐一考查所给的命题：①如图所示，正方体中，取平面为平面，平面，直线为，满足，，但是不满足，题中所给的命题错误；②由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确；③如图所示，正方体中，取平面为，直线为，直线为，满足，，但是，不满足，题中所给的命题错误；④由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确.综上可得：真命题的序号为②④.本题选择D选项.【题目点拨】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.11、C【解题分析】取BD的中点E，连结CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面积S=××=，故选C.12、C【解题分析】

利用对数函数的单调性对集合化简得x|0＜x＜1}，然后求出A∩B即可．【题目详解】＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{1}，故选：C【题目点拨】考查对数不等式的解法，以及集合的交集及其运算．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2.【解题分析】分析：首先利用二项展开式的通项，求得该二项展开式的通项，之后令幂指数等于5，求得r的值，再回代，令其等于80，求得参数的值.详解：展开式的通项为，令，解得，所以有，解得，故答案是2.点睛：该题考查的是有关根据二项展开式的特定项，确定其参数的值的问题，需要熟练掌握二项展开式的通项，之后令幂指数等于相应的数，求得结果即可.14、2或18【解题分析】

设出符合题意的抛物线上一点的坐标，代入抛物线方程，解方程求得的值.【题目详解】抛物线的焦点为，对称轴为轴，，故可设符合题意的点的坐标为，代入抛物线方程得，解得或，负根舍去.【题目点拨】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线的几何性质，考查方程的思想，属于基础题.15、【解题分析】试题分析：由题意可得命题:,为真命题.所以,解得.考点：命题的真假.16、【解题分析】因空白处的面积，故阴影部分的面积为，故由几何概型的计算公式可得所求概率，应填答案．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）为奇函数；证明见解析（2）【解题分析】

（1）显然,再找到与的关系即可；（2）由可得,进而求解即可.【题目详解】（1）是奇函数；证明:因为,所以.所以为奇函数（2）解:由不等式,得,整理得,所以,即【题目点拨】本题考查函数奇偶性的证明,考查解含指数的不等式,考查运算能力.18、(1).(2)采取方案二最好，理由见解析.【解题分析】

（1）设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，由题意可知，据此计算可得满足题意的概率值为.（2）由题意结合各个方案的数学期望，比较计算可得三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.【题目详解】（1）由题得，设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，则.设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件，则.∴在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为.（2）方案二好，理由如下：由题得，.用分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则万元.的分布列为：.的分布列为：.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量分布列的计算与应用，数学期望的理解与应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1），可得，在菱形中，求出，由勾股定理的逆定理，即可证明；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面和平面的法向量坐标，根据空间向量面面角公式，求出二面角的余弦，即可求出结论.【题目详解】（1）证明：∵，∴，∴.∵四边形为菱形，∴.∵，∴；又，，∴，∴，∴，∴，∴.（2）解：以为原点，分别以，，所在直线轴，建立如图所示的空间直角坐标系.，，，，，，.设平面法向量，由得，取，∴.同理可得面的法向量，设二面角的平面角为，则，∴.故二面角的正弦值为.【题目点拨】本题考查空间中点，线，面的位置关系，直线垂直的证明，利用空间向量法求二面角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）解绝对值不等式求得中的范围，解分式不等式求得中的取值范围.由是的必要不充分条件知是的充分不必要条件，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）根据的定义域为求得为真时，的取值范围.根据的单调性求得为假时的取值范围.为假命题可知真假，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【题目详解】（1）记，即由条件是的必要不充分条件知是的充分不必要条件，从而有是的真子集，则，可得，故（2）当为真命题时，函数的定义域为，则恒成立，即，从而；条件为假命题可知真假，当为假命题时有即从而当真假有即,故【题目点拨】本小题主要考查绝对值不等式、分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，考查指数函数的单调性，考查含有简单逻辑联结词命题真假性有关知识，属于中档题.21、（1）.（2）.【解题分析】分析：（1）利用等体积法即可；（2）建立空间直角坐标系，利用换元法可得，再结合函数在上的单调性，计算即得结论.详解：(1)S△BCD=BC×AB=,由于PA⊥平面ABCD,从而PA即为三棱锥P-BCD的高,故VP-BCD=S△BCD×PA=.设点D到平面PBC的距离为h.由PA⊥平面ABCD得PA⊥BC,又由于BC⊥AB,故BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.由于BP＝＝,所以S△PBC=BC×PB=.故VD-BCP=S△BCP×h=h因为VP-BCD=VD-BCP，所以h=.(2)以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标