浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2024届数学高二下期末统考模拟试题含解析

浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2024届数学高二下期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知曲线和曲线围成一个叶形图；则其面积为（）A．1 B． C． D．2．如图是计算的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（）A．, B．,C．, D．,3．已知空间向量OA向量OP=xOA+yOB+zOCA．12 B．1 C．324．设，则（）A． B． C． D．5．己知三边，，的长都是整数，，如果，则符合条件的三角形的个数是（）A． B． C． D．6．若函数在（0，2）内单调递减，则实数的取值范围为（）A．≥3 B．=3 C．≤3 D．0<<37．函数在上取得最小值时，的值为（）．A．0 B． C． D．8．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()（Ａ）种（Ｂ）种（Ｃ）种（Ｄ）种9．若圆锥的高等于底面直径，侧面积为,则该圆锥的体积为A． B． C． D．10．若函数有个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．11．复数z满足，则复数的虚部是（）A．1 B．－1 C． D．12．设函数，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知两不共线的非零向量满足,,则向量与夹角的最大值是__________.14．若，且，则______.15．已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为________16．已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则，．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的极坐标方程为，,分别为在直角坐标系中与轴，轴的交点．曲线的参数方程为（为参数，且），为,的中点．（1）将，化为普通方程；（2）求直线（为坐标原点）被曲线所截得弦长．18．（12分）已知函数.(1)判断的奇偶性并予以证明；(2)求不等式的解集.19．（12分）已知，函数.（1）若，求的值；（2）若，求的单调递增区间.20．（12分）在直角坐标系中，曲线的方程为.已知，两点的坐标分别为，.（1）求曲线的参数方程；（2）若点在曲线位于第一象限的图象上运动，求四边形的面积的最大值.21．（12分）在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图.(I)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(II)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和均值.22．（10分）已知函数的最小值为.（1）若，求证：；（2）若，，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.【题目详解】由题得函数的图像如图所示，联立得交点（1,1）所以叶形图面积为.故选：D【题目点拨】本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2、A【解题分析】该程序是求数列的前16项和，①处变量每次增加2，②处是循环控制条件，循环体共执行了16次，故时，退出循环，选A.3、A【解题分析】

由题求得OP的坐标，求得OP，结合4x+2y+z=4可得答案.【题目详解】=x+y,y,z，OP利用柯西不等式可得42∴OP故选A.【题目点拨】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.4、A【解题分析】

利用指数与对数函数的单调性即可得出．【题目详解】因为，，所以，故选A.【题目点拨】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5、D【解题分析】

根据题意，可取的值为1、2、3、…25，由三角形的三边关系，有，对分情况讨论，分析可得可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数，由分类计数原理，结合等差数列的前项和公式，计算可得答案．【题目详解】解：根据题意，可取的值为1、2、3、…25，

根据三角形的三边关系，有，

当时，有25≤＜26，则＝25，有1种情况，

当时，有25≤＜27，则＝25、26，有2种情况，

当时，有25≤＜28，则＝25、26、27，有3种情况，

当时，有25≤＜29，则＝25、26、27、28，有4种情况，

…

当时，有有25≤＜50，则＝25、26、27、28…49，有25种情况，

则符合条件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝；

故选：D．【题目点拨】本题考查分类计数原理的运用，涉及三角形三边的关系，关键是发现变化时，符合条件的三角形个数的变化规律．6、A【解题分析】

由题可得：在恒成立.整理得：在恒成立.求得：，即可得：，问题得解．【题目详解】由题可得：在恒成立.即：在恒成立．又，所以.所以故选A【题目点拨】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，还考查了恒成立问题解决方法，考查转化能力，属于中档题．7、D【解题分析】

根据三角函数的单调性分析求解即可.【题目详解】当时,.根据正弦函数的性质可知,当,即时,取得最小值.故选：D【题目点拨】本题主要考查了三角函数的最值问题,属于基础题.8、C【解题分析】∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法故选C；【考点】此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】从参加“某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；9、B【解题分析】

先设底面半径，然后根据侧面积计算出半径，即可求解圆锥体积.【题目详解】设圆锥的底面半径为，则高为，母线长；又侧面积，所以，所以，故选：B.【题目点拨】本题考查圆锥的侧面积公式应用以及体积的求解，难度一般.圆锥的侧面积公式：，其中是底面圆的半径，是圆锥的母线长.10、D【解题分析】分析：首先研究函数的性质，然后结合函数图象考查临界情况即可求得最终结果.详解：令，，原问题等价于与有两个不同的交点，当时，，，则函数在区间上单调递增，当时，，，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，绘制函数图象如图所示，函数表示过坐标原点的直线，考查临界情况，即函数与函数相切的情况，当时，，当时，，数形结合可知：的取值范围是.本题选择D选项.点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、C【解题分析】

由已知条件计算出复数的表达式，得到虚部【题目详解】由题意可得则则复数的虚部是故选C【题目点拨】本题考查了复数的概念及复数的四则运算，按照除法法则求出复数的表达式即可得到结果，较为简单12、C【解题分析】

根据集合的定义可知为定义域，为值域；根据对数型复合函数定义域的要求可求得集合，结合对数型复合函数单调性可求得值域，即集合；根据图可知阴影部分表示，利用集合交并补运算可求得结果.【题目详解】的定义域为：，即：在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减；当时，；当时，的值域为：图中阴影部分表示：又，本题正确选项：【题目点拨】本题考查集合基本运算中的交并补混合运算，关键是能够明确两个集合表示的含义分别为函数的定义域和值域，利用对数型复合函数的定义域要求和单调性可求得两个集合；涉及到图的读取等知识.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设向量夹角为，由余弦定理求得，再利用基本不等式求得取得最小值，即可求得的最大值，得到结果.【题目详解】因为两非零向量满足,,设向量夹角为，由于非零向量以及构成一个三角形，设，则由余弦定理可得，解得，当且仅当时，取得最小值，所以的最大值是，故答案是.【题目点拨】该题考查的是有关向量夹角的大小问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，注意当什么情况下取得最值，再者就是需要明确角取最大值的时候其余弦值最小.14、5【解题分析】

由正态分布曲线的对称性可得，正态分布曲线关于直线对称，即可得，再求解即可.【题目详解】解：由，得，又，所以，即，故答案为：5.【题目点拨】本题考查了正态分布曲线的对称性，属基础题.15、【解题分析】

通过中点坐标公式，把点的坐标转移到上，把点的坐标代入曲线方程，整理可得点的轨迹方程。【题目详解】设点的坐标为，点，因为点是线段的中点，所以解得，把点的坐标代入曲线方程可得，整理得，所以点的轨迹方程为故答案为：【题目点拨】本题考查中点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，属于中档题。16、【解题分析】

根据题意列出关于、的方程组，即可解出这两个量的值.【题目详解】由题可得，，故有，又因为，即，所以.【题目点拨】本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键就是根据题意列出关于首项和公差的方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)：；(2)【解题分析】

（1）将曲线的极坐标方程利用两角差的余弦公式展开，利用将曲线的极坐标方程化为普通方程，在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程；（2）求出点的坐标，可得出直线的方程，再将直线的方程与曲线的普通方程联立，求出交点、的坐标，再利用两点间的距离公式可得出.【题目详解】（1）的极坐标方程为，即，∴化为普通方程是：；曲线的参数方程为消去参数t得：普通方程：．（2）因为，，∴，所以直线．设直线与交于A，B两点，直线与联立得：，∴，，所以.【题目点拨】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考查直线截二次曲线所得弦长的计算，可以利用直线参数方程的几何意义，也可以利用弦长公式来计算，都是常考题型，考查计算能力，属于中等题．18、(1)奇函数，证明见解析.(2).【解题分析】分析：(1)先求定义域，判断是否关于原点对称，再研究与关系，根据奇偶性定义判断，(2)先根据对数函数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果.详解：（1）要使函数有意义．则，解得.故所求函数的定义域为．由（1）知的定义域为，设，则．且，故为奇函数．(2)因为在定义域内是增函数，因为，所以，解得．所以不等式的解集是．点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．19、（1）；（2）【解题分析】

（1）由得，解出即可（2）用三角函数的和差公式和二倍角公式将化为，然后求出即可【题目详解】（1）又，.（2），，，的单调递增区间为【题目点拨】解决三角函数性质的有关问题时应先将函数化为基本型.20、（1）（为参数）；（2）【解题分析】

（1）根据椭圆的参数方程表示出曲线的参数方程；（2）根据曲线的参数方程设曲线上的点，结合点在第一象限得出，将四边形的面积转化为和的面积之和，并利用角的三角函数式表示，利用辅助角公式化简，再利用三角函数基本性质求出最大值。【题目详解】（1）曲线的方程为，可化参数方程为(为参数).（2）设曲线上的点，因为在第一象限，所以.连接,则=.当时，四边形面积的最大值为.【题目点拨】本题考查椭圆的参数方程，考查参数方程的应用，一般而言，由圆或椭圆上的动点引起的最值或取值范围问题，可以将动点坐标利用圆或椭圆的参数方程设为参数方程的形式，并借助三角恒等变换公式以及三角函数的基本性质求解。21、(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解题分析】

(1)由题意考查两人的平均值均为82，方差甲乙分别为，结合方差可知乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛.(2)由题意可知：ξ的所有可能取值为0，1，2，结合超几何分布概率公式求得概率值，得到分布列，然后计算可得均值为.【题目详解】(I)学生甲的平均成绩x甲＝＝82，学生乙的平均成绩x乙＝＝82，又s＝×[(68-82)2＋(76-82)2＋(79-82)2＋(86-82)2＋(88-82)2＋(95-82)2]＝77，s＝×[(71-82)2＋(75-82)2＋(82-82)2＋(84-82)2＋(8